8.2.2 两角和与差的正弦、正切-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 8.2.2 两角和与差的正弦、正切 第1课时两角和与差的正弦 学习目标 变式训练1 化简下列各式， 1.理解两角和与差的正弦公式的推导过 程及公式的结构特征， (1)sinx+牙+2simx-牙-V3· 2.掌握两角和与差的正弦公式并能运用 cos 公式进行化简和求值， : (2)sin(2B)-2cos(a+B). 要点精析 sino 川要点1两角和与差的正弦公式的简单应用： 例1(1）sin47°-sinl7cos30°=( c0s17° A.-V3 2 B.-2 c D.V3 2 (2)求sinl57°cos67°+cos23°sin67的值， 川要点2给值求值问题 (3)求sin(0+75°)+cos(0+45°)-V3· cos(0+15)的值. 例2设ae受，m,Be贸，2如， 分析(1)化简求值应注意公式的 逆用. 若cosu=-2,ing=-Y,求sn(a+B 2 (2)(3)对于非特殊角的三角函数式 的值. 化简应转化为特殊角的三角函数值. (74)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 变式训练2 变式训练4 (变结论)若例2中的条件不变，试求 /(1\口知sime5,∈2’π/，cosB sin(a-B)+cos(o-B)的值. ,B是第三象限角，求sin(aB),sin(a- 5 B)的值 (2)已知a∈0，罗，Be罗，， 且sin(a48)2得.coy-吾，求ina 川要点3给值求角问题 变式训练3 例3已知α，B均为锐角，且cos= (变条件)若将例2中的角B的条件改 sinB=- 求-B. 为在第三象限，其他条件不变，则结果 V5 10 如何？ 分析根据平方关系求出sina,cosB, 从而可求出sin(ax-B). 学(75 N 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 反思感悟 已知，B的三角函数值，求，B的 解决三角形中的有关问题的解题方法： 和或差的值，通常是先求其三角函数值， (1)三角形的内角和等于180° 再求角.需要注意的是，要先对角的范围进 (2)创设条件使之能运用两角和与差 行判断，再确定其值， 的三角函数公式， (3)记住以下常用结论。 变式训练⑤ 在△ABC中，sin(A+B)=sinC,cos(A+ 已知e0,,Be-牙，0，且 )=COsC,sinA2B-cos Z: Cos4+B-sin C 2 1 coa-子，ingY语，试球角a的大小 tan(A+B)=-tanC. B变式训练6 在△ABC中，若2 cosBsinA=sinC,则 △ABC的形状一定是(） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 要点5 asinx+-bcosxz=Va2+b2sin(x+0) 的应用 Ⅱ要点4利用公式解三角形 例5求函数y=sin 号-20 eos+20 例4在△ABC中，sinA+cosA=Y2 的最大值和最小正周期 2 分析将函数解析式化为y=Asin(ωx+ 求sinA的值， P)的形式，然后求其最大值和最小正 周期， 76)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 反思感悟 例6已知函数y=sinx+cosx+2 sinxcosx+-2. 使用公式asinx+bcosx=V+bsin(x+0) (1)若x∈R,求函数的最大值和最小值； 时应注意的问题： (2)若x∈ 0, 2 ,求函数的最大值 (1)asinx,bcosx中的x是同一个角. 和最小值 (2)一般在提取系数时，我们提取 分析 将sinx+cosx平方得1+2 sinxcosx, Va+b,特殊情况下，也可以提取-Va+b丽 于是sinr+cosx和2 sinxcosx可用一个未知数 (3)0由cos0= a sin=- 代替，这样就可以把原函数转化为关于此 Va+b2 Va+b2 未知数的二次函数 决定，通常将0化归到区间 (4)若令sino= b COS= Va+b2 Va+b 则有asinx+-bcosx=-Vab2.(singsinx+cosocosx) =Va+b2cos(x-o). B变式训练⑦ 求函数f(x)=3cos5x+4sin5x的最大值、 最小值、最小正周期. 反思感悟 在解与三角函数有关的最值问题中经 常用到三角函数的有界性，即|sinx|≤1， lcosxl≤1.在这类问题中，要注意最值点是 否在定义域内 变式训练8 求函数f(x)= sinxcosx 的最大值和最 1+sinx+cosx 小值. 学77 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练9 ! 数学文化 桔槔见于《墨子·备城门》，作“颉皋”， 例德国著名的天文 是一种利用杠杆原理的取水机械.桔槔的结 学家开普勒说过：“几何 构相当于一个普通的杠杆，在其横长杆的某 学里有两件宝，一个是勾 处（点O处）由竖木支撑或悬吊起来，横杆 股定理，另一个是黄金分 的一端（点A处）用一根绳子与汲器相连， 割.如果把勾股定理比作 另一端（点B处）绑上一块重石头，如图： 黄金矿的话，那么可以把 图8-2-5 8-2-4所示，已知CD⊥BC,OD=L1,OC=L2 黄金分割比作钻石刊矿.”黄金三角形有两种， 当要汲水时，人用力将绳子与汲器往下压， 其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形 汲满后，就让另一端的石头下降.经测量，： 被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 0B=子m,=V2m,当桶装清水时水与 :36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的 等腰三角形)·例如，五角星由五个黄金三 桶共重150N,且当水桶恰好离开水面时， 角形与一个正五边形组成，如图所示，在其 横杆与套桶的绳的夹角为105°，则在没有外 力的干扰下，当水桶恰好离开水面，且杠杆： 中一个黄金△ABC中，BC=V写-L.根据 AC 2 处于静止状态时，石头的重力约为() 这些信息，可得sinl26°=() [由杠杆原理知，当杠杆处于静止状态时有 A.1-2V5 B.3+V5 FL1=FL2(F等于水和桶的重力，F等于石 4 8 头的重力)·绳子的质量忽略不计，V3≈ C.1+V5 D.4+V5 8 1.732 D A.400.5N B.419N C.439.2N D.445N 图8-2-4 78)学 第八章向呈的数量积与三角恒等变换。 第2课时两角和与差的正切 学习目标 变式训练① 1.理解两角和与差的正切公式的推导 (1)求tanl05的值； 2.掌握公式的正、逆向及变形运用 (2)已知co0=号.0em,罗，求 3.能够灵活应用和、差角公式进行化 简、求值、证明. an0-平的值。 要点精析 川要点1两角和与差的正切公式的直接应用？ 例1已知sina=- ，α是第四象限角， 3 求tana-年，tana-受的值 例2求下列各式的值： (1)V3-tan15 1+V3 tan15 (2)(1+tan1)(1+tan2°)…(1+tan44); (3)tan25°+tan35°+V3tan25tan35°. 反思感悟 运用两角和与差的正切公式时应注意： (1)公式TB成立的条件是：a≠kT+ ∑，B≠km+5,a8≠km+牙(k∈Z). (2)公式TwB成立的条件是：≠kT+ 受，B≠m+受，a-B≠6m+号(keZ),且 在从左向右写出等式时，角，B的位置不 要写反 学(79 N 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 川要点2给值求值问题 (1)“1”的代换：在T中，如果分 子中出现“1”常利用1=tan45°来代换，以 例3已知sina=号，ae(0,2m), 达到化简求值的目的， (2)若a+B=T+kT,k∈Z,则有(1+ tan(a-B)=7,求tans及tan(2a-5). 4 tana)(1+tanB)=2. 分析先求出tana,然后将所求式中 的角拆分，并运用两角和与差的正切公式 (3)公式tan(a+B)= tang+tanB 有以下 1-tanotanB 求解 些变形： Dtana+tanB=tan(a+B)(1-tanatanB); DtanatanB=1-tana+tang tan(a+B) 3tana+tanB+tanatanBtan (a+B)=tan (a+ B); ④当B=T时，tan(a+B)=-tana+ 4 4/ 1+tana 1-tana 对于公式tan(a-B)=anax-tan眼 也有 1+tanatanB 变式训练3 类似的结论」 已知tan(a+B)=5,tan(aB)=3,求tan2a, 变式训练2 tan2g,tan2a+平 求值：(1) sinl5°+cos15o sin15-cos15; (2)an石-0tan石+0+V3ian石 tan石+0. 80)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 要点3给值求角问题 川要点4利用公式解三角形 例4已知ama-B)=7,ang=-7,a, 例5已知在△ABC中，满足tanA+ tanB+V3 =V3 tanAtanB,sinAcosA B∈(0，T),求2axB的值. 分析本题主要考查已知三角函数值V43子，判断△ABC的形状 求角，可先利用已知条件求出tan(2a-B)的 值，然后由2-B的范围作出判断，求出 2a-B的值. 变式训练 B变式训练④ 已知△ABC中，tanB+tanC+V3 tanBtanC 已知-牙<a<受，-号B<受，且aa, =V3,V3 tanA+V3 tanB=tanAtanB-1, tanB是方程x2+6x+7-0的两根，求a+B的值. 试判断△ABC的形状. 学(81 N 高中数学必修第三册人教B版 数学文化 准备用数学知识探究大雁塔的高度与x,B 的关系.该小组测得αx,B的若干数据并分析 例大雁塔作为 测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔 现存最早、规模最大 的距离d,使α与B的差较大时，可以提高 的唐代四方楼阁式砖 测量精确度，求αB最大时，标杆到大雁塔 塔，是凝聚了中国古 B 的距离d为 m. 代劳动人民智慧结晶 图8-2-6 分析本题是两角和与差的正切在生 的标志性建筑.如图所示，已知∠ABE=Q, 活中的应用，结合条件，选择合理公式解决 ∠ADE=B,垂直放置的标杆BC的高度h=:问题. 4m,大雁塔高度H=64m.某数学兴趣小组 82)学=124cos号-号+g月 =12+4sim54君）(0≤1≤18). 0≤1≤18.石≤g+g≤1 6 号≤sn哥+君)≤1，-22≤4sn哥+g)≤4， 90≤12+4sin(g+石)）≤156。 ,∴g(t)m=156,即他们所在的高度之和的最大值约为 156.故选C 变式训练7解：(1)如图 设EF与圆D相切于点H,连 接DH,DE,则DH⊥EF,DH= AD=15,.Rt△ADE与Rt△HED E 全等，.AE-EH,∠ADE∠HDE= 变式训练7答图 20°. 在Rt△HED中，EH=DH·tan20°=15tan20°，∠HDF=90° -2∠ADE=50°， 在Rt△FHD中，HF=AD.tan50°=l5tan50°， EP-BH+HF=15om20ran50)-15(28+8 =15xsin20cos50°+cos20°sin50° cos20°cos50° =15×os70°cos50°+sin70°sin500 cos20°cos50° =15×c0s(70°-50°) cos20°c0s50° 15 cos50 ≈23.3. 数学文化 例A【解析】设大正方形的边长为1，由于小正方形 与大正方形面积之比为4：9，“小正方形的边长为子， eosw-sna=号①.sing-cos9g=子② 由图可得cosa=sinB,sina=cos3, ①×②可得4 9 -cosasinB+sinacosB-cosacosB-sinasing- sinB+c0sB-c0s(a-B)=l-cos(a-B),解得cos(a-B)=).故 选A. 8.2.2两角和与差的正弦、正切 第1课时两角和与差的正弦 要点精析 例1(1)C【解析】sin47°-sin17cos30 cos17° =sin(17+30)-sin17cos30 cos17° =sin17cos30°+cos17°sin30°-sinl17°cos30° cos17° -os7030°=sin30=7.故选C. cos170 参考答案。 (2)解：原式=sim(180°-23°)cos67°+cos23°sin67°= sin23cos67°+cos23sin67°=sin(23°+67°)=sin90°=1. (3)解：sin(0+75)+cos(0+45°)-V3cos(0+15°)= sin(0+15°+60°)+cos(0+15°+30°)-V3cos(0+15°)=sin(0+ 15)cos60°cos(0+15°)sin60°+cos(0+15°)cos30°-sin(0+15°)· sin30-V3cos(0+15)=2sim(0+15°)+3c0s(0+15)+ Y写c0s(0415)3sn(415°)-V3cos(0+159)-0. 变式训练1解：（I)原式=-sincos-号+osin号+2sin· cos骨-2号-V3cos2号caer-V3sm7snr=}sn+ con-V3 0罗coa子inm-分2int 9-v3+os0 (2)原式=sin[(a+β)+a]-2cos(a3)sina sina =sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina sina =sin[(a+β)-al=sinB sina sina 例2解：ae(受，，coa=,sina=Y号.Be (受.2m,ng=3,og2 sin (a)-sinacog tcossi 2 变式训练2解：sin(a-B)+cos(a-B)=-sinccos3-cosasinB+ c94 sinasin--V3x3-2xX-Y5+号×号 2 +×4-}=- 变式i训练3解：ae(受，，coa=7,∴sna=Y B为第三象限角，c09= sin()singcop cosmsin ）9+40 变式训练4解：(1)sina=专，ae(受，π，osa= V1a-V-(专=}cg=-青B是第三象限 角，∴simg=-V1cosB=-√-高厂=号 dn(a+B)=n9+=专×3)+号)× (号}-g9.sin(inc-oir-号×-)-号】 51 N 高中数学必修第三册人教B版 x品=0 (2)由0<a<受，受<m,得受<a<,故由 sna4g-得得cosa8)洽由cog言得snp=是 65 in-in[in()i ×号 例3解：由已知a,B均为锐角，且cosa=,令，sinB= V10 、1 V10 ，·.sin(a-B)=-sinacos9-cososinB=1 2x3=-V2 V5V102 又sina<sin8,,0<a<g<7,-号<aB<0,a-B= 变式训练5解：a0,罗)，Be-受，0，a-Be(0, m以由cos-)=号，知snaf)=号由sng-Y吾，知 cos-72:.sina-sin[(a-B)+]-sin(a-B)costcos(a-B) ms号×2+号}妥.又ue0,引 a=牙 例4解：方法一：sinA+cosA=V2cos(4-45°)=Y2 2 cosA-451=2 又.0°<A<180°，.A-45°=60°，.A=105 .∴.sin4=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°= V2+V6 4 方法二：sin4+cos4=V2sin(A+45)=Y2，in(A+ 2 45)7 又.0°<A<180°，A+45=150°，A=105. .sinA=sin105=sin(45°+60°)=sin45cos60°+cos45sin60°= V2+V6 变式训练6C【解析】在△ABC中，sinC=sin(A+B)= sinA cosB +cosA sinB,..2cosBsinA =sinA cosB +cosA sinB, sinA cosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0,.'.A-B=0,A=B, 从而△ABC是等腰三角形，故选C. 例5解：-sim写-20)+cos号+20 52 =sim号cos20-os号sin20+cos7cos20-sin号sin29 =1ty3(eos20-sin20)=-V24V6. 2 2 sn20-平，当20-年=2km-受，即6m-g(kez) 4 时，=V2V6,2=m, 2 2 :函数的最大值是V2V6,最小正周期是 2 变式训练7解：f(x)=V32+4sin(5x+0)=5sin(5x+0).函 数f代x)=3cos5x+4sin5x的最大值是5，最小值是-5，最小正 风期为弩 例6解：(1)设=sinx+cosx=V2sinr+4)e[-V2, V2],=1+2sinxcosx,..2sinxcosx=2-1. f+1=4号2e.34V yam=3V2,w=是 (2)若xe[0,罗]，则te[1,V21.ye3,3+ V2],即ym=3+V2,ym=3. 变式训练8解：设simr+cosx可，则=V2sinx+年) l≤sin+平)≤l,又：l+≠0，te[-V2, t2-1 -U1.21.则mom号，e=云=号当 2 -V2时，fx)取最小值-V?+1；当=V2时，fx)取最 2 大值Y?1.因此，x)的最小值是-V?+1,最大值是 2 2 V2-1 2 变式训练9C【解析】由题意得，∠0AD=180°-105°=75°， 则∠B0C=∠A0D=15°， l.=0c-0Bcas159-7cos45-30)=2(cos45rcos30+ sints'sn30)6 2 2 (m). 由FL1=FL,得V64V2F=150V2,解得F= 8 600(V3-1)≈439.2(N), ·.当水桶恰好离开水面，且杠杆处于静止状态时，石 头的重力约为439.2N.故选C. 数学文化 例C【解析】△ABC是顶角为36°的等腰三角形， ·∠ACB=72°，则cos72°=cs∠ACB=2 2=V5-l 4 sin126°=sin(90°+36°)=c0s36°，而c0s72°=c0s(36°+36°)= c0s236°-sin236°=c0s236°-(1-c0s236°)=2c0s236°-1， ow36=V2-V+￥5-V2g- 2 16 V5+1.故选C. 4 第2课时两角和与差的正切 要点精析 例1解：sina-子，a是第四象限角，得c0a=V个sma V-新4 5 3 ma-子于是有m- tang-tan T 4 cosa 4 4/= 5 1+tanatan 4 3-1 sma-).-sin(5u） 4 tana-受j =-c0sa=5 cosa-号eos号-a）mm 3 5 变式训练1解：(1)tanl05°=tan(180°-75)=-tan75°= 1+V3 -tan(45°+30°)=- 3.3+V3.126V3=-2V3. 1-V33-V3 6 3 2)o=将0e,号，sm0=-V1ow6 3,tan0-sin0、5 - cose 12 tand-tan T-1 7 1m牙1t7 1+an60ani50=tam(60°-15°)=tan450 例2解：(1)原式=tan60°-taml5° =1. (2).(1+tanl°)(1+tan44o)=1+tan1°+tan44°+tanltan44° =1+tan(1°+44°)·(1-tan1°tan44°)+tan1°tan44°=1+tan45o- tan45tan1tan44°+tan1tan44°-2， 同理(1+tan2°)(1+tan43°)=2，…， ∴.原式=22 (3)tan60°=tan(25°+35°)=tan25+an35°， I-tan259tan35=V3, .'.tan25+tan35=V3 (1-tan25tan35),.'.tan25+tan35 +V3tan25tan35°=V3. 变式训练2解：(1)原式=anl5+l-anl5°+tan450 tan15-1 tan45tan150-1- -tan(15°+45)=-tan60°=-V3. (2)原式=tan[(石-0)+石+0小：[1-tam石-0： 参考答案。 ian石+8)+V3tan石e)tan石0）=tang·[l-tan石)： tam石0)+V3iam石0ltan石0=V3-V3tam石0： tan石++V3tan石-0tan石+0)=V3. 例3解：sina=号>0，ae(0,m). (d)）当ae(0,Σ)时，cosa=V1-sima-V1-号= 3 cosa 4 4' 31 .'.tanB-tan[a-(a-B)]=tana-tan(a-B)=422 +tanctan(a-β)1+3×11/ 3,1 tan(2o-B)=tan[a+(ax-B)]=tancttan(aB42=2 I-tanatan(a-B)13 (2)当ae(受，m时，coa=-V1-sima=-1V-(3T 4 5 .'.tano=sina= 5 3 cosa 4 4 5 31 .'.tanB=tan[a-(a-B)]=tana-tan(a-B)_ 42 +tntan(-B)1+子x7 =-2, 31 tan(2o-B)-tan[o+(a-B)]-tancttan(a-B)+ 1 ancta(o91子)x3 品 综上可得，当ae0,号)时，anp-品，am(2ap)归 2:当ae(号m时，mg-2,m(2a9)= 变式训练3解：tan2a=tan[(a+p)+(a-B)]= n设把2广58g=号ms-mag-a- aema器-a-gm2a上≥- 14号 例4解：ang=-号，an(-A)=号，.anan[(a-B)+ B]=tan(a-B)+tanB 1-tan(c-B)tan91-↓x-号）3 53 N 高中数学必修第三册人教B版 11 tan(2a-B)=tan[(a-B)+a]=tan(a-B)+tana 23 F1-tana-B)anal-3× l.tma=}0,ag-70.ae0.受，Be受，m, a-Be(-T,0). 又an(u-B)=>0,a-Be(-m，-）,2B-a+ (a-B)e(-T,0). 顶am（2a-B=1.2a-g=-子 变式训练4解：由根与系数的关系，得tana+tanB=-6<0 tanatanB=7>0,.'.tana<0,tanB<0. ∴.-T<a+B<0. m(a)器吾， ag 例5解：若tanA tanB=l,tanA+tanB+V3=V3· tanA tanB,则tanA+tanB-0,.tanA=-tanB,tanB=-1,不可 能，故tanA tanB≠1. 由amA+em+V3=V3am4ans得，品 -V3,即tan(A+B)=-V3. :.tanC=-tan(A+B)=V3,从而C=60° 由=手得inos清=6整理得16co4- 4 16c0s1+3-0,c0sA=或cos1=,解得cos4=±Y写 4 2 或cos1=±7又4e(0,m,4=30或150或60或120 当A=150°或120°时不符合题意，舍去. 当A=30°时，C=60°，.B=90°，与tanB有意义矛盾， 舍去..A=60°，B=60°，C=60°，即△ABC为正三角形 变式训l练5解：若tanBtanC=l,.tanB+tanC+V3 tanBtanC- V3,则tanB+tanC=0,∴tanB=-tanC,∴tanC=-l,不可 能，故tanBtanC≠1. 由tanB+tanC+V3 tanBtanC=V3得，tanB+tanC 1-tanBtanC V3,tan(B+C)=V3.同理tanA tanB≠l,V3tanA+ V3 tanB=tanAtanB-1:..targian=3.'tan(A+B) 1-tanBtanA =Y又A,B,C为△1BC的内角，B+C=60,A+ B=150°，.∴A=120°，B=C=30°，∴.△ABC为顶角是钝角的等 腰三角形. 数学文化 例16V下【臀折】由题意得0诗B0-号 54 N 6460 因此tan(aw-B)=tana-tae dd 4 1+tanatanB 1+64.60 d+64×60 dd d 1 ,当且仅当d=16V15时取等号，因 21/d.64x60 8V5 d 此当d=l6V15时，tan(a-B)取最大值，即标杆到大雁塔 的距离d为16V15m. 8.2.3倍角公式 要点精析 例1解：(1)原式= 2 24 (2)原式=c0s(2×750°)=c0s1500°=c0s(4×360°+60°)= cos60°=7 (3)原式=tan(2x150°)=tan300°=tan(360°-60°)=-tan60° =-13. (4)原式=cos10°-V3sin10 sin10°cos10° 22cos10°-Yy3sin10 2/1 sinl0°cosl0° =4(sin30°cos10°-cos30°sinl10°） 2sinl0°cos10° =4sim20°=4. sin20° 变式训练1解：()原式=子×2sn号co心日=宁×oin牙 ixV.v2 2 (2)原式=c0s2×石)=c0s号=号 °32 3）原式=号1-2m晋)7os异=分xV7-Y 2 4 (4)原式-tan(2x15)=tan30=Y3 3 例2解：(1)由sina4cosa=Y3两边平方可得1+sin2a 3 号，sin2a=号a是第二象限角，∴sina0,cosa0,c0a- sina=-V(cosa-sina)=-V1-sin2a=V15 3 coia=(cos+ina)(co-ina) = (2)方法一：sin年+asn牙-a=sin牙+a· cos牙aG,sim(2+2a）F3,即cos2a=号 a∈7，m,则2ae(m,2m), sin2a=-V-cos2a=2y2」 3