10.3 复数的三角形式及其运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

N高申数学必修第四册人教B版 *10.3 复数的三 学习目标 1.通过复数的几何意义，了解复数的三 角表示式、复数的辐角及辐角的主值的 含义： 2.了解复数乘、除运算的三角表示，复 数乘法运算的几何意义，会利用复数三角形 式进行复数乘、除运算。 要点精析 川要点1复数代数形式与三角形式的互化， 思考1复数也可以在坐标轴中表示， 那复数与三角函数又有什么关系呢？ 例1把下列复数的代数形式化成三角 形式。 (1)1+V3i. (2)2-2i. (36)学 角形式及其运算 例2分别指出下列复数的模和辐角主 值，并把这些复数表示成代数形式. (1)4(cos30°+isin30°). (2)）V3cosT+isin 2 3 3 变式训练① 复数z=-sinl00°+icos100°的辐角主值是 A.80° B.100° C.190° D.260° 川要点2复数的三角形式的乘、除运算！ 思考2复数的代数形式可以相乘除， 那复数的三角形式可以乘除吗？有什么意义？ 例3计算：8(cos240°+isin240°)×4 (cosl50°+isin150°). 分析：利用复数的三角形式乘法运算 法则求解 例4V3cos5F+sin平V2csg 6 +isin5π 6 分析：利用复数三角形式除法运算法 则求解， 变式训练2 (1)若复数z1=2cos牙+isin牙，= cos平+isin年， 则名32的辐角主值为 (2)已知复数-3+4i的辐角主值为， 复数3-4i的辐角主值为B,则aB= 要点3复数三角形式乘、除运算的几 何意义 思考3若向量0Z与0Z分别表示复 数1=1+2V3i,z2=7+V3i,则∠Z0Z= A号 B. 3 c D. 3 第十章复数。 例5在复平面内，把复数3-V3i对 应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转 号，求所对应的复数 分析：复数旋转角度相当于乘上一个 模长为1，辐角为旋转角的复数，注意“顺 负逆正”· 例6在复平面内，把与复数3V3+ 4 子1对应的向量绕原点0逆时针方向旋转 牙，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与 所得向量对应的复数.（用代数形式表示） 分析：复数既发生旋转变换（逆时针 方向旋转霄）又有长度的变化（伸长为原 来的2倍)，相当于乘一个模长为2、辐角 为T的复数 3 学(37 N 高中数学必修第四册人教B版 变式训练3 将复数1+√3i所表示的向量绕原点O 按逆时针方向旋转0角(0<0<2π)所得的向 量对应的复数为-2，则0的值为() A号 B.4 3 C.2m D.5n 3 3 数学文化 例任何一个复数z=a+bi（其中a,b∈ R,i为虚数单位)都可以表示成z=r(cos0+ isin0)(其中r≥0,0∈R)的形式，通常 38)学 称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫 弗发现： [r(cos0+isin0)]"=r"(cosn0+isinn0)(nEZ), 我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理 可知，“n为偶数”是“复数cos受+isin受 (n∈Z)为实数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析：根据题意得到sinn=0,故n= 2 2k,k∈Z,即可判断>10.3复数的三角形式及其运算 要点精析 例1解：(1)r=V1+3=2,1+V3i对应的点在第一象 限，cos0=2,即0=牙，l+V3i=2cos写+isin写 2)V242-2V7,c=Y,又2-2i对应 的点位于第四象限，9=7平，2-22V2c0s7平sin7平) 例2解：(1)复数4(cos30°+isin30)的模为4，辐角主 值为0=30°.4(cos30°+isin30°)=4cos30°+4isin30°=2V3+2i. (2)复数Y(os号+isn号)的模为Y,辐角主 厚+ 变式训练1C 例3解：8(cos240°+isin240)×4(cos150°+isin150°) =32[cos(240°+150°)+isin(240°+150°)] =32(cos390°+isin390°) =2+2 =16V3+16i. 例4解：V3cos5平+isin妥}片V2cosT+isin 6 6 -Vm等-m年著川 =Y5(eos语+isin晋 =V6V6-V2+V6+V2 4 =3-V3+3+y3i. 4 变式训练2)7行2)-m 参考答案。 例5解：3-V32V3 2Vciin) “逆时针旋转牙可得 2vcsiscostisin -2v3 [cos(+号)+in(名+号】 -2V3ogmtingnj2V3eosg+ing3Vi 6 顺时针旋转牙，可得 2V3os名r+isin-小os-号+im-号】 -2V3 cos(号+imgm号】 =2V3cosπtisin3mj =-2V3i. 例6解：3Y+2cos名mg.由题意，得 3cosg+isin君x2cos号+in号 =2x2cos石+号+isin石+号月 =3cos受+isin受)=3i 变式训练3C 数学文化 例C【解析】由(cos受sin受)cos受+sin罗为实 数，得sinT0,故Ttm,keZ,即n=2k,keZ,故n为 偶数是“复数(cos受+isin7)厂(neZ)为实数”的充要 条件 35