7.3.1 正弦函数的性质与图象-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第七章三角函数。 7.3三角函数的性质与图象 7.3.1正弦函数的性质与图象 第1课时正弦函数的性质 6.正弦函数y=sinx的性质 学习目标 、名称 性质 y=sinx 1.了解周期函数、周期、最小正周期的 定义域 R 定义 值域 [-1,1] 2.利用正弦线理解正弦函数的性质 当且仅当x=T+2km,k∈Z时，函数y= 3.掌握正弦函数的性质及其应用 2 最值 sinx的最大值ym=l; 要点精析 当且仅当x=3如+2hm,k∈Z时，函数 2 y=sinx的最小值ymn=-1 川要点1正弦函数的奇偶性与周期性 奇偶性 奇函数 1.正弦函数：对于任意一个角x,都有 周期性 最小正周期为2如 唯一确定的正弦sinx与之对应，因此y=sinx 在受2km,受+2m] (k∈Z)上递增 是一个函数，一般称为正弦函数， 单调性 2.角α的终边与单位圆的交点是唯一 在[牙+2km,+2km]keZ上递减 的，该交点的纵坐标是y=sina. 零点 kT(k∈Z) 3.周期性：一般地，对于函数f代x),如果 例1 ()fe)=eos3+x+in的 存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一 个x,都满足fx+T)x),那么就称函数fx)为 奇偶性是 周期函数，非零常数T称为这个函数的周期. (2)判断等式sin-写+=sn-写 4.最小正周期：对于一个周期函数fx), 如果在它的所有周期中存在一个最小的正数， 是否成立？如果成立，能否说明5π是函数 3 那么这个最小的正数就称为f代x)的最小正周期.：y=sinx的周期？ 5.角a与a+2kπ(k∈Z)两者的正弦 值是相等的，在2kπ(k∈Z,k≠0)中，最 小正数为2π，因此正弦函数y=sinx的最小！ 正周期为2m. 学(31 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 反思感悟 (1)定义法求函数的周期：紧扣周期 与正弦函数有关的最值 函数的定义，寻求对定义域内的任意x都 (1)一次型：如果是关于正弦函数的 满足f(x+T)=f(x)的非零常数T,该方法主 次式，要根据一次项系数的正负确定最值 要适用于抽象函数， (2)二次型：如果是关于正弦函数的 (2)定义法判断函数的奇偶性：从f-x) 二次式，则通过换元转化为一元二次函数 的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再依据 配方求最值 f-x)=f(x)或f(-x)=fx)来判断 (3)分式型：含有sinx或cosx的分式 型函数求值域，往往先分离常量，进而求 B变式训练① 解，有时用反解法求出six或cosx,利用 (1)函数y=lsinx,xeR的最小正周期 有界性建立不等式求解」 为 (2)函数f(x)=xsin(T+x)( 变式训练2 A.是奇函数，但不是偶函数 (1)(多选题)已知函数f(x)=2 asinx+ B.是偶函数，但不是奇函数 a+b的定义域是0， 2/, 值域为[-5，-1]， C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数 则a,b的值为( ) A.a=2,b=-7 B.a=-2,b=2 川要点2正弦函数的值域与最值 C.a=-2,b=1 D.a=1,b=-2 例2(1)函数f(x)=-2sinx+1,x∈ (2)求函数y=-2cos2x+2sinx+3,x∈ π -受，不的值域是() 5π的最大值和最小值。 66 A.[1,3] B.[-1,3] C.[-3,1] D.[-1,1] (2)求函数f(x)=sin(π+x)-cosx的最大 值和最小值，并求出取得最大值和最小值时 x的值， (3)求函数=sinx,的值域。 sinx+2 32)学 第七章三角函数。 川要点3正弦函数的单调性及应用 变式训练③ 例3(1)y=-3sinr+1的单调递减区间 (1) 为 若x∈[0，π]，则y=-3sinx+1 比较sin-3 37π与sin49m的大小. 3 的单调递减区间为 (2)=six+1的单调递减区间为 (2)比较sin196与cos156°的大小 反思感悟 (1)求形如y=asinx-+b的三角函数的单 调性，当a<0时，要求y=asinx+-b的单调递 增区间，即求y=sinx的单调递减区间， (2)用正弦函数的单调性比较大小时， 应先将异名化同名，把不在同一单调区间 内的角用诱导公式转化到同一单调区间， 再利用单调性来比较大小 学(33 N 高中数学必修第三册人教B版 第2课时正弦函数的图象 得到正弦曲线的简图， 学习目标 例1利用“五点法”作出函数y=1- 1.了解由正弦函数的性质及“五点法” sinx(0≤x≤2π)的简图. 作正弦函数的图象， 思考本例中除了用“五点法”作图 2.理解正弦曲线及其对称轴、对称中心 之外，是否还有其他方法得到y=l-sin此 3.能利用正弦函数解决简单问题」 (0≤x≤2π)的图象. 要点精析 川要点1正弦函数图象 l.一般地，y=sinx的函数图象称为正弦 曲线.如图7-3-1，由图可以看出，正弦曲 线是轴对称图形，对称轴为x=T+kπ(k∈ Z);正弦曲线也是中心对称图形，且对称中 心为(kπ，0)(k∈Z) B变式训练① ()用“五点法”画出函数)=2+sn, x∈[0,2π]的简图. 图7-3-1 2.“五点法”作正弦函数y=sinx,x∈ (2)函数y=sinx+】的图象的对称轴为 [0,2π]图象的步骤 对称中心为 (1)列表： 0 2 2 2T y=sinx 0 1 0 -1 0 (2)描点：画正弦函数y=sinx,x∈ [0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)， 牙，1，，0.，-，(2,0. (3)用光滑的曲线顺次连接这五个点， 34)学 N 第七章三角函数。 川要点2利用正弦函数图象解不等式 变式训练3 例2利用正弦函数的图象，求满足 函数f(x)=sinr+2 Isinxl,x∈[0,2r]的 sinr≥V2的x的集合. 图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点， 2 求k的取值范围， 反思感悟 用三角函数图象解三角不等式的步骤： (1)作出相应的正弦函数在[0,2π] 上的图象； (2)写出不等式在区间[0,2π]上的 解集； (3)根据诱导公式①写出定义域内的 解集 变式训练② 数学文化 函数y=log2(2sinr+1)的定义域为 例数学的对称美在中国 传统文化中多有体现，譬如如 川要点3正弦函数图象的应用 图所示的太极图是由黑、白两 个鱼形纹组成的圆形图案，充 图7-3-2 例3(1)方程sin=lgx的解的个数是 分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能 够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个 (2)方程xsinx=1在区间[0,2r]上根 圆的“优美函数”，下列说法错误的是() 的个数为( A.对于任意一个圆，其“优美函数” A.0 B.1 有无数个 C.2 D.3 B.f代x)=x可以是某个圆的“优美函数” 反思感悟 C.正弦函数y=sinr可以同时是无数个 在解决两函数的交点或方程根的问题 圆的“优美函数” 时，可借助于y=sinx的图象，利用数形结 D.函数y=f(x)是“优美函数”的充要条 合的方法」 件为函数y=代x)的图象是中心对称图形 学 352kw+?B.keZ. ..tan(2o+B)+tanB-tan2/2km+-B)+B+tanB-tan(4kw+ T-2B+B)+tanB=tan(m-B)+tanB=-tanB+tanB=0.∴.等式成立. 变式训练4 证明：左边=-2cos6sin0-1。 -(sin0+cos0)2 cos0-sin (cos0-sin)(cos0+sin0) sine-cos0 tan0-，右边=tan+1 sin+cos0_tan0+1 tan6-1，等式成立. 数学文化 例D【解析】(1)由题意可知∠ACB=72°，在△ABC 中，可0cs72.号60 C V?⊥，则sn342sin72+270) 4 =-c0s720=-Y5-L.故选D. 4 >"7.3三角函数的性质与图象 7.31正弦函数的性质与图象 第1课时正弦函数的性质 要点精析 例1(1)奇函数【解析】f代x)=sinx+xsinx,x∈R,f-x) =sin(-x)+(-x)Psin(-x)=-sinx-sinxa=-fx),f(x)是奇函数。 (2)解：sin号+受--sin+号)=sin牙， 而sin号)=-in写，所以上述等式成立， 但不能说明5π是函数y=simx的周期， 3 理由：若买是函数y=six的周期，则对任意的实数 x,都有sin+罗)=sin, 但当=0时，sm+号)sinm,÷否不是函数sim 的周期 变式训练1(1)T(2)B【解析】(1)设f(x)=lsinxl, f(x+π)=lsin(x+T)=lsinxl==f(x),∴y=lsinxl的最小正周期为 T. (2)易知函数f(x)的定义域R,关于原点对称， .f(x)=xsin (+x)=-xsinx,f(x)=(x)sin (x)=-xsinx=f(x) ≠-fx),fx)是偶函数，不是奇函数.故选B. 例2(1)B【解析】xe受π小，.in:e[-l,, .f(x)=-2sinx+1e[-1,3].故选B. (2):f (x)=sin (+x)-cosx=-sinx-1+sin2x=sin s1.令1-m,则y4-1-t2} 1e-1,11≤≤1，子≤y≤1，l,此时 sin=-1,kZ; =子，此时nr=分=君+2m,keZ或=+ 6 参考答案。 2kt,keZ. sinr+2,-l≤sinx≤1， (3)解：原式可化为y=1-.2。 号22.限1≤y≤ :函数)部2的值城为1，号打 变式训练2(1)AC【解析】f(x)=2 asinx+-a+b的定义域 是0，罗引，0≤sim≤1. 当时，由短意.解得当o0叶， lb=1: 由医鱼51.等得故选C {b=-7. (2):f(x)=-2(1-sinx)+2sinx+3=2sinx+2sinx+1= 2sn+号xe[若，g1,小号≤s≤ 当sinx=1时，y取得最大值y=5；当sim=时，y取 得最小值=号 例31)[-7+2km,+2kπ]keZ)[0,]【解 析】当-受+2km≤x≤受+2km,keZ时，y=-3sin+1单调 递减，=-3sinx1的单调递减区间为[-7+2km,受+2kπ] (k∈Z). [+2k+2k (kZ[0, =[0,1, .当x∈[0，π]时，y=-3sinx+1的单调递减区间为 0,引 (2)解：sin196°=sin(180°+16°)=-sin16°，cos156°= c0s(180°-24°)=-cos24°=-sin66°. 当0°≤x≤90°时，y=six单调递增，∴.sinl6°<sin66°， 故sin196>c0s156°. 变式训练3（山)解：sin-3n-6m石sn石引， sin4g7=sin16m+号)=sin号 ym在[受，号]上单潤递增，且-受<石<号< 男，an个-看sin号，即sm-3ksn4g. 3 (2)[受+2km,+2km](kez)【解析】在 Asinx中(A>0),单调区间与A无关，仍为sinx的单调区 间，故)=产sn+1的单调递减区间为[受+2k,变+2km] (keZ)· 第2课时正弦函数的图象 例1解：取值，列表如下： 37 N 高中数学必修第三册人教B版 0 T 2 不 3π y=sing 0 0 y=1-sinx 1 0 2 描点作图，如图所示 例1答图 变式训练1(1)解：取值，列表如下： 0 2 y=sinx 0 0 -1 0 描点作图，如图所示。 Y= +sinx,x∈[0,2] π--π2π.3 变式训练1答图 (2)x=牙+6m,keZ(km,2,keZ【解析】y sinr的对称轴为x=受+km,ke乙，对称中心为(km,0), keZ,y=sinx+】的对称轴为=牙+m,keZ,对称中心 为km,2),kez. 例2解：作出正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如 图所示.由图可知，在[0,2π]上满足sinx≥Y2的x的 集合为年≤≤平}，故满足sim≥Y2的x的集合为 牙+2km≤≤平+2h,keZ 38 N y y=sinx,x∈[0,2π] V2 2 0 例2答图 变式训练2 看+2kmc<7石+2k,keZ【解析】要 使函数有意义，则必有2in+l>0,即sin>-之 画出sn,xe受.交]的草图，如图所示。 7m3π 26 T62 变式训练2答图 当石c<g时，不等式n>成立，sim>之的 解集为君+2m<7石+2k,keZ, 函数y=lg:(2sin+1)的定义域为石+2km<x m+2km,keZ。 6 例3(1)3【解析】用五点法画出函数y=sir,x∈ [0,2π]的图象，再向右平移2m个单位，得到y=si, e0,4知的图象描出点(01小1,0，(10,1 并用光滑曲线连接得到y=lgx的图象，如图所示.由图象可 知方程sinx=lgx的解有3个. 3元0/4mx 例3(1)答图 (2)C【解析】当x=0时不满足题意，当x≠0时，方 程xsinx=-1变为1=sinx.方程xsinx=l在区间(0,2m]上的 根的个数可由函数y=与函数y= six的图象交点个数确定.在平面直 角坐标系内作出函数=上与函数y 2 sinx在(0,2π]上的图象，如图所 例3(2)答图 示.由图象可知有2个交点.故选C. 变式训练3解：f(x)=sinx+2 2lsinx= 3sinc,xe[0,T],图象如图所示. -sinx,xe (m,2]. 若使f(x)的图象与直线y=k有且仅 有两个不同的交点，根据图象可得k 的取值范围是(1,3). 变式训练3答图 数学文化 例D【解析】过圆心的直线都可以 将圆的周长和面积同时平分，所以对 于任意一个圆，其“优美函数”有无 数个，A正确；因为函数f(x)=x的 图象关于原点成中心对称，所以将圆 的圆心放在原点，则函数f(x)=x是 该圆的“优美函数”，B正确：将圆 的圆心放在正弦函数y=six的对称中 例题答图 心上，则正弦函数y=six是该圆的“优美函数”，C正确； 函数y=f(x)的图象是中心对称图形，则函数yf(x)不一定 是“优美函数”，如x)=；但是函数yx)是“优美函 数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示.所以函数 y=f(x)的图象是中心对称图形是函数y=fx)是“优美函数” 的不充分不必要条件，D错误.故选D. 7.3.2正弦型函数的性质与图象 要点精析 例1解：(1) 1-≥0， .-1≤sinx≤1.当sinx=-1时， l-1≤sinx≤1. Jim=V 2 ,此时x的取值集合为x=受+2k,∈Z: 当sir=l时，yn=Y2,此时x的取值集合为 2 x=7+2km,kezj (2)-1≤sin2x+写）≤1，当sin2x+3)=l时， m-5,此时2x+写-受+2kπ(keZ,即x=76mkeZ), 故x的取值集合为✉=臣+km,keZ 当sin2x+写)=-1时，ml,此时2x+写=-受+2km (keZ),即x=-5西+hm(keZ), 12 故x的取值集合为=-受+h,keZ}: (3)y=2os2x+5simw-4=-2 2sinx+5simx-2=-2sinr-子）户+ 9 .sine[-l,1小.当smn=l,即=受2 k(cZ)时， y有最小值-9，此时x的取值集合为=受+2m,k∈Z: 当sinx=l,即x=牙+2km(keZ)时，y有最大值1，此时 x的取值集合为=受+2km,keZ 参考答案。 变式训练1解：0≤x≤受-号≤2x-号≤号 Y≤n2-号≤1 2 2a+b=1, 当a>0时，则 解得=12-6V3, -V3a+b=-5, b=-23+12V3. 当a<0时， 2a+b=-5,解得 =-12+6V3, -V3a+b=1, b=19-12V3. 例2解：方法一：()如果令u=分，则s5n之=sinu是 周期函数，且周期为2π. :sin(分+2m=sin号，即sin[3(x*4m)]=snx ∴sin号x的周期是4π. 2)2sin;-石+2m)=-2sin号-石)， 即2sim号(6m)-君]=2sin等君) 2sin青石)的周期是6m 0 ，72河-2红6m (2)w=}, kol 1 3 变式训练2解：0=5，语号m 2)w=日-2-T-2 kol 1 例3解：令u=3x-号，当x∈R时单调递增，当函数)= 5单调递增时，复合函数y=sin3x号)也单调递增；当 函数)=sinu单调递减时，复合函数)=sin3x-号)也单调递减. 由2km-号≤3x-号≤2冰m+号，keZ,得号m辰≤ x≤号+最(eZ,故原函数的单羽递增区间为 [骨话子语ez由2必+号<3号<2张+ 交，keZ,得号km+如≤≤号m+设，keZ,故原 5 函数的单调递减区间为号6+高，号m+洛]，ke乙 变式训练3解：设=号受则=in, 当2km+受≤u≤2km+(keZ)时，=3nu随u的 增大而减小，又：u=号-艺随x的增大而减小 当24m+号≤号壹≤2m+受，keZ,即当4m 否≤≤-4号，k∈Z时，y随x的增大而增大 39