11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 第十一章 "11.1空间几何体 11.1.1 空间几何体与斜二测画法 要点精析 例1解：画出相应的图形如图所示.（答案不唯一） 图1 图2 图3 例1答图 变式训练1正方体、三棱锥、四棱锥。 例2解：(1)在正六边形ABCDEF中，连接AD,以AD 中点O为原点，AD所在直线为x轴，AD中垂线为y轴， 建立平面直角坐标系xOy,如图1，其中y轴分别交EF, BC于点M,N.经计算可得OA=OD=2,ME=MF=NB=NC=1, 0M=0N=V3. (2)画出相应的坐标系x'0'y',使得∠x'0'y'=45°，如 图2.在x'轴负半轴上取点A',正半轴上取点D',使得 O'A'=OA=2,0D'=OD=2.在y'轴负半轴上取点N',正半轴 上取点n,使得0N=号0N=Y经，0=号0M= Y.过点W作EF∥K轴，并取NE=WF=ME=1,用 同样的方法过点N'作B'C'∥x'轴，并取N'B'=N'C=NB=1. (3)连接A'B',CD',D'E,A'F,并擦去辅助线， 可得如图3所示的六边形A'B'CD'EF即为所求 F M B 图1 图2 图3 例2答图 变式训练2(1)V(2)V(3)×(4)V 例3解：(1)首先用斜二测画法画出水平放置的长为5、 36 体几何初步 宽为4的长方形的直观图ABCD,如图1. (2)过A作z'轴，使之垂直于x'轴，在z'轴上取AA= 3,过B,C,D分别作z'轴的平行线BB1,CC,DD,使得 BB=CC=DD=3,连接AB1,B,C1,CD1,DA1,如图2. (3)擦去辅助线，并把被遮挡住的线段AD,DC,DD, 改为虚线（或擦除），所得图形即为所求，如图3或图4. 0'(A) I(A 图1 图3 图4 例3答图 变式训练3解：(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴， ∠x0=45°（或135），∠x0z=90°，如图1所示正方形直观 图ABCD 图1 图2 变式训练3答图 (2)画底面.以O为中心，在xOy平面内画出正方形 直观图ABCD (3)画顶点.在Oz轴上截取OP,使OP的长度是原四 棱锥的高。 (4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助 线，将被遮住的部分改为虚线，得到此四棱锥的直观图如 图2. 例4解：(1)①如图1，在等边△ABC中，取AB的中 点O,连接OC,以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所 在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy,经计算可得 0A=0B=1,OC=V3 ②画出相应的坐标系x'0'y',使得∠x'0'y'=45°，如 图2： ③在x'轴负半轴上取点A',正半轴上取点B',使得 O'A'=OA=1,O'B'=0B=1; ④在y轴正半轴上取点C,使得OC=)0C=Y3; ⑤连接A'C',B'C,所得△A'B'C即为所求. (2)过点C'作C'D'⊥A'B'=D',如图2所示.在 R△CW0中，CD=0C'=VY5,故所求直观图面 2 积Sac=A'BCD'=×2xY5=Y6.原图形面积 4 4 Sae=号AB.0C=7×2xV3=V3,SAsc=VF= 2S AABC 4 C A OB A 0'D'B'x 图1 图2 例4答图 变式训练4解：如图1所示，分别过点C,D作CF⊥ A'B于点F,DE⊥A'B于点E,则在Rt△A'DE中， A'D'=1,∠BA'D=45°，A'E=DE'=Y2,同理可得 2 BF=Y,放AB=AB+BF+g'F=V+1以点A为 原点、A'B为x'轴、A'D为y轴，建立坐标系，如图1所 示，再以点A为原点，画x轴、y轴，重新建立平面直角 坐标系xAy,如图2所示，在x轴上取点B,使得AB=A'B =V2+1,在y轴上取点D,使得AD=2A'D'=2,过点D作 DC∥x轴，使得DC=D'C'=l；连接CB,擦去辅助线可得直 角梯形ABCD为所求图形，此时，面积S边形=？AD: (4B+CD)=号x2(V2+1+1)=V2+2. 参考答案⊙ D B' B 图1 图2 变式训练4答图 例5解：①画出直角坐标系xOy,在 x轴的正方向上取OA=OA',即CA=CA': ②过B'作BD'∥y'轴，交x'轴于 点D',在OA上取OD=O'D',过D作 DB∥y轴，且使DB=2D'B'; O(C)D A ③连接AB,BC,得△ABC,则 △ABC即为△A'B'C'对应的平面图形， 例5答图 如图所示. 变式训练5菱形 数学文化 例AB【解析】A,B选项中均有四 个直角三角形，可围成“鳖燸”，如图所 5 示；C选项只有三个直角三角形，不符合 、 题意；D选项由于对应边长不等，不能围 73 成几何体，不符合题意，故选AB 例题答图 11.1.2构成空间几何体的基本元素 要点精析 例1C【解析】由于多边形中包括顶点和线段，所以不属 于基本元素，故选C 变式训练1解：画出相应的图形如图所示.分别可形成圆 柱的侧面和圆锥的侧面. 图1 图2 变式训练1图 例2【解析】图中长方体8个顶点：A,B,C,D,A1, B1,C1,D1.12条棱：AB,BC,CD,DA,AB1,BC1, CD1,DA1,AA1,BB1,CC1,DD.6个面：ABCD, ABBA1,BCCB1,AB,CD,DCCD1,ADDA·长方体可表 37第十一章立体几何初步。 第十一章立体几何初步 11.1空间几何体 11.1.1空间几何体与斜二测画法 例1把图中的几何体沿棱剪开，然后 学习目标 放在平面上展开，试画出这些图形的展开图， 1.利用实物、计算机软件等观察空间图 形，进一步认识空间几何体，培养空间想象 能力 2.了解斜二测画法的概念及步骤，能用 图1 图2 图3 斜二测画法画出简单几何体（长方体、球、圆 图11-1-1 柱、圆锥、棱柱等及其简单组合体)的直观图. 分析：空间问题要转化为平面问题， 3.逆用斜二测画法，找出直观图的原图 这种转化与化归思想将贯穿立体几何的 始终 要点精析 要点1空间几何体的概念与几何体的 平面展开图 生活中的物体都占据着空间的一部分.若 只考虑一个物体占有的空间的形状和大小， 而不考虑其他因素，则这个空间部分可抽象 为一个几何体，这个几何体就叫作空间几何体. 思考1如图所示的几何体，你能画 变式训练① 出来吗？ 说出例1图对应的几何体的名称 学(39 N 高中数学必修第四册人教B版 思考2如图，△A'B'C是水平放置的 川要点2直观图与斜二测画法 △ABC斜二测画法的直观图，能否判断 1.立体几何中，用来表示空间图形的平 △ABC的形状？ 面图形，习惯上称为空间图形的直观图.通 B 常使用斜二测画法作直观图， (C') 2.斜二测画法的步骤： A'xi (1)用斜二测画法作水平放置的平面图 例2用斜二测画法画水平放置的边长 形的直观图步骤如下： 为2的正六边形ABCDEF的直观图. ①在平面图形中，取互相垂直的x轴和 分析：(1)用斜二测画法画图的关键 y轴，建立平面直角坐标系； 是在原图中找到决定图形位置与形状的点 ②画x'轴、y轴，使得它们正方向的夹 并在直观图中对应画出，故应首先建立适 角为45°或135°； 当的平面直角坐标系.(2)对应的直观图坐 ③平面图形中与x轴平行（或重合）的 标系两轴正方向夹角为45°或135°.(3)注 线段画成与x'轴平行（或重合），且长度 意直观图与原图形的对应关系：平行线段 不变； 仍平行；平行于轴的线段长度不变；平 ④平面图形中与y轴平行（或重合）的 行于y轴的线段长度变为原来的一半，即 线段画成与y'轴平行（或重合），且长度变 “横不变，纵减半” 成原来的一半； ⑤连接有关线段，擦去作图过程中的辅 助线： (2)用斜二测画法作立体图形的直观图 步骤如下： ①在立体图形中取水平平面，取原点互 相垂直的x轴和y轴，作出水平平面的直观 图（保留x'轴、y'轴）； ②在立体图形中，过原点取z轴垂直于 x轴和y轴，在直观图中作相应的z轴，并 使得z'轴垂直于x轴； ③图形中与z轴平行（或重合）的线段 画成与z'轴平行（或重合），且长度不变： ④连接有关线段，擦去作图过程中的辅 助线，并把被遮挡住的线段改成虚线（或 擦除). (40)学 第十一章立体几何初步 变式训练2 变式训练3 判断题（正确的画“V”,错误的画 画出正四棱锥（底面是正方形，侧面是 “x”). 有一个公共顶点且全等的等腰三角形的棱 (1)两条平行线段在直观图中对应的两 锥)的直观图. 条线段仍然平行 ( (2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍 然平行于坐标轴. ( (3)斜二测画法中，平行于坐标轴的线 段长度在直观图中仍然保持不变.( (4)斜二测坐标系取的角可能是135° 例3已知一个长方体的长、宽、高分 别为5,4,3，用斜二测画法画出此长方体 要点3 平面多边形的面积与其直观图面。 的直观图. 积的关系：S=V2S 分析：用斜二测画法作立体图形的直 4 观图要注意只有水平面中的平行于y轴的 思考3若已知一个三角形的面积为 线段要“斜”过来，与x轴夹角为45°，且 S,则它的直观图面积是多少？ 长度变为原来的一半，平行于x轴、z轴的 例4画出一边沿水平方向，且边长为 线段长度不变 2的等边三角形的直观图，求出其直观图的 面积，并讨论直观图面积与原图形面积的 关系 分析：首先利用斜二测画法画出等边 三角形的直观图，注意各个量的变化，然 后确定底边，作直观图的高，求出长度 即可， 学(41 N 高中数学必修第四册人教B版 例5如图，△4'BC 变式训练④ 是水平放置的平面图形 如图，等腰梯形A'BCD'是平面图形 的斜二测直观图，将其 O/D A’ ABCD的直观图.若A'B'∥CD',A'D'=B'C'= 还原成平面图形 图11-1-3 C'D'=1,∠BA'D'=45°.请画出原来的平面 分析：由直观图还原平面图形的关键： 图形，并求出原图形的面积。 (1)平行于x'轴的线段长度不变，平 行于y轴的线段长度扩大为原来的2倍 (2)对于相邻两边不与x'、y轴平行的顶 D 点可通过作x'轴、y'轴平行线变换确定其 A B 在xOy中的位置」 图11-1-2 B 变式训练5 如图，矩形O'A'B'C是水平放置的一个 平面图形的直观图，其中O'A'=6cm,C'D' =2cm,则原图形的形状是 C D'y /0' A'x 图11-1-4 (42)学 第十一章立体几何初步 川要点4正等测画法 数学文化 立体几何中的直观图不都是利用斜二测 例 (多选题)中国古代数学经典《九 画法画出的，例如水平放置的圆，其直观图 章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的 一般用“正等测画法”画成椭圆.如图1和 数学成就，其分册《九章算术·商功》中将 图2是圆柱与球的直观图. 四个面都是直角三角形的四面体叫作鳖臑.下 列展开图中，可以拼成一个“鳖臑”的有 图1 图2 思考4观察如下图所示的物体，说 1/41 41 出几何体的名称。 A B 42 4V2 D 分析：此题结合了古代数学模型考查 几何体的表面展开图还原为几何体的问题， 从题中数据及边角关系可得结论. 学(43