9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 .b+V3c的取值范围为(2,2V3). 变式训练5解：()+了=c,由正弦定理，可得 snicosa+3sni=sinC, sinC=sin(A+B)=sinA cosB+cosAsinB, inco Ae(0,),则sinA>0,cosB=7 B∈(0，π)，∴B=T 3 (2)设△ABC的外接圆半径为R, b=V3,2R=62, atbte-2sinA+2sinC+V3-2sinA +2sin(-A)+V3 -3sind+V3 cosd+V3-2V3 sin(+)+V3. 0KA< 2 0<1< .△ABC为锐角三角形，. → 0<C<T 0<2π-A< 2 3 2 →石<4<受 5<4+g)≤1,3+V写2V5ma+君)+ 2 V3≤3V3, ∴.△ABC的周长a+b+ce(3+V3,3V3]. 数学文化 例D【解析】由题可知∠BAD=47°，在△BAD中， 由正弦定理，得，BD sin∠BAD SinZABD,即sn47 AD AD sin47°=sin29.50 又在△ACD中，AC=sin∠ADC.AC=-asin29,5sim76.59 AD sin47° 故选D "9.2正弦定理与余弦定理的应用 要点精析 例1解：(1)由题意，得∠BP℃=B-y=60°45°=15°， ∠PCB=y=45°，在△PCB中，由正弦定理，得，PB sin∠PCB sin2BrP,sin15°=sin(45°-30°)=V6:V2.即Pg= BC 4 30 85×V2 2 ≈232(m). V6-V2 4 (2)在△PAB中，∠PAB=a=30°，∠ABP=B=60°，.· ∠APB=90°，∴AB=2PB≈464(m),∴DE=AB-AD-BE=464- 100-34≈330(m). 变式训练15V6 例2解：(1)如图，设A为炮台顶部，B为炮台底部， 则AB=30. B 例2题答图 设A处观察小船C的俯角为45°，即∠ACB=45°，A处 观察小船D的俯角为60°，即∠ADB=60°， 则在等腰Rt△ABC中，BC=AB=30, 在R△ABD中，a60品.则B0=10V3, ·.两艘船与炮台底部的距离分别为30m和10√3m. (2)由题可得∠CBD=30°， 则在△BCD中，由余弦定理，可得CD=302+(10V32- 2x30x10V3×V3=300,:CD=10V3,故两镀船的距离 2 为10V3m. 变式训练2C 例3A【解析】由题可知∠CAD=15°，∠CBD=30°，则 ∠ACB=l5°，∴BC=AB=-66.设坡角为0，由题可得tan0= Y7,则可求得cos0=,在△BCD中，∠BDC-+号 3 由正弦定理，可得CD。=BC一，即CD=66。=66 sin30sin+受） 1 cose 3 2 4 解得CD=44.故宝塔CD的高为44m.故选A. 变式训练3解：如图所示，山高为CD,AB=300m.由题 意，知∠ADB=45°，∠DAC=30°，∠DAB=60°，∠ABD= 180°-(45°+60°)=75°.在△ABD中，由正弦定理，得 1Dsns即器40：00n75 AD AB sin450 =150(1+V3)(m).在Rt△ADC中，CD=AD·tan30°= 150(1+V3)×V3=50(3+V3)=150+50V3(m). 3 山高为(150+50V3)m. DQ45° .30,4 60° 变式训练3答图 例4B【解析】在Rt△ADC中，∠DAC=30°，则AC= V3CD,在Rt△BDC中，∠DBC=45°，则BC=CD 由AC-BC=AB,得V3CD-CD=14,即CD=14= V3-1 7(V3+1)≈19.124，故岳阳楼的高度CD约为19m.故 选B. 变式训练4(1)A(2)A 例5C【解析】在△ABC中，由正弦定理，得AB sin300= n95,MC=10VZ.在△ADc中，n0S0 AC AC 的，co0=n(040)=4C05”-V3-1.故选C. CD CD 变式训练5解：在△ABC中，AB=40 n mile,AC=20 n mile, ∠BAC=120°，由余弦定理，得BC2=AB+AC2-2AB·AC· cos120°=2800，解得BC=20V7 n mile.由正弦定理，得 sin2 ACB=sin2BAC,即sin∠ACB=Asin∠BAC- AB BC BC V2I.由∠BAC=120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB= 7 2Y7.由0=LACB+30,得c0s0=c0s(LACB+30°)= 7 cos∠A CBcos30°--sinACBsin30°=V2I 14 数学文化 例D【解析】设AC=xm,由2BC=3AC,得BC= 2t, ∠CEB=45,BE=BC=弓xm.在R△ABD中，am30= 品含9阳8A 15-3V/3 45(m).故选D. 参考答案⊙ I 9.3数学探究活动：得到不可达 两点之间的距离 要点精析 例1解：(1)选用测角仪和米尺，如图所示」 DBC人a H G B 例1答图 ①选择一条水平基线HG(如图)，使H,G,B三点共线： ②在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为a,B, 用米尺测得CD=a,量得测角仪的高为h: ③经计算建筑物AB=asinosin+h(或者写成atanortang sin(a-B) tano-tanB +h). (2)①测量工具问题： ②两次测量时位置的间距差； ③用身高代替测角仪的高度. 变式训练1解：设在楼顶C看塔顶、塔底的仰角分别是 a,B,从楼顶下的B点看塔底的仰角为y,测出BC=h.如 图，在△BCF中，BC=h,LCBF=T Y,∠BCF=受B, ∠BFC=yB.由正弦定理，得，BF BC sin∠BCF=sinZBFC,即 BF sin+e)sin(y-B=sim(yp)·在Rt△BEF中、 -h. 有BE-BFcosy=hcosGcosy.在Rt△CGM中，CM=BE,∠GCM= sin(y-B) a,则MG=CMtanc=hcosBcosytana.在Rt△CFM中，CM= sin(y-B) BE.FCM=B,MF=CMtanB=hcosBcosytarB=hcosysing sin(y-B) sin(y-B) 则电视塔的高度FG=MG-MF=hcosy(cosBtano-sinB) sin(y-B) 9 C M D 变式训练1答图 319.2 正弦定理与 学习目标 1.会在各种应用问题中，抽象或构造出 三角形，标出已知量、未知量，确定解三角 形的方法，理清利用解斜三角形可解决的各 类应用问题及基本图形和基本等量关系 2.能够用正、余弦定理求解与距离、高 度、角度有关的实际应用问题。 要点精析 川要点1解三角形应用题的一般步骤？ (1)准确理解题意，分清已知与所求。 (2)依题意画出示意图， (3)分析与问题有关的三角形 (4)运用正、余弦定理，有序地解相关 的三角形，逐步求解问题的答案. (5)回归实际问题，作出解答 思考1解三角形实际应用问题时首 先作出图形，把实际问题转化到三角形内 解决，其中需要掌握实际应用中常用的角 有哪些？ 要点2测量有障碍物相隔的两点间的 距离 求距离时，常常会遇到方位角、方向角 等概念，要正确理解、应用这些概念构造三 角形，并确定三角形的边和角，利用正、余 弦定理来解决. 第九章解三角形。 余弦定理的应用 思考2求距离问题的类型及方法 求AB 图形 需要测量的元素 解法 山 ∠ACB=a 用余弦定理 两 AC=b AB= 侧 BC=a 河 ∠ACB=a 用正弦定理 求 两 ∠ABC=B AB= 岸 CB=a 平 在△ADC中 距 ∠ADC=a AC= 离 ∠BDC=B 在△BDC中. 对 ∠BCD=6 BC= 岸 ∠ACD=y 在△ABC中， CD=a 应用 求AB 例1如图，A,B,C为山脚两侧共线 的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别 为x=30°，B=60°，Y=45°，现计划沿直线AC 开通一条穿山隧道DE,经测量AD=100m, BE=34 m,BC=85 m. (1)求PB的长 (2)求隧道DE的长.（精确到1m. V2≈1.414；V3≈1.732) 图9-2-1 分析：(I)求出∠PCB,在△PCB中 由正弦定理即可得结果 (2)在△PAB中求出AB即可得结果 学 (高中数学必修第四册人教B版 反思：测量距离问题实质是求一条线 段的长度.求解时，恰当地画出（找出）适 合解决问题的三角形，将已知线段长度和 角度转化为要解的三角形的边长和角，使 用正弦定理或者余弦定理求长度 B变式训练① 如图，A,B两点在 河的两岸，在B同侧的 河岸边选取点C,测得 BC=10m,∠ABC=75°， ∠ACB=60°，则A,B两 点间的距离为 图9-2-2 m (18)学 例2江岸边有一炮台高30m,江中有 两艘船，船与炮台底部在同一水平面上，由 炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且 两艘船与炮台底部连线成30°角！ (1)分别求两艘船与炮台底部的距离. (2)求两艘船的距离. 分析：(1)画出图形，由已知直接解 三角形即可求出两艘船与炮台底部的距离。 (2)在△BCD中由余弦定理即可求出. B变式训练2 如图，为了测量M,N两 M 点之间的距离，某数学兴趣小 组的甲、乙、丙三名同学分别 在N点、距离M点600m处 45 的P点、距离P点200m处的 N4860以p G点进行观测.甲同学在N点 图9-2-3 测得∠GNP=45°，乙同学在P点测得∠MPW =60°，丙同学在G点测得∠NGP=45°，则 M,N两点间的距离为() A.400V7mB.400V/6m C.200V7mD.200V6m 第九章解三角形。 (2)在实际问题中，可能会遇到空间 与平面（地面）同时研究的问题，这时最 好画两个图形：一个空间图形，一个平面 图形.这样处理起来既清楚又不容易搞错， (3)注意山或塔垂直于地面或海平面， 把空间问题转化为平面问题 B变式训练3 在平地上有A,B两点，A点在山CD 的正东，B点在山的东南，而且B点在A点 的南偏西30°的300m的地方，在A点测得 山顶C的仰角是30°，求山高. 例4岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西 南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是 “中国十大历史文化名楼”之一，世称“天 下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上， 紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建 于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重 修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重 建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳 楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》，使得岳 阳楼著称于世.自古有 “洞庭天下水，岳阳天下 楼”之美誉.小李为测量 岳阳楼的高度，选取了 图9-2-5 学 19 N 高中数学必修第四册人教B版 与底部水平的直线AC,如图，测得∠DAC 30°，∠DBC=45°，AB=14m,则岳阳楼的高 度CD约为(V2≈1.414，V3≈1.732) A.18m B.19m C.20m D.21m 分析：在Rt△ADC中用CD表示AC, :在Rt△BDC中用CD表示BC,建立关于 CD的方程求解即得. B变式训练④ (1)泉城广场上矗立着的“泉标”成为 济南的标志和象征.为了测量“泉标”的高 度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处 测得“泉标”顶端的仰角为45°，沿点A向 北偏东30°方向前进100m到达点B,在点 B处测得“泉标”顶端的仰角为30°，则 “泉标”的高度为（) A.50m B.100m C.120m D.150m (2)如图，为测量一棵树的高度，在地 面上选取A,B两点，从A，B两点分别测 得树尖的仰角为30°，45°，且A,B两点之 间的距离为60m,则树的高度为() A.(30+30V3)m B.(30+15V/3)m C.(15+30V3)m0°45° B D.(15+3V3)m 图9-2-6 川要点4测量角度问题 测量角度问题主要是指在海上或空中测 量角度的问题，关键在于根据题意和图形及 20)学 有关概念，确定所求的角所处的合适三角 形，并根据正、余弦定理求解. 思考4测量角度问题时画示意图的 基本步骤： 例5如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山 坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B 处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若 CD=50m,山坡对于地平面的坡度为0，则 cos0等于( 图9-2-7 A.V3 B.V2 2 2 C.V3-1 D.V2-1 分析：在△ABC中，由正弦定理，得AC =100V2,再在△ADC中，由正弦定理得解 反思：测量“角度”即是求一个角的 大小，把该角看作某个三角形的内角，根 据已知条件求出该三角形的一些元素后， 使用正弦定理或者余弦定理解三角形即可. B变式训练3 如图所示，位于 A处的信息中心获悉： 在其正东方向相距 40 n mile的B处有一 30 艘渔船遇险，在原地 图9-2-8 等待营救.信息中心立即把消息告知在其 南偏西30°的方向、相距20 n mile的C处的 乙船，现乙船朝北偏东0的方向沿直线CB 前往B处救援，求cos0的值. 第九章解三角形。 数学文化 例如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时 期，现在的观音塔为2002年6月12日奠 基，历时两年完成，是仿明清古塔建筑，框 架七层、八角彩绘，总建筑面积700多平方 米.塔内供奉观音大士铜铸三十二应身，玻 璃钢彩铸大悲咒出相八十四尊，有通道拾级 而上可登顶层 下面是观音塔的示意图，游客（视为质 点)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°， 沿直线DB前进51m达到E点，此时看C 点的仰角为45°，若2BC=3AC,则该八角观 音塔的高AB约为(V3≈1.73)() 30℃> B D 图9-2-9 A.8 m B.9 m C.40 m D.45 m 分析：设AC=xm,即可表示出BC, BE,在Rt△ABD中，计算可得. 学（21