8.2.1 两角和与差的余弦-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 8.2 三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 反思感悟 学习目标 (1)在两角和与差的余弦公式中，0， 1.掌握两角和与差的余弦公式，会利用 B可以是单个角，也可以是两个角的和或 公式进行三角函数式的化简和求值， 差，在运用公式时常将两角的和或差视为 2.掌握常用角的变换，会利用公式进行 一个整体。 化简和求值 (2)两角和与差的余弦公式在求值应 用中的一般思路。 要点精析 ①把非特殊角转化为特殊角的和或差， 正用公式直接求值 要点1公式的简单应用 ②在转化过程中，充分利用诱导公式， 例1(1)cos345的值等于（) 构造两角和或差的余弦公式的结构形式， A.V2-V6 B.V6-V2 然后逆用公式求值 4 C.V2+V6 D.-V2+V6 变式训练1 4 4 求下列各式的值。 (2)化简下列各式： ①cos(0+21°)cos(0-24°)+sin(0+21°)· Dews段： sin(0-24°)： (2)sin460°sin(-160°)+cos560°. ②-sinl67°sin223+sin257°sin313°. cos(-280°)： (3)cos(a+20°)cos(40°-ax)-sin(a+ 20°)sin(40°-ax). 70)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 要点2逆用或变形应用公式 例3化简： 2cos10°-sin20° c0s20° 例2求下列各式的值 (1)cos(x+20°)cos(x-40°)+cos(x-70°)· sin(x-40°)； (2)sin347°cos148°+sin77cos58°. 变式训练3 求2cos50°-Y3sinl0°的值. cos10° 反思感悟 本题若将各式用两角和与差的三角函 数公式展开，运算将很麻烦，以上解法是 对上式进行整体分析，寻找角度之间的关 系，再逆用公式进行化简 川要点3给值求值问题 变式训练2 例4设cos-号-号，sin91- 求下列各式的值. (1)cos80°cos35°+cos10°cos55°； 其中ae7,π，Be0,牙，求 (2)si血5tcos号 cos+坦的值. °121 学(71 N 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 川要点4给值求角问题 给值求值问题的解题步骤： (1)找角的差异：已知某些角的三角 例5已知a,B均为锐角，且cosa= 函数值，求另外一些角的三角函数值，先 注意观察已知角与所求表达式中角的差异 2Y5,cag-,求9的值 (2)拆角与凑角：根据需要灵活地进 行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：= (a+B)-B,a=B-(B-a),a=(2a-B)-(a-B), a-l(B)+(a-B)l.a-L(B+)-(B-c 等 (3)求解：结合公式C4求解便可 B 变式训练4 已知cos(2a-g)=-Y,2,sin(&-28)= 2 Z,且a受，0g晋，求csa48, 4 变式训练⑤ 已知coa=7,os(a+B)=-4,且a, Be0,) 求B的值. (72)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换 数学文化 变式训练6 例 《周髀算经》中给 石景山游乐园“梦 出了弦图.所谓弦图是由四个 想之星”摩天轮采用国 全等的直角三角形和中间一 内首创的横梁中轴结构， 个小正方形拼成一个大正方 风格现代简约.“梦想之 图8-2-3 形，若图中直角三角形的两 星”摩天轮直径88m, 图8-2-1 锐角分别为，B,且小正方形与大正方形面 总高约100m,匀速旋转一周时间为18min, 积之比为4：9，则cos(a-B)的值为() 配有42个球形全透视360度全景座舱.如果 不考虑座舱高度等其他因素，该摩天轮的示 A. B.4 9 意图如图所示，游客从离地面最近的位置进 C.2 D.0 入座舱，旋转一周后出舱.甲、乙两名同学 通过即时交流工具发现，他们两人进入各自 座舱的时间相差6min.这两名同学在摩天 轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的 最大值约为() A.78m B.112m C.156m D.188m B变式训练⑦ 如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵 古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半 径划定圆D作为保护区域，已知AB=30m, AD=15m,点E为AB上的动点，点F为 CD上的动点，满足EF与圆D相切.若 ∠ADE=20°，求EF的长.(cos50°≈0.643， 长度精确到0.1m) E 图8-2-2 学(73b=(-4,-6). 例2(1)-3【解析】a+mb=(2+m,4+m),·.b⊥(a+mb), ∴(2+m)×1+(4+m)×1=0,得m=-3. (2)解：AB=(2,3),AC=(1,k),BC=AC-AB= (-1,k-3). 2 若∠A=90,则AE:C=-2×1+3x=0,k=-号；若 ∠B=90°，则AEBC=2×(-1)+3(k-3)=0,k=号；若 ∠C=90°，则ACBC=1×(-1)+k(k-3)=0,:k=3±V13 2 故所求k的值为-子或号或社)B 变式训练2解：AB-t0C=(-3,-1)-t(2,-1)=(-3-2t, t-1),(4B-0C)10C,.(AB-t0C)0C=2(-3-2t)-(t 1)=-5t-5=0..t=-1. 例3解：co8治V5司 -2λ-1 又.90°<0180°，.-1<cos0<0, V5VT0, ∴.-1< -2λ-1 -2A-1<0, 1-2λ-1>-V52+5, 即 得N>2 解得 (2λ+1)2<5λ2+5，λ≠2， A的取值范围是（乃，2U(2,+∞） 变式训练3(1)解：由a=(1,V3),b=(V3+1, V3-1),得ab=V3+1+V3×(V3-1)=4,lal=2,b= 2V2.设a与b的夹角为，则co8☆=V7,又0≤ 0≤，年 (2)证明：由条件得AB=(1,1),BC=(-4,3),CA= (3,-4),ABBC=-4+3=-1<0,AB,BC的夹角是钝角， 从而∠ABC为锐角.同理∠BCA,∠BAC也为锐角，·.△ABC 是锐角三角形 例4解：(1)a=(3,5),b=(-2,1),a-2b= (3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3),a-2bV7+32= V58. (2)a…b=3×(-2)+5×1=-6+5=-1,.∴c=a+b=(1,6), .lcl=V1+6=V37. 变式训练4解：设点D的坐标为(x,y),则AD=(x-2, y+1),BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2).点D在直线BC 上，即BD与BC共线，.存在实数入，使BD=ABC, 即(x-3,y-2)=A(-6,-3). 22-2.印1O 又AD⊥BC,AD·BC=0,即(x-2,y+1)(-6,-3) =0,∴.-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0. 参考答案。 联立方程组-2+10.解得， 2x+y-3=0, y=1. 点D的坐标为(1,1)，4D=V(1-2)+(1+1=V5. 例5解：(1)：点C是直线0P上一点，.向量0C与 0P共线，设0C=t0P(teR),则0C=(2t,t).CA=0A 0C=(1-2t,7-t),CB=0B-0C=(5-2t,1-t), .CA.CB=(1-2i)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5-20+12=5(t-2)2-8. 当=2时，CACB取得最小值，此时0C=(4,2). (2)由(1)知0C=(4,2),CA=(-3,5), CB=(1,-1), ..ICA'l=V34,ICBI=V2,CA'.CB=-8,..cosLACB= C4.cB=-4V7 ICA'ICBI 17 变式测练5解：a=(V5,1).b分空 ma+-3b=V3+2,-143-3 2 n=a*h=V36++,+Y,小又mln,m a=0,即V3+号)3+2+5-3： -6+5=0,4k+i(-3)=0,h=3,址= 2 4 t 3(44+3)=-2丹子，故当2时，有 最大值子 数学文化 例解：(1)MN=MA+d4+AN,MN=MB+BB+ BN,两式相加，又M,N分别是线段AB1,AB2的中 点，=(A+B,品). (2)由已知可得向量AA?与BB,的模分别为1与2， 夹角为号，AABB=1,由=号(AA+BB)得 =√4aA+BEP=V+BG+24不·B园 =V 2 >"8.2三角恒等变换 8.21两角和与差的余弦 要点精析 例1(1)C【解析】cos345°=cos(360°-15)=cos15°=cos(45 -30°)=0545cos30°+sin45°sin30°=V6+YD.故选C. (2)解：①原式=cos[(0+21)-(0-24)]=c0s45°=V2 2 ②原式=-sin(180°-13)sin(180°+43)+sin(180°+77°)· sin(360°-47°)=sinl3°sin43°+sin77sin47°sin13sin43+cos13°. 49 N 高中数学必修第三册人教B版 c0s43=c0s(13°-43)=cos(-30°)=V3 变式训练1解：()osz0sT+B)-c0s号 =-c设8-os(牙君） =-cos4cos石+sin4sin】 =2x+2x2》 2 2 =-V6+V2 4 (2)原式=-sin100°sin160°+cos200°cos280°=-sin80°， sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos60 (3)cos(a+20°)cos(40°-a)-sin(+20°)sin(40°-a)= c0s[(a+20°)+(40°-a)]=cos60°=1 Γ21 例2解：(1)原式=cos(x+20°)cos(x-40°)+sim[90°+(x- 70°)]sin(x-40°)=cos(x+20°)cos(x-40°)+sin(x+20°)sin(x- 40)cos[+20)-(x-401=os60P=号 (2)原式=sin(-13°+360°)cos(180°-32°)+sin77°cos58°= sin(-13)(-cos32°)+sin77°cos58°=-sin13°(-cos32°)+sin77°， c0s(90°-32°)=cos77°cos32°+sin77°sin32°=cos(77°-32°)= c0s45=V② 2 变式训练2解：(1)）原式=cos80°cos35+sin80°sin35°= C0s(80°-35)=c0s45°=V2 2原式=vzV竖sm骨+V2oB =V2(sin4sim7+eos牙cos8】 -V2 cos)V7 cos-V6 6 2 例3解：原式=2c0s(30°-20°)-sin20°- c0s20° V3cos20°+sin20°-sin20°=V3. cos20° 变式训练3解：原式=2cos(60°-10°)-V3sin10 cos10° =2(cos60cos10°+sin60°sinl0°)-V3sinl0° cos100 =2cos60°cos10°+2sin60°sinl0°-V3sim10° cos10° =cos10°+V3sinl0°-V3sinl0° cos10° =cos10°=1 cos10° 例4解：ae(受，m,Be0,受)，a-号e 年，gBe军，罗)， 50 sina-号=V1-cose-号)=V对-4y os号)-V1sm受=g=Y coy9xs[e-号号 =cosa-号)cos()+na-号)sm(gpj gx+号×4y- 9 27 变式训练4解：“平a<号，08<牙“骨<2a<m vc in(-) 2 牙a<受.0牙晋<a-2号 ine2p9=V,0a-28c号.asa-28=Y7 ..cos(a+B)=cos[(2a-B)-(a-2B)]-cos(2a-B)cos(a-2B) tsin(2a-B)sin(a-2B)--V2x V2+V2xV2=0. 2 2 2 2 例5解：a,6均为锐角，：sin=V5,sng=3VD 5 10 ..cos(a-B)=cosacosB+sinasinB=2V5x5x 5 10 5 3V⑩-Yy2.又sina<sinB,0<a<f<受，-<a-B< 10 2 0,aB=平 变式训练5解：a,Be0,7,且coa=7,cos(ap) )sinVI-coy sin(aB)-VI-c-B(aB)-o.- cosIB)-a]-os()coain()sina=x Y源4y-安又8eo,号.号 14 7 变式训练6C【解析】：角速度为符=号，游客从离 地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为f(t)= 44sing-罗+56=4cosg456(0≤1≤18). 由题意可得，甲、乙在摩天轮上游玩的过程中他们所 在的高度之和 ge)=4cosg+56+[44cosg(+6)+56] =124eos号4cos4月 =I24含m号+g 2 =124cos号-g利 =124cos号-号+g月 =12+4sim54君）(0≤1≤18). 0≤1≤18.石≤g+g≤1 6 号≤sn哥+君)≤1，-22≤4sn哥+g)≤4， 90≤12+4sin(g+石)）≤156。 ,∴g(t)m=156,即他们所在的高度之和的最大值约为 156.故选C 变式训练7解：(1)如图 设EF与圆D相切于点H,连 接DH,DE,则DH⊥EF,DH= AD=15,.Rt△ADE与Rt△HED E 全等，.AE-EH,∠ADE∠HDE= 变式训练7答图 20°. 在Rt△HED中，EH=DH·tan20°=15tan20°，∠HDF=90° -2∠ADE=50°， 在Rt△FHD中，HF=AD.tan50°=l5tan50°， EP-BH+HF=15om20ran50)-15(28+8 =15xsin20cos50°+cos20°sin50° cos20°cos50° =15×os70°cos50°+sin70°sin500 cos20°cos50° =15×c0s(70°-50°) cos20°c0s50° 15 cos50 ≈23.3. 数学文化 例A【解析】设大正方形的边长为1，由于小正方形 与大正方形面积之比为4：9，“小正方形的边长为子， eosw-sna=号①.sing-cos9g=子② 由图可得cosa=sinB,sina=cos3, ①×②可得4 9 -cosasinB+sinacosB-cosacosB-sinasing- sinB+c0sB-c0s(a-B)=l-cos(a-B),解得cos(a-B)=).故 选A. 8.2.2两角和与差的正弦、正切 第1课时两角和与差的正弦 要点精析 例1(1)C【解析】sin47°-sin17cos30 cos17° =sin(17+30)-sin17cos30 cos17° =sin17cos30°+cos17°sin30°-sinl17°cos30° cos17° -os7030°=sin30=7.故选C. cos170 参考答案。 (2)解：原式=sim(180°-23°)cos67°+cos23°sin67°= sin23cos67°+cos23sin67°=sin(23°+67°)=sin90°=1. (3)解：sin(0+75)+cos(0+45°)-V3cos(0+15°)= sin(0+15°+60°)+cos(0+15°+30°)-V3cos(0+15°)=sin(0+ 15)cos60°cos(0+15°)sin60°+cos(0+15°)cos30°-sin(0+15°)· sin30-V3cos(0+15)=2sim(0+15°)+3c0s(0+15)+ Y写c0s(0415)3sn(415°)-V3cos(0+159)-0. 变式训练1解：（I)原式=-sincos-号+osin号+2sin· cos骨-2号-V3cos2号caer-V3sm7snr=}sn+ con-V3 0罗coa子inm-分2int 9-v3+os0 (2)原式=sin[(a+β)+a]-2cos(a3)sina sina =sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina sina =sin[(a+β)-al=sinB sina sina 例2解：ae(受，，coa=,sina=Y号.Be (受.2m,ng=3,og2 sin (a)-sinacog tcossi 2 变式训练2解：sin(a-B)+cos(a-B)=-sinccos3-cosasinB+ c94 sinasin--V3x3-2xX-Y5+号×号 2 +×4-}=- 变式i训练3解：ae(受，，coa=7,∴sna=Y B为第三象限角，c09= sin()singcop cosmsin ）9+40 变式训练4解：(1)sina=专，ae(受，π，osa= V1a-V-(专=}cg=-青B是第三象限 角，∴simg=-V1cosB=-√-高厂=号 dn(a+B)=n9+=专×3)+号)× (号}-g9.sin(inc-oir-号×-)-号】 51