11.4.1 直线与平面垂直-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 11.4 空间中的垂直关系 11.4.1直线与平面垂直 第1课时直线与平面垂直的判定定理 例1如图，在四面体 学习目标 ABCD中，E,F分别是AC, 1.了解直线与直线所成角及直线与平面 BD的中点，若AB=2,CD=4, 垂直的定义 EF⊥AB,求EF与CD所成的 2.理解直线与平面垂直的判定定理，并 角的度数， 图11-4-1 会用其判断直线与平面垂直. 分析：取AD的中点G,连接EG,FG, 可得∠FEG或其补角为EF与CD所成的角. 要点精析 在△EFG中，通过计算可得答案， 要点1异面直线所成角 (1)定义：如 图所示，已知两条 异面直线a,b,经 过空间任一点0分 别作直线a∥a,b'∥b,我们把直线a与b' 所成的角叫作异面直线a与b所成的角 (或夹角) (2)两条异面直线所成的角α的取值范 围是0°<a≤90° (3)两条直线互相垂直：如果空间中两 条直线所成角的大小为90°，那么我们就说 这两条直线互相垂直.若直线l与直线m垂 变式训练① 直，记作1⊥m. (4)性质：若a∥b且b⊥c,则a⊥c 在正方体ABCD-ABCD1中，E为CD, 思考1空间中两条异面直线所成角0：的中点，则异面直线AE与AB,所成角的余 的取值范围为什么不是0°≤0≤90°？ 弦值为 88)学 第十一章立体几何初步 川要点2直线与平面垂直的判定定理 变式训练② 1.文字语言：如果一条直线与一个平面 如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC= 内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个 90°，D是AC的中点，且SA=SB=SC. 平面垂直， (1)求证：SDL平面ABC: 2.符号语言：若mCa,nCa,m∩n= (2)若AB=BC,求证：BD⊥平面SAC B,l⊥m,l⊥n,则l⊥ax 3.图形语言：如图所示。 思考2一条直线与一个平面内两条 图11-4-3 平行直线垂直，那么这条直线与这个平面 是什么位置关系？ 例2如图，已知正 方体ABCD-AB,CD1,M 为CC,的中点，AC与BD 交于点0，求证：A0L 平面MBD 图11-4-2 分析：要证明线面垂直，只需在这个 平面内找到两条相交直线都垂直于这条直 线.可证BD⊥A1O,A1O⊥OM.进而可证 A1O⊥平面MBD. 反思：利用线面垂直的判定定理证明 线面垂直的步骤： (1)在这个平面内找两条直线，使它 们和这条直线垂直. (2)确定这个平面内的两条直线是相 交的直线， (3)根据判定定理得出结论 学 (89 N 高中数学必修第四册人教B版 川要点3证明空间两直线垂直 变式训练3 思考3判定两条直线垂直的方法有 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 哪些？ ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°， 例3如图，已知直三棱柱ABC PA=AB=BC,E是PC的中点.求证： ABC,AC=CB,点E在AB1上且CE⊥AB1, (1)CD⊥AE. D为AB的中点.求证：AB1⊥ED (2)PD⊥平面ABE. 分析：要证明线线垂直，可证线面垂 直，只需在这个平面内找到两条相交直线 都垂直于这条直线.可证CD LAB1,CE⊥ 图11-4-5 AB1,进而可证AB1⊥平面CED,从而证得 AB1⊥ED. D 图11-4-4 数学文化 例苏轼是北宋著名的文学家、书法 家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的 造诣.《蝶恋花·春景》是苏轼一首描写春景 的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹 息.词的下阕写道：“墙里秋千墙外道.墙外 行人，墙里佳人笑.笑渐不闻声渐悄.多情却 被无情恼”假如将墙看作一个平面，秋千 绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道 路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙 面垂直，秋千绳与墙面平行.在佳人荡秋千 的过程中，下列说法中错误的是() A.秋千绳与墙面始终平行 B.秋千绳与道路始终垂直 C.秋千板与墙面始终垂直 D.秋千板与道路始终垂直 90)学 第十一章立体几何初步 第2课时直线与平面垂直的性质定理 垂直」 学习目标 (5)如果一条直线和一个平面垂直， 1.掌握线面垂直的性质定理，并能应用， 那么它与这个平面的平行线垂直.() 2.会求直线与平面所成角及空间中的 (6)如果平面外一条直线垂直于该平 距离。 面的一条垂线，那么这条直线平行于这个 平面。 要点精析 例1如图，已知 川要点1直线与平面垂直的性质定理！ 四棱锥P-ABCD中，底 面ABCD是矩形，PA⊥ 1.(1)文字语言：如果两条平行直线 平面ABCD,点E,M 中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一 分别是棱AB和PC的中 图11-4-6 条直线也垂直于同一个平面. 点，PD与平面ABCD所成角为45°.求证： (2)符号语言：a⊥a,a∥ (1)ME∥平面PAD. b→b⊥. (2)ME⊥平面PDC. (3)图形语言：如图所示. 分析：(I)取PD的中，点N,连接MN, 2.(1)如果两条直线垂直于同一个平 AN,证明四边形AEMN为平行四边形，再 面，那么这两条直线平行 利用线面平行的判定定理即可证明.(2)可 (2)符号语言：a⊥，b1 证ANL平面PDC,从而EM⊥平面PDC. a→a∥b. (3)图形语言：如图所示. 思考1下列说法是否正确？ (1)一条直线与一个平面垂直，这条 直线垂直于这个平面内的任意一条直线. () (2)垂直于同一条直线的两个平面互 相平行 () (3)如果两条平行线中的一条垂直于 一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. () (4)如果一条直线垂直于两个平行平 面中的一个平面，那么它也和另一个平面 学(91 N 高中数学必修第四册人教B版 变式训练① 变式训练2 如图，在正方体ABCD-AB,CD1中，M 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是AB上一点，N是AC的中点，MN⊥平面 :是矩形，AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD ADC,求证：MN∥AD 的中点，M,N分别在AB,PC上，且 MN⊥AB,MN⊥PC.求证：AE∥MN. 0、 D E D M 图11-4-7 M B 图11-4-9 例2如图，a∩B=l,PA⊥，PB⊥B, 垂足分别为A,B,aC,且a⊥AB.求证： a∥l. 川要点2直线与平面所成角 图11-4-8 定义：平面的一条斜线和它在平面内的 射影所成的角，叫作这条直线与这个平面所 成的角 特别地，一条直线垂直于平面，它们所 成的角是90°. 一条直线与平面平行或在平面内，它们 所成的角是0° 因此，直线与平面所成的角的取值范 围为0°≤0≤90° 思考2找直线与平面所成角的关键 是什么？ 92)学 第十一章立体几何初步 例3如图，已知三A 棱柱ABC-A BC1中，AB= B变式训练③ BC=AC=V2 BB,BAL 如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB= 2 90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA,点P在平面 平面ABC,E是A1C1的中 图11-4-10 ABC内的射影O在AB上，求直线PC与平 点.求AB与平面BCC,B 面ABC所成角的正切值， 所成角的正弦值 分析：证明NO⊥平面BCCB1,结合线 面角的定义得出∠OBN,即为AB与平面 BCCB,所成角，再由相似三角形、勾股定 0 图11-4-11 理、直角三角形边角关系得出AB与平面 BCCB,所成角的正弦值. 要点3点面距离、线面距离、面面 距离 思考3线面距离与面面距离是否都 可以转化为点面距离？ 例4在长方体ABCD-ABCD1中，AB= 6,AD=8,AA=10,则： (I)直线AB到平面ABCD1的距离为 (2)直线AD到平面BCCB,的距离为 (3)平面ABBA,到平面DCCD1的距离 为 (4)平面ABCD到平面AB,C,D1的距离 为 学 93 N 高中数学必修第四册人教B版 例5如图，已知四 变式训练4 棱锥P-ABCD,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=2, 如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC B 是底面的一条直径，D是圆O上一点，且 AB=4,AB∥DC,BC⊥DC 图11-4-12 (1)求证：PC⊥BC AB=BC=5,CD=3. (2)求点A到平面PBC的距离. (I)求直线AC与平面ABD所成角的 大小 (2)求点B到平面ACD的距离. D 图11-4-13 数学文化 例在《九章算术》中，将底面是直角 三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑 堵”ABC-AB,C1的所有顶点都在球O的球面 上，且AB=AC=1.若球O的表面积为3π， 则这个三棱柱的体积是 分析：设BC,BC的中点分别为M, M1,取MM1的中点O,则O为ABC-ABC 的外接球的球心，由球O的表面积，得出 球O的半径，求出MM1,即可求解. 94)学"11.4空间中的垂直关系 11.4.1直线与平面垂直 第1课时直线与平面垂直的判定定理 要点精析 例1解：取AD的中点G,连接EG, FG.E,F分别为AC,BD的中点，.FG LAB,EGL}cD.则∠FEG或其 2 补角为EF与CD所成的角.EF⊥AB, 在△EFG中，EF⊥FG,.sin LFEG=FG 例1答图 EG =子，∠EG=30即EBF与D所成的角的度数为30 变式训练1号 例2证明：连接A,C1,M0.:BDLAA,BD LAC,AA∩ AC=A,BD⊥平面AACC1,又AOC平面AACC,.BD⊥ A0易得am∠A40=Y号，am∠M0cYZ,∠A4,0= ∠MOC,则∠AOA+∠MOC=∠AOA+∠AA1O=90°，A0⊥OM. 又.OM∩DB=O,.AO⊥平面MBD. 变式训练2证明：(1)SM=SC,D是AC的中点， .SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD=BD,由已知SA=SB,∴. △ADS≌△BDS,.SD⊥BD.又AC∩BD=D,AC,BDC平 面ABC,.SD⊥平面ABC (2)AB=BC,D为AC的中点，BD⊥AC.由(1)知 SD⊥BD.又SD∩AC=D,SD,ACC平面SAC,.BD⊥平 面SAC 例3证明：在△ABC中，AC=CB,且D为AB的中点， CD⊥AB.又CD⊥AA,AB∩AA1=A,.CD⊥平面 ABAB..AB1C平面ABAB,.CD⊥AB.又CE⊥AB1, CD∩CE=C,∴AB1⊥平面CED.EDC平面CED,∴AB⊥ ED. 变式训练3证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，：PA上底 面ABCD,CDC平面ABCD,.PA⊥CD.AC⊥CD,PA∩ AC=A,.CD⊥平面PAC.而AEC平面PAC,.CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°，可得AC=PA.E是 PC的中点，.AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C, AE⊥平面PCD.而PDC平面PCD,.AE⊥PD..PA⊥底面 ABCD,∴.PA⊥AB.又AB⊥AD且PA∩AD=A,∴AB⊥平 面PAD,而PDC平面PAD,.AB⊥PD.又.AB∩AE=A, 参考答案⊙ PD⊥平面ABE. 数学文化 例B【解析】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙 面始终平行，但与道路所成的角在变化，则秋千绳与道路 的位置关系在发生变化，而秋千板始终与墙面垂直，故也 始终与道路垂直.故选B. 第2课时直线与平面垂直的性质定理 要点精析 例1证明：(1)如图，取PD的中点N,连接MW,AN :MN是△POC的中位线，故MW/CD,且MN=CD,又 AE∥CD且AE=CD,故四边形AEMN为平行四边形， .ME∥AN又MEt平面PAD,ANC平面PAD,ME∥ 平面PAD. D E 例1答图 (2)PA⊥平面ABCD,则∠PDA为PD与平面ABCD 所成角，·.∠PDA=45°.AN⊥PD.又CD LAD,CD⊥PA, ∴.CD⊥平面PAD,CD⊥AN.AN⊥平面PDC,又由(1)知 ME∥AN,ME⊥平面PDC. 变式训练1证明：四边形ADDA1为正方形，AD1⊥ AD.又CD⊥平面ADDA,CD⊥AD.AD∩CD=D, AD1⊥平面ADC.又.MN⊥平面ADC,.MN∥AD 例2证明：PA⊥a,lCa,∴PA⊥l.同理，可得PB⊥L 又PA∩PB=P,l⊥平面PAB.PA⊥a,aCa,PA⊥a 又.a⊥AB,PA∩AB=A,.a⊥平面PAB.l⊥平面PAB, a⊥平面PAB,∴.a∥l. 变式训练2证明：AB⊥平面PAD,AEC平面PAD, AE⊥AB.又：AB∥CD,∴AE⊥CD.AD=AP,E是PD的 中点，.AE⊥PD.又CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD, AE⊥平面PCD.MW⊥AB,AB∥CD,∴MW⊥CD.又 MW⊥PC,PCNCD=C,PC,CDC平面PCD,.MN⊥平面 PCD,.AE∥MN. 例3解：如图，取BC的中点F,连接AF,BF,则AF⊥ BC.BA⊥平面ABC,.BA⊥BC.又AF,BAC平面 AB,F,AF∩BA=A,.BC⊥平面AB,E.在△AB,F中过点N 49 N 高中数学必修第四册人教B版 作N0⊥BF于点O,则N0C平面ABF,∴.BC⊥NO. NO⊥平面BCCB1,连接OB,则∠OBW即为AB与平面 BCCB,所成角.设B2.易知BN=VANMR=√)+2= P,AF=Y,BFY.由△0NB△Ma.oN 2 2 4Y平，得n∠0N=欲- 4 BN 35 B 例3答图 变式训练3解：连接OC,由已知，∠OCP为直线P心与平 面ABC所成角，设AB的中点为D,连接PD,CD.AB= BC=CA,.CD⊥AB..∠APB=90°，∠PAB=60°，∴.∠PBA= 30°，AB=2PA..PA=AD,.△PAD为等边三角形.不妨设 PA=2,则0D=1,0P=V3,AB=4,.CD=2V3,OC= VOD+CD=V3.在Rt△0CP中，tanLOCP-0S=V3 0CV13 V39 13 例4(1)10(2)6(3)8(4)10【解析】由线面 距离、面面距离的定义，依次为10,6,8,10. 例5(I)证明：：PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, .PD⊥BC.又.BC⊥DC且PD∩DC=D,PDC平面PCD, DCC平面PCD,.BC⊥平面PCD..PCC平面PCD,PC⊥ BC. (2)解：连接AC,设点A到平面PBC的距离为h, CD∥AB,BC⊥DC,AB⊥BC,SAA=4.PD⊥平面ABCD, V=号SPD=号.在Rt△PDC中可得PC=2V2.又 BC⊥PC,Sa=2V2.而m=V=号S度h,得 h=2v2. 变式训练4解：(I):AB⊥平面BCD,CDC平面BCD, AB⊥CD,.BC是底面的一条直径，BD⊥CD.又.BDC 平面ABD,ABC平面ABD,BD∩AB=B,∴.CD⊥平面 ABD,·.∠CAD是直线AC与平面ABD所成角.，AB=BC= 5,4C=5V2,sin∠CAD=CD=3V2.直线AC与平 ΓAC-10 50 面ABD所成角的大小为arcsin3V2 10 (2)过点B作BM⊥AD,垂足为 M,由(1)得CD⊥平面ABD,CDC 平面ACD,.平面ABD⊥平面ACD. 又.·平面ABD∩平面ACD=AD. M BMC平面ABD,BM⊥AD,∴.BM⊥ 平面ACD.BD=VBC-CD=4,AD D 变式训练4答图 =VAB+BD2=V41.根据等面积法 AD-BM=号AB-BD,六BM=AB:BD=20Y④.即点B到 2 2 AD 41 平面ACD的距离等于20V41 41 数学文化 例之【解析】如图，设BC, M BC的中点分别为M,M1,取MM 的中点O,连接BO,·三棱柱ABC 0 ABC1的底面是直角三角形，AB= AC=1,∴AB⊥AC,AB1⊥AC1,MM ∥AA1,M,M1分别为Rt△ABC, Rt△ABC1的外接圆圆心.AA1⊥平 例题答图 面ABC,.MM1⊥平面ABC,.O为ABC-AB1C的外接球的 球心.：球0的表面积为3π，“球0的半径0B=Y 2 Mu=20N=210f-(受T-1,4a%=号x= 2 11.4.2平面与平面垂直 第1课时平面与平面垂直的判定定理 要点精析 例1B【解析】根据二面角的记法规则可知B正确. 例2(1)V(2)×(3)V 变式训练1A 例3解：AC⊥平面BCD,BDC平面BCD,BD⊥AC 又BD⊥CD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD.ADC平面 ACD,AD⊥BD.·∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成 二面角的平面角.在Rt△ACD中，AC=之AD,∴∠ADC= 30. 变式训练2解：由已知PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, ·.PA⊥BC.AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，AC⊥ BC.又.PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,.BC⊥平面