8.1.3 向量数量积的坐标运算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高中数学必修第三册人教B版 8.1.3向量数量积的坐标运算 学习目标 B变式训练① 1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进 已知a=(-3,-2),b=(-4,k),若 行向量数量积的坐标运算。 (5a-b)·(b-3a)=-55,试求b的坐标. 2.能运用数量积表示两个向量的夹角、 计算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系. 要点精析 川要点1向量数量积的坐标运算 向量内积的坐标运算：已知a=(x1,y1), b=(x2,y2),a.b=xw2tyy2 例1已知向量a=(1,3),b=(2,5), 川要点2两向量垂直的坐标表示 c=(2,1).求： (1)ab;(2)(a+b)·(2a-b);(3)(a 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件： b)c,a.(bc). 设a=(x1,y),b=(x2,y2),则a⊥b台 x1x2+y0y2=0. 例2（1)设a=(2,4),b=(1,1), 若b1(a+mb),则实数m= (2)在△ABC中，AB=(2,3),AC= (1,k),若△ABC是直角三角形，求k的值. 反思感悟 对于公式的直接应用，体现了一种程 序化的思想，就是将已知逐步代入公式， 直至算出结果，由(3)也进一步验证了向 量的数量积的运算律中不适合结合律，即 (ab)c≠a(bc). 66)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 反思感悟 分析a与b的夹角0为钝角时，ab< 利用向量数量积的坐标表示解决垂直 0.当ab<0时，T<0≤π，因此求解本题 问题的实质是把垂直条件代数化，题(2)》 中未明确哪个角是直角，故要分类讨论 时，要排除0=T,即a与b反向的时候， B变式训练2 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1, 4),B(-2,3),C(2,-1),若(AB-t0C) ⊥OC,求实数t的值. 反思感悟 利用向量法求夹角的方法与技巧： (1)若求向量a与b的夹角，利用公 式cos(a,b)=ab= Xx2+YIY2 当 lalb1Vx+y听V场+y 向量的夹角为特殊角时，再求出这个角 川要点3两向量夹角的坐标表示 (2)非零向量a与b的夹角0与向量 设非零向量a=(a1,a2),b=(b1,b2). 的数量积的关系. 1)cosa,b)=8i论分cosa,b) ①若0为直角，则充要条件为向量a1 b. 则转化为ab=0→xx2+y0y2=0. ab +ab2 ②若0为锐角，则充要条件为ab>0, Vai+aVbi+b3 且a与b的夹角不能为0（即a与b的方向 (2)labl≤lallbl台lab1+ab2l≤Va+a· 不能相同) 1V6+b ③若0为钝角，则充要条件为b<0, 例3已知a=(-2,-1),b=(入，1)，若：」 且a与b的夹角不能为T(即a与b的方 a与b的夹角0为钝角，求入的取值范围. 向不能相反)· 学 67 N 高中数学必修第三册人教B版 B变式训练③ 反思感悟 求向量的模的两种基本策略： (1)已知a=(1,V3),b=(V3+1, (1)字母表示下的运算：利用laP=a2, V3-1),求a与b的夹角： 将向量模的运算转化为向量与向量的数量 (2)已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5), 积的问题， 求证：△ABC是锐角三角形. (2)坐标表示下的运算：若=(x,y), 则aa=a2=lalP=x2+y2,于是有lal=Vx2+y2. B变式训练④ 已知在△ABC中，A(2,-1),B(3,2), C(-3,-1),AD为BC边上的高，求点D的 坐标与4D1. 川要点4向量的长度、距离问题 例4设平面向量a=(3,5),b=(-2,1), (1)求a-2b的坐标和模的大小； (2)若c=a-(ab)·b,求lcl. 68)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 川要点5向量数量积的综合应用 数学文化 例5已知0P=(2,1),0A=(1,7), 例如图，∠AOB= OB=(5,1),设C是直线OP上的一点（其 3， 动点A1,A2与B, 中0为坐标原点)· B2分别在射线OA,OB (1)求使CA.CB取得最小值时的OC: 上，且线段AA2的长为 图8-1-3 (2)对于(1)中求出的点C,求 1,线段BB2的长为2， cos∠ACB. 点M,N分别是线段AB1,AB2的中点. (1)用向量AA与BB表示向量MN; (2)求向量MN的模. 变式训练5 已知a=V3,-1),b}, 且存在实数k和t,使m=a+(t2-3)b,n=ka+ tb,且mLn,试求k+r的最大值. 学(69N 高中数学必修第三册人教B版 确； a[b(ac)-c(ab)]=(ab)(ac)-(ac)(ab)=0,故④ 正确、 变式训练1①③④【解析】根据向量数量积的分配律知① 正确； [(b·c)a-(c…a)b]c=(bc)(ac)-(ca)·(bc)=0, ∴(bc)a-(ca)b与c垂直，②错误； .a,b不共线，.al,b1,la-b1组成三角形三边，.la- b1<a-b1成立，③正确； ④正确.故正确命题的序号是①③④ 例2解：a-b=llbicost425,a+-bl-Va+b乎=Va+2a-b+b 2， =5V3,la-bl=V(a-b)=VlaP-2a.b+IbF=5,13a+bl= V(3a+b)'=V91aP+6a~b+lb-5V13】 变式训练2解：已知a·b=lallblcos0=4x2xcos120°=-4，a 1a2=16,b2=lb12=4. (1).a+b12=(a+b)2=a2+2ab+b2=16+2x(-4)+4=12,.a+ b1=2V3. (2).3a-4b1P=(3a-4h)2=9a2-24a-b+16b2=9×16-24×(-4) +16x4=16x19,∴.13a-4b1=4V19. (3).(a+b)·(a-2b)=a2-2a-b+a-b-2b2=16-(-4)-2×4 12,.1(a+b)·(a-2b)1=12. 例3解：若c⊥d,则c·d=0,即(3a+5b)·(ma-3b)=0, 3ma2-9a.b+5ma.b-15b2-0.a=laP=9,b2=lbP=4,a.b= ah-cac60r-3,得27m-27415m60-0.解得m=程 变式训练3解：：四边形ABCD为平行四边形，A可= BC'=b,..BD'=AD'-AB=b-a,mAC'=a+b,..BD'.AC'=(b- a)(b+a)=b2-a2=lbP-la.又.lal=bl,.BD.AC=0,即BD⊥ AC. 例4证明：设P可=ACD,，并设正三角形ABC的边长为a, 则有所-=P而+Dm-ACD+?B所=A子B-BC)+}Bm =3(2A+1)B-AB配 又=B所-}BC,/,设=kE,3(2A+ 1)BA-ARC-A BC 号2A+1 于是有 解得A= Pm=成，C亦励.又C子-庇， BC+i+9-BC+9(号-BC=BC+号， .市=(C+号厨-C=子C厨 号+员瓜号mC品o60-+员-等 acos60°=0，BF⊥C,BP⊥CD. 变式训练4解：四边形ABCD是矩形.理由： 48 .a+b+c+d=0,.a+b=-(c+d),.(a+b)2=(c+d)2,即laP+ 2a.b+lbl2=lcP+2cd+ldl2. 由于a…b=c·d,aP+b1=lcP+dP,① 同理有laP+ldI2=lc2+b2.② 由①②可得lal=lcl,且b=ld,即四边形ABCD两组对 边分别相等.∴.四边形ABCD是平行四边形. 由a·b=b·c,有b·(a-c)=0,而由平行四边形ABCD可 得a=-c,代入上式得b·(2a)=0,即a·b=0,a⊥b,即 AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形. 例5解：(1)a1b,ab=0.又x⊥y,xy=0,即 [a+(t-3)b]·(-ha+tb)=0, 整理得-ka2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)b2-0..lal=2,bl=1, 4k+-30,即k=4(-30). 2南0)知，6=号30-2广0即西数 的最小值为名 变式训练5解：不能.证明： ,向量a与b是两个互相垂直的单位向量， .la=b1=1,ab=0. 又lmP=(ka+b)2=k2+1,ln2=(a+kb)2=k2+1, m=(ka+b)·(a+kb)=2h, .2h=Vk2+1·V2+1·C0s60°，即4h=k2+1,解得k=2± V3,这与k为整数矛盾，m与n的夹角不能等于60°. 数学文化 例ABC【解析】在正八边形ABCDEFGH中，HD⊥ BF,则m-0,①正确：0-0m=1 xlxe评-Y7, ②正确；0B+0丽=V20A=-V20E,③正确；连接AF, Af-m=i0-,则1+1-2x1x1xcos要-2 V2,由此得A日-F丽1=A下=V2+V2,④错误.故选 ABC. 8.1.3向量数量积的坐标运算 要点精析 例1解：(1)ab=(1,3)(2,5)=1×2+3x5=17. (2).a+b=(1,3)+(2,5)=(3,8),2a-b=2×(1,3)- (2,5)=(2,6)-(2,5)=(0,1),∴.(a+b)·(2a-b)=(3,8)· (0,1)=3x0+8×1=8. (3)(ab)c=17c=17×(2,1)=(34,17),a·(bc)=a· [(2,5)·(2,1)]=·(2×2+5×1)=90=(9,27). 变式训练1解：方法一：a=(-3,-2),b=(4,k),5a- b=(-11.-10-k),b-3a=(5,k+6). .(5a-b)·(b-3a)=(-11,-10-k)·(5,k+6)=-55-(k+ 10)(k+6)=-55, ..(k+10)(k+6)=0,..k=-10或k=-6,..b=(-4,-10) 或b=(-4,-6). 方法二：(5a-b)·(b-3a)=5ab-15a2-b2+3ab=-15a2+ 8a·b-b2=-15×(9+4)+8[(-3)×(-4)-2h]-(16+2)=-55.整理 得k2+16k+60=0,解得k=-10或k=-6,.·b=(-4,-10)或 b=(-4,-6) 例2(1)-3【解析】a+mb=(2+m,4+m),·b⊥(a+mb), ∴(2+m)×1+(4+m)×1=0,得m=-3. (2)解：AB=(2,3),AC=(1,k),BC=AC-AB= (-1,k-3). 若∠A=0,则.AC-2x1+3=0,k=号；若 ∠B=90°，则A店，BC=2×(-1)+3(k-3)=0,k=号；若 ∠C=90°，则AC·BC=1x(-1)+h(k-3)=0,h=3±V13 2 故所求k的值为-子或}或3社)B 3 2 变式训练2解：AB-10C=(-3,-1)-1(2,-1)=(-3-21, t-1),(AB-0C)10C,.(AB-0C)0C=2(-3-21)-(t 1)=-5t-5=0,t=-1. 例3解：cwe8i论V3次 -2入-1 又.90°<0k180°，.∴-1<cos0<0, .-1< -2-1<0, .-2A-1<0, /5·1Vλ+1 -2λ-1>-V5λ2+5， 即A>子， 解得 (2λ+1)2<5λ2+5，λ≠2， A的取值范围是7,2U(2,+), 变式训练3(1)解：由a=(1,V3),b=(V3+1, V3-1),得ab=V3+1+V3x(V3-1)=4,lal=2,b= 2V7.设a与b的夹角为a.则ca-8☆-VY竖，又0≤ ≤，4 (2)证明：由条件得AB=(1,1),BC=(-4,3),CA= (3,-4),AB·BC=-4+3=-1<0,AB,BC的夹角是钝角 从而∠ABC为锐角.同理∠BCA,∠BAC也为锐角，∴.△ABC 是锐角三角形. 例4解：(1)a=(3,5),b=(-2,1),a-2b= (3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3),.a-2bl=V7+32 /58. (2)ab=3×(-2)+5×1=-6+5=-1,∴.c=a+b=(1,6), .lcl=V1+6=V37. 变式训练4解：设点D的坐标为(x,y),则A可=(x-2, y+1),BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2).点D在直线BC 上，即BD与BC共线，.存在实数入，使BD=ABC, 即(x-3,y-2)=A(-6,-3). 226-2,即31n 又AD⊥BC,Ad.BC=0,即(x-2,y+1)(-6,-3) =0,∴.-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0. 参考答案。 联立方程组-2+10解得=l, 2x+y-3=0, y=1. 点D的坐标为(1,1)，4D=V(1-2+(1+1=V5. 例5解：(1)点C是直线OP上一点，.向量OC与 Op共线，设OC=t0p(teR),则0C=(2t,t.CA=0A 0C=(1-21,7-t),CB=0B-0C=(5-2,1-t), .CA.CB=(1-2)(5-2)+(7-4)(1-4)=52-20+12-5(1-2)2-8. 当t=2时，C.CB取得最小值，此时0C=(4,2). (2)由(1)知0C=(4,2),C=(-3,5), C8=(1,-1), .ICA=V34,ICB=V2,CA·CB=-8,∴.cos∠ACB= CA'.CB_4V17 ICA IICBI 17 变式训练5解：a=(V5,-.b}罗 m*36V3+23,-1YV53》 2 n=a+b=V3+女，+3小.又m1n,m: n=0,即(V3+23)V3++-1+V3 k+30,4he-3)=0,k=3, 2 4 （43)-24子故等2时.年有 最大值子 数学文化 例解：(1)MN=MA+A4+AN,MN=MB+BB+ BN,两式相加，又M,N分别是线段AB1,AB2的中 点，MN=号(A4+B,B). (2)由己知可得向量AA?与BB,的模分别为1与2， 夹角为牙，AAB房=1，由=子(A+B)得 =V4(MA+B6P=号VA+BE+21M·BB 2 =V7 2 m8.2三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 要点精析 例1(1)C【解析】cos345°=c0s(360°-15)=cos15°-cos(45 -30°)=c0s459cos30°+sin45°sin30°=V6+V2.故选C. 4 (2)解：①原式=c0s[(0421)-(0-24)]=c0s45°=Y2 ②原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)· sin(360°-47°)=sinl3°sin43°+sin77sin47°-sin13sin43°+cos13°. 49