阶段性练习卷(二)-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

0Fn2m,n∠cD1=Y号，故∠c01=60或 AC ∠CDA=120°..AD>AC,.∠CDA为锐角，∴.∠CDA=60°， 故此时灯塔C位于游轮的南偏西60°的方向.故选C. 北 D 60 30 759 第14题答图 15.(V5+)km2【解析】在△0AB中，∠A0B=0. OB=1,0A=2,.AB-0B2+0A2-20B.0A.cos0,AB=V5 4cos6, Ss边eamo=Sa0+S=0A:0B:sin6+AB,Sg边Bam= sin0-2os0+3,则Ss边形amam=V5n(0-p)+号（其中 tamp=2),当n(0p)-l时，Sm影am取最大值V了+号， “直接监测覆盖区域”面积的最大值为V5+)km, 一"阶段性练习卷（二） 1.A【解析】由余弦定理，可得 -e-abecoM=39-2xVx3 .a=V3(负值舍去).故选A. 2.C【解折】由余弦定理，得c01=以-好 2bc 7,又Ae(0,,则A=60,故选C 3.B【解析】由正弦定理，可知sinA+sinB>sinC台a2+ b'>c2台cosC>0,sin2A+sin2B>sin2C不能得到△ABC是锐角三 角形，但△ABC是锐角三角形，则sin2A+sinB>sinC.故 “sinA+sinB>sin℃”是“△ABC是锐角三角形”的必要不 充分条件，故选B. 4C【解折】由正弦定理，得品=的，即 a2+c2=b2,∴.△ABC是直角三角形.故选C. 5.A【解析】如图，在△ABC中，AB=20,∠CAB= 30,∠4CB=5,裂锅正弦定理，得-5，解 得BC=10V2(n mile). 参考答案。 北 65C 第5题答图 6.C【解析】设航速为v n mile/h,在△ABS中，AB= 之，BS=8V7,∠B4=45,由正孩定理得8 sin30° sin45o,i=32 n mile/h,故选C. 7.BD【解析】若满足△ABC唯一确定，则a=bsinA=2x sin30°-1或a≥b=2,故选BD. 8BC【解标】由正弦定理，知4=2R,外接圆 半径是2，故A错误；由正弦定理及a b ssimB,可得 sin4=sinb=l,即tanA=1,由0<A<m,知A=45°，故B正 cosA sinB 确：um60C为链角，△4C一定是镜角三 角形，故C正确：若A=石，B=年，显然co1>cocB,故 D错误.故选BC 9.7【解析】由5m15Y5.得号×3X4Cm120 4 15V3AC=5,BABAC-2ABACc0s1209+ 4 25+2x3x5x2=49,解得BC=7. 10.Y了【解析】由题意和正弦定理，可得a=2R, 2 sinA=V3(R为△ABC外接圆半径1)，sinA=Y3 2 cos4=±号，由余弦定理，可得=b2+e2-2 c1,代入 数据，可得35bc,解得bc=2,besin4=V 2 11.15【解析】∴.令∠ACD=a,∠CDB=B,在△CBD 中，由余弦定理，得c0s8=BDCD CB_202+2312。-1， 2BD.CD-220x21 7’ :sing=4Yy3.又sina=sin(B-60°)=singcos60°-cos3· 7 0yx+x空，5，在△4CD中， 7 2 2 14 0品40-2-15(km).这人还要再走 sin60° 61 N 高中数学必修第四册人教B版 15km才能到达A城. 12.10Y2【解析】b2-d+c2-2 accosB=-(ate2-2ac-(1+ 27 c0sB,又62.ac6,cos号，则ac9,解得a3,c3.在 △ABC中sinB=V-cosB=4Y2,由正弦定理，得sin4= 9 _27.ac,A为能角.cos4-=Vm=号， b 3 故sin(4-B)=sin4·cosB-cosA.sinB=-10Y2 27 13.(1)证明：由正弦定理，得sinB.cosA-sinA·cosB= 2sinC=2sin(A+B)=2sinA·cosB+2cosA·sinB,展开并整理， 得sinB.cosA=-3sinA·cosB,∴.tanB=-3tanA (2)解：b2+e2-+V3bc,则cos4=2e2-d=V3bc 2bc 2bc =,由0<1<，得4=g,m1=写，a8= 2 3 -V3.又0<B<,得B=2,C=石，a,由Sm 之mn-分x3V3,解得a2 2 4解：①设BC=:(m,由条件，可知AC=+合× 340=x+40(m)·在△ABC中，由余弦定理，可得BC2= AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,即x2=1002+(x+40)2-2×100× (x+40) 7,解得x=380;4C=380+40=420(m),故A, C两地的距离为420m. (2)在△ACH中，AC-420(m),∠HAC=30°，∠AHC= 90°-30°=60°，由正弦定理，可得，AC HC sin LAHC=sin∠HAC' 即420 HC 420x1 sin60°sin30，HC =140V了(m),故这种 2 仪器的垂直弹射高度为140V√3m. >n9.3 数学探究活动：得到不可达 两点之间的距离 1.A【解析】由余弦定理，可得AB=AC2+BC2-2AC· BCc0 SLACB=-4+6-2x4x6×2=28,则AB=2V7.故选A 2.C【解析】由余弦定理，可得 AB=VAC2+BC2-2AC.BC.CosC =1/9+16-2x3x4x-1 V3(km).故选C. 62 3.B【解析】sm贺=sin(牙+石)=sin牙cos石+ os胃n君=YxV罗+x分=V6y2,由正 2 2 4 弦定理，可知m折Dn2cAB=AC2C AC sin∠ABC 80xV6+V2 4 -=40(1+V3)(m). 2 2 BC AB 4.B【解析】在△ABC中，sm2 BAC"sin乙ACB即 sin1050sin(180-105°-45，BC=4sin105°=4sin75°.在 BC △ABD中，∠DAB=∠DBA=6O°，△ABD是等边三角形， BD=AB=2.在△BCD中，∠DBC=15°，∴.CD2=BC2+BD2-2BC· BDcos∠BDC=16sin275°+4-2x4sin75×4xcos15°=16sin275°+4- 2×4sin75×2xsin75°=4，CD=2km. 5.B【解析】根据题意，△PPD的三个角和三个边， 由正弦定理均可以求出，①中，sin∠DPC-sinZDCP' CD DP 故CD=DPsin∠DBC,故①可以求出CD;③与①条件等 sin∠DCP =PC 价.②中，在△PBC中，sinZRCR SimZARG,故PC PP2 器，在△PCD中，利用余孩定理求解D即可 6.AC【解析】anB=2V2,cosB=号，sinB= 27.又S=号csn6=2V2,a=6由余孩定理，可 3 得6-2aca8=4e4(a-c)48,-a28- a-e48≥4V7,当且仅当如8时等号成立，故 品的最小值为4V7,可能取到的位为A,C选项 7.A【解析】连接AB,由题意，可知CD=40 n mile, LADC=105°，∠BDC=45°，∠BCD=90°，∠ACD=30°， ∠CAD=45°，∠ADB=60°.在△ACD中，由正弦定理，得 sin30sin45,4D=20V2nmic.在R△BCD中，易 AD 40 知BD=V2CD=40V2 n mile.在△ABD中，由余弦定 理，得AB=V800+3200-2×20V2×40V2×cos60° =20V6 (n mile). 8.5(V3+1)m【解析】依题意，可知AB=BC,在 R△M0中，m=合品品D号=品0解得N高中数学必修第四册人教B版 阶段性练 一、单选题 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别 为a,b,c.已知b=V3,c=3,A=30°，则 a=（） A.V3 B.V6 C.3-V3 D.V21 2.在△ABC中，角A,B,C对的边 分别为a,b,c,若a=V7,b=3,c=2,则 A=() A.30° B.45° C.60° D.90° 3.在△ABC中，“sinA+sinB>sinC 是“△ABC是锐角三角形”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4在A4C中，品如，则 △ABC是() A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形 5.一艘海轮从A处出发，以每小时 40 n mile的速度沿南偏东40°的方向直线航 行，30min后到达B处，在C处有一座灯 塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么B,C两点间的距离是() A.10V2 n mile B.10V3 n mile 14)练 习卷（二） C.20V2 n mile D.20V3 n mile 6.如图，一艘船上午9：30 北 在A处测得灯塔S在它的北偏 东30°处，之后它继续沿正北 方向匀速航行，上午10：00到 309 达B处，此时又测得灯塔S在 它的北偏东75°处，且与它相 第6题图 距8V2 n mile.此船的航速是() A.8V2 n mile/h B.30 n mile/h C.32 n mile/h D.30v3 n mile/h 二、多选题 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,若b=2,A=30°，若满足 条件的△ABC唯一确定，则a的可能值为 () A分 B.1 c D.2 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分 别为a,b,c.下面四个结论中正确的是（) A.a=2,A=30°，则△ABC的外接圆半 径是4 cos4sinB,则A=45。 B.若a三b C.若a+b2<c2,则△ABC一定是钝角三 角形 D.若A<B,则cosA<CosB 三、填空题 9.在△ABC中，已知AB=3,A=120°， 且△4BC的面积为15Y3，,则BC边的长 4 为 10.顶点在单位圆上的△ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c.若b2+c2=5, sn4=3,则5ae 11.某观测站C在城 北 A的南偏西20°的方向， 20 大409 由城A出发的一条公路， 走向是南偏东40°，在C 20 km 处测得公路上B处有一个 31 km B 人，距C为31km,正沿 第11题图 公路向A城走去，走了20km后到达D处， 此时CD间的距离为21km,则这人到达A 城还要走 km. 12.已知在△ABC中，内角A,B,C所 对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2, cosB=,则sinA-B) 四、解答题 13.在△ABC中，内角A,B,C所对边 分别为a,b,c,且bcosA-acosB=2c. (1)求证：tanB=-3tanA. (2)若b2+c2=d+V3bc,且△ABC的面 积为V3,求a. 第九章解三角形。 14.为了应对日益严重的气候问题，某 气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射 型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进 行气候观测.如图所示，A，B,C三地位于 同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实 验，观测点A,B两地相距100m,∠BAC= 60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 合、，在A地测得该仪器至最高点Ⅱ处的 仰角为30°. (1)求A,C两地的距离 (2)求这种仪器的垂直弹射高度HC (已知声音的传播速度为340ms) B 第14题图 练(15