7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

练习手册参芳答案 第七章 m7.1任意角的概念与弧度制 71.1角的推广 效果评价 1.D【解析】由题意，得-1120°=-4×360°+320°，而 320°在第四象限，.-1120°角也在第四象限.故选D. 2.D【解析】终边在第二象限的角的集合可表示为 {a190°+k.360°<a<180°+h.360°，k∈Z),而选项D是从顺时 针方向来看的，故选D. 3.AC【解析】角与角y445的终边相同，故a=y+ 45°+k360°，其中k∈Z,同理B=y-45°+k1360°其中k1∈ Z,故aB=90°+n·360°，其中neZ.当n=0或n=1时，a- B=90°或a-B=450°，故A、C正确.令360°=90°+n:360°，此 方程无整数解n:令2330°=90°+n·360°，即56=9n,此方 程无整数解n:故B、D错误.故选AC. 4.C【解析】当k=4n(neZ)时，a=n.360°；当k= 4n+1(n∈Z)时，a=90°+n·360°；当k=4n+2(neZ)时， a=180°+n·360°；当k=4n+3(neZ)时，a=270°+n·360°..∴. 集合M中各角的终边都在x轴或y轴上.故选C 5.A【解析】当k=2n(neZ)时，a=2n·180°+45°=n· 360°+45°，a为第一象限角；当k=2n+1(n∈Z)时，a= (2n+1)180°+45°=n…360°+225°，a为第三象限角，.a为第 一或第三象限角.故选A. 6.ABC【解析】依题意，知0<<90°，.0°<2a<180°， 故A正确；180°<180°+a<270°，180°+a是第三象限角， 故B正确；0<受<45°，受是锐角，故C正确；0°<2a< 180°，当2a=90°时，不是第一或第二象限角，故D错误. 故选ABC. 7.1110°【解析】按逆时针方向旋转得到的角是正角， 旋转三周则得30°+3×360°=1110°. 8.-5-60【解析】将钟表拨快10mim,则时针按顺 时针方向转了10x00-50、所转成的角度是-59：分针按 顺时针方向转了10x360-60,所转成的角度是-60 9.214°-146°【解析】2014°=5×360°+214°，.与角 a终边相同的角的集合为{aa=214°+k.360°，k∈Z,∴最 小正角是214°，最大负角是-146°. 10.解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角. (1){a30°+k·360°≤a≤150°+k·360°，k∈Z☑： 参考答案。 三角函数 (2){a150°+h·360°≤a≤390°+k·360°，k∈Z. 提升练习 11.C【解析】由题意知k.360°<2a<180°+k.360°(k∈ Z),故k·180°<a<90°+k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进 行讨论.当k=2n(n∈Z)时，n·360°<a<90°+n·360°(n∈ Z),:a在第一象限：当k=2n+1(neZ)时，180°+n·360° <<270°+n360°(neZ),∴.a在第三象限.故a在第一或第 三象限.故选C. 12.D【解析】角α的终边和60°的终边相同，B的终边 与120°的终边相同，.180°-120°=60°，.角与B的终边 的位置关系是关于y轴对称.故选D. 13.150°+h·360°，k∈Z【解析】.30°与150°的终边关 于y轴对称，B的终边与150°角的终边相同.∴.B=150°+h· 360°，k∈Z. 14.{B1B=60°+h180°，k∈Z☑ 【解析】如图，直线y=V3x过原 y=V3x 点，倾斜角为60°，在0°-360°范 60° 围内，终边落在射线OA上的角 是60°，终边落在射线OB上的角 是240°，∴.以射线0A,0B为终 边的角的集合为S1=BB=60°+k· 第14题答图 360°，k∈Z,S2=BB=240°+k· 360°，k∈Z☑，.角B的集合S=S1US2=BB=60°+h·360°， k∈ZUBB=60°+180°+h·360°，k∈Z)=B1B=60°+2k180°， k∈ZUBB=60°+(2k+1)·180°，k∈Z)=BB=60°+h·180°， k∈Z}. 15.解：由题意可知a+B=-280°+k·360°，k∈Z..a,B 为锐角，.0°<@+B<180°.取k=1,得αB=80°，① aB=670°+h.360°，k∈Z. .a,B为锐角，.∴.-90°<aB<90°. 取k=-2,得αB=-50°.② 由①②得，a=15°，B=65, 71.2弧度制及其与角度制的换算 效果评价 1.AD 2.A 3.A 4.B 5.C 6.ABC 72【解析】=之=，义2.1，a22 -1 8.-写【解析】由题意知弓×2m=牙，“是顺时针，故 钟表的时针转过的弧度数为-受 59 N 高中数学必修第三册人教B版 9.解：①)a120°=120x7高0-290-3x2+2号. 1803 角a与罗的终边相同又受<领<m,角心是第二象 限角. (2):与角ax终边相同的角（含角α在内）为2kπ+ 2牙，keZ,由-4m≤2kπ+9≤0，得-子≤k≤-写 e7.=-2或k=-1当=-2时，2x(-2m+9-19 当6=l时，2x(-1m+-一誓故在区间[4,0上 与角a终边相同的角是-19，一红 10.解：(1)由⊙0的半径r=10=AB,知△A0B是等 边三角形，a=∠A0B=写 (2)）由（可知号，l0,∴弧长受×10-10 3 5a=3xl9×I0-597.又5w4B.Y9AB 2 3 2 3x105V3-25V5,55ae-5am=25号-V3】 提升练习 11.A【解析】由已知可得aB=T+2hT(k∈Z).故选A 12.C【解析】如图，设圆的半 D 径为r,则正方形的边长为V2r, 孤长V2,a↓-V2r-V2. r 故选C 13.2否【解析】设圆心角的 第12题答图 狐度数为@，由扇形的弧长为罗如，面积为号×受 9 ,解得2，Q=号 4{爱，号，石，罗引【懈标】由-<经-骨< π，得-号k<弩.keZ,=-1,0,1,2,MnN 晋吾罗 15.9【解析】2-120°，根据题意得，弦=2x4sin120° =4V3(m),矢=4-2-2(m),因此弧田面积=×（弦× 矢+矢2)=2×(4V3x2+2)=4V3+2≈9(m) 16.解：~AA所在的圆半径是2dm,圆心角为受： AA,所在的圆半径是1dm,圆心角为牙：AA所在的圆半 60 径是V了dm,圆心角为牙，“点A走过的路径长是三段 3 孤长之和，即2x受+1x号+V3×号-942g5)正(dm）. 6 三段圆弧所在扇形的总面积是号×m2+分×号×+行× V3πxV3=7π(dm). 3 一"阶段性练习卷（一) 1.B【解析】-30°=330°-360°，.与-30°角终边相同 的角的集合是{ala=k·360°+330°，k∈Z.故选B. 2.A【解析】终边在y轴正半轴上的角的集合是受+ 2km,keZ},故选A. 3.B【解析】2ad≈11436'，为第二象限角.故选B. 4B【解析】2109×70名元，放选B. 5.C【解析】小于90°的角不一定是锐角，如负角和零 角均小于90°，但不是锐角，故A错误；钝角是第二象限 角，但是反过来不正确，比如-225°是第二象限角但不是钝 角，故B错误；始边相同且相等的角的终边一定重合，故 C正确；始边相同且终边重合的角不一定相等，可以相差 360°的整数倍，故D错误.故选C. 6.C【解析】终边在直线y=x上的角a可表示为a=n· 180°+225°，neZ,故角a的取值集合是{ala=n180°+ 225°，neZ☑.故选C. 7.AB【解析】终边相同的两个角的差是2π的整数倍. 晋-西)-2，小号与-要的终边相同，故A符合题 3 意；7-号6=3x2,17与-的终边相同， 3 故B符合题意：-人罗=要=2m,与智 的终边不相同，故C不符合题意：“-)=19-号 x2m,:.5π与-5π的终边不相同，故D不符合题意，故选 3 AB. 8AC【解析】~角α的终边与受角的终边关于x轴 对称，a=-径+2冰m,keZ.又ae(-2m,2m,当=0 时，&=-晋，当时，a=罗故选AC 12 9【解析】由题意得210-210×160=3产 10.一【解析】-1395°=-4×360°+45°，而45°是第 象限的角，.-1395°是第一象限的角.第七章三角函数。 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 效果评价 5.集合akm+年≤a≤km+7,keZ 中的角所表示的范围（阴影部分）是 1.(多选题)下列转化结果正确的有 ( A.60°化成弧度是 3 B.-10m化成角度是-660 平产子北 3 A B D C.-150°化成弧度是- 6 6.(多选题)下列说法正确的有() D.五化成角度是15 A.终边在x轴上的角的集合是{ala= 2.角25π的终边所在的象限是( kT,k∈Z 12 B.终边在第二象限的角的集合为 A.第一象限 B.第二象限 T+2kT<a<T+2kT,k∈Z C.第三象限 C.终边在坐标轴上的角的集合是 D.第四象限 aa=经，kez 3.把-4m表示成9+2(eZ)的形 D.终边在直线y=x上的角的集合是 式，使1最小的0值是() A3 aa=2+2km,keZ 4 7.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧 B.-4 长是2，则扇形的圆心角的弧度数为 C. D. 4.在半径为1的圆中，10m的圆心角所 9 第7题图 对的弧长为() 8.“亲爱的考生，本场考试需要2个小 A B.10m 9 时”，则在本场考试中，钟表的时针转过的 C.9π D.10m 弧度数为 练 3 N 高中数学必修第三册人教B版 9.已知角a=1200°. 提升练习 (1)将a改写成B+2kT(k∈Z,0≤B< 2π)的形式，并指出是第几象限角： 11.已知角a与B的终边关于原点对称， (2)在区间[-4π，0]上找出与角终 则a与B的关系为() 边相同的角. A.-B=T+2hT(∈Z) B.a+B=0 C.a+B=2kT(k∈Z) D.以上都不对 12.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆 内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心 角为() A号 B.8 C.2 D.V3 13.已知一扇形的弧长为2π，面积为 10.已知半径为10的⊙0中，弦AB的 2π，则其半径= ,圆心角为 长为10. (1)求弦AB所对的圆心角αx的大小； (2)求α所在的扇形的弧长1及弧所在 的弓形的面积S. 4设集合a经-牙，ke7,= {a-T<a<},则M∩N= 15.《九章算术》是我国古代数学成就的 杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田 面积所用的经验公式：弧田面积=】（弦x矢+ 矢2).弧田（如图）由圆弧和其所对的弦围 成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长， “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现 有圆心角为否，半径为4m的 弧田，按照上述经验公式计算 第15题图 所得弧田面积约是 m2(精确到1m). (4)练 第七章三角函数。 16.如图所示，已知一长为V3dm,宽 为1dm的长方体木块在桌面上做无滑动的 翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使 木块底面与桌面成T的角.求点A走过的路 6 径长及走过的弧所在扇形的总面积， C A 第16题图 练(5