11.4.2 平面与平面垂直-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.4.2 平面与平面垂直 第1课时平面与平面垂直的判定定理 OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二 学习目标 面角的平面角.平面角是直角的二面角叫作 1.了解二面角、面面垂直的定义. 直二面角，二面角的平面角α的取值范围是 2.掌握面面垂直的判定定理 [0,T] 3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理 思考2二面角的平面角的大小，是 解决空间中的位置关系问题， 否与角的顶点在棱上的位置有关？ 提示：无关.如 要点精析 图，根据等角定理， 可知∠AOB=∠A'OB 川要点1二面角 即二面角的平面角的大小与角的顶点的位 定义：一般地，平面内的一条直线把一 置无关，只与二面角的大小有关 个平面分成两部分，其中的每一部分都称为 例2判断题（正确的画“V”,错误的 一个半平面，从一条直线出发的两个半平面 画“×”） 所组成的图形称为二面角，这条直线称为二 (1)两垂直的平面的二面角的平面角大 面角的棱，这两个半平面称为二面角的面. 小为90° ( 图中的二面角可记作 (2)二面角的平面角的大小与其顶点在 B a-l-B或P-l-Q或x-AB-B或 ◆P> 二面角棱上的位置有关， P-AB-Q. (3)二面角可以看成是一个半平面以其 思考1如何表示二面角？ 棱为轴旋转而成的 例1如图所示的二面 分析：依据二面角和二面角的平面角 角可记为( ) 的定义进行判断 A.a-B-1 B.M-l-N 图11-4-14 D变式训练① C.I-M-N D.1-B-a 下列说法： 川要点2二面角的平面角 ①两个相交平面所组成的图形叫作二 如图，在二面角-1-B的棱1上任取一 面角； 点0，以点0为垂足，分 ②二面角的平面角是从棱上一点出发， 别在半平面α和B内分别 分别在两个平面内作射线所成的角； 作垂直于棱1的射线OA, ③二面角的大小与其平面角的顶点在棱 95 N 高中数学必修第四册人教B版 上的位置有关系 变式训练② 其中正确的个数是( A.0 B.1 C.2 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于 D.3 ⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且 川要点3求二面角 PA=AC,求二面角PBCA的大小 点拨：求二面角大小的步骤简称为 作二证三求” 作 作出平面角 证明所作的角满足定义，即为所 图11-4-16 证 求二面角的平面角 求 将作出的角放在三角形中，计算出 平面角的大小 思考3怎样找到二面角的平面角？ 例3如图，AC⊥平面 RCD,RDLCD.AG-AD, 求平面ABD与平面BCD所 图11-4-15 成的二面角的大小。 分析：求二面角的大小，关键是找过 变式训练③ 棱BD上同一点的分别在两个半平面内的垂 如图，已知Rt△ABC,斜边BCCa,点 直于棱的直线，题目中已知BD L CD,于是 AE,A0⊥，0为垂足，∠AB0=30°， 再去探索BD与AD的关系.通过线面垂直 ∠AC0=45°，求二面角A-BC-0的大小 与线线垂直的转化，从而探索出所需结论. 图11-4-17 96)学 第十一章立体几何初步 要点4平面与平面垂直的判定 B变式训练4 (1)定义：一般地，两个平面相交，如 如图，已知三棱锥S-ABC中，侧棱SA= 果它们所成的二面角是直二面角，就说这两： SB=SC,∠ABC=90°，求证：平面ABC⊥平 个平面互相垂直.平面α与B垂直，记作： 面ASC. x⊥B. 画法：通常把直立平面的竖边画成与水 平平面的横边垂直，如图所示 B 图11-4-19 (2)判定定理：如果一个平面经过另 一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号表示：aCa,a⊥B→a⊥B. (3)性质：两个平行平面中的一个垂直 于第三个平面，则另一个也垂直于此平面： 思考4如果两个平面互相垂直，那 么一个平面内的一条直线一定垂直于另一 个平面吗？ 例4如图，在正三棱柱 ABC-A'B'C'中，D为棱AC的 中点，求证：平面BDC⊥平 面ACC'A' 图11-4-18 分析：利用平面与平面垂直的判定定 理，证明面面垂直的关键是找直线与平面 垂直. 数学文化 例在《九章算术》中，将底面为长方 形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 阳马.若四棱锥P-ABCD为 阳马，侧棱PA1矩形 ABCD所在的平面（如图)， 则图中互相垂直的平面有 图11-4-20 对 学 97 N 高中数学必修第四册人教B版 第2课时 平面与平面垂直的性质定理 学习目标 AB,再由面面垂直的判定定理可得OC1 平面VAB,即可证明结论 1.了解二面角、面面垂直的定义. (2)OC⊥平面VAB,用等体积法求三 2.掌握面面垂直的性质定理」 棱锥V-ABC的体积. 3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理 和性质定理解决空间中的位置关系问题， 要点精析 川要点1性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条 直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直 线与另一个平面垂直 图形语言： B变式训练① /B 如图，边长为2的正方形ACDE所在的 符号语言：a⊥B,aCa,∩B=l,a⊥1： 平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为 →aLB. M,AC⊥BC.求证：AM⊥平面EBC. 思考1若定理中的 “交线”改为 “一条直线”，结论是什么？ 例1如图，在三棱锥 V-ABC中，平面VAB⊥平 面ABC,△VAB为等边三 角形，AC⊥BC且AC=BC= 图11-4-22 V2,O,M分别为AB, 图11-4-21 VA的中点. (1)求证：平面MOCL平面VAB. (2)求三棱锥V-ABC的体积， 分析：由面面垂直得线面垂直，故可 用来证明线面垂直。 (1)由面面垂直的性质定理可得OC⊥ 98)学 第十一章立体几何初步 例2如图，在三棱锥 要点2线线、线面、面面垂直的综合 P-ABC中，PA⊥平面ABC 应用 平面PAB⊥平面PBC.求证： B 垂直问题转化关系如下所示： BC⊥AB, 图11-4-23 面面垂直的定义 分析：已知面面垂直时，可以利用此 判定定理 判定定理 定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直. 线线垂直 线面垂直 面面垂直 性质定理 性质定理 思考2 经过本节的学习，证明线面 垂直的方法除了其判定定理还有什么方法？ 例3如图，等腰梯形BCDP中，BC∥ PD,BA⊥PD于点A,PD=3BC且AB=BC=1. 沿AB把△PAB折起到△PAB的位置，使 ∠P'AD=90°. 变式训练② 如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面 图11-4-25 ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧 (1)求证：CD⊥平面PAC. 面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底 (2)求三棱锥A-PBC的体积， 面ABCD,G为AD边的中点.求证： (3)线段PA上是否存在点M,使得 (1)BG⊥平面PAD. BM∥平面PCD.若存在，指出点M的位置 (2)AD⊥PB. 并证明；若不存在，请说明理由 B 图11-4-24 学(99 N 高中数学必修第四册人教B版 变式训练③ 数学文化 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD, 例《九章算术》和《几何原本》并称 AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面： 现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五 ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的 商功篇介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯 中点.求证： 形，其他两侧面为直角三角形的五面体)体 (1)PA⊥底面ABCD. 积的求法.在如图所示的 (2)BE∥平面PAD. 羡除中，平面ABDA'是 (3)平面BEF⊥平面PCD. 铅垂面，下宽AA'=3m, 上宽BD=4m,深3m, 平面BCED是水平面，末 图11-4-27 端宽CE=5m,无深，长6m(直线CE到 BD的距离)，则该羡除的体积为() A.24m B.30m3 图11-4-26 C.36m3 D.42m3 分析：本题以考查空间几何体的表面 积和体积为载体，考查了平面与平面垂直 性质的应用 100学N 高中数学必修第四册人教B版 作NO⊥B,F于点O,则N0C平面AB,F,∴.BC⊥NO. NO⊥平面BCCB,连接OB,则∠OBN即为AB与平面 BCCB所成.角设B2,易知BN=VANR-V分+2= YD,APY5,BFY.由△0NB△Ma.0N 2 2 B>4Y要，得sm∠oBN- 14 BN 35 B 例3答图 变式训练3解：连接OC,由已知，∠OCP为直线P℃与平 面ABC所成角，设AB的中点为D,连接PD,CD.AB= BC=CA,.CD⊥AB.∠APB=90°，∠PAB=60°，.∠PBA= 30°，AB=2PA..PA=AD,.△PAD为等边三角形.不妨设 PA=2,则0D=1,0P=V3,AB=4,∴.CD=2V3,0C= VOD+CD=VI3.在Rt△0CP中，tan∠0CPOE=V3 0CV13 V39 13 例4(1)10(2)6(3)8(4)10【解析】由线面 距离、面面距离的定义，依次为10,6,8,10. 例5(I)证明：PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, PD⊥BC.又：BC⊥DC且PD∩DC=D,PDC平面PCD, DCC平面PCD,.BC⊥平面PCD.PCC平面PCD,PC⊥ BC. (2)解：连接AC,设点A到平面PBC的距离为h, .CD∥AB,BC⊥DC,.AB⊥BC,SA=4.PD⊥平面ABCD, V=号SwPD=-氵.在Rt△PDC中可得PC=2V2.又 3 BC⊥PC,S6m=2V2.而nm=V=行S度h,得 h=2V2. 变式训练4解：(1)AB⊥平面BCD,CDC平面BCD, .AB⊥CD,.BC是底面的一条直径，BD⊥CD.又BDC 平面ABD,ABC平面ABD,BD∩AB=B,.CD⊥平面 ABD,∴∠CAD是直线AC与平面ABD所成角.，AB=BC= 34GV2.mLc0e03治直线4c与平 50 面ABD所成角的大小为arcsin3Y2 10 (2)过点B作BM⊥AD,垂足为 0 M,由(I)得CD⊥平面ABD,CDC 平面ACD,,平面ABD⊥平面ACD. 又.·平面ABD∩平面ACD=AD. M BMC平面ABD,BM⊥AD,BM⊥ 平面ACD.BD=VBC-CD=4,AD D 变式训练4答图 =VAB+BD=V41.根据等面积法 AD-BM=AB-Bm,BM=4R:BD-=20Y年，即点B到 AD 41 平面ACD的距离等于20V4红 41 数学文化 例【解析】如图，设BC, B,C的中点分别为M,M1,取MM, B M 的中点O,连接BO,·三棱柱ABC 0 ABC,的底面是直角三角形，AB= AC=1,AB⊥AC,AB1⊥AC1,MM M ∥AA1,M,M,分别为Rt△ABC, A Rt△AB,C,的外接圆圆心.AA1⊥平 例题答图 面ABC,.MM1⊥平面ABC,.O为ABC-ABC1的外接球的 球心.：球0的表面积为3m,.球0的半径OB=V3 , MM=20M=2V0B-=1,Wm4c=3xx=7 11.4.2平面与平面垂直 第1课时平面与平面垂直的判定定理 要点精析 例1B【解析】根据二面角的记法规则可知B正确. 例2(1)V(2)×(3)V 变式训练1A 例3解：AC⊥平面BCD,BDC平面BCD,BD⊥AC 又BD⊥CD,AC∩CD=C,BD⊥平面ACD.ADC平面 ACD,∴AD⊥BD.,'∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成 二面角的平面角.在R△ACD中，AC=AD,“∠ADC 30° 变式训练2解：由已知PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, PA⊥BC.AB是⊙0的直径，且点C在圆周上，AC⊥ BC.又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,.BC⊥平面 PAC.又.PCC平面PAC,.PC⊥BC.又.BC是二面角 PBC-A的棱，.∠PCA是二面角PBC-A的平面角.由PA= AC知△PAC是等腰直角三角形，.∠PCA=45°，即二面角 PBC-A的大小是45°」 变式训练3解：如图，在平面α 内，过O作OD⊥BC,垂足为点D, 连接AD,设C0=a.AO⊥a,BCC a,∴AO⊥BC.又.AO∩OD=0,∴BC⊥ 变式训练3答图 平面AOD.而ADC平面AOD,AD⊥ BC..∠ADO是二面角A-BC-O的平面角.由A0O⊥，OBC ,OCCa,知A0⊥OB,A0⊥OC..∠ABO=30°，∠ACO= 45°，C0=a,A0=a,AC=V2a,AB=2a.在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，BC=VAC+ABP=V6a,AD=ABAC= BC 2aV2a=2Y5a在Rt△A0D中，sin∠AD0=40= V6a 3 AD a一=Y3.∠AD0=60,即二面角A-BC0的大小 2V3 a 2 3 是60°. 例4证明：CC⊥平面ABC,BDC平面ABC,CC'⊥ BD..△ABC为正三角形，D为AC的中点，.BD⊥AC又 CC,ACC平面ACCA',AC∩CC'=C,.BD⊥平面ACCA'. 又BDC平面BDC',∴.平面BDC'⊥平面ACC'A 变式训练4证明：作SH⊥AC交 AC于点H,连接BH,SA=SC, .AH=HC.在Rt△ABC中，H是AC 的中点，BH=号AC=AH又SH= SH,SA=SB,.△SAH≌△SBH B (SSS),.SH⊥BH.又.AC∩BH=H, 变式训练4答图 AC,BHC平面ABC,SH⊥平面ABC.又SHC平面 ASC,·.平面ABC⊥平面ASC. 数学文化 例5【解析】DA⊥AB,DA⊥PA,.DA⊥平面PAB, 同理BC⊥平面PAB.又AB⊥平面PAD,.DC⊥平面 PAD,∴.平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面 PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面 PAD,综上所述，共有5对 参考答案。 第2课时平面与平面垂直的性质定理 要点精析 例1(1)证明：AC=BC,O为AB的中点，.OC⊥AB.平 面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,OCC平面 ABC,,∴.OC⊥平面VAB.,OCC平面MOC,.∴，平面MOC⊥ 平面VAB. (2)解：AC⊥BC且AC=BC=V2,O为AB的中点， :0C,AB=2,S6=号X2xV3=V3.0C1平面AB, K=ew=号0 C.s.m=Y 3· 变式训练1证明：.·平面ACDE⊥平面ABC,平面 ACDE∩平面ABC=AC,BCC平面ABC,BC⊥AC,,'.BC⊥ 平面ACDE.又AMC平面ACDE,BC⊥AM.:四边形 ACDE是正方形，AM⊥CE.又.BC∩CE=C,BC,ECC平 面EBC,.AM⊥平面EBC 例2证明：如图，在平面PAB内，作 AD⊥PB于点D.平面PAB⊥平面 PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB, ADC平面PAB,AD⊥平面PBC.又 BCC平面PBC,∴AD⊥BC.又PA⊥ 平面ABC,BCC平面ABC,PA⊥BC 例2答图 又PA∩AD=A,BC⊥平面PAB.又ABC平面PAB, .BC⊥AB. 变式训练2证明：(1)：四边形ABCD是菱形且∠DAB= 60°，∴.△ABD是正三角形..G为AD的中点，.BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, BGC平面ABCD,.BG⊥平面PAD. (2),侧面PAD为正三角形，G为AD边的中点， .PG⊥AD.又由(1)可知BG⊥AD,又BG∩PG=G,BG, PGC平面PBG,AD⊥平面PBG.又PBC平面PBG, .AD⊥PB. 例3(1)证明：∠PAD=90°，PA⊥AD.在等腰梯 形BCDP中，AB⊥AP,∴.在四棱锥中，AB⊥AP.又 AD∩AB=A,AD,ABC平面ABCD,.P'A⊥平面ABCD 又CDC平面ABCD,∴PA⊥CD.在等腰梯形BCDP中， AB⊥BC,PD=3BC,且AB=BC=1,PD=3,AP=PD-BC= 2 1,AD=3-1=2,由勾股定理，得AC=VAB+BC=V2,故 CD=AC=V2,AC+CD=AD2,.由勾股定理逆定理，得 AC⊥CD.PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,.CD⊥平 51 高中数学必修第四册人教B版 面PAC. (2)解：Sa=号BCAB=号，PA上平面ABCD, 业w=pm}A=gx}-石 Γ32-6 (3)解：线段PA上存在 一点M,使得BM∥平面PCD M为PA的中点.证明如下：取 A PA的中点M,PD的中点N, 连接BM,MN,NC.M,N分 例3答图 别为PA,PD的中点，MN∥ AD且MN=2AD.:BC∥PD且PD=3BC,BC∥AD且BC= 2AD,N/BC且MN=BC,四边形MCB为平行四边 形，∴.BM∥CN.又BM￠平面P'CD,CNC平面PCD, .∴BM∥平面PCD. 变式训练3证明：(1)·平面PAD⊥底面ABCD,且PA 垂直于这两个平面的交线AD,.PA⊥底面ABCD. (2).AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点，.AB∥ DE,且AB=DE..四边形ABED为平行四边形.BE∥ AD.又BE平面PAD,ADC平面PAD,BE∥平面 PAD. (3):AB上AD,而且四边形ABED为平行四边形， .BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,.PA⊥ CD.又PA∩AD=A,∴.CD⊥平面PAD.∴.CD⊥PD.E和F分 (52 别是CD和PC的中点，PD∥EF∴.CD⊥EF又CD⊥BE, EF∩BE=E,.CD⊥平面BEF..CD C平面PCD,∴.平面 BEF⊥平面PCD 数学文化 例C【解析】如图，分别 C MC' 在棱BD,CE上取点B',C,使 BB=CC'=AA'=3m,连接A'B', B H, B'C',A'C,将该羡除分为一个 三棱柱ABC-A'B'C和四棱锥 A'-B'DEC,平面ABDA'为铅垂 例题答图 面，深3m,平面BCED是水平面，且直线CE到BD的距 离为6m. (找与三棱柱的侧棱垂直的截面：作AH⊥BD于点H, 作HM⊥CE于点M,连接AM,可证得BD⊥平面AHM, 且AH=3m,HM=6m,∠AHM=90°) 三棱柱ABCA'B"C的体积为V=2×3x6x3=27(m. .BD=4 m,BB'=3 m,..B'D=1 m..CE=5 m,CC'=3 m, ,∴.C'E=2m.平面BDEC为水平面，且直线CE到BD的距离 为6m.则四边形BDEC'的面积为S=2×(B"D+CE)x6= 号x3x6-9(m). 平面ABDA'为铅垂面，深3m,则四棱锥A'-B'DEC'的 体积V=号×9x3=9(m),该羡除的体积为27+9=36(m).