8.2.4 三角恒等变换的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换。 8.2.4三角恒等变换的应用 第1课时半角的正弦、余弦和正切 效果评价 c告 D.-3 1.已知cou=5,Q∈，2m,则 6若c0-专，&是第三象限角，则 sing等于() 1+tan 2等于(） 1-tan a A.V10 B.-V10 2 5 5 A.-2 B.2 C.2V6 D.2V5 5 5 C.2 D.-2 2设a是第二象限角，ana=专，且 7.设5m<0c6m,cos号a,则sin4的值 sin号<cos号，则cos号等于（) 等于 2 A.-V5 B.V5 8在△4BC中，若cos1=},则sin 2 5 5 +cos2A= c D.-3 5 g已知a是第三象限加，sna=.则 3.若sin74°=m,则cos8°=() tanc的值是 A.V B.V 10.已知0<号m,cosg-语若 cViw D.V am克，分别求： 4已知co0-号.且180P<8270,则 (I)sin号和cos号的值： tan?的值为() (2)cosx及coSy的值. A.2 B.-2 c D日 5.已知tan9-3,则cos0等于() A B-青 练(61 N 高中数学必修第三册人教B版 15.如图所示，要把半径为R的半圆形 提升练习 木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 11.已知sin0=m-3 m+3,cs0=42,0e 的周长最大？ m+5 ,π，则ian号等于(） T 0 A.-3 B.5 第15题图 C-5或} D.-}或5 3 12.若ae(0,T),且3sina+2cosa=2, 则a如受等于( ) A号 B. 2 C.V3 2 D.3 13.sinda.cos2x COSx 1+cos4x 1+cos2x 1+cosx 14.设0≤a≤T,不等式8x2-8 xsina+ cos2a≥0对任意x∈R恒成立，则a的取值 范围是 (62)练 第八章向量的数量积与三角恒等变换 第2课时 三角函数的积化和差与和差化积 效果评价 7.sin+e小cosB化为和差的结 4 1.cos15sin105°=() 果是 A原+号 8. sin35°+sin25o B.V31 c0s35°+c0s25° 4 42 9.求下列各式的值： C.V3+1 D.V3-1 2 2 (1)sin54°-sinl8°； 2.sin20°+sin40°-sin80°的值为（ (2)cos146°+cos94°+2cos47°c0s73°. A.0 B.V3 C.2 D.1 3.函数fa)-2sin号sina-2的最大值 等于() A.2sin2 B.-2sin2a C.2cos2a D.-2cos2a 4.将cos2x-siny化为积的形式，结果是 ( 10.在△ABC中，若B=30°，求cosA sinC A.-sin(x+y)sin(x-y) 的取值范围 B.cos(x+y)cos(x-y) C.sin(x+y)cos(x-y) D.-cos(x+y)sin(x-y) 5.cosrcosy+sinsin=sin2ssin2y- 子，则sin(+）归( ) B.-2 3 c D 6.cos2-cos3a化为积的形式为 练(63 N 高中数学必修第三册人教B版 提升练习 15.已知fx)=- 1 Sin Sr 2 ,x∈(0，T). 2sin 11.c0s40°+cos60°+c0s80°+c0s160°= 2 () (1)将f(x)表示成cosx的多项式； A B.2 (2)求f(x)的最小值. C.V3 2 D.-V3 2 12已知a8=7,且E009g=g, 则cos(ax+B)= A B. 9 c号 D-号 13.函数)=c0s+写cos+罗)的最大 值是 14. 1 +cos80° sin40°sin80° (64)练N 高中数学必修第三册人教B版 -V2-V4cos4=V2+2cos4-V4cos-2c0s$ 15告【解析】原式 sin+2r2 sin()cos军+y cos)cos) 2sin小sim牙jos子w音且0er<骨六g xe(年，受)，sim平上V1-cos牙=将原式 2×1224 13-131 16解：（02co2Y5sin2reo2r+V3n2r= 2 V3sin2-cos2x-sin (2)fa)=sin2a石)=7,2a是第-象限角，即2km< 2a<+2km(keZ),2km-石<2a-石<号+2 kr (keZ), cos2a-君-4y9，sn2a=sm[2a-君+g] sn2w-君)oo2a-君小sin君=×V3+4y 2 8.2.4三角恒等变换的应用 第1课时半角的正弦、余弦和正切 效果评价 1.A【解析】ae(受，2a,受e(平，，sm号 =V9m-D故选A 5 2.A【解析】a是第二象限角，且sin受<cos号， 号为第三象限角，cos号<0.ana=-号，cosa=子， cos号√1+-5故选A 2 5 3.C【解析】sin74=m=c0s16°，cos8°=+cgsI6 2 =V”.故选C 4.B【解析】方法一：180<0<270°，90<9<135°， 1/-3 /1-cos0 5 =-2.故选B. 3 1+-5 方法二：.180°<0<270°，∴.sin0<0,∴.sin0=-V1-cos0 88 4 5 -=-2.故选B. 12-1+cos0 5.B【解析】cos: coc号sim是1-ar号 2 20sim201tam㎡01+325· 故选B. 6A【解析】a是第三象限角，co0=号，sina=子。 4 1+ 1+tan a 1 2 cos a 2 cos a+sina 2 2=1+sina= 5 1-tan a sin cos号--sin coso- 2 1- 2 cos号 故选A. ,-√【解折】由m? 2 ,.0e(5, 4 8.-号【解析】sinB+ocs24=1-c0sB4C+2cosA 2 2 1上14l+2cos-1e- 2 9.-号【解析】a是第三象限角，2kT+<a<2kπ+ ,m+受<受m+,am受<-1.sin 21am号 1+tan2 a 2 芳.整理得12am受+25an受+12=0，am受=-号或 m受=子（舍去）. 2tan 10.解：(1).tanx 2x34且为悦 1-am号1-(2 角，Cos=1一= V1+tan'x 005=2c0s25-1=3, 2 =号，c0s5= 2Y5,而an之 吃1 5 25 (2)由题知0<m,而cosy-)高得到y-x为锐 角，nGV是则m6号 由（知am=号，cos=号，amy=给y为纯角， .'.COSy=-- 1=33 V1+tan'y 65 提升练习 1B锦折】由o1,0答月 1,解得m=0或m=8.当m=0时，sin<0,不符合受<0m, m0舍去，故m8.此时sin9=音、cos0-一吕.m号 1唱放法B sin 5 13 12.D【解析】ae(0,m),且3sina+20sa=6sin号 cos受+22cos号-l-2,6m号cos号+4eo号=4，即 2 3sin a cos a +2cos2a 3tan+2 3sin a cos a+2cos?a=2, 2 2 2 2 2 sin tan+ -2,解得tan号=弓或an受=0（舍去），故选D, 13.an之【解析】原式=2sn2xcs2.co2·cosx- 2cos22x 1+cos2x 1+cosx sin2x cosx2sinxcosx.cosx 1+cos2x 1+cosx sin-tan 1+cosx 1+cosx 14[0,石]U[g,m]【折】由题意知，4(8 8sing) 4x8xcos2a≤0，即2sina-cos2a≤0,4sina≤l,-7≤ sina≤分0≤a≤，0≤a≤石或g≤a≤m 6 15.解：设∠AOB=Q,△OAB的周长为L,则AB=Rsina OB=Rcosa,..I=0A +A B+OB=R+Rsina+Rcosa=R(sina+cosa) +R=V2Rsin+晋+0ka<号，小牙<a+<,为 4 的最大值为V7R+R=(V7+)R,此时，a+牙=号，即当 a=平时，△0AB的周长最大. 第2课时三角函数的积化和差与和差化积 效果评价 1.A【解标】cos15°sin105°=1[sin(15°+105°)-sin(15° 2 -1051=号[sm120-sin-01=x罗+x1V4+ 4 子故选A 2.A【解析】原式-=2sin30°cos10°-sin80°=cos10°-sin80 =sin80°-sin80°-0.故选A. 3.A【解析】fx)=-2sin号sina-分）=-[(x-a] =cos(x-a)-cosa.当cos(x-a)=1时，fx)取得最大值1-cosa 参考答案。 =2sinQ.故选A. 2 4.B【解析】cosx-in-1Hg2-.1上cg2L=号(coe2r 2 2 +cos2y)=cos(x+y)cos(x-y).故选B. 5.A【解折】c0sc0sy45 in=3,cos-y)=号 .1 n2r4sn2=号，2 in(y)eos()=号，2ne }号n上子故选A 12 6.2sin59sing【解析】cos2a-cos3a=-2sin2a+30. 2 2 2 sin2a,=-2 iin-号-2n受sn受 2 7.cos(a6)+分m(a-B)【解折】原式=sn牙 in(-)c)sin). 2sin35+25°c0s35°，253° 8.V5【解析】原式= 3 2c0s354259c0s350-25 2 2 cos5°_=V3 V3cos5° 3 9.解：(1)sin54°-sinl8=2cos36sinl8° =2.2sinl89c0s18°cos36°=2sin36cos36°-sin72 2cos18° 2cos18° 2cos18 =0=7 (2)c0s146°+cos94°+2c0s47°cos73°=2c0s120°cos26°+2× 号eos12y4e0s26)-2x-7）0os26+-号）ho260-tws260+ (2+eos26=2 10.解：由题意，得cos4snC=2[sn4+G)-sn4-C] =7[sm(m-B)-m4-C)1=-号血(4-C).8=30. -150<4-C<150,-1≤sin(4-C)≤1,4≤4 分in4-G)≤子cos4snc的取值范周是4，子引 提升练习 1.A【解析】原式=cos60cos80°+c040°c0s160=+ c0s80°+2cos100°cos60°= +c0s80°-c0s80=7.故选A 12.A【解析】cosatce0s4-2cosa9cosa3-2cos2mc0s2 2 2 =-cos圯-1 y9-号cosg9=ma8)=2oeag8-1 2 89 N 高中数学必修第三册人教B版 2x)1=故选A 13.子【解析】由题意知，)=2cos(2xm)+cos号) 7co2r4eos号)=}-7e0s2.-1≤cos2x≤1，yn 子 14.V3【解析】1 ,cos80 _2cos40 cos80 sin40°sin80°-2sin40tos40°sin80° =c0s40°+(c0s40+cos80)=cos40°+2c0s60°cos20 sin80° sin80° =c0s40+c0s20°-2c0s30rcos10°=-2c0s30°=V3】 cosl0° cosl0° sn-sin号2ossin 15.解：(1)f(x)= 2sin号 290号 -2cose0s0s2x+cos-2cos4cosr-l. (2)9f到-2eos+4广-号且-1kosc1,当o -名时，)诹得最小值号 阶段性练习卷（七） 1.B【解析】角α的终边经过点P(3,-4),由任 度角的角函数的定义得专：m+子3厂 =故选B. 2.A【解析】由题可知c0sa=V5,cos2=2cosa- 31 1=2xY月-1=g故选A 3 3.C【解析】由余弦的二倍角公式得cos2a=2cos2a-1= g故选C 4.A【解析】sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin(56°-26°)= sin30=故选A 5.D【解析】由1+cos2a=3,得1+cos2a=,2cosa= sin2a sin2a 2sinacosa cosa-3,tana=sina=.故选D. sino cosa 3 6.B【解析】an10°+tan20o =tan(10°+20°)=tan30°= 1-tanl0°tan20° 3故选B. 3 7.ABD【解析】cos215°-sin215°=cos(15°+15°)=cos30°= Y，故A正确：smo号=n牙=V,故B正 1 2 90 确：sin40+Yc0s40=os60°sin40°+sin60co40= 2 sin(60°+40°)=sinl00°=sin80°，故C错误；tanl5°=-tan(45°- 30°)=，tan45°-tan30° 1-V3 1+tan45tan30°= 3=2-V3,故D正确.故选 1+V3 3 ABD. 8.ABD【解析】.'sin(a+B)cosB-cos(a+B)sinB=0,∴.sin= 0,.'.sin (a+23)+sin (a-28)=sinacos28+cosasin28+sinacos23- cososin2B=0.故选ABD. 9.4【解折】sin15rcos15=号sin30r=4 41 10.号【解析】cos24cos36°-c0s66sin36°=sin66c0s36°- cos62sn361=sin(66-306)sin30-7 11.-1【解析】由于tana,tanS是方程x2-6x+7=0的两 个根，tana+tanB6,tanctanB=7,tan(aB)=tancHtanp 1-tangtanB 6=1. - 12.号【解折】血a+302sa+60） 2cosa =sinacos30°+c0 ssin30°+cosocos60°-sinasin60° 2cosa 1 V3 sing+2 cosa+cose-v23 sinc I 2cosa -2 13.解：()f(x)=V2cs-,·f石)= V2cos-石-B)=V2os-平)=V2cos年=l. (2)co0=号，0e(,2m,则sn=-号， os20-2ws0-12x(号广-13· sn202in吹o2X个号×号-若 f120+号）=V2cos26+4】 =V2|cos2cos平-sin2asin年 =v×3x-x竖 14.解：(1)f(x)=(cosx-sim2x)(cos2x+sin㎡x)-sin2x= cos2x-sin2xe-V2sim2x-平由-V2sin2x-平）-2 2 得sin2x-晋)=7,2-年-2m+石，keZ或2-牙= 2m+,eZ、解得xm+贺，keZ或m+。