11.3.2 直线与平面平行-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

是梯形.在△A'AN和△CCM中，：∠A'AN=∠C'CM=90°， A'A=C'C=2a,AN=CM=)a,△A'AN≌△C'CM.4'N CM..四边形MNA'C是等腰梯形 (2)证明：.MW∥A'C,又ND∥A'D',.∠DNM与 ∠D'A'C相等或互补.而∠DNM与∠D'A'C均是直角三角 形的一个锐角，.∠DNM=∠D'A'C. 变式训练1B 例2证明：可以从异面直线的反面出发，利用反证法导 出矛盾.假设MW和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同 一平面内，此平面设为心 M,Pea,M,Pea,∴.aCa .O∈a,N∈a且O∈b,N∈b,.bCa 同理cCa,∴a,b,c共面于a,与a,b,c不共面矛 盾..MN,PQ是异面直线. 变式训练2(1)×(2)×(3)V/ 例3ABC【解析】：BC中点为N,连接MW,PW.在 △MPW中，MP<MW+PW,由中位线定理，易知AC=2MW且 BD=2NP,MP<号(AC+BD),故A正确；根据等角定理， 得∠QME=∠CBD,故B正确；由等角定理，知∠QME= ∠CBD,∠MEQ=∠BCD,.△BCD∽△MEQ,故C正确； 由三角形的中位线定理，知M0L}BD,NPL}BD, 2 :MO-NP,.四边形MNPQ为平行四边形，当AC=BD 时，它是菱形，但不可能是梯形，故D不正确.故选ABC 变式训练3B 数学文化 例BD【解析】选项A中，GH∥MN,因此，GH与 MW共面.选项B中，G,H,N三点共面，但M平面 GHN,因此直线GH与MW异面.选项C中，连接MG, GM∥HN,因此，GH与MW共面.选项D中，G,M,N三 点共面，但H平面GMW,.GH与MN异面.故选BD. 11.3.2直线与平面平行 第1课时直线与平面平行的判定定理 要点精析 例1解：(I)由于AB∥A'B',ABt平面A'BC'D',A'B C平面A'BCD',AB∥平面A'B'CD'.同理，证得AB∥ 平面DCC'D'. (2)由于AA'∥BB',AA'平面BCCB',BB'C平面 参考答案⊙ BCCB,.·AA'∥平面BCCB.同理，证得AA'∥平面DCCD' (3)由于AD∥A'D',ADI平面A'B'CD',A'DC平 面A'B'CD',AD∥平面A'B'CD'.同理，证得AD∥平面 BCC'B'. 变式训练1A 例2证明：取DB,的中点O 连接OF,OB.F为CD1的中 点，0F/BG,且0F=B,G.又 BE//B.C.BE-7B.C..OF/ BE且OF=BE,.四边形OFEB 是平行四边形，EF∥BO. 例2答图 EF4平面BDD,B,BOC平面BDDB,∴EF∥平面 BDD B. 变式训练2证明：如图，取PD的 中点G,连接GA,GN:G,N分别 是△PDC的边PD,PC的中点， :GN∥DC,GN=DC:M为平行四 2 边形ABCD的边AB的中点，.·AME M DC.AM//DC.AM/GN.AM- 变式训练2答图 GN,∴.四边形AMWG为平行四边形，∴.MW∥AG.又.MW￠平 面PAD,AGC平面PAD,.·MN∥平面PAD. 例3证明：如图，连接AD, .D为SC的中点，G为△SAC D 的重心，点G一定在AD上 且AC=2.E为AB的中点， AD-31 E :AE=AB.又AF=AB, 例3答图 3 小能-号小6-能则GF∥DEGc平面G 2 DEt平面SGF,∴DE∥平面SGF 变式训练3解：当点F为棱 D BB,的中点时，此时直线AB与 A 平面EFC1平行 B 证明如下：点E,F分别为 棱AB1和BB1的中点，.EF∥ D AB.AB平面EFC1,EFC平 面EFC,AB∥平面EFC 变式训练3答图 45 N 高中数学必修第四册人教B版 数学文化 例解：BC与平面PAD平行，理由如下：在矩形 ABCD中，BC∥AD.BC平面PAD,ADC平面PAD, .BC∥平面PAD. 第2课时直线与平面平行的性质定理 要点精析 例1平行四边形【解析】AB∥a,平面ABC∩a=EG, ABC平面ABC,.EG∥AB.同理FH∥AB,.EG∥FH.又 .CD∥a,平面BCD∩a=GH,CDC平面BCD,.GH∥CD 同理EF∥CD,.GH∥EF,∴.四边形EFHG是平行四边形. 变式训练1证明：：AB∥平面MWPQ,平面ABC∩平面 MWPO=MN,且ABC平面ABC,.由线面平行的性质定理 知，AB∥MN.同理AB∥PO,MN∥PQ.同理，可得MQ∥ WP.·.四边形MWP?是平行四边形 例22Y2a【解析】MN∥平面AC,平面PMNQO平 3 面AC=PQ,MWC平面PQWM,MN∥PQ.连接AC,AC, 根据平行直线的传递性得到PQ/AC,易知DP-DQ=,故 PQ=VPD4DO=V2 DP-2V2 a 3 变式训练2解：.：长方体ABCD-ABCD1的底面ABCD是 正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，∴AD=1, AA=4.如图所示，连接AC与BD交于点O,连接PO,在 棱AA1上取PQ=AP=1,连接QC,AC1,则OP∥CQ,且 OP=QC,EF∥平面PBD,且EFC D C 平面AACC,平面AACC∩平面 y BPD=OP,∴EF∥OP,.EF∥QC又 QE∥CF,四边形QEFC是平行四 边形，.EF=QC=2OP.在直角△AP0 中，4Pl,A0=AG=Y2 2 V2-,2x 2 2 变式训练2答图 =V6. 例3证明：如图，连接MO..·四 边形ABCD是平行四边形，·.O是 AC的中点.又：M是PC的中点， .AP∥OM又.APt平面BDM, ---0、 OMC平面BDM,.AP∥平面BDM. 又.APC平面APGH,平面 例3答图 46 APGH∩平面BDM=GH,.·AP∥GH. 变式训练3证明：点E,F,G,H为空间四边形边AB, BC,CD,DA上的点，∴.直线EH￠平面BCD,直线FGC 平面BCD.又EH∥G,·直线EF∥平面BCD.又.EHC平 面ABD且平面ABD∩平面BCD=BD,·.EH∥BD 数学文化 例解：BC与PE平行.理由如下：在矩形ABCD中， BC∥AD..BC￠平面PAD,ADC平面PAD,.BC∥平面 PAD.又BCC平面PBC,平面PBC∩平面PAD=PE, ∴.BC∥PE 11.3.3平面与平面平行 第1课时平面与平面平行的判定定理 要点精析 例1解：(1)平面α内的两条相交直线分别与平面B平 行才可以，故该命题错误. (2)平面α内有无数条直线至少要有两条相交直线分 别与平面B平行才可以，故该命题错误. (3)同一平面内不平行的两条直线一定相交，由面面 平行的判定定理知该命题正确， (4)如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个 平面，那么一定存在两条相交直线都平行于另一个平面， 由面面平行的判定定理知该命题正确. (5)如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面， 不能保证存在两条相交直线都平行于另一个平面，两平面 可以相交，故该命题错误 变式训练1(1)V(2)×(3)× 例2证明：在正方体ABCD-AB,CD,中，AD∠B,C,: 四边形ABC1D是平行四边形，∴AB∥CD又.CDC平面 CBD,AB￠平面CBD.∴AB1∥平面CBD同理BD∥平面 CBD.又.AB1∩B1D=B1,AB1C平面ABD1,B1DC平面ABD1, .平面ABD,∥平面CBD 例2答图 变式训练2AB 例3证明：如图，连接BC与CB1交于点O,连接OD. 四边形BCCB1为平行四边形，.O为BC中点，在△ABC第十一章立体几何初步 11.3.2 直线与平面平行 第1课时直线与平面平行的判定定理 (2)求与AA'平行的平面 学习目标 (3)求与AD平行的平面. 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会 分析：先在长方体中确定线线平行， 判断直线与平面的位置关系， 然后再根据线面平行的判定定理找到与相 2.学会用图形语言、符号语言表示三种 应直线平行的平面. 位置关系， 3.掌握直线与平面平行的判定定理，并 能利用两个定理解决空间中的平行关系问题. 要点精析 川要点直线与平面平行的判定定理 文字语言：平面外的一条直线与平面内 的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号语言：a丈x,bC,a∥b→a∥ax. 图形语言： 思考如果一条直线与两个平行平面 中的一个平行，那么这条直线与另一平面 的位置关系是怎样的？ 变式训练1 例1如图，在长方体ABCD-A'B'CD' 的六个面所在的平面中 下列条件中能确定直线a与平面α平行 的是() A.a￠a,bCa,a∥b B.bC,a∥b C.bCa,cCa,a∥b,a∥c 图11-3-6 D.bCx,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b, (1)求与AB平行的平面. :且AC=BD 学 73 N 高中数学必修第四册人教B版 例2如图，在正方体 例3如图，在三棱锥SABC中，已知 ABCD-ABCD1中，E,F分 △SAC是正三角形，G为△SAC的重心，D, 别是棱BC,CD1的中点.求 E分别为SC,AB的中点，F在AB上，且 证：EF∥平面BDDB. 图11-3-7 AF=】AB.求证：DE∥平面SGF 3 分析：“E,F是中点”这个条件很重 要，让人想到利用三角形的中位线实现平 D 行线的传递，再构造平行四边形来达到目的. E 图11-3-9 分析：三角形的重心是其三条中线的交 点，它的比例性质可以用来证明线线平行. B 变式训练2 如图，四边形ABCD是平行四边形，P 是平面ABCD外一点，M,N分别是AB, PC的中点.求证：MN∥平面PAD. 图11-3-8 (74)学 第十一章立体几何初步 变式训练3 数学文化 如图，已知正方体ABCD-AB,CD,点 例在《九章算术》中，将底面为长方 E是棱AB,的中点.在棱BB1上找一个点F,: 形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 使直线AB与平面EFC,平行并证明， 阳马.若四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA⊥ D內 矩形ABCD所在的平面（如图），则判断图 中BC与平面PAD的位置关系. 图11-3-10 图11-3-11 反思：证明直线与平面平行的两种方法： (1)定义法：证明直线与平面没有公 共，点，一般直接证明较为困难，往往借助 反证法来证明. (2)定理法：平面外一条直线与平面 内的一条直线平行. 学(75 N 高中数学必修第四册人教B版 第2课时」 直线与平面平行的性质定理 例1如图，已知A,B, 学习目标 C,D四点不共面，且AB∥a, 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会 CD∥a,AC∩a=E,AD∩a=F, 判断直线与平面的位置关系 BD∩a=H,BC∩a=G,则四边 2.学会用图形语言、符号语言表示三种 形EFHG的形状是 图11-3-12 位置关系 分析：见到“线面平行”这个已知条 3.掌握直线与平面平行的性质定理，并 件，要先过这条直线找一个过它的平面， 能利用两个定理解决空间中的平行关系问题. 然后再找该平面与已知平面的交线」 要点精析 B变式训练① 如图，用平行于四面体ABCD的一组对 川要点直线与平面平行的性质定理 棱AB,CD的平面截此四面体，求证：四边 文字语言：一条直线与一个平面平行，：形MNPQ是平行四边形. 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行. 释义：若一条直线与一个平面平行，这 条直线与平面内直线的位置关系不可能是相 交，所以，该直线与平面内直线的位置关系 还有两种，即平行或异面.怎样在平面内作 图11-3-13 一条直线与该直线平行呢？经过这条直线的 、 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线 平行. 符号语言：a∥ax,aCB,ax∩B=b→a∥b (即线面平行→线线平行)· 图形语言： B 应用线面平行性质定理的要诀：“见到 线面平行，先过这条直线作一个平面找交线” 思考运用线面平行的性质定理时， 应先确定什么？ 76)学 第十一章立体几何初步 例2如图，ABCD-ABCD1是棱长为a 例3如图，在四棱 的正方体，M,N分别是下底面的棱AB1, 锥P-ABCD中，底面ABCD BC的中点，P是上底面 是平行四边形，AC与BD 的棱AD上的一点，AP= 交于点O,M是PC的中 号，过P,M,N的平面交 点，在DM上取一点G, 图11-3-16 过G和AP作平面交平面BDM于GH. 上底面于PQ,Q在CD上， 图11-3-14 求证：AP∥GH. 则PQ= 分析：本题先从中点出发证明AP∥平 分析：首先发现直线MN平行于上底 面BDM,然后由线面平行→线线平行. 面，然后应用线面平行性质定理确定Q的 位置 变式训练② 如图，长方体ABCD-ABCD1的底面 ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为4 的正方形，E,F分别是侧棱AA1,CC1上的 动点，点P在棱AA1上，且AP=1,若EF∥ 平面PBD,求EF的长 B 图11-3-15 学(77 N 高中数学必修第四册人教B版 变式训练3 数学文化 空间四边形ABCD中，点E,F,G,H 例在《九章算术》中，将底面为长方 为边AB,BC,CD,DA上的点，且EH∥FG 形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳 求证：EH∥BD. 马.若四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA⊥矩形 ABCD所在的平面（如图），若平面PAD与 平面PBC相交于直线PE,则判断图中BC与 PE的位置关系. 图11-3-17 图11-3-18 78)学