8.2.3 倍角公式-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

8.2.3 学习目标 1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍 角公式与和角公式之间的内在联系. 2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 并能运用这些公式进行简单的恒等变换. 要点精析 川要点1给角求值问题 例1求下列各式的值. (1)sin5cos五：(2)1-2sinm750: 3)250:④1w sinl0°cosl0° P变式训练① 利用倍角公式求下列各式的值， ()sin cos;(2)cos石-sin石 6 6 (3)号smg；(4④）2aS 1-tan215°1 第八章向量的数量积与三角恒等变换 倍角公式 川要点2给值求值问题 例2(1)已知a为第二象限角，sina+ C0sa=Y23,求cos2a: (2)已知sin牙+asin牙-a=石 6 ae牙，m,求sin4a 反思感悟 直接应用二倍角公式求值的三种类型： (1)sina（或cosa) 同角三角函数的关系 cosa(或sina)三倍角公式sin2a(或cos2am). (2)sina(或cosa)二倍角公式，c0s2a= 1-2sin'a 2cos'a-1). (3)sin(或cosa)同角三角函数的关系， cosa（或sina), tana二倍角公式tan2a. 、 学(83 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练2 已知xe牙，罗引，sin牙-- 5, 求cos2x的值. 川要点3三角函数式的化简 例3(1)化简： 2cos2a-1 2am年sinl年a 4 (2)已知π<a< 3 ·π，化简 1+sina 1-sina V1+cosa-V1-cosa V1+cosa +V1-cosa (84)学 B变式训练③ 化简：cos2(0+15°)+c0s2(0-15°)- 3cos20. 2 例4已知tan(ax+B)=3tana,求证： 2sin28-sin2a=sin(2a+23). B变式训练④ 求证：tanx+1,=2(3+cos4x) tanx 1-cos4x 川要点4三角公式的综合应用 例5已知函数fx)=sinx+V3 sinxcosx+ 2cos2x,x∈R.求函数f(x)的最小正周期和单 调增区间。 分析求形如y=Asin2x+Bsinxcosx+ Ccos'x的函数的周期性、单调性、最值等， 可逆用倍角公式化为一个一次式，从而使 问题得以解决 反思感悟 本题是逆用二倍角公式，将已知函数 化简成fe)-sin2x+石+弓，从而使问题 得以解决.在求形如y=asinx+bsinxcosx+ ccos2x+d的函数的最值时，应先降幂，再利 用公式化成和角或差角的三角函数来求. 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 变式训练5 已知函数f(x)=sin(T-ωx)Cosωx+coswx (ω>0)的最小正周期为T. (1)求w的值； (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐 标缩短到原来的】，纵坐标不变，得到函数 y=8x)的图象，求函数g)在区间0，君 上的最小值， 数学文化 例著名数学家华罗庚先生被誉为“中 国现代数学之父”.他倡导的“0.618法”在 生产和科研实践中得到了广泛的应用，黄金 分割比1=V-1≈0.618还可以表示成 2sin18°，则2cos27°-1=( ) tV4-2 A.4 B.V5-1 C.2 D 学(85N 高中数学必修第三册人教B版 11 tan(2a-B)=tan[(a-B)+a]=tan(a-B)+tana 23 F1-tana-B)anal-3× l.tma=}0,ag-70.ae0.受，Be受，m, a-Be(-T,0). 又an(u-B)=>0,a-Be(-m，-）,2B-a+ (a-B)e(-T,0). 顶am（2a-B=1.2a-g=-子 变式训练4解：由根与系数的关系，得tana+tanB=-6<0 tanatanB=7>0,.'.tana<0,tanB<0. ∴.-T<a+B<0. m(a)器吾， ag 例5解：若tanA tanB=l,tanA+tanB+V3=V3· tanA tanB,则tanA+tanB-0,.tanA=-tanB,tanB=-1,不可 能，故tanA tanB≠1. 由amA+em+V3=V3am4ans得，品 -V3,即tan(A+B)=-V3. :.tanC=-tan(A+B)=V3,从而C=60° 由=手得inos清=6整理得16co4- 4 16c0s1+3-0,c0sA=或cos1=,解得cos4=±Y写 4 2 或cos1=±7又4e(0,m,4=30或150或60或120 当A=150°或120°时不符合题意，舍去. 当A=30°时，C=60°，.B=90°，与tanB有意义矛盾， 舍去..A=60°，B=60°，C=60°，即△ABC为正三角形 变式训l练5解：若tanBtanC=l,.tanB+tanC+V3 tanBtanC- V3,则tanB+tanC=0,∴tanB=-tanC,∴tanC=-l,不可 能，故tanBtanC≠1. 由tanB+tanC+V3 tanBtanC=V3得，tanB+tanC 1-tanBtanC V3,tan(B+C)=V3.同理tanA tanB≠l,V3tanA+ V3 tanB=tanAtanB-1:..targian=3.'tan(A+B) 1-tanBtanA =Y又A,B,C为△1BC的内角，B+C=60,A+ B=150°，.∴A=120°，B=C=30°，∴.△ABC为顶角是钝角的等 腰三角形. 数学文化 例16V下【臀折】由题意得0诗B0-号 54 N 6460 因此tan(aw-B)=tana-tae dd 4 1+tanatanB 1+64.60 d+64×60 dd d 1 ,当且仅当d=16V15时取等号，因 21/d.64x60 8V5 d 此当d=l6V15时，tan(a-B)取最大值，即标杆到大雁塔 的距离d为16V15m. 8.2.3倍角公式 要点精析 例1解：(1)原式= 2 24 (2)原式=c0s(2×750°)=c0s1500°=c0s(4×360°+60°)= cos60°=7 (3)原式=tan(2x150°)=tan300°=tan(360°-60°)=-tan60° =-13. (4)原式=cos10°-V3sin10 sin10°cos10° 22cos10°-Yy3sin10 2/1 sinl0°cosl0° =4(sin30°cos10°-cos30°sinl10°） 2sinl0°cos10° =4sim20°=4. sin20° 变式训练1解：()原式=子×2sn号co心日=宁×oin牙 ixV.v2 2 (2)原式=c0s2×石)=c0s号=号 °32 3）原式=号1-2m晋)7os异=分xV7-Y 2 4 (4)原式-tan(2x15)=tan30=Y3 3 例2解：(1)由sina4cosa=Y3两边平方可得1+sin2a 3 号，sin2a=号a是第二象限角，∴sina0,cosa0,c0a- sina=-V(cosa-sina)=-V1-sin2a=V15 3 coia=(cos+ina)(co-ina) = (2)方法一：sin年+asn牙-a=sin牙+a· cos牙aG,sim(2+2a）F3,即cos2a=号 a∈7，m,则2ae(m,2m), sin2a=-V-cos2a=2y2」 3 于是sin4a=2sin2acos2a=-4Y2 9 方法二：由条件得，Y2(cosa+sina).Y2(cosa- 2 sina)=1 6 即号(eosa-nia)=g,cos2a-号 由2ae(m,2m)得，sin2a=-2Y2,in4a= 3 -4V2 9 变式训练2解：方法一：由已知条件得cos-inr=-3Y2 5 将此式两边平方很2 in.o名由此可得(csm广号 7 xe平，罗），sinx0,coso0,:cos +sin=4Y2 5 故cos2r-cos3x-sinr=(cosx+sinr)(cosx-sinx）=4Y2× 5 (32若 方法二：cos2x=sin7-2x)=2sim年-xcos年-x, (牙-=-房xe牙 平-e(4,0,co牙-=号，故co2x=2x ×号器 例3解：(1)方法一：原式 2c0s2a-1 in平-a 2 cos牙-a sinta) 2cos'a-1 2 sin平-a cos牙- cos年-a =2cos'a-1=cos2a=1. sin(-2a) cos2a 方法二：原式 cos2a 2.1-tana v2sinct v2 -cosa 1+tana 2 2 cos2a cosa-sin (sina+cosa)2 cosa+sina cos2a (cosa-sina)(cosa+sina) cos2a=1. cos'a-sin'a 2)m<m,受受m 参考答案。 VTc=Vco-Vc0s V1-oa=V2小m号Vsin号 1+sina 1-sina 一十 V1+cosa -V1-cosa V1+cosa+V1-cosa 1+sing 1-sina -V2(cos号+sin号）V2(sin号cos号】 eos号+sin号了 in号-cos号 -V2 (cos tsin sin g-cos =-V2cos受 变式训练3解：c0s2(0+15°)+c0s2(0-15°)-Y3c0s20 2 -14cosl2g941591+1os20-1591-V2cos20 =1+2[cos(2030)+eos(2a-309)1-Ycos20 2 -1+(os20cos3(P-sin20sin30o2c3+sin20sin3() -Von20 =1+号X2c0s2c0s30°-Vy3c0s20=1+Y3c0s20- 2 2 3cos20-1. 2 例4证明：tan(a+B)=3tana可变形为sin(a+B)·cosa= 3 sinacos(ax+B)→sin(a+β)·cos-sina·cos(a+B)=2 sinacos(a+ B)→sin[(a+B)-a]=2sina·(cosocos3--sinasinB)→sinB=2sina· cosacos3-2sin2a·sinB→(1+2sin2a)·sinB=sin2a·cos3. 两边同乘以2cos3(cos3≠0，否则由1+2sin'a≠0得 sinB=0,矛盾)， 得(1+2sin2a)·sin2B=sin2a·2cosB=→sin2p+(1-cos2a)· sin28-sin2a(1+cos28)>2sin28-sin2a-sin2acos2B+cos2asin28= sin(2a+2B).∴.命题成立 变式训练4证明：左边=tanx+,L=sim2+cosx= tan cos sin 1-c92红j+1+c924P 2+2c0s22x sinx+cosx 2 21 4 sincosx 子功2 =1.1-c0s4x 4 2 44.1+cos4 =23cos4w)-右边tant,L=2(3+cos4e 1-cos4x 1-cos4x tan 1-cos4x 例5解：)-一号（1-2)+V号(2mo+ (2osx-1）+号-Ysin2x+7cos2r+号-sm2r+君+ 2-2 多，)的最小正周期1空m由题意得2必m号≤ 2x+石≤2km+受，keZ,即km-号≤≤km+石，keZ, 55 N 高中数学必修第三册人教B版 ∴fx)的单调增区间为km-号，km+石，keZ 变式训练5解：(1)fx)=sin(rox)COSx+-cos2wx, fe)=对nco+1co2u=号sn2wr+7coe2a+号 2 =V2sn2r+子)+7.由于o0,依题意得无=m, 2 ∴.0=1. (2)由(1)知f)=2sn2+年)+号，ge)f2x) =Ysm4++3当0≤x≤时，寻≤+牙≤罗 2 Y7≤n4+牙)s1.因此1≤g)≤+y2.故) 2 2 在区间0，无]上的最小值为1. 数学文化 例D【解析】t=2sin18°，.2cos27°-1 tV4-P 1 c0s54° 4mi80s182= sin360 sin360 2sin18V4-4sin'180 故选D. 8.2.4三角恒等变换的应用 第1课时半角的正弦、余弦和正切 要点精析 例1 ()C【解析】由题意知受e0,受)cos受>0. cos号-√194-0.故选c 2 6 (2)D【解析】V:o3设=Vog=Vim- Itanal; sina 2in号osan号 sina_ sino 1+cosa 2os号 2 1-cos2a 2sin'a 2sina 1-cos2a. 2sin'a =tana.故选D. sin2a 2sinacosa 变式训练1sn号【解折】√oa-V9m- 2 Vsm号sm受 ae(,2m),号e(受，π，sing>0,枚原式 n号 sin+cos号)2 例2解：原式 v2eos受-v2sim受 小sin号-cos号}2 V2os受+V2sim受 56 .原式= -V2(sin受+cos受)V2(sin受-cos受) 如号as竖，如号tw受V2s号 v2 +V2 变式训练2解：“罗<02，平<号<m,0in号< 2， 从而n号+os号<0，n号-cs号0 原式Vm号号T-V号w号了 =mgo引-kngw-mgm号 sn号o号=2sn号 例3解：由罗<3m,且o号可知，co0=-子，号 5 由sin20=1cos91+3 2 5 hor号-1g1是 2=2-2-5,Cos8=-V5 2 5 -=2. 2 5 变式训练3解：(m号-cos受1-sn写，snu= 5 2 2。子，解得之2或an没 2 2 450<a<540°，25°<号<270，tan号>l,tan号= 2. 综上可知，sna号，am受2 2 例4证明：（1）左边=1+2x1+c020-c0s20=2=右边.原 2 等式成立 (2)左边= 2sinxcosx 2sin5cos号2sin'号)2sin5cos+2sin'号）】