11.3.1 平行直线与异面直线-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高中数学必修第四册人教B版 11.3空间中的平行关系 11.3.1 平行直线与异面直线 (2)求证：∠DNM=∠D'A'C'. 学习目标 分析：(1)利用平行线的传递性和三 1.掌握空间中两条直线平行的判定与： 角形中位线可以找到MN与A'C'的位置关 性质 系和数量关系.(2)由等角定理容易发现空 2.理解并掌握等角定理，并会应用. 间中所证两角相等， 3.理解异面直线的定义，会画两条异面 直线， 4.了解空间四边形的定义. 要点精析 川要点1平行直线与等角定理 (1)平行公理：过直线外一点有且只有 一条直线与已知直线平行. (2)平行线的传递性：平行于同一条直 线的两条直线互相平行.这一性质称为空间： 平行线的传递性 (3)等角定理：如果一个角的两边与另 一个角的两边分别对应平行，并且方向相 ⑧变式训练① 同，那么这两个角相等 思考1空间中如果两个角的两边分 如图，三棱柱ABC 别对应平行，这两个角具有什么关系？ ABC中，E,F,G分别为 例1如图，ABCDA'B'CD 棱AC1,BC1,BB的中点， 为长方体，底面是边长为a的 A 则∠EFG与∠ABC,( 正方形，高为2a,M,N分别 A.相等 图11-3-2 D 是CD和AD的中点. B.互补 (1)判断四边形MNA'C' 图11-3-1 C.相等或互补 的形状， D.大小关系不确定 70)学 第十一章立体几何初步 川要点2异面直线的判定 变式训练2 方法一：证明两条直线既不平行又不 判断题（正确的画“V”,错误的画 相交 “×”）. 方法二：重要结论：连接平面内一点与 (1)若aCa,bCB,则a,b是异面 平面外一点的直线，和这个平面内不经过此 直线 点的直线是异面直线： (2)若a与b异面，b与c异面，则a 用符号语言可表示为A 与c异面 ,B∈，Bl,lCa,则 (3)若a,b不同在任何一个平面内， AB与1是异面直线（如图）· 则a与b异面. 思考2判定两条直线是异面直线的 方法有哪些？ 川要点3空间四边形 例2如图，已知不 顺次连接不共面的四点A,B,C,D所 共面的直线a,b,c相交 构成的图形，叫作空间四边形.这四个点中 于点O,M,P是直线a 的各个点叫作空间四边形的顶点；所连接的 上两点，N,Q分别是b, 图11-3-3 相邻顶点间的线段叫作空间四边形的边；连 c上的点. 接不相邻的顶点的线段叫作空间四边形的对 求证：MN和PQ是异面直线， 角线， 思考3证明两条直线平行有哪三种 方法？ 例3 (多选题)如 图，在空间四边形ABCD 中，M,N,P,Q,E分 别是AB,BC,CD,AD, AC的中点，则下列说法 图11-3-4 中正确的是( A.MP<(AG+BD) B.∠QME=∠CBD 学(71 N 高中数学必修第四册人教B版 C.△BCD∽△MEQ 三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，在如 D.四边形MNPQ可能为菱形也可能为 :图所示的“堑堵”中，G,H,M,N分别是 梯形 该三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直 线GH,MN是异面直线的图形有() 变式训练③ 在空间四边形ABCD 中，M,N分别是对角线 AC,BD的中点，AB= CD=2,MN=V3,则异 A 面直线AB与CD所成角 为() 图11-3-5 A.30° B.60° C.90° D.120° 数学文化 D 例我国古代数学名著《九章算术》对 分析：排除图A,B中的共面直线， 立体几何也有深入的研究，从其中的一些数 再应用异面直线的判定定理来解决. 学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角 72)学N 高中数学必修第四册人教B版 面.(1)若a,b,c三线共点于0，如图1，.0生d,∴.经 过d与点0有且只有一个平面aA,B,C分别是d与a, b,c的交点，A,B,C三点在平面内.由基本事实2， 可知a,b,c都在平面a内，故a,b,c,d共面.(2)若 a,b,c无三线共点，如图2，a∩b=A,.经过a,b有且 仅有一个平面a,∴.B,C∈x.由基本事实2，可知cC.同 理，dC,从而a,b,c,d共面.综上所述，四条直线两 两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内. B D B Q 图1 图2 例2答图 变式训l练2解：已知a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C 求证：直线a,b,c,1共面. 证明：方法一：a∥b,∴.a,b确定一个平面a:ln a=A,l∩b=B,A∈a,B∈a,故lCa.又.a∥c,∴.a,c 确定一个平面B.同理可证lCB,.a∩B=-a且a∩B.:过 两条相交直线a,l有且只有一个平面，故α与B重合，即 直线a,b,c,l共面. 方法二：由方法一，得a,b,l共面a,也就是说b在 a,l确定的平面a内.同理可证c在a,l确定的平面B内 过a和l只能确定一个平面，.a,b,c,l共面. 例3解：如图，在平面AADD 内，延长DE,DA,DE与 DA不平行且共面，DE与DA D 必交于一点.设交点为P,则P∈ DE,P∈DA.又DEC平面 BEDF,DAC平面ABCD,.P∈ 平面BEDF,且P∈平面ABCD. 例3答图 又B为平面ABCD与平面BEDF的公共点，.连接PB, 则PB为平面BED,F和平面ABCD的交线！ 变式训练3解：如图，连 接EF并向两个方向延长， 分别交DA,DC的延长线于 点P,Q,连接DP,DQ 使得DP∩AA1=M,DQ∩ CC=N,连接EM,FW,则 五边形EMD NF即为所求截 变式训练3答图 面 44 例4证明：AB∩a=P,.P∈AB,P∈平面a.又.ABC 平面ABC,.P∈平面ABC..由基本事实3，可知点P在 平面ABC与平面a的交线上，同理可证Q,R也在平面 ABC与平面a的交线上.P,Q,R三点共线. 变式训练4证明：：MN OEF=Q,.Qe直线MN,Qe直 线EF又.M∈直线CD,N∈直线AB,CDC平面ABCD, ABC平面ABCD..M,N∈平面ABCD,MNC平面 ABCD..Q∈平面ABCD.同理，可得EFC平面ADDA: ∴.Q∈平面ADDA1.又.·平面ABCD∩平面ADDA1=AD, ∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线。 例5证明：如图，平面ABDn平面BCD=BD.DF:FC= DG:GA=1:2,E,H分别为BC,AB的中点，FG∥AC且 FG=AC,EH∥AC且EH=号AC,:EH∥FG,且四边形 EFGH是梯形，.GH,EF相交，设交点为O.HGC平面 ABD,O∈HG,.O∈平面ABD.EFC平面BCE,O∈EF, .O∈平面BCD.又.平面ABD∩平面BCD=BD,.O∈BD EF,GH,BD交于一点. 例5答图 变式训练5证明：.在梯形ABCD中，AD∥BC,AB, CD是梯形ABCD的两腰..AB,CD必定相交于一点.设 AB∩CD=M..ABCa,CDCB,M∈a,M∈B..∴M∈a∩B. 又.a∩B=L,MeL即AB,CD,I共点（相交于一点）. 数学文化 例解：自行车两个轮胎与地面接触点设为A,B,单 支撑点设为C,显然A,B,C三点不共线，根据平面基本 事实1，可知三点必平稳接触地面，而且操作更加简单. >"11.3空间中的平行关系 11.3.1平行直线与异面直线 要点精析 例1(I)解：连接AC.M,N分别是CD和AD的中点， :MNL)ACABCD-A'BCD为长方体，四边形ACCA 2 为矩形.4CLAC,MN业号AC,因边形M4'C 是梯形.在△A'AN和△CCM中，：∠A'AN=∠C'CM=90°， A'A=C'C=2a,AN=CM=)a,△A'AN≌△C'CM.4'N CM..四边形MNA'C是等腰梯形 (2)证明：.MW∥A'C,又ND∥A'D',.∠DNM与 ∠D'A'C相等或互补.而∠DNM与∠D'A'C均是直角三角 形的一个锐角，.∠DNM=∠D'A'C. 变式训练1B 例2证明：可以从异面直线的反面出发，利用反证法导 出矛盾.假设MW和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同 一平面内，此平面设为心 M,Pea,M,Pea,∴.aCa .O∈a,N∈a且O∈b,N∈b,.bCa 同理cCa,∴a,b,c共面于a,与a,b,c不共面矛 盾..MN,PQ是异面直线. 变式训练2(1)×(2)×(3)V/ 例3ABC【解析】：BC中点为N,连接MW,PW.在 △MPW中，MP<MW+PW,由中位线定理，易知AC=2MW且 BD=2NP,MP<号(AC+BD),故A正确；根据等角定理， 得∠QME=∠CBD,故B正确；由等角定理，知∠QME= ∠CBD,∠MEQ=∠BCD,.△BCD∽△MEQ,故C正确； 由三角形的中位线定理，知M0L}BD,NPL}BD, 2 :MO-NP,.四边形MNPQ为平行四边形，当AC=BD 时，它是菱形，但不可能是梯形，故D不正确.故选ABC 变式训练3B 数学文化 例BD【解析】选项A中，GH∥MN,因此，GH与 MW共面.选项B中，G,H,N三点共面，但M平面 GHN,因此直线GH与MW异面.选项C中，连接MG, GM∥HN,因此，GH与MW共面.选项D中，G,M,N三 点共面，但H平面GMW,.GH与MN异面.故选BD. 11.3.2直线与平面平行 第1课时直线与平面平行的判定定理 要点精析 例1解：(I)由于AB∥A'B',ABt平面A'BC'D',A'B C平面A'BCD',AB∥平面A'B'CD'.同理，证得AB∥ 平面DCC'D'. (2)由于AA'∥BB',AA'平面BCCB',BB'C平面 参考答案⊙ BCCB,.·AA'∥平面BCCB.同理，证得AA'∥平面DCCD' (3)由于AD∥A'D',ADI平面A'B'CD',A'DC平 面A'B'CD',AD∥平面A'B'CD'.同理，证得AD∥平面 BCC'B'. 变式训练1A 例2证明：取DB,的中点O 连接OF,OB.F为CD1的中 点，0F/BG,且0F=B,G.又 BE//B.C.BE-7B.C..OF/ BE且OF=BE,.四边形OFEB 是平行四边形，EF∥BO. 例2答图 EF4平面BDD,B,BOC平面BDDB,∴EF∥平面 BDD B. 变式训练2证明：如图，取PD的 中点G,连接GA,GN:G,N分别 是△PDC的边PD,PC的中点， :GN∥DC,GN=DC:M为平行四 2 边形ABCD的边AB的中点，.·AME M DC.AM//DC.AM/GN.AM- 变式训练2答图 GN,∴.四边形AMWG为平行四边形，∴.MW∥AG.又.MW￠平 面PAD,AGC平面PAD,.·MN∥平面PAD. 例3证明：如图，连接AD, .D为SC的中点，G为△SAC D 的重心，点G一定在AD上 且AC=2.E为AB的中点， AD-31 E :AE=AB.又AF=AB, 例3答图 3 小能-号小6-能则GF∥DEGc平面G 2 DEt平面SGF,∴DE∥平面SGF 变式训练3解：当点F为棱 D BB,的中点时，此时直线AB与 A 平面EFC1平行 B 证明如下：点E,F分别为 棱AB1和BB1的中点，.EF∥ D AB.AB平面EFC1,EFC平 面EFC,AB∥平面EFC 变式训练3答图 45