7.3.4 正切函数的性质与图象-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

0],[π，2r]【解析】(1)y=3-2cosx与y=3+2cosx的单 调性相反，由y=3+2cosx的递减区间为[2kT,T+2kπ] (k∈Z),=3-2cosx的递增区间为[2hm,π+2kπ](k∈ Z). (2)函数y=1+cosx的单调递增区间为[2kT+T,2π+ 2km](k∈Z),[2kT+m,2r+2kπ]∩[-T,2r]=[-T, 0]U[π，2π]，，y=1+cosx的单调递增区间为[-T,0], [T,2m]. 例6解：（)os8-c0s800<品m,而 c0sx在[0，m]上是减函数，0s贺>cos哥，即cos8】 cos0 (2)c0s(-828°)=c0s(-1080°+252°)=c0s252°，c0s(-765°) =cos(-1080°+315°)=cos315°，.180°<252°<315<360°，且 y=cosx在[180°，360°]上为增函数，.c0s252°<cos315° 即cos(-828°)<c0s(-765°). 变式训练6解：(1)cos1155°=cos(3×360°+75)=cos75° cos(-1516°)=c0s1516°=c0s(4×360°+76°)=cos76°，.y= cosx在[0°，90]上是递减的，且0°<75<7690°，∴c0s75 cos76,即c0s1155>cos(-1516）. 2)cos-2号cos2 3 ,y=cosx在[0，π]上是递减 的，且0k<<m,cos要>os9,即cos-2k cos (3)co()cos )coc os4+号=cos号，yo在[0，m】上是递减的， 且0<要<3平<m,0s>e0s平，即cosl7)< 例7C【解折】依题意位3.每得价子，故fe) 2osow)-l,丽f侣)l,号-山，号B 故T=m=2红，则w=2,寸x)=2c0s(2x+p)-l.2os石0） -1l,故君p=2mkeZ.又ok空.故g-石，“x) =2c0s2x-石）-山.将函数f代x)的图象上点的横坐标拉伸为 原来的3倍后，得到y-2c0s子石}-1，再向左平移受 个单位，得到g6)-2cos号+号-石}1-2os号+g1. 令-T+2km≤号+晋≤2m(ke2),故-7牙+3m≤ x≤-开+3km(keZ), 故函数gx)的单调递增区间为[7平+3站m,-牙+3m 参考答案。 (keZ).故选C. 变式训练7解：（山）由图可得A=3,1上4×等+子=4， 00.0=2牙=受f)3co(号p小的图象经 过点号3.3cos个否+p]3,-w-2kmke ),=2hm+eZ)0<0<m,p=,x) =3os+2 2）9m.9≤受+≤4) 3 3 的值域为多.3小4≤受+≤解得9≤m≤ 3 3 8故m的取值范用为.8 数学文化 例B【解析】y=-2cosx+c0sx+1,xe[-罗，受]是 偶函数，图象关于y轴对称，A,D错误：又当xe受，受] 时，cosx∈[0,1]，y=-2c0s2x+c0sx+1=-(2c0sx+1)(cosx-1) ≥0，C错误.故选B. 7.3.4正切函数的性质与图象 要点精析 例1解：变使m有意文，须满足≠m号，ke乙 l1-tanx≠0， k≠km+受，keZ,。 m+受，keZ, ·.原函数的定义 tanx≠1， ≠6m+，keZ 域为：≠hm+受且x≠km+平，keZ tanx≥l, 变式训练1解：根据题意，得lan+石)≠0： +君≠7+6m(keZ). +hm≤x<受hm, 4 解得≠-石+6m, (k∈Z). *罗Wn 函数的定义域为[牙+km,哥+hm)U(写+m,受 kT(k∈Z). 例2解：y=snc在[牙，牙]上是增函数，y=anx在 [平，牙]上也是增函数，函数y=sin+anr在[平，牙] 上是增函数. 当x=-牙时，函数有最小值，m=sin←牙)+an(-平》 43 N 高中数学必修第三册人教B版 =-2-1;当x=牙时，函数有最大值，=sin牙+tan平 2 =+1函数的值城为1，Y罗+ 变式训练2解：()xe0,平)，-牙≤x-平< 牙，y=mr平)在0，子上为增函数，且am(牙】 =-l,函数)=ian-平，xe0,子m的值域为[-l, +) (2)令t=tan,则teR,y=f+4t-1=(t+2)2-5≥-5，· 函数y=tan2x+4tanx-1的值域为[-5，+o）. 例3解：由anr+l>0,得tanr>l或tanr<-l, tanx-1 故函数的定义域为km受，km平)Uk+年，km+受】 (k EZ). 又-)an tan(-x)-1 (tanx+1)(tanx-1) 0, 即f-x)=f(x.f(x)为奇函数 变式训练3解：函数的定义域为{xx≠k+牙且x≠2水π+ π，k∈Z,其关于原点对称.又f(-x)=s血(-）-tan-x)= 1+cos(x) 二sinr+ant=-sinx-tanx=寸(x).函数y=sinr-tanr是奇 1+cosx 1+cosx 1+cosx 函数. 例4解：由2x-号6m+受，ke乙，可得x学经+高 4eZ,:原西数的定义骏为≠空+高m,keZ小由 -受<2-胃+号keZ.得经-B<经+B k后Z,∴原函数的单调增区间为经臣受+品小， ke乙由T品号，原函数的周期为号 变式训练4解：(1)y=an2x-3平)的单调区间为 km受km+受}keZ,m受2x-平c水m+受ke 乙，+号<x+gez,函数ym2x-) 的单调递增区间为经+号，受+)keZ), (2②)由于m-1jm4+要片am7-m子， m)=m2+号)=-am2.又0<<<受 而)=iamr在0，受)上单调递增，tam平an牙，an牙 >-am9,即am1严>m 44 例5解：m号-tmm+号=am2g,m2) -am4m+5）=-iamm-号引=am号，又-5<号<2号< 牙，=anc在-受，受)上是单调递增函数，tam> 变式训练5解：(1)90<156<171<270，而90°=受 270°=多，：函数y=ax在（受，3亚）上是增函数， ∴.tanl56°<tanl71°. 2)am-4-anl-am平m子，am个T) 4 4 =-m1名2=-amg4am石：函数)=amr在（受，号）上 6 6 是增函数，而-受名<牙受、am石dan界，即am1 >tan-17m】 6 例6解：如图所示，利用图象 知，在区间xe仁受受)上满 足anx≥V3的x的取值范围为 0 [牙，受，由正切函数的周期性 知，满足tanx≥V3的x的取值 范围为[km+写，k+受)(keZ). 变式训练6解：作出函数= 例6答图 amr,xe仁牙受)的图象， 如图所示.观察图象可得，在 受受内，自变量应满足 ≤≤石，由正切函数的周 4 期性可知，不等式的解集为 平+m≤≤g+m,kez 变式训练6答图 例7解：由y=Itanxl,得 ta,km≤xkm+受(keZ), = -tanx,-牙+km<(keZ), 其图象如图所示. 例7答图 由图象可知，函数y=tanx是偶函数，单调递增区间为 [B,km+受)(keZ),单调递减区间为牙+6m,km (k∈Z),周期为π 变式训练7解：（①）了(x)=tan受号），w=子，周 期T石于-2，令艺号经ez,得m+号 2 (keZ),fx)的对称中心是kπ+2开，0）(keZ) 3 (2)令受号-0，则令受号=受则受 令受-号=-受，则x=-号函数yan受号)的图象与 x轴的一个交点坐标是号，0，在这个交点左、右两侧 相邻的两条渐近线方程分别是=-号，x=,从而得 函数fx)an支号)在一个周期（号，西）内的简图。 y=am(5-)xe(牙，) 2π 5π 变式训练7答图 数学文化 例①④【解析】由于f(x)=anx的周期为T,①正 确；函数f代x)=tanx为奇函数，②不正确；f0)=tan0=0,③不 正确：④表明函数为增函数，而fx)tanx为区间（←2，） 上的增函数，④正确；⑤由函数f(x)=tanx的图象可知，设 A=,B=空)，故函数在区间受，0上 2 有f些>2，在区间0，受)上有f营)< 2 fx)f(2】,⑤不正确. 例题答图 参考答案。 7.3.5已知三角函数值求角 要点精析 例1解：（1)=sinx在[-受，上是增函数，且sin写 =,=号号是所求集合 (2)sinx=Y30,x为第一或第二象限的角，且 2 如号n-号罗 在[0,2m]上符合条件的角有x=号或x=号mx 的取值集合为（号，牙} (3)当xeR时，x的取值集合为x2kπ+写或=2km+ kez 变式训练1解：（)）a=acn2、a=石 (2)sna=分，&eR.a=2kr+aresin3-2ka+7g 6 或a=-2km+2m--arcsin-)=2hm+11n=2km-及(keZ).即a= 2 6 6 2km+7g或a-2km-石(keZ). 6 例2解：(1)cosx=-0.287,且xe[0,T],x= arccos(-0.287). (2)当xeR时，先求出xe[0,2π]上的解.cos= -0.287,故x是第二或第三象限角. 由(1)知x=a心cos(-0.287)是第二象限角.，cos(2m- arccos(-0.287)=cos(arccos(-0.287)=-0.287, 2arccos(-0.287)e() 3T1 .x=2m-arccos(-0.287). 由余弦函数的周期性知，当x=2kT+x1或x=2kT+x2, k∈Z时，c0sx=0.287. 即所求x值的集合是{=2kT±arccos(0.287),k∈Z. 变式训练2解：由余弦函数在[0，π]上是减函数和 coa=-}可知，在[0，m]内符合条件的角有且只有一个 areeos5,即areeos(5)∈[0，].又coa=-<0, .arccos(-5)e[受，m0km-arccos(-5jk m<+-方k受，即2m-acs-片水 例3解：(1)在区间-受，受)上)=tanx是增函数，符 合条件的角是唯一的，=arctan-写 (2)'tan(π+a)=tana,x=π+arctan号或x=arctan- 3 45N 高中数学必修第三册人教B版 7.3.4正切函数的性质与图象 学习目标 B变式训练① 1.掌握正切函数的性质，会求正切函数 求函数y=Vtan-L的定义域. 的定义域、值域和周期，会用函数的图象与 tanx+π 6 性质解决综合问题」 : 2.会作出正切函数的简图，并能借助图 象理解函数的性质. 要点精析 川要点1正切函数的定义域和值域 例1求函数)广1-ianx 1一的定义域 例2求函数)=six+ia在[-，】 上的值域。 反思感悟 求正切函数定义域的方法及求值域的 注意点： (1)求与正切函数有关的函数的定义 域时，除了求函数定义域的一般要求外， 还要保证正切函数y=tanx有意义，即x≠ 反思感悟 于+km,keZ 利用函数的单调性确定函数的值域是 (2)求解与正切函数有关的函数的值 种常用方法.若函数y=f(x)在定义域[a, 域时，要注意函数的定义域，在定义域内 b]内为增（减）函数，则函数在定义域 求值域；对于求由正切函数复合而成的函 [a,b]内的最小（大）值为fa),最大（小） 数的值域时，常利用换元法，但要注意新 值为fb),函数的值域为[fa),fb)]或 “元”的范围 [fb),f(a)]. 48)学 第七章三角函数。 变式训练② B变式训练③ 求下列函数的值域 判断函数y=sinx-tanr的奇偶性。 _1+cosx ())=tan-平，xeo,3平： (2)y=tan'x+4tanx-1. 川要点2正切函数的性质 例4求函数y=an2x-牙的定义域、 单调区间和周期. 例3判断函数)y=lg tant+1的奇偶性。 tanx-1 反思感悟 反思感悟 判定与正切函数有关的函数奇偶性的 求y=Atan(wx+p)的单调区间，可先用 方法： 诱导公式把w化为正值，由kT-T<ox+p< 2 先求函数的定义域，看其定义域是否 关于原点对称，若其不关于原点对称，则 kT+T求得x的范围即可.比较两个同名函 该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对 数的大小，应保证自变量在同一单调区 称，再看f代-x)与f代x)的关系. 间内. 学 49 N 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 ® 变式训练4 比较几个角的正切值大小时，先通过 (1)求函数y=tan2-3π 诱导公式把几个角化归到同一个单调区间， 4 的单调区间： 再利用单调性比较大小」 (2)比较tan -1与am-1的 B变式训练写 大小 不求值，比较下列各组中的两个正切函 数值的大小 (1)tanl56°与tan171°； (2)am-4与tam-1 11π 6/: 川要点3正切函数的性质的应用 例5比较am7要与am-2)的大小 5 分析可先把角化归到同一单调区间 内，再利用y=tax在-T,T上的单调 -2’2 性判断大小关系」 川要点4正切函数的图象 例6用正切函数的图象求满足tanx≥ V3的x的取值范围， 分析作出函数y=tanx在一个周期内 的图象，确定满足条件的X的取值范围， 再求出整个定义域内的解」 50)学 第七章三角函数。 例7画出函数y=Itanx的图象，并根据 图象判断其单调区间、奇偶性和周期性， 反思感悟 解正切不等式的两种方法： (1)图象法：先画出函数图象，找出 符合条件的边界角，再写出符合条件的角 的集合」 (2)三角函数线法：先在单位圆中作 出角的边界值时的正切线，得到边界角的 终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要 特别注意函数的定义域 B变式训练6 利用函数图象解不等式-l≤ax≤V3 反思感悟 (1)作出函数y=f(x)川的图象一般利 用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数y=f(x)图象在x轴上方的 部分； ②将函数y=f(x)图象在x轴下方的部 分沿x轴向上翻折. (2)若函数为周期函数，可先研究其 一个周期上的图象，再利用周期性延拓到 定义域上即可. 学 51 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练⑦ 数学文化 设函数x)an各号引 例 已知函数f(x),任意x1,x2∈ (1)求函数fx)的周期、对称中心； 受， (≠x2),给出下列结论： (2)作出函数fx)在一个周期内的简图. ①fx+π)=fx)；②f-x)=fx): ③f0)=1;④f-f>0: X1一X2 ⑤/变>f 2 当f(x)=tanx时，正确结论的序号为 52)学