10.2.1 复数的加法与减法-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十章 "10.1复数及其几何意义 10.1.1复数的概念 要点精析 例1B【解析】①当z∈R时，z≥0成立：否则不成立 例如z=2i,z2=-4<0..①为假命题：②4i-2=-2+4i,.虚部 为4，不是4i,②为假命题：③3i=0+3i,实部为0.故③ 为真命题.故选B 变式训练1C a2-4, a=±2， 例227【解析】由题意，可得 解得 -(2-b)=5, b=7. 变式训练2C 例3A【解析】复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数，则a=0, b≠0.则“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的 必要不充分条件.故选A. m2-4-0. 例4解：(1)要使z为实数，需要满足 解得m=-2. m-2≠0， m(m+3）=0(m≠2)， (2)要使：为纯虚数，需要满足m-2 m2-4≠0， 解得m=0或m=-3. 变式训练3AD x+=x-2y, =-3, 例5解：由复数相等的充要条件，得 解得 3=+3, 0. 例6解：设原方程的实根为1，则原方程可变为3受1 -1=(10-t-2t2)i,由复数相等的条件得方程组 3-号-1=0. 10-t-22=0, 5 t=2, 解得 或 a=11 71 -5 变式训练4-2 数学文化 例c 10.1.2复数的几何意义 要点精析 例1(1)B(2)A【解析】(1)复数=-2+3i所对应 参考答案。 复 数 的点为(-2,3)，该点位于第二象限，故选B. (2)复数z=-1+V2i和z=-1-V/2i在复平面内的对 应点分别为(-1，V2)和(-1，-V2),这两点关于 实轴对称，故选A 例2D【解析】复数z=(m+4)+(m-2)i在复平面内的对应 m+4<0, 点为(m+4,m-2),由该点在第三象限，有 解得 m-2<0, m<-4,故选D. 变式训练1(1)D(2)C 例3A【解析】由题意，知0A=(3,2),0=(4,-3), BA=0A-0B=(-1,5),.对应的复数为-1+5i,故选A. 例4解：(1)=12+5i.(2)2=-V3i.(3)= V3+i.(4)z4=6. 变式训练2(1)B(2)2四 例5C【解析】设复数z的虚部为b,由=3，实部为1， .1+b2=9,.b=±2V2,故选C. 例6解：由1=3+4i和z2=4-2i,得z1l=V32+4-=5,= V4+(-2)=2V5.5>2V5,>k. 变式训练3B 数学文化 例B【解析】由思意.可知e于-6os否m牙，其 中c0s受=子0，m0,即若受，则复数 z=对应复平面内的点所在的象限为第二象限，故选B ●"10.2复数的运算 10.21复数的加法与减法 要点精析 例1-3+3i【解析】（兮+21）+(2+1)-(；3)= (3+28H3+1-(2)月i=-3+3i 例2解：(1)方法一：设z=x+yi(x,yeR),z+2-2i= 4+i,x+yi+2-2i=4+i,即(x+2)+(0y-2)i=4+i, x+24,解 y-2=1. （33 N 高中数学必修第四册人教B版 得/2， .z=2+31 y=3, 方法二：.z+2-2i=4+i,.z=(4+i)-(2-2i)=2+3i. (2)设复数=x+yi(x,yeR),则=Vx+y,又 -z=2-4i,∴.Vx+y2-(x+yi)=2-4i,由复数相等的定义，得 Vy-=2,解得 x=3 2=3+41, -y=-4. y=4. 变式训练1(1)A(2)C 例3解：由题意，得z1-z2=(3-a)+(a-2)i,.·复数z1-z2在 f3-a>0, 复平面内对应的点位于第四象限，： .∴.a<2 a-2<0, 例4解：设复数1,2，z+22在复平面内对应的点分别为 A,B,C,则BA=z1-2,:k=2,61-2=2V3，由平面 几何知识，可知四边形OACB为菱形，且cOs∠AOB= 01084E.242232-7LA08=120. 20A·OB 2x22 △OBC为正三角形，.IOC=IOB=2,即z1+z=2. 变式训练2(1)A(2)(2,+∞) 例5解：设复数z=x+i(x,yeR),由复数几何意义可 知复平面内点A,B,C,D的坐标分别为A(2,0),B(1, -1),C(4,-2),D(x,y).四边形ABCD为平行四边 形，AC与BD有相同的中点，由中点坐标公式可得 +4-1+x 2 2 x=5, 解得 D对应的复数为5-i, 02 y=-1, 2 .BD=(4,0),.BD=V4+0=4. 例6解：由z-3+2i=z-(3-2i)=2,∴在复平面上z对应的 点Z与3-2i对应的点C之间的距离等于2，.复数：对应 的点Z的轨迹是以C(3,-2)为圆心、2为半径的圆.而z 表示复数：对应的点到原点0的距离，又由OC=V13, zlm=V13-2,zl=V13+2.即1z的取值范围是[V13-2, V13+2]. 变式训练3解：如图所示，1Oi=V(V3)2+12=2.zl 2+1=3,lzl=2-1=1. yA M 变式训练3答图 (34 数学文化 例A【解析】(4+4i)+(-5+6i)=(4-5)+(4+6)i=-1+ 10i.故选A. 10.2.2复数的乘法与除法 要点精析 例1A【解析】由题意，知a-2i=3-bi,.a=3,b=2,.(a+ bi)2=(3+2i)=5+12i,故选A. 例2A【解析】由于(1+2i)(a+i)=-2+(1+2a)i,(1+2i)(a+i) 的实部与虚部互为相反数，故a-2+(1+20)-0,a=写.故 选A. 变式训练1(1)D(2)A 例3D【解析】1+i=2i(1+i=-1-i,故选D. (1-i)21 -2i 例4B【解析】由题意，得=1+a=1+i)1+i= 1-i(1-i)(1+i) -a)+1+ai,为纯虚数， 2 ,1--0.故a=l,i, 1+a≠0. 故zl=1.故选B. 变式训练2D 变式训练3解：设=x+i(x,y∈R),则由已知，可得 i-i=即2士解得3，或3. 即 (x+yi)(x-yi)=13, x2+y2=13, 3=-2=-2. 因武：3-方皮=3-2五于是号7 5-12i=5昌1或=-3-2i=(3-2i2 =5+12i-5 131313 z-3+2i(-3+2i)(-3-2i)-13-13 例5解：由i+il+i2+i*3-0(neN,),i+i+i+…+i2=(it iP+i+i)+(if+i6+i7+i)+…+(i207+i208+i201+i200)+i221=i21=i. 例6A解折】由已知=情得)受4 (-i)ss3-[(-i)]05×(-i)3=i.故选A. 变式训练4A 变式训练5B 数学文化 例-1【解析】由题意将八进制数3744换算成十进 制的数，得4x8”+4×8+7x×8+3x82020,7 =(i)100=(i)2=-1.第十章复数 10.2 复数的运算 10.2.1复数的加法与减法 例2(1)已知复数z满足z+2-2i=4+ 学习目标 i,求z. 1.掌握复数的加减法法则，并能灵活应 (2)已知复数z满足2-z=2-4i,求z. 用，重点提升数学运算核心素养 分析：用待定系数法设复数z=x+yⅵ 2.理解复数加减法的几何意义，重点培 (x,y∈R),然后按照复数加减法运算法 养直观想象核心素养， 则，实部和实部运算，虚部和虚部运算. 要点精析 川要点1复数的加减法运算 思考1 （1)两个复数的和是个什么 数，它的值唯一确定吗？ (2)若复数z1,32满足1-z2>0,能否认 为21>22？ 复数加减法运算法则： 设a=x+yi,之=xy2i(,y1,2,y2eR), 则31+22=(x1+x2)+(y1+y2)i, 21-22=(x1-x2)+(y1-2)i. 利用加减法法则解决复数相关问题时， 注意区分实部和虚部， 变式训练1 例1+2+2+-8- (1)实数x,y满足z1=y+xi,z2=yi-x, 分析：按照复数加减法运算法则，实 且21-z2=2,则xy的值是（) A.1 B.2C.-2 D.-1 部和实部运算，虚部和虚部运算」 (2)若复数z=4-3i(1为虚数单位)，则 -2在复平面内对应的点位于（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 学 31 高中数学必修第四册人教B版 川要点2复数加减法的几何意义 变式训练2 (1)复平面内正方形三个顶点分别对应 思考2设向量0Z,0☑分别表示复 复数1=1+2i,2=-2+i,z3=-1-2i,则另一个 数a1,22,那么向量0Z+0Z☑表示的复数应 顶点对应的复数为() 该是什么？ A.2-i B.5i 例3已知复数z1=3+ai,32=a+2i（a∈ C.-4-3i D.2-i,5i或-4-3i R),且复数1-2在复平面内对应的点位于 (2)已知复数z1=2+ai,22=a+i(a∈R), 第四象限，求a的取值范围. 且复数1-2在复平面内对应的点位于第二 分析：先求出21-z2=(3-a)+(a-2)i,再 象限，则a的取值范围是 利用1一2在复平面内对应的点位于第四象 限得到关于a的不等式组，解不等式组得a 川要点3复数加减法的几何意义的应用： 的取值范围。 思考3设复数z1=a+bi,z2=c+di(a, b, c,d∈R)对应的向量分别为OZ, 0Z,那么向量0Z,0Z,0Z+0Z的坐 标分别是什么？ 提示：OZ=(a,b),0☑=(c,d), 0Z+0Z=(a+c,b+d). 例5复平面内点A,B,C,D对应的 例4已知z1,2∈C,zl=l2=2,21- 复数分别为2,1-i,4-2i,z,已知四边形 z=2V3，求lz+z ABCD为平行四边形，求D对应的复数及BD1 分析：由复数的几何意义，结合平行 分析：由平行四边形对角线互相平分， 四边形性质解决 所以两条对角线有相同的中点，利用中点 坐标公式求解D,并求解BD. 32 学 第十章复数 例6已知z∈C,且z-3+2i=2,求lz的 数学文化 取值范围。 分析：利用复数的模长可看作两点间 例1977年是高斯 DEUTSCHE BUNDESPOS 距离，从而将已知条件转化为圆，利用圆 诞辰200周年，为纪念 4○ 上动点与圆外定点间的距离变化规律求解.： 这位伟大的数学家对复 数发展所作出的杰出贡 献，德国特别发行了一 枚邮票（如图）.这枚 邮票上印有4个复数， 其中的两个复数的和 CARL F.GAUSS 1777-1855 (4+4i)+(-5+6i)=( 图10-2-1 A.-1+10i B.-2+9i C.9-2i D.10-i 变式训练③ 若复数z满足z+3+i≤1，求z的最 大值和最小值。 学(33