7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 所求x的集合是arctan-了，+acan兮. (3)由(2)可知，x=kπ+arctan-?或x=hkπ+r+arctan-3 仫eZ,∴所求x的取值集合为xk=kT+arctan子(eZ) 变式训练3解：()由正切函数在开区间(~受，受上 是增函数可知，符合条件tana=-2的角只有一个，即a= arctan(-2). (2),tana=-2<0,∴a是第二或第四象限角.又a∈ [0,2m],由正切函数在区间（受，小，（贺，2]上是增 函数可知，符合tana=-2的角有两个.“.tan(π+a)=tan(2r+ a)-tana=-2且aretan(-2)e(←7,0.a=m+arctan(-2)或 a=2m+arctan(-2). (3)a=km+arctan(-2)(Z). m,=Vg.将M: 例4解：tanM=V3, cosA sinB V2cosB代人，有V2cosB-V3cosB cosA sinB 若cosB=0,则sinA=0,而A,B∈(0，T),此时无解. eosB≠0.eosl=V号nk 由sin4=V7cosB及cosd=√号snB,平方后相加得 2osB+号snBl,即sinB=,sinB=±Y.0<B<m， snA=Y写，=号或 2 3 当B=号时，sm4=V2cs号=Y2,A=牙或平 2 4 (舍).当B=2时，sinM=V2c0s2红=-Y2与0<4<m 3 2 不盾，故A=骨，号，C=侣 变式训练4解：()-l≤x≤1，arcsine-牙，乃] a=arcsinx,.'x=sina,.'.sin(arcsinc)=sina=x. (2).·-l≤x≤1，.∴.arccosx∈[0，T].设a=arccosx, ∴.x=cosa,∴.cos(arccosx)=-cosa=x. (3)-1≤x≤1，∴.arccosx∈[0，T].设a=arccosx, .'.x=cosa,.'.sin(arccosx)=sina=V1-cos'a =V1-x2. (4)ER.arctane()=arctans, tana,:sin((aretanx))sina,即已知tand,且ae-7,及) 时，求sina的值， .x=tang=sina ，ax2-sina=sina cosa cosa1-sina’sina= V1+x2 (sina的正、负由x确定) 数学文化 例AD【解析】正、余弦函数的值域均为[-1,1]， 46 .“反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为[-1,1]， 故A正确.y正弦函数y=siv在[-牙，牙]单调递增， 增大时，x也增大，即“反正弦函数”单调递增，同理可 知，“反余弦函数”单调递减，故B错误.由B选项可知， “反余弦函数”单调递减，不可能是偶函数，故C错误.设 arcsinx=o,arccosx2B,sina=1,cosB=x2,,2>0, a,Be(0,7又+5=l,则sina+cosB=l,即sina sinB,,.∴sina=sinB,则a=3,即arcsinx1=arcsinx2,故D正确 故选AD. “7.4数学建模活动：周期现象的描述 要点精析 例1解：(1)如图： 42 6 420 64 20 -2246810121416182022247i 例1答图 (2)由图（表）知，泰山山顶一天中的最大温差约为 28-(-2)=30(℃). 变式训练1解：(1)散点图如图. ◆p/mmHg 136.65-yt--t11x1 93 人1 可51015202530354045505560 变式训练1答图 (2)从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T (15s),血压就重复出现相同的数值，因此，血压是周期 性变化的. 例2解：·.1h=60min=12x5min,且水车5min转1圈， .1h内水车转12圈.又.水车上装有16个盛水槽，每个盛 水槽最多盛水10L,.每转一圈，最多盛水16x10=160(L), .水车1h内最多盛水160x12=1920(L). 变式训练2解：设xmin后盛水yL,由例2知每转一圈， 水车最多盛水16x10=160(L),y=号·160=32，为使水 车盛800L的水，则有32x≥800，.x≥25，即水车盛800L 的水至少需要25min. 例3设小球从点M处放下，经过平衡位置O到达最高点 参考答案。 N,由于第一次到达平衡位置的时间为0.5s,因此由M点 而2.4-1.6=0.8s,.经过1min后摆球在点0处. 第一次到达N点的时间为1s,由V处摆动到平衡位置是 数学文化 第二次到达平衡位置，用时0.5s,到达M点用时0.5s,从 点M再次达到平衡位置点O，即第三次到达平衡位置又用 例50【解析】据F=5V2sin(100ml-7)知w= 时0.5s.故第三次经过平衡位置的时间为1+0.5+0.5+0.5= 100 rad/s,该通信信号的周期为T=2π= 2.5(s). 2石=6002s,则 变式训练3解：由题知，该摆球摆动一个来回需用时3.2s, 这种通信信号在05s内往复传输的次数为=2·号-2必05 .:1min=60s=(18×3.2+2.4)s, 50(次). 第八章向量的数量积与三角恒等变换 >"8.1向量的数量积 4×2=8. 变式训练2①②⑥⑧【解析】由于a2≥0，b2≥0，.若 8.11向量数量积的概念 a2+b2=0,则a=b=0,.①正确： 要点精析 若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量， 例1(1)D(2)90°150°【解析】(1)：向量1al=2, ∴.ac=-bc,∴.lac=lbcl,.②正确； hV5,且ab-3,cosa,b=8岛=-Y a,b共线→ab=±lab1,③不正确： 2 对于④，应有lab1≥ab,.④不正确： 又(a,b)e[0,π]，a,b)=5π.故选D. 对于⑤，应该是a·aa=laa,∴.⑤不正确； 6 a2+b2≥2 lallb1≥2ab,.⑥正确； (2)在△ABC中，AB=4,BC=2,AB.BC=-4,A. 当a与b的夹角为0°时，也有ab>0,.⑦不正确： IBC'lcos(AB,BC)=-4,4x2cos( 1 blcos0表示向量b在向量a上的投影的数量，.⑧正 B)=4,c06=号，得B=60 确.综上可知①②⑥⑧正确 -2【解析】(1)∵向量b的模 如图，延长BC到D,使CD=BC 例3)A2②)-号 则△ABD为等边三角形，·AC⊥BC 为1，且b在a上的投影的数量为V -,则1b1cos(a,b)= ∠BAC=30°，.向量BC与CA的夹角 2 D 为90°，AB与CA的夹角为150°. 例1答图 Yy3,得cosa,b=)5.(a,b)e[0,ml,∴a,b) 2 2 变式训练1(1)D(2)2Y2【解析】(1)设两个 =石=30.故选A 单位向量分别为e,e2,则e1e2=cos(e1,e2)=-l,由于 (2),·平面向量lal=2,b=6且ab=-4,.lallblcos(a, (e1,e2)e[0,π]，∴(e,e2)=T.故选D.(2)a是单位 向量，且3a-b=lbl,则3 lallblcos(a,b)=lb1,得cos(a,b) b)=-4,得cos(a,b)=-}.a在b上投影的数量为al =月.又sin2(a,b)+cos2(a,b)=l,得sina,b=8 cosa,b=-号，b在a上投影的数量为tblcos(a,.b=-2。 0≤(a,b}≤m,sin(a,b)=2Y2 变式训练3(1)D(2)6【解析】(1)如图，取AB 3 的中点H,连接CH,则向量AC在AB 例2(1)③④(2)8【解析】(1)由数量积的定义知 上的投影的数量为AH=AClcos∠CAB ab=lab1cos0(0为向量a,b的夹角). .AB.AC=IABI.IAC lcos CA B=IABI. ①若a·b=0.则0-90°或a=0或b=0,故①错误： ②若a-b<0,则0为钝角或0=180°，故②错误： A1=2.故选D. (2)·向量a在向量b上的投影的 ③由AB.BC=0知B=90°，故△ABC为直角三角形，故 数量是2，b=3,则ab=lallblcos(a,b》 ③正确； 变式训练3答图 =(lalcos(a,b))Ibl=2x3=6. ④a=laP=1,b2=bP=1,故④正确 8.1.2向量数量积的运算律 (2)如图，过点A作AD⊥BC, 垂足为D.AB=AC,BD=BC=2 要点精析 例1④【解析】两个非零向量a,b垂直时，ab=0,故 于是BA'Icos LABC=-B=)BC= ①不正确； 例2答图 当a=0,b⊥c时，ab=bc=0,但不能得出a=c,故② 2x4-2,B·BC=eos∠ABC- 不正确： 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正 477.4数学建模活动 学习目标 1.了解周期现象在现实中广泛存在， 2.感受周期现象对实际工作的意义. 3.能熟练地判断简单的实际问题的周期， 要点精析 川要点1利用图象判断周期现象 例1下表是2022年5月1日在泰山山 顶每隔2h测得的温度（单位：℃）· 时刻 气温 (续表) 0 13.5 时刻 气温 2 6.0 14 22.5 4 0.1 16 27.5 6 -2 18 28 8 0.14 20 27.3 10 5.9 22 21.0 12 14.1 24 14.5 (1)以时刻为x轴，以气温为y轴，描 出图象： (2)若山顶的温度随时刻t的变化具有周 期现象，试估计泰山山顶一天中的最大温差 第七章三角函数。 周期现象的描述 反思感悟 利用图象判断周期现象的方法 (1)由题中提供的数据画出图象； (2)观察图象是否是随着一个变量的 等值变化，另一个变量的值重复出现，若 满足，则是周期现象 B变式训练① 我们的心跳都是有节奏、有规律的，心 脏跳动时，血压在增大或减小.下表是某人 在一分钟内的血压与时间的对应关系表，通 过表中数据来研究血压变化的规律」 t/s 5 10 15 20 25 30 p/mmHg93.35136.65 115 93.35 136.65 115 t/s 35 40 45 50 55 60 p/mmHg 93.35 136.65 115 93.35136.65115 (1)根据上表提供的数据在平面直角坐 标系中作出血压p与时间t的关系的散点图； (2)说明血压变化的规律」 学(57 N 高中数学必修第三册人教B版 川要点2周期现象的计算问题 例2水车上装有16个盛水槽，每个 盛水槽最多盛水10L,假设水车5min转一 圈，计算1h内最多盛水多少升. 反思感悟 (1)应用周期现象中“周而复始”的 规律性可以达到“化繁为简”“化无限为 有限”的目的。 (2)只要确定好周期现象中重复出现 的“基本单位”，就可以把问题转化到一个 周期内来解决 B变式训练2 利用例2中的水车盛800L的水，至少 需要多少时间？ 58)学 川要点3周期现象的应用 例3一根长为1的线，一端固定， 一端悬挂一个小球，如图.已知小球从M点 放下，经过0.5s第一次到达平衡位置0， 求小球第三次经过平衡位置O的时间】 图7-4-1 反思感悟 应用周期现象解决实际问题的两个要点 判断某种周期现象的“周期”时，要 找 仔细审题，找准最基本的“重复单位” 就是其“周期” 只要确定了周期现象中的“周期”，我 化 们就可以把问题转化到一个“周期” 内解决 变式训练3 如图是一单摆，摆球从点B到点O,再 到点C用时1.6s(不计阻力).若从摆球在 点B处开始计时，经过1min后，请估计摆 球相对于点0的位置. wuiiiuia B 图7-4-3 第七章三角函数。 数学文化 傅立叶变换是数字信号处理领域一种 很重要的算法.要知道傅立叶变换算法的意 义，首先要了解傅立叶原理的意义.傅立叶 原理表明：任何连续测量的时序或信号， 都可以表示为不同频率的正弦波信号的无 限叠加.而根据该原理创立的傅立叶变换算 法利用直接测量到的原始信号，以累加方 式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、 振幅和相位 例已知某种通信信号F(dBm)随时 间t(s)的变化规律可以拟合为函数F= 5V2sim100m-牙，te[0,+∞)，则这种 通信信号在0.5s内往复传输 次 学(59