8.2.2 两角和与差的正弦、正切-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 (2②)由角a的终边过点P叶-号一专)得cou=号 由dnaB)=高得cos(a6)=±号由B=a48)a得cosg= cosa4 P)cow+sin(u46)sinu,cos=治度cosB号 651 10解：受a8<m,os(a-9)=-号，sina-B)=号 7<a8<2m,sn(a9)=-},cos(a8)=号00s2g= cos[(@+B)-(a-B)]=cos(@+B)cos(a-B)+sin(a+B)sin(a-B)= 专x号)+号x号=-l.“受<a<m,要a8<2,小 马<2<，28=m,8号 提升练习 11.A【解析】由cos(aB)m得cosacos3--sinosin,B=m.① 由tanctanB=2得sincsinB-2.② cosacosB 由①2得cosac08-m, .'.cos(a-B)=cosacosB+sinasinB= (sinasinB=-2m, -3m.故选A. 12.A【解析】函数的定义域为R,且f(x)=sinl26. sin(x-36°)+cos54°cos(x-36°)=cos54°cos(x-36°)+sin54°. sin(x-36°)=cos[54°-(x-36°)]=cos(90°-x)=sinx,故函数 f(x)为奇函数.故选A. 13.±号【解析】向量a=(2cos4,2sin4),b=(3cosB, 3sinB),..a.b=6cosAcosB +6sinAsinB=6cos(A -B),lal= V4cos2A+4sinA =2,Ibl=V9cosB+9sin2B =3..a,b 的夹角是号a~b=号-2x3x号3，ab=6cos(A- B)=3,c0s(A-B)=了A,B为锐角△ABC的两个内角， 0<A<受0eB<7-A-B<受，M-B=号或A-B= 14.V6+V2【解析】将点(-山，V3)代入函数 4 解析式，得sin←牙+e1,平w=受+2kπ，keZ0< p<m,e=3开.在R△A0C中，AC=l,0C=V了， ∠A0C=石.在Rt△B0D中，0D=3,BD=V3,LBOD= 石∠40B=0g,cos(0-g)c0sg-c0sg: 6 4 4 2 2 84 V6+V2 4 15.D【解析】设大正方形的边长为1，由于小正方形 与大正方形面积之比为9：25，可得小正方形的边长为号， :cosa-na=号，①sing-cog=号.②由图可得cosa=sip. sina0g.①x②得}=c0 n+ico-c0saco9g- sinasin=sin'B+cosB-cos(a-B)=1-cos(a-B),cos(a-B) =安故选D 16.解：(1)a=(sina,V5cosa-sina),b=(cos3- V5 sinB,cosB),.a.b=sina (cosB-V5 sing)+(V5 cosa- sina)cosB=V5 cosacosB-V 5 sinasinB=V5 cos(a+B)..a. b=2..V5cos(a+B)-2.cos(a+B)=2V5 5 【2)'0<a<8,sing=0,sae3V100<3 10 号，0<g<受，0<aB<m,0<2a+B<3.又cos(a8)= 2 2.sin(a+8)-Y5,60s(2a8)=osa+a481= 2V5 5 coeos()-sinasin() 8.2.2两角和与差的正弦、正切 第1课时两角和与差的正弦 效果评价 1.D2.B3.B4.A 5.D【解析】.A=180°-(B+C),.sinA=sin(B+C)= 2sinBcosC..sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,.'.sinBcosC= cosBsinC,.'.sinBcosC-cosBsinC=sin (B-C)=0,.'.B=C, △ABC为等腰三角形.故选D. 6.C【解折】0<a<受，0<a-k7,由coa= 5’ 得a=号由csa:7,相nag=G, 10, sin9=sina-(a-B)]=sinc0s(a-g)-c0asin(u-g)）=专× 语x将=50竖，景散选c 7.1【解标】原式=sin(45-18)+c0s45sin180 cos(45°-18°)-sin45°sinl8o sind5 cos1-c0s45 sin18co45sin1tn51. cos45°cosl8°+sin45°sinl8°-sin45°sinl8o sinl5°V2 8.-1【解析】 =V2sinl5°-V2cosl5 |cos15°V2 2Y7sin15.V7cos15'2im1545)y-2n(-30）2-1 9.:'.'sin (a-B)cosa-cos(B-a)sina=sin (a-B)cosa- cosa--B)sinn=--in(a-P-a）sin(-8）=-sing=专，sin8-=号 又B是第三象限角，c0g-V1sinB=},snB4晋) =snos牙+牙-号x7+(号xV7 4 4 2 _7V2 10 1a.解：d)e)-2V3Yiar-cous =2v3 sin(-君}， :最小正周期T=,2红=m,02, fx)2V3sin2-石 (2)g)-2V3in2p)-石]}-2V3sn2-2e石， g为奇函数，小-20石m,ke乙，9晋经，ke Zo>0.9沿 提升练习 1l.B【解折】fe)-cosr-号ear+sing=eosx+ Ysix=m+g）,xe受Ξ]，+君e 【号引当+君=牙即号时V 故选B. 12.B【解析】ae0,受，Be号，0，a-Be 0,m)osa9)=3sma-=8e受，0， sine沿，aage2Yna=n[a9e=sna Bog os(a-)sin 故选B. 13.A【解析】~fx)=sin牙+写-V3cos(胥+写】 =2sin(号+号-号]}=2in号x,fx)的周期为6，且f1) +f(2)+…+f6)=0,.∴f1)+f(2)+…+f(2024)=[f(1)+f2)+… +f6)]x337+f2023)+f2024)=f2023)+f(2024)=f1)+f2)= 2n号+2sin-2V3.故选A 14.+125【懈折1g<a受0-6<号 26 63 参考答案。 又cosa-g将ne-看3 ,sin+石)=sin[a-石+] sin-石jcos霄osa-石jsn号 =5×1+12×V3=5+12V3 13213×2 26 15.-Y2【解析】AC=(cosa-3,sina）,BC=(cosa, sina-3),.AC.BC=(cosa-3)cosa+sina(sina-3)=cos'a- 3coa4sinia-3sina=l-3(snatcoa)-l,sina+coa=号， vna+号）号na+晋Y,sna-要 sin+牙}m-sinm-a+牙--sin(+牙）=-3 16.解：()x)=sin2x+石+sin2x-石+coc2xtn= 2sin2xcosc3 sim2x +co2x-2sin+ ∴x)的最小正周期T=牙=m,当2水m-号≤2+8≤2m+ 2 牙(keZ),即km-号≤≤km+君&eZ）时，函数fx) 单调递增，故f)的单调递增区间为km-号，km+石] (kEZ). 2)当xe[0,受]时，2+ge[石，石]，当2+ 石=7石，即x=号时，)取得最小值，2sin7石+a=-2, 6 ∴.a=-1. 第2课时两角和与差的正切 效果评价 1.C 2.B 3.B 4.ABC 5.B【解析】：sina=Y5,且a为锐角，cos= 5 2Y5,ama方n(a8)=m器 1-3 2 1-anta1-2×(-3) -1.又aBe受，，放a48=要故送B 4 6.B【解析】}tam=tan牙+a=tam[（(c+6)-(B-平】 1-tano ama6)-mB。号年三是故选B, 21 1+ana49anlB-41+号x2 7.2【解析】2an6-an0+牙）曰，2an0-m8tb-7, 1-tan 85 N 高中数学必修第三册人教B版 即2tan0-2tan0-tan0-1=7-7tan0,即2tan0-8tan0+8=0,即 2(tan0-2)2-0,解得tan0-2 83多【解析】0ka<受，sina=号，coa=V1-sima =V1-爱=号，tama==号.又tan(aB)=-号， cosa ..tanB-tan[a-(a-B)]=tana-tan(a-B) 3 3,.sin(β+m) -sinb」 .-tan--3-3 V2cosB+) cosB-sinB1-tanB-1-32 9.解：(1)tan60°=tan(10°+50°)=tan10°+tan50° 1-tanl0tan50° ∴.tanl0°+tan50°=tan60°-tan60tanl0tan50° :.tanl0°+tan50°+tanl209 tanl0tan50° =tan60°-tan60tanl0tan50°+tanl200 tanl0°tan50° =tan60°-tan60tanl0tan50°-tan60 tanl0tan50° =-tan60°=-V3. (2)由于21°+24°=45°，23°+22°=45°，利用两角和的 正切公式及其变形可得(1+tan21°)(1+tan24)=2,(1+ tan22°)(1+tan23°)=2，故(1+tan21°)(1+tan22)(1+tan23o): (1+tan24°)=4. 10.解：（)an平+a)=2, an平+tanc =2 1-tan T tano :1+anc-2,解得ana= 1 I-tano (2)'.'tang= 3,tan=2: :.原式=sinacos3+cosasinp-2 sinocos3 2sinasinB+cosacosB-sinasinB _cosasinB-sinacos=sin(B-)=tan(B-a)= tanB-tana cosacosB+sinasinB cos(B-a) 1+tanBtana 11 =23 提升练习 1l.D【解析】tan坦=tan[(x-号+B-受)】 11 23 .故选D. > 12.A【解析】依题意tanA+tanB=V3 tanA tanB-V3, .'.tan (A+B)=tan4 ttanB=V3 tandtanB-V3=V3. 1-tanA tanB 1-tanA tanB 86 .tanC=tan[T-(A+B)]=-tan(A+B)=V3,C∈(0，T),∴.C= 号故选A 13.C【解折】a+B=平，an(a8)=a昭l, 1-tanotanB .'.tanc+tanB=1-tanotanB.Ig(10a)+Ig-=1-1g(10a).Ig 1 l=l-g10a)-lg石，e10w-lg。0.e10)=0或e日 =0,a=0或a=l.故选C 14.7【解析】AD⊥BC且BD:CD:AD=2:3:6, AD3,tan∠CAD=CD=1 tan∠BAD=BD=1 AD=2,ian∠BAC= 11 tan(∠CAD-∠BAD)=,tan∠CAD-tan _BAD =23 1+am乙CAD-an.BAD+号x写 1 15.-2Y2【解析】方法-：由题意得an(a+B)= 3 tang+tanB」 4 1-tanatanB 1-(V2+1) =-2V2.ae2km,2km+）, Be2mmm,2m+受，k,m∈Z.则&8e(2m+2): T+T,(2m+2k)π+2m),k,m∈Z.又tan(a+B)=-2V2< 0.则8e《(2m+24m+，(2m+2k)m+2m,k,me Z,则sin(a+B)<0.:sin(a+=-2V2,联立sinm(a+B)+ cos(a+B) cos(a+8)=l,解得sin(a+B)=-2Y2 3 方法二：：α为第一象限角，B为第三象限角， cosa>0,cosB<0,cosa= cosa Vsin'a+cos'a V1+tan'a cosB= cosB -1 Vsin'B+cosB V1+tanB sin(a+B)=sinacosB+cosasinB-cosacosB(tana+tanB) -4 =4cosacosB= V/1+tana·V/1+tanB -4 -4=-2Y2 V(tano+tanB)+(tanotanB-1)V4+2 3 16.解：ag-7,an(a-B)=7,tana=tan[(a-B)+ 11 am2器 27 1 1-1× 1 3,tan(2a-B)=tan[(a 2 7 1,1 B)+a]=tan(@-B)+tana_ 2+3 =1-iana-Baa1-3×2 11 120,tan B -=1.'.tano= =-7<0,ae0,,Be(,m,aBe(-m,0)· 又tan(a-B)=2>0,a-Be←π，-7），2a-B=a+(aB) e(-m,0).又"an(2-B)-l,2a-g=-3T 8.2.3倍角公式 效果评价 1.D2.B3.D4.A 5.D【解析】a是第二象限角，P(x,4)为其终边上 的-点，x<0.0Vr+6,ow=号V4i6 -3,∴taa=-号，tan2a=2aa 2×-3_24.故选D. 4 7 6.AB【解折】x)-2osx-sin2x+2=3 c+1=号(2cosx 1)+号+1=号c02+月，)的最小正周期为元，A正确： 当x=kπ(keZ)时，f(x)取得最大值，最大值为4，B正 确；当=m+受keZ)时，x)取得最小值，最小值为1， C错误：对称轴方程为=经（么∈2），D错误故选AB. 7号【解析】1-2n27° c0s54° aV4-a2cos72°V4-4cos272° c0s54° c0s54° c0s54° 2cos72V4sin72°4cos72°sin72°-2sin144 =sin36°-1 2sin36°=2 8.号-号【解析】由已知，得七an的=3，解得an= 1-tan 7,sn20-2cs0=2sn6m0-20s0.2n9-2.2x号2 sin0+cos0 tan㎡0+1 号 9.(1)解：原式=sina:sing+(1-sina)-cos3-7cos2a cos2g-cosp8-sinia(cos8-sin7g)-7os2a~coc26=co98-sina. cos29-coe2acos2=osp-c0s2g(sna+2co2a片1+g29 2 -cina+(1-2sina) 2 sin年+a)sin开-a (2)证明：方法一：左边 cos平+a）cos平-a叫 sin牙+acos年-a-sn(年-a)eos(年+a cos年+acos年-a 参考答案。 sm年+a-牙+e侧 sin2a cos)sin(年+a号m5+2a =2sin2a=2tan2a=右边.等式成立. cos2a 方法二：左边=I+tana-】-tana=,4tan=2tan2a=右 1-tano 1+tana 1-tan'a 边.等式成立. 10解：fx=sin2c-7·1cg2+=子sim2 2 -4co2=2sm2-牙}xe0,引，2-e 年，买]当2x-平=牙.即0时，=： 当2-牙-受，即时，fx)m=Y厚.…x)的最大值 4 为Y?,最小值为-子 (2)f=.2ma=。 .sin(-平)=号，∴sin2a=sinl2a-4+受]=co2a-4)= 1-2me-1-2x专-3 提升练习 11.A【解析】设底角为a,则顶角为T-2a,则cosa= 号，ae0,8,sina=5.sn(m-2a)-=sn2a= 2 2inaco--2xV5x号-4y,故送A 3 9 12.A【解折】sinl10sin30in50sin70=coc20eos40. c0s80°=2sin20°c0s20°c0s40cos80°=2sin40c0s40c0s80°= 4sin20° 8sin20° 2sin80cos80°=sin160°=.故选A. 16sin20° 16sin20°16^ 13.4【解析】c0sa=子且&的终边在第一象限， 5 5 7 24 '.sing=,:cos2o-cos'o-sin'=sin2o=2sinacosa=25 1+V2cos2acos4+sin2asin母 原式= ._1+cos2a+sin2a= cosa cosa 5 14.2csg【解折】3m<a<4,<号2m.平< 骨<m,否<g受则os号0.心s号0.m号0 原式=V2-V2+1V4co号=V2-1V2+2cos号 87第八章向量的数量积与三角恒等变换。 8.2.2两角和与差的正弦、正切 第1课时两角和与差的正弦 效果评价 6已知co=号，cos(a-8)=70 10, 1.sin20°cos10°-cos160°sinl0°等于 且0<B<a<T 那么B等于() ( A.-V3 B.V3 A. B君 2 2 c-2 D c母 D号 7. sin27°+cos45°sinl8o 2.化简sinx+罗引+sinx号引 等于 cos27°-sin45°sinl8° a b 8.形如 的式子叫作行列式，其运算 c d A.-sinx B.sinx a b sinl5°V2 C.-cosx D.cosx 法则为 dbc,则行列式 cos15°V2 3.计算V2cos石+V6sinD的值是 12 12 的值是 ( 9.已知sin(a-B)(g-a)sina=号， A.V2 B.2 B是第三象限角，求smB+牙的值. C.2V2 D.V2 2 4在△ABC中，A=年，c0sB=Y 10 则sinC等于() A.2V5 B.-2V5 5 5 c.V⑤ 5 D.-V5 5 5.在△ABC中，若sinA=2 sinBcosC,则 △ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 练(55 N 高中数学必修第三册人教B版 10.已知函数f(x)=3 sinox-V3 coSwx 13.已知x-sin+V3cos号+ (ω>0)的最小正周期为. (1)求函数fx)的解析式； 3/, 则f(1)+f(2)+…+f(2024)的值为 (2)将f(x)的图象向右平移p个单位得 （) 到g(x)的图象，若g(x)为奇函数，求最小 A.2V3 B.V3 正数p. C.1 D.0 14已知sa看-是石ac受到 2, 则sina+g与 15.已知A(3,0),B(0,3),C(cosa, sina）.若AC.BC-l,则sina-3T= 16.已知函数fx)sin2+石+sin2x石 +cos2x+a(a∈R,a为常数). (1)求函数f(x)的最小正周期及单调 提开练习 递增区间； (2)当xe0,受时，)的最小值 I1.已知函数fx)-c0sx-cos+罗，t∈ 为-2，求a的值. 号，号引，则)的最小值为（） A-方 B.-V3 2 C.-1 D.0 12.已知u∈0,7，Be-7,0, 且cos(a-B)=号，sing=-Y2,则sina等 10 于() A.V3 B.V 2 2 c.-V2 D.V3 3 56)练 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 第2课时两角和与差的正切 效果评价 6,如果tan(a+8)=号，tanB-年=4 54=41 1.计算： 1-tan27tan33°的值为( 那么I+tana的值为() tan27°+tan33o 1-tano A.V3 B.tan6 A1 B C.V3 D.1 3 tan6 C.3 2 D.3 16 2.已知ae-7,0,sina=-4 ，则 7.已知2an6-iam0+平）-7.则a0= tana+平等于( A.-7 B.7 8.已知0<a号，sima 5,tan(a-B)= 3,则tang= 1 sin(B+T) c D.7 V2 cos+年 3已知ama分，ana-创-景，那么 9.化简求值： tan(B-2a)的值为() (1)tan10+tan50+tan120 A.-3 B tanl0tan50° (2)(1+tan21)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+ C.-9 8 D. tan24）. 4.(多选题)下列叙述正确的有( A.tana+tanB=tan (a+B)(1-tanatanB) B.存在a,B,满足tan(a-B)=tana-tanS C.存在a,B,满足tan(a+B)=tana+tanB D.对任意，B,tan(ax+B)=tana+tanB 5.已知sina=V5,且a为锐角，tanB= 5 -3,且B为钝角，则角α+B的值为() A买 B.3m 4 c哥 D.2n 3 练(57 N 高中数学必修第三册人教B版 10.已知tan年+a-2,tan8=) 13.已知tana=lg(I0a),tans=lg。,且 (1)求tana的值： aB平 则实数a的值为() (2)求ina+B-2 sinaco的值. 2sinasinB+cos(a+B) A.1 B.10 C1或8 D.1或10 14.如图，在△ABC中，AD1 BC,D为垂足，AD在△ABC的 外部，且BD:CD:AD=2:3:6,则 C B D tan∠BAC= 第14题图 15.已知α为第一象限角，B为第三象 限角，tana+tanB=4,tanatanB=V2+l,则 sin(a+B)= 16.已知tan(a-8)=7,tang=-7,a, B∈(0，T),求2-B的值. 提升练习 1.已知ama-号-3，amB-g= -3,则an望的值为() A.1 C6 D 12.在△ABC中，A+B≠T,且tanM+ tanB+V3=V3 tanAtanB,则角C的值为 ( A B.2T 3 c D.π 4 58)练