11.3.3 平面与平面平行-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.3.3平面与平面平行 第1课时平面与平面平行的判定定理 :B平行，则与B平行 学习目标 (2)若平面a内有无数条直线分别与平 1.掌握空间两个平面的位置关系，并会： 面B平行，则与B平行. 判断. (3)一个平面内有两条不平行的直线 2.掌握空间平面与平面平行的判定定：都平行于B平面，则与B平行 理，并能应用这个定理证明一些空间位置关： (4)如果一个平面内的任何一条直线都 系的简单命题 、 平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 3.平面与平面平行的判定定理的应用。 (5)如果一个平面内的一条直线平行于 另一个平面，那么这两个平面平行. 要点精析 川要点1平面与平面平行的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面内有两条 相交直线分别平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. (2)符号语言：aCB,bCB,a∩b=P, a∥，b∥a=→B∥ax (3)图形语言：如图 所示。 (4)推论：如果一个 平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 面内的两条直线，则这两个平面平行 变式训练① 注意：等价转化思想，即把面面平行转 判断题（正确的画“V”,错误的画 化为线面平行. “x”). 思考1如何从有无公共点的角度理 (1)没有公共点的两平面平行.（) 解两平面的位置关系？ (2)若两个平面都平行于同一条直线， 例1判断下列命题是否正确，并说明： 则这两个平面平行： () 理由 (3)若一个平面内有三个点到另一个平 (1)若平面α内的两条直线分别与平面：面的距离相等，则这两个平面平行.（) 学(79 N 高中数学必修第四册人教B版 例2已知正方体ABCD-AB,C,D1,求 例3如图，三棱柱 证：平面ABD1∥平面CBD. ABC-A BC1中，D,P分 分析：要证明面面平行，只需在其中 别为棱BA,BA1的中点， 一个面内找到两条相交直线平行于另一个 求证：平面CPA∥平面 面.而□ABCD中的边CD的平行线AB1 CDB 图11-3-20 就是要找的面ABD1内的相交线中的一条， 分析：要证明面面平行，只需在其中 同理BD1为另一条， 一个面内找到两条相交直线平行于另一个 面.而△ABC,中的中位线OD的平行线AC 和口ADBP中的边DB1的平行线AP就是要 找的一个面CPA内的两条相交线， 变式训练② (多选题)如图，在正方 体EFGH-E,FGH,中，下列 .p 四对平面彼此平行的一对是 图11-3-19 A.平面EFG1与平面EGH B.平面FHG,与平面EFH1 C.平面FHH与平面HE D.平面EHG1与平面EHG 80)学 第十一章立体几何初步 变式训练3 川要点2线面平行、面面平行的综合应用！ 如图，在四棱锥P-ABCD中，E,F,G 思考2判定线面平行的方法都有哪些？ 分别是PC,PD,BC的中点，DC∥AB,求 例4如图，已知四 证：平面PAB∥平面EFG. 棱锥P-ABCD,底面ABCD 是平行四边形，E,F,G 分别为棱BC,PB,AD 的中点 图11-3-22 (1)求证：平面PCG∥平面AEF. 图11-3-21 (2)在线段BD上是否存在一点H,使 得FH∥平面PCG?并说明理由. 分析：(1)面面平行转化为线面平行， 线面平行又转化为线线平行.(2)探究问题 一定要清楚证明什么，探究什么。 总结：判定平面与平面平行的四种常 用方法： (1)定义法：证明两个平面没有公共 点，通常采用反证法 (2)利用判定定理：一个平面内的两 条相交直线分别平行于另一个平面.证明时 应遵循先找后作的原则，即先在一个平面 内找到两条与另一个平面平行的相交直线， 若找不到再作辅助线 (3)转化为线线平行：平面α内的两 条相交直线与平面B内的两条直线分别平 行，则∥B. (4)利用平行平面的传递性：若小 B,B∥y,则ay 学(81 N 高中数学必修第四册人教B版 变式训练4 变式训练⑤ 如图，在三棱柱ABC-ABC中，E,F, 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD G,H分别是AB,AC,AB1,A1C的中点， 为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD, 求证： PD上，且PM:MA=BN:ND=PQ:QD.求证：平 (1)B,C,H,G四点共面. 面MNQ∥平面PBC. (2)平面EFA,∥平面BCHG 图11-3-25 图11-3-23 例5如图，在长 方体ABCD-ABCD1中， AD=DD=1,AB=V3, E,F,G分别为AB, BC,CD的中点，点P 图11-3-24 在平面ABCD内，若直线DP∥平面EFG, 求D与满足题意的P构成的平面截正方体的 截面面积为 分析：可证得平面ACD1∥平面EFG, 则D1与满足题意的P构成的平面截正方体 的截面为△ACD. 82)学 第十一章立体几何初步 数学文化 例《九章算术》是古代中国的第一部 自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的 《几何原本》并称现代数学的两大源泉.《九 章算术》卷五记载：“今有刍甍，下广三 丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积 几何.”译文：今有如图 所示的屋脊状楔体PQ ABCD,下底面ABCD 是矩形，假设屋脊没有 A 歪斜，即PQ的中点R 图11-3-26 在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心 点O,PQ∥AB,AB=2PQ,E为线段AB的 中点，试判断过P,E,O三点的平面截这 个屋脊状楔体PO-ABCD所得截面与平面 QBC的位置关系 分析：可证PE∥QB,OE∥CB,可证 截面与平面QBC平行. 学(83 N 高中数学必修第四册人教B版 第2课时 平面与平面平行的性质定理 定存在两条互相平行的直线。 学习目标 (4)若两个平面平行，其中一个平面内 1.掌握空间两个平面的位置关系，并会 的直线必平行于另一个平面 判断 分析：依据面面平行的定义、性质 2.掌握空间平面与平面平行的性质定 定理 理，并能应用这个定理证明一些空间位置关 系的简单命题 3.平面与平面平行的性质定理的应用. 要点精析 川要点1平面与平面平行的性质定理 (1)文字语言：如果两个平行平面同时 与第三个平面相交，那么它们的交线平行 (2)符号语言：a∥B,ax∩y=a,B∩y=b →a∥b. (3)图形语言：如图所示. B变式训练① 判断题（正确的画“V”,错误的画 “x”）. (4)作用：证明两直线平行. (1)若一个平面内的两条直线都与另一 思考1两个平行平面与另两个平行 个平面平行，则这两个平面平行.（) 平面相交所得四条直线的位置关系是什么？ (2)若一个平面内的两条相交直线分别 例1判断下列命题是否正确，并说明；平行于另一个平面内的两条直线，则这两个 理由 平面平行. () (1)如果两个平面分别平行于第三个平 (3)若平面a∥平面B,lC平面B,mC 面，那么这两个平面平行 平面，则l∥m. () (2)若两个平面平行，则两个平面内的： (4)已知两个平面平行，若有第三个平 所有直线都相互平行 、 面与其中的一个平面平行，那么它与另一平 (3)若两个平面平行，则两个平面内一：面也平行. () 84)学 第十一章立体几何初步 例2如图，已知 例3如图，在直三棱柱ABC-A BC1中」 三棱台DEF-ABC,G,H E,F分别为AC,BC的中 分别为AC,BC的中点， 点，D为棱CC的中点，G是 2DE=A B. B 棱AA1上一点，且满足mAG= A 求证：BD∥平面FGH. 图11-3-27 2AA1,若平面ABD∥平面GEF, 分析：依据面面平行的判定定理可得 试求m的值. 图11-3-29 平面ABED∥平面FGH,再由面面平行的 分析：依据面面平行的性质定理可得 性质得BD∥平面GH. AD∥GE,由△ADC∽△EGA1利用形似比 求解 B 变式训练2 变式训练3 如图，在三棱锥PABC中，D,E,F 分别是PA,PB,PC的中点，M是AB上 如图，在三棱柱ABC-ABC中，底面 点，连接MC,N是PM与DE的交点，连接 是边长为2的正三角形，点E,F分别是棱 NF,求证：NF∥CM. CC,BB,上的点，点M是线段AC上的动 点，EC=2FB=2,当点M在何位置时，BM∥ 平面AEF? 图11-3-28 图11-3-30 学(85 高中数学必修第四册人教B版 总结：利用面面平行的性质定理判断 例5如图，已知四 两直线平行的步骤： 棱锥P-ABCD中，AB∥ (1)先找两个平面，使这两个平面分 CD,O,M分别是CD,PC 别经过这两条直线中的一条.(2)判定这 的中点，PO⊥底面ABCD, 图11-3-32 两个平面平行（此条件有时题目会直接给 且PO=OD=DA=AB=BC. 出)·(3)再找一个平面，使这两条直线都 (1)求证：PA∥平面OBM 在这个平面上.(4)由定理得出结论 (2)若PO=2,求三棱锥M-PAB的体积 分析：(1)可证OM∥PD,由线面平 要点2线面平行、面面平行的综合 应用 行的判定可得OM∥平面PAD,OB∥平面 PAD,根据面面平行的判定和性质可证 思考2线线、线面、面面间的平行 PA∥平面OBM.(2)由VM-PAB=VPHB=VPARC 关系的判定和性质之间有着怎样的联系？ 可求三棱锥M-PAB的体积」 例4已知平面x∥B,点P为平面a、 平面B外一点，过点P的直线1与α，B分 变式训练5 别交于A,C,过P的直线m与，B分别 已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD, 交于B,D,且PA=8,AC=10,PD=9,则 点E在PD上，且PE:ED=2:1,在棱PC上 BD的长为 是否存在一点F,使BF∥平面AEC?若存 分析：依据面面平行的性质定理可得 在，证明你的结论，并说出点F的位置；若 AB∥CD,利用相似比求解.但点P与两平 不存在，请说明理由。 面位置关系不确定，所得图形不同. D变式训练④ 如图，平面∥B∥y,两条直线l,m 分别与平面a,B,y相交于点A,B,C与 D.R,E已知An6,-号，求AC 图11-3-31 86)学 第十一章立体几何初步 总结(1)在遇到线面平行时，常需 作出过已知直线与已知平面相交的辅助平 面，以便运用线面平行的性质。 (2)要灵活应用线线平行、线面平行 和面面平行的相互联系、相互转化.在解决 立体几何中的平行问题时，一般都要用到 平行关系的转化，转化思想是解决这类问 题的最有效的方法. 数学文化 例我国古代数学名著《九章算术》对 立体几何也有深入的研究，从其中的一些数 学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角 三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳 马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面 的四棱锥。 现有一如图所示的“堑 堵”即三棱柱ABC-ABC, 平面α过“堑堵”即三棱柱 ABC-A B,C1的棱BB1且与 图11-3-33 “阳马”即四棱锥B-AACC 的底面AACC,平行，平面B过“堑堵”，即 三棱柱ABC-AB,C1的棱AA1,且B∩a=m, 则m与CC的位置关系如何？ 分析：可证m∥BB1,m∥AA1,可证m 与CC平行. 学(87N 高中数学必修第四册人教B版 数学文化 例解：BC与平面PAD平行，理由如下：在矩形 ABCD中，BC∥AD.BC平面PAD,ADC平面PAD, .BC∥平面PAD. 第2课时直线与平面平行的性质定理 要点精析 例1平行四边形【解析】AB∥a,平面ABC∩a=EG, ABC平面ABC,.EG∥AB.同理FH∥AB,.EG∥FH.又 .CD∥a,平面BCD∩a=GH,CDC平面BCD,.GH∥CD 同理EF∥CD,.GH∥EF,∴.四边形EFHG是平行四边形. 变式训练1证明：：AB∥平面MWPQ,平面ABC∩平面 MWPO=MN,且ABC平面ABC,.由线面平行的性质定理 知，AB∥MN.同理AB∥PO,MN∥PQ.同理，可得MQ∥ WP.·.四边形MWP?是平行四边形 例22Y2a【解析】MN∥平面AC,平面PMNQO平 3 面AC=PQ,MWC平面PQWM,MN∥PQ.连接AC,AC, 根据平行直线的传递性得到PQ/AC,易知DP-DQ=,故 PQ=VPD4DO=V2 DP-2V2 a 3 变式训练2解：.：长方体ABCD-ABCD1的底面ABCD是 正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，∴AD=1, AA=4.如图所示，连接AC与BD交于点O,连接PO,在 棱AA1上取PQ=AP=1,连接QC,AC1,则OP∥CQ,且 OP=QC,EF∥平面PBD,且EFC D C 平面AACC,平面AACC∩平面 y BPD=OP,∴EF∥OP,.EF∥QC又 QE∥CF,四边形QEFC是平行四 边形，.EF=QC=2OP.在直角△AP0 中，4Pl,A0=AG=Y2 2 V2-,2x 2 2 变式训练2答图 =V6. 例3证明：如图，连接MO..·四 边形ABCD是平行四边形，·.O是 AC的中点.又：M是PC的中点， .AP∥OM又.APt平面BDM, ---0、 OMC平面BDM,.AP∥平面BDM. 又.APC平面APGH,平面 例3答图 46 APGH∩平面BDM=GH,.·AP∥GH. 变式训练3证明：点E,F,G,H为空间四边形边AB, BC,CD,DA上的点，∴.直线EH￠平面BCD,直线FGC 平面BCD.又EH∥G,·直线EF∥平面BCD.又.EHC平 面ABD且平面ABD∩平面BCD=BD,·.EH∥BD 数学文化 例解：BC与PE平行.理由如下：在矩形ABCD中， BC∥AD..BC￠平面PAD,ADC平面PAD,.BC∥平面 PAD.又BCC平面PBC,平面PBC∩平面PAD=PE, ∴.BC∥PE 11.3.3平面与平面平行 第1课时平面与平面平行的判定定理 要点精析 例1解：(1)平面α内的两条相交直线分别与平面B平 行才可以，故该命题错误. (2)平面α内有无数条直线至少要有两条相交直线分 别与平面B平行才可以，故该命题错误. (3)同一平面内不平行的两条直线一定相交，由面面 平行的判定定理知该命题正确， (4)如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个 平面，那么一定存在两条相交直线都平行于另一个平面， 由面面平行的判定定理知该命题正确. (5)如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面， 不能保证存在两条相交直线都平行于另一个平面，两平面 可以相交，故该命题错误 变式训练1(1)V(2)×(3)× 例2证明：在正方体ABCD-AB,CD,中，AD∠B,C,: 四边形ABC1D是平行四边形，∴AB∥CD又.CDC平面 CBD,AB￠平面CBD.∴AB1∥平面CBD同理BD∥平面 CBD.又.AB1∩B1D=B1,AB1C平面ABD1,B1DC平面ABD1, .平面ABD,∥平面CBD 例2答图 变式训练2AB 例3证明：如图，连接BC与CB1交于点O,连接OD. 四边形BCCB1为平行四边形，.O为BC中点，在△ABC 中，又D为AB中点，OD∥AC,又ODC平面CDB, AC平面CDB1,AC1∥平面CDB.D,P分别为棱BA, BA1的中点，AD∥PB1且AD=PB,.四边形ADBP为平 行四边形，AP∥DB1.又DB,C平面CDB1,API平面 CDB,AP∥平面CDB,AC,∩AP=A,AC,C平面CPA, APC平面CPA,.平面CPA∥平面CDB A D 例3答图 变式训练3证明：E,G分别是PC,BC的中点， EG∥PB.又.EG丈平面PAB,PBC平面PAB,.EG∥平 面PAB..E,F分别是PC,PD的中点，.EF∥CD.又 AB∥CD,EF∥AB.EFt平面PAB,ABC平面PAB, .EF∥平面PAB.又EF∩EG=E,EFC平面EFG,EGC平 面EFG,·.平面PAB∥平面EFG. 例4(1)证明：E,G分别是BC,AD的中点，且四边 形ABCD为平行四边形，.AG=CE,AG∥CE,.四边形 AECG为平行四边形，.AE∥CG.AE￠平面PCG,CGC平 面PCG,AE∥平面PCG.又E,F分别是BC,BP的中点， .EF∥PC.而PCC平面PCG,EF丈平面PCG,EF∥平面 PCG.又AE∩EF=E,EFC平面AEF,AEC平面AEF,∴. 平面PCG∥平面AEF (2)解：在线段BD上存在一点H,H为AE与BM交 点，使FH∥平面PCG,理由如下：设AE,GC与BD分别 交于点H,M,连接H,PM,△BMC中E为BC的中点， AE∥CG,则H是BM的中点，又F是PB的中点， FH∥PM.PMC平面PCG,FH￠平面PCG,∴FH∥平面 PCG. 变式训练4证明：(1)：G,H分别是AB1,AC的中 点，.GH是△AB1C1的中位线，.GH∥B1C.又B1C1∥ BC,GH∥BC,B,C,H,G四点共面. (2)E,F分别是AB,AC的中点，EF∥BC.EFt 平面BCHG,BCC平面BCHG,∴.EF∥平面BCHG..AG∥ EB,AG=EB,.四边形AEBG是平行四边形，AE∥GB. AE丈平面BCHG,GBC平面BCHG,∴AE∥平面BCHG AE∩EF=E,AEC平面AEF,EFC平面AEF,.平面 EFA,∥平面BCHG. 参考答案⊙ 例5Y7【解析】如图，连接 D DA,AC,DC,E,F,G分别为 AB,BC,CD1的中点，AC∥EF, EF￠平面ACD,则EF∥平面 A ACD.EG∥AD1,∴.同理得EG∥ 例5答图 平面ACD.又EF∩EG=E,得平 面ACD∥平面EFG,·点P在直线AC上，则D,与满足题 意的P构成的平面截正方体的截面为△ACD1,AB=V3, AD=DD=1,在△ACD1中，有AD=V2,AC=2,CD=2. .5.-jxV3xV2--V7 27 2 变式训练5证明：：PM:MA=BW:ND=PQ:QD,.MQ∥ AD,NQ∥BP又，BPC平面PBC,NQ￠平面PBC .NQ∥平面PBC.四边形ABCD为平行四边形，.BC∥ AD,.MQ∥BC.又BCC平面PBC,MQ￠平面PBC, .MQ∥平面PBC.又MOnNO=Q,平面MNQ∥平面 PBC. 数学文化 例解：PQ∥EB且PQ=EB,·.四边形PEBQ为平行 四边形，PE∥QB.而BQC平面QBC,PE￠平面QBC, PE∥平面QBC.:O为矩形ABCD中心，E为边AB的中 点，连接AC,AO=OC,AE=EB,OE∥CB,同理可证 OE∥平面QBC.又.PE∩EO=E,PE,E0C平面PE0,∴. 平面PEO∥平面OBC.∴截面与平面QBC平行. 第2课时平面与平面平行的性质定理 要点精析 例1解：(1)正确（可以作为平面与平面平行的性质应用）· (2)不正确.两个平面平行，..分别在两个平面内的 两条直线无公共点，它们平行或异面 (3)正确..两个平面平行，一定存在与这两个平面同 时相交的平面，这两条交线就是满足条件的直线 (4)正确.·两个平面平行，·.这两个平面无公共点， 其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，.它 们平行. 变式训练1(1)×(2)V(3)×(4)V 例2证明：.·三棱台中EF∥BC,H为BC的中点，2DE= AB,.EF∥BH且EF=BH,.∴.四边形EFHB为平行四边形， ∴.FH∥EB.又，FHC平面FGH,BE￠平面FGH,,BE∥平 面FGH.同理可证AB∥平面FGH,又AB∩BE=B,BEC 47 N 高中数学必修第四册人教B版 平面ABED,ABC平面ABED,∴.平面ABED∥平面FGH. 又BDC平面ABED,.BD∥平面FGH. 变式训练2证明：D,E分别是PA,PB的中点， DE∥AB.又DE￠平面ABC,ABC平面ABC,DE∥平 面ABC,同理DF∥平面ABC,且DE∩DF=D,DE,DFC 平面DEF,·.平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面 DEF-NF,平面PCMO平面ABC=CM,.NF∥CM. 例3解：.·平面ABD∥平面GEF,平面A1CCA∩平面 ABD=AD,平面AC,CA∩平面GEF=GE,.由面面平行的 性质定理，可得AD∥GE,∴.△ADC∽△EGA.又D为 CC的中点，E为AG的中点，六荒=品行即 A6=号cD=}×2CG}44,由M,G=2AM,得m=8, m的值为8. 变式训练3解：如图，取EC的中 点P,AC的中点Q,连接PQ,PB, BQ,则PQ∥AE.EC=2FB=2, A P! .PE=BF.四边形BFEP为平行四 边形，PB∥EF又AE,EFC平 面AEF,PQ,PB平面AEF, A B .·PO∥平面AEF,PB∥平面AEF 变式训练3答图 又POOPB=-P,PQ,PBC平面PBQ,∴.平面PBQ∥平面 AEF又BQC平面PBQ,.BQ∥平面AEF故点Q即为所求 的点M,即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF 例45或45【解析】①当点P在两平面同侧时，：AC∩ BD=P,.经过直线AC与BD可确定平面PCD.aB,an 平面PCD=AB,Bn平面PCD=CD,AB∥CD.A=PS AC BD' 即8=9-BD 10 BD.BD=5. 图 图2 例4答图 ②当点P在两平面之间时，同理可证AB∥CD,:. PC =佛，即0g=0B0=45综上所述，B0=5或45 10-8-9 48 变式训练4解：由题图，可知DE=AB→AC=DEAB= DF AC DE 多*615 例5(1)证明：在△PCD中， O是CD的中点，M是P心的中 点，.OM∥PD.又.PDC平面 D PAD,OMt平面PAD,.OM∥ 4 B 平面PAD.AB∥CD且AB=1CD= 2 例5答图 DO,.四边形ABOD是平行四边形，.OB∥AD.ADC平 面PAD,OB平面PAD,.OB∥平面PAD,而OM∩OB= O,.平面OBM∥平面PAD.又PAC平面PAD,PA∥平 面OBM. (2)解：连接MA,AC,由AB=BC=CO=OB=2, △ABC的面积S=V3.又.PO=2,.三棱锥PABC的体积 为m=写x灯m2=gxV3x2-2y,Vam=V写.故 三棱锥L-PAB的体积为V==VR-VK=2Y了 3 1V3-1V3 3 3 变式训练5解：存在点F,证明如下：当F为PC的中点 时，BF∥平面AEC.证明如下：如图，连接BD交AC于点 O,连接OE,过B点作OE的平行线交PD于点G,过点G 作GF∥CE,交PC于点F,连接BFBG∥OE,BG￠平面 AEC,OEC平面AEC,:BG∥平面AEC.同理，GF∥平面 AEC.又.BG∩GF=G..平面BGF∥平面AEC.∴.BF∥平面 AEC.BG∥OE,O是BD的中点，.E是GD的中点.又 PE:ED=2:1,.G是PE的中点.而GF∥CE,.F为PC的 中点.综上，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC Be- 变式训练5答图 数学文化 例解：.a∥平面AACC1,且平面B∩a=m,B∩平面 AACC=AA1,m∥AA1,而AA1∥CC,m∥CC