10.1.1 复数的概念-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十章 "10.1复数及其几何意义 10.1.1复数的概念 要点精析 例1B【解析】①当z∈R时，z≥0成立：否则不成立 例如z=2i,z2--4<0,.①为假命题；②4i-2=-2+4i,.虚部 为4，不是4i,∴.②为假命题；③3i=0+3i,实部为0，故③ 为真命题.故选B. 变式训练1c a24, 例2±27【解析】由题意，可得 -(2-b)=5. 解得2， b=7. 变式训练2C 例3A【解析】复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数，则a=0, b≠0.则“a=0”是“复数a+bi(a,beR)是纯虚数”的 必要不充分条件.故选A. 例4解：①）要使：为实数，需要满足m4, 解得m=-2. m-2≠0， m(m+3)-0(m≠2)， (2)要使z为纯虚数，需要满足{m-2 m24≠0. 解得m=0或m=-3. 变式训练3AD x+y=-2y, =-3, 例5解：由复数相等的充要条件，得 解得{ 1+3， 0. 例6解：设原方程的实根为，则原方程可变为3-受 3t-2-1=0. -1=(10-t-22)i,由复数相等的条件得方程组 10-t-2=0, 5 解得2， \2 或 a=11 71 0F-5 变式训练4-2 数学文化 例C 10.1.2复数的几何意义 要点精析 例1(1)B(2)A【解析】(1)复数z=-2+3i所对应 参考答案⊙ 复 数 的点为(-2,3)，该点位于第二象限，故选B. (2)复数z=-1+V2i和z=-1-V2i在复平面内的对 应点分别为(-1，V2)和(-1，-V2),这两点关于 实轴对称，故选A 例2D【解析】复数z=(m+4)+(m-2)i在复平面内的对应 m+4<0, 点为(m+4,m-2),由该点在第三象限，有 解得 m-2<0, m<4,故选D. 变式训练1(1)D(2)C 例3A【解析】由题意，知0A=(3,2),0B=(4,-3), BA=0A-0B=(-1,5),.对应的复数为-1+5i,故选A. 例4解：(1)z=12+5i.(2)2=-V3i.(3)= V3+i.(4)z4=6. 变式训练2(1)B(2)2四 例5C【解析】设复数z的虚部为b,由z=3,实部为1， .1+b2=9,.b=±2V/2,故选C. 例6解：由z1=3+4i和z2=4-2i,得k1l=V344=5,2= V42+(-2)2=2V5..5>2V5,.zbz. 变式训练3B 数学文化 例B【解析1由题意，可知e子s号n,共 中cs号=号0，sn号-Y罗0即若=行，则复数 3 32 z=”对应复平面内的点所在的象限为第二象限，故选B 。"10.2复数的运算 10.2.1复数的加法与减法 要点精析 例1-3+3i【解析】（号+2）+2i)-(弩-2)= (3+2+川3+1-←3)]=-+3i 例2解：(1)方法一：设z=x+i(x,yeR),z+2-2i= 4+i,x+i+2-2i=4+i,即(x+2)+(0-2)i=4+i, x+2=4解 y-2=1. 1, 33第十章复数。 第十章复数 10.1复数及其几何意义 10.1.1复数的概念 例2已知复数z=-(2-b)i的实部和虚 学习目标 部分别为4和5，则实数a,b的值分别是 1.了解数集的扩充过程，了解引入复数 = ，b= 的必要性， 分析：利用复数定义找出实部、虚部， 2.理解复数及其相关概念：实部、虚 对应代入数据求解 部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类 3.掌握复数相等的充要条件，并能应用 B变式训练2 这一条件解决有关问题， 已知复数z=2a-4+(a-2)i(其中i是虚数 单位)的实部与虚部相等，则实数a等于 要点精析 （) 要点1复数的概念 A.-2 B.-3 C.2 D.3 思考1复数a+bi的实部为a,虚部为 川要点2复数的分类 b,这种说法对吗？ 例1给出下列三个命题：①若名∈C, 例3 “a=0”是“复数a+bi(a,b∈ 则z2≥0：②4i-2的虚部是4i;③3i的实部 :R) 是纯虚数”的() 是0.其中真命题的个数为() A.必要不充分条件 A.0 B.1C.2 D.3 B.充分不必要条件 分析：利用复数定义区分实部和虚部， C.充要条件 尤其需要注意虚部是的系数， D.既不充分又不必要条件 B变式训练① 例4已知m∈R,复数=m(m+3)+ m-2 复数i-3的虚部是() (m2-4)i. A.3B.-3C.1 D.i 学 27 N 高中数学必修第四册人教B版 (1)当m为何值时，z为实数？ 例6关于x的方程3x2分-1=(10- (2)当m为何值时，z为纯虚数？ 分析：利用复数分类方法列出方程 2x2)i有实根，求实数a的值 (不等式)组求解， 分析：根据复数相等的充要条件求解. 变式训练③ (多选题)对于复数z=a+bi(a,b∈R), 则下列结论中错误的是() A.若a=0,则a+bi为纯虚数 变式训练④ B.若b≠0，则z是虚数 C.若b=0,则a+bi为实数 已知(m2+7m+10)+(m2-5m-14)i=0,则 D.若a=b=0,则z不是复数 实数m= 思考2由4>2能否推出4+i>2+i? 数学文化 川要点3复数相等的充要条件 例欧拉公式e=cosx+isinx(i为虚数 例5若(x+y)+yi=(x-2y)+(x+3)i,求实 单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它 数x,y的值， 、 将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了 分析：根据复数相等的充要条件求解. 三角函数和指数函数的关系，它在复变函数 论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中 的天桥”.根据欧拉公式可知，e表示的复 数的虚部为() A.B.i C.V3 D.Y3; 2 分析：由题意，可得e号=cosT+isin 3 3 }+5i,所以虚部为)了 2 28)学