7.3.5 已知三角函数值求角-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

7.3.5已知 学习目标 1.会由已知三角函数值求角， 2.了解反正弦、反余弦、反正切的意 义，并会用符号arcsinx,arccosx,arctanx表 示角， 3.已知三角函数值，会使用计算器求角. 要点精析 川要点1已知正弦值求角 例1已知sinx=V3」 2 ()当x∈-受，牙时，求x的取值 集合； (2)当x∈[0,2π]时，求x的取值 集合； (3)当x∈R时，求x的取值集合. 第七章三角函数。 三角函数值求角 反思感悟 (1)给值求角问题，由于范围不同， 所得的角可能不同，一定要注意范围条件 的约束作用 (2)对于已知正弦值求角有如下规律： X∈ x∈[0,2T] sinx= 0≤a≤1 -1≤a<0 a(lal 2,2 ≤1) xi=arcsina x=T+arcsina x2=T-arcsina x2=2T-arcsina 变式训练1 已知sina=-1 在下列条件下求a: (1)a∈ 2’2； (2)a∈R. 学 53 N 高中数学必修第三册人教B版 川要点2已知余弦值求角 例2已知c0sx=-0.287. (1)当x∈[0，T]时，求x; (2)当x∈R时，求x的取值集合 分析解答本题可先求出定义arccoso 的范围的角x,然后再根据题目要求，利用 诱导公式求出相应的角x的集合」 反思感悟 cosx=a（-1≤a≤1)，当x∈[0，T] 时，则x=arccosa,当x∈R时，可先求得 [0,2π]内的所有解，再利用周期性可求 得{xx=2kT±arccosa,k∈Z}. B变式训练2 已知cosa=-1, ,e,),求a (54)学 川要点3已知正切值求角 例3(1)已知amx=号且xe (2)已知tanx=}且x∈[0,2π]，求x 3 的取值集合； (3）)已知tanx= 且x∈R,求x的取值 3 集合 反思感悟 (1)已知角的正切值求角，可先求出 受，受内的角，再由)=tane的周期性 表示所给范围内的角 (2)tana=a,a∈R的解集为{ala=kr+ arctana,k∈Z}. B变式训练③ 已知tana=-2,满足下列条件时，求角a ()ae-,:(2)ae[0,2m: (3)aER. 川要点4综合应用 例4已知A,B为△ABC的两个内角， 且满足sin4=V2cosB,tanA三mB·求 △ABC三个内角的度数. 第七章三角函数。 反思感悟 (1)本题运用了三角消元方法，它是 处理多角度问题的一种常见方法 (2)在求出角B后进行了讨论，舍去 其中2π这种情况.另外在求得角A后又进 3 行讨论，它们都是围绕三角形内角和展开 的.有时仅这一点还不够，还必须借助其他 条件进行取舍 变式训练4 计算下列各题 (l)sin(arcsinx)(-l≤x≤1)； (2)cos(arccosx)(-l≤x≤1)； (3)sin(arccosx)(-l≤x≤1)； (4)sin(arctanx)(xER). 学(55 N 高中数学必修第三册人教B版 数学文化 例（多选题）对于正弦函数fx)=sinx, 当x后-受，受时，x关于y的函数称为 “反正弦函数”，记作f(x)=arcsinx,如 2=石；同样的，对于余弦函数gx) cosx,当xe[0,π]时，x关于y的函数称 为“反余弦函数”，记作g(x)=arccosx,如 (56)学 ?宁-号，则下列说法正确的有（） A.“反正弦函数”与“反余弦函数”的 定义域均为[-1,1] B.“反正弦函数”与“反余弦函数”的 单调性相同 C.“反正弦函数”是奇函数，“反余弦 函数”是偶函数 D.若x1,x2>0,且x+x3=1,则arcsinx= arccosx2由图象可知，函数y=tanx是偶函数，单调递增区间为 [B,km+受)(keZ),单调递减区间为牙+6m,km (k∈Z),周期为π 变式训练7解：（①）了(x)=tan受号），w=子，周 期T石于-2，令艺号经ez,得m+号 2 (keZ),fx)的对称中心是kπ+2开，0）(keZ) 3 (2)令受号-0，则令受号=受则受 令受-号=-受，则x=-号函数yan受号)的图象与 x轴的一个交点坐标是号，0，在这个交点左、右两侧 相邻的两条渐近线方程分别是=-号，x=,从而得 函数fx)an支号)在一个周期（号，西）内的简图。 y=am(5-)xe(牙，) 2π 5π 变式训练7答图 数学文化 例①④【解析】由于f(x)=anx的周期为T,①正 确；函数f代x)=tanx为奇函数，②不正确；f0)=tan0=0,③不 正确：④表明函数为增函数，而fx)tanx为区间（←2，） 上的增函数，④正确；⑤由函数f(x)=tanx的图象可知，设 A=,B=空)，故函数在区间受，0上 2 有f些>2，在区间0，受)上有f营)< 2 fx)f(2】,⑤不正确. 例题答图 参考答案。 7.3.5已知三角函数值求角 要点精析 例1解：（1)=sinx在[-受，上是增函数，且sin写 =,=号号是所求集合 (2)sinx=Y30,x为第一或第二象限的角，且 2 如号n-号罗 在[0,2m]上符合条件的角有x=号或x=号mx 的取值集合为（号，牙} (3)当xeR时，x的取值集合为x2kπ+写或=2km+ kez 变式训练1解：（)）a=acn2、a=石 (2)sna=分，&eR.a=2kr+aresin3-2ka+7g 6 或a=-2km+2m--arcsin-)=2hm+11n=2km-及(keZ).即a= 2 6 6 2km+7g或a-2km-石(keZ). 6 例2解：(1)cosx=-0.287,且xe[0,T],x= arccos(-0.287). (2)当xeR时，先求出xe[0,2π]上的解.cos= -0.287,故x是第二或第三象限角. 由(1)知x=a心cos(-0.287)是第二象限角.，cos(2m- arccos(-0.287)=cos(arccos(-0.287)=-0.287, 2arccos(-0.287)e() 3T1 .x=2m-arccos(-0.287). 由余弦函数的周期性知，当x=2kT+x1或x=2kT+x2, k∈Z时，c0sx=0.287. 即所求x值的集合是{=2kT±arccos(0.287),k∈Z. 变式训练2解：由余弦函数在[0，π]上是减函数和 coa=-}可知，在[0，m]内符合条件的角有且只有一个 areeos5,即areeos(5)∈[0，].又coa=-<0, .arccos(-5)e[受，m0km-arccos(-5jk m<+-方k受，即2m-acs-片水 例3解：(1)在区间-受，受)上)=tanx是增函数，符 合条件的角是唯一的，=arctan-写 (2)'tan(π+a)=tana,x=π+arctan号或x=arctan- 3 45 N 高中数学必修第三册人教B版 所求x的集合是{arctan- 3 w+arctan 1 3 (3)由(2)可知，x=km+arctan-}或x=km+m+arctan?- keZ,所求x的取值集合为x-km+ardan-号（么eZ) 变式训练3解：(1)由正切函数在开区间(7，受上 是增函数可知，符合条件ana=-2的角只有一个，即a&= arctan(-2). (2)tana=-2<0,∴.a是第二或第四象限角.又ae [0,2m],由正切函数在区间（受，m小，（罗，2如上是增 函数可知，符合tana=-2的角有两个.'.tan(T+a)=tan(2r+ a)=tano=-2 H arctan(-2)e 0)..=+arctan(-2) a=2m+arctan(-2). (3)a=kT+arctan(-2)(Z). m,=Ve8.将in4 例4解：tan4=V3, cos4 sinB V2cosB代入，有V2cosB=V3cosB cosA sinB 若cosB=0,则siA=0,而A,Be(0,T),此时无解. ∴cosB≠0.cos4=V3sinB. 由sin4=V7eosB及cos4=√号sinB,平方后相加得 2os8+号snB-l,即snB=子，sinB-±.0cB<m， sinB=Y号，B=号或受 2 当B=号时，sinA=V2cos牙=Yy2 3 2 ,A=开或3 4 (舍).当B=2牙时，sin4=V2cos2织=-)与0<4<m 3 3 2 矛眉，故4=受，B=号，6=铝 变式训练4解：()-l≤x≤l,∴aresine7,及] a=arcsinx,.'x=sina,.'.sin(arcsinx)=sina=x. (2).-l≤x≤1，∴.arccosx E[0,T].设a=arccosx, .'x=cosa,.'cos(arccosx)=cosa=x. (3)-1≤x≤l,.arccose∈[0，π].设a=arccosx, .'x=cosa,.'sin(arccosx)=sina=V1-cosa =V1-2. (4)xeR.arctane-受，受)，设a=arctanx,x= tana,∴sin(artan)in,即已知tana,且ae←7，乏】 时，求sina的值， '.x=tang=Sina ，∴ax2=sina=sina cosa cos'a I-sina '.sina= 1 V1+x2 (sina的正、负由x确定). 数学文化 例AD【解析】.正、余弦函数的值域均为[-1,1]， 46 .“反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为[-1,1]， 故A正确.：正弦函数y=sim在[-7，牙]单调递增，可 增大时，x也增大，即“反正弦函数”单调递增，同理可 知，“反余弦函数”单调递减，故B错误.由B选项可知， “反余弦函数”单调递减，不可能是偶函数，故C错误.设 arcsinx=a,arccosx2=B,sina=x1,cos=x2,20, a,Be0,牙又+=l,则sin+eosB=1,即sina= sinB,.∴sina=sinB.则a=B,即arcsinx=arcsinx2,故D正a确 故选AD. ●"7.4数学建模活动：周期现象的描述 要点精析 例1解：(1)如图： 420 6 -2246810121416182022247i 例1答图 (2)由图（表）知，泰山山顶一天中的最大温差约为 28-(-2)=30(℃). 变式训练1解：(1)散点图如图. ↑p/mmHg 136.65 93.35 17 可51015202530354045505560内 变式训练1答图 (2)从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T (15s),血压就重复出现相同的数值，因此，血压是周期 性变化的. 例2解：.1h=60min=12×5min,且水车5min转1圈， .1h内水车转12圈.又水车上装有16个盛水槽，每个盛 水槽最多盛水10L,.每转一圈，最多盛水16x10=160(L), .水车1h内最多盛水160x12=1920(L). 变式训练2解：设xmin后盛水yL,由例2知每转一圈， 水车最多盛水16x10=160(L),y=号·160=32x,为使水 车盛800L的水，则有32x≥800，.x≥25，即水车盛800L 的水至少需要25min. 例3设小球从点M处放下，经过平衡位置O到达最高点