7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 OD,则OC与OD围成的区域（阴影部分）即为角α终边 的范围，如图2.故满足条件的角a的集合为d2km+2织≤ 3 a≤2m+,keZ 例4解：如图所示 41.0) M.M 例4答图 (1)MPMP且MP与MP都与y轴正方向一致， sin子m>sin号m. (2)1AT>AT1且AT与AT都与y轴正方向相反， am子aan 2π 5 变式训练4cos6r<sin2红< 5 5 am罗【解折】由图可知cos< 0.tan20.sin 220.ik 5 国六，故cosg<sin牙<tam号 例5证明：如图所示，设角α的 变式训练4答图 终边交单位圆于P,过点P作PM 的 垂直于x轴，垂足为M.过点A(1, /终边 O)作单位圆的切线交OP于点T, 连接PA,则sina=MP,ana=AT, C:SA0PS审形P<S△0ar,∴)0A: M MP<2a0A<20AAr又0A=l, (1,0) .'.MP<a<AT,.'.sina<a<tana. 变式训练5证明：当角α的终边在 例5答图 x(y)轴上时，正弦线（余弦线）变 成一个点，而余弦线（正弦线）的长 等于r(=1),此时Isinal+-Icosal=-1. 当角α的终边落在某一个象限内 时，如图所示，利用三角形两边之和 大于第三边有Isina+-lcosal=MP+OM>1, 变式训练5答图 综上有Isina+-lcosa≥1. 变式训练6C【解析】由题意知，四段弧是单位圆上的第 一、二、三象限的弧，在AB上，tana>sina,不满足；在CD 上，tana>sina,不满足；在EF上，sina>0,cosa<0,tana<0, 且cosa>tana,满足；在GH上，tana>0,sina<0,cosa<0, 不满足.故选C 34 数学文化 例解：动点P,Q从点A(1,0)出发在单位圆上运 动，点P按逆时针方向每秒转石弧度，点Q按顺时针方向 6 每秒转11π弧度，而单位圆的周长为2m,则P,Q两点每 6 一秒相遇一次，则P,Q两点在第2019次相遇时，经过了 2019秒，点P转过的弧度数为π2019=673m=168x2m+ 2 受，故点P位于y轴的正半轴上，即点P位于点(0,1) 处，即P(0,1) 7.2.3同角三角函数的基本关系式 要点精析 例1解：tana=-2,∴a是第二或第四象限角，又由 tana=-2 sina=-2cosa. ①当a为第二象限角时，m2a1→5cosa=l. sin'a+cos a=1 cosa<0,∴.c0sa=- V5 ,sina=-2×-V5= 5 2V5 5 ②当α为第四象限角时， (sina=-2cosa, →5cos2a=1. sin'a+cos'a=1 .'coso>0...cosa=V5,sina=-2x=-2V5 5 5 综上可知，当a为第二象限角时，co=-V5 5 sna=2Y5,当a为第四象限角时，coa=写，inw 5 -2V5 5 变式训练1解：：cosa=-8<0,a是第二或第三象限的 17 角如果a是第二象限角，那么smu=VHcoa--音 15 0==了。点如果a是第三象限角，同理 5 cosa 8 8 17 7,tano= 可得sina=-V-cosa=-l5, 8 例m2解：1)原式2个号2三 5+3tana 53x- 6 (2)原式= 2sinasinecomSco 2tama-tana5 sin'a+cos'a tan'a+1 103 Γ201 sin'a+cos'a tan'a+1 (3)原式=snam+cosa-sinacosa-an+1-tana g 10 - 变式训练2解：(1).3sina-2cosa-0,.tana= 2 31 cosa≠0. 12 coso-sina cosotsina1-tana 1+tana_ 3 1+2 3 cosa+sina cosa-sina 1+tana :1-tana1+2 1、 3 =9 (2)sina-2sinacosa+4cosa=sin'a-2sinacosa+4cos'a sin a+cosa -ana-2iana44_9-3+4 28 tan'a+1 13 例3解：sin1cos=Y7,÷两边平方得n6cos=- 7 3 181 又0<0<m,开<0km 2 in(sing-no sine+cos0=V2 sin0=V2+4 3’ 6 解方程组 得 sing-cos0=4 , cos0=V2-4 6 .'.tan0=sine=-9-4V2 cos 7 变式训练3解：(1)：sina+cosa= 3，.∴sina+2 sinacosa+ 1 =(sina-co)=1-2singcoso= 1+8=17 99·.sina-cos=V7 3 (2).'sina+cosa=(sina+cosa)(sin2a-sinacosa+cos2a)= (sina+cosa)(1-sinacosa). 又由(1)知，sinacosa=- 号，且sina+eosa= 4 / 3 =号x1+号)月 1、13_13 9=3×927 例4证明：方法-：左边=coc产0ncod0na 1-sin'a (1-sina)(1+sina)=1+sina=右边，.原式成立. cosa(1-sina) coSQ 方法二：。 cos'a-(1+sina)(1-sina)_cos'a-(1-sin'a)=coso-cos'a= cosa(1-sina) cosa(1-sina)cosa(1-sing) 0.“18-6 变式训练4证明：右边=(ana一sina)tanasinc tan'o-sin'a tan'o-tan'acos'a (tana-sing)tanasina 参考答案。 tan'a(1-cos2a) tan'asin'o (tansin)tanosin(tanasina)tanasine tana-sina 左边，.原等式成立 例5解：不存在.设存在这样的实数m满足条件，由题设 得4=36m2-32(2m+1)≥0，① sinaco=2m,② sinacos=2m+l>0.③ 8 又：sina+cos2a=l,∴.(sina+cosa)2-2 sinocoso=l.④ 把②3代入④得子m-2x2m11, 8 即0m2-8m-20-0.解得m=2,m=9m=2不满足条 件①，m=-0不满足条件③，故这样的实数m不存在。 变式训练5解：.∵sin,cosa为方程4x24mx+2m-1=0的两 个实根，m2-2m+1≥0且sina+cosa=m,sinacosc=2m-l 4 代入(sina+coa)P=1+2 sinccosx,得m=l±V3 又ae(←7,0，'sinacosa=-2m<0,即mc2 4 nao0awl上y5，ngy,6om- 1 2 又we(受，0，a=-罗 数学文化 例D【解析】由三角函数定义可得小正方形的边长为 cos0-sin6,又小正方形的面积是名cos0-sin=了，再由 sin94c0s9=l,得到ca0=号，sn0=号，代人算式得到 sn的-cos9的值等于-石故选D. 7.2.4诱导公式 第1课时诱导公式（一） 要点精析 例1解：（④）sm-）=-sm(3=-sin4a+7g)= -sin7匹=sing=) 6 6-2 (2)c0s(-945°)=c0s945°=c0s(2×360°+225°)=c0s225°= cos(180°+45°)=-cos45°=-V2」 2 (3)tan(-855o)=-tan855°=-tan(2×360°+135o)= -tan(180°-45o)=-tan45°=1. (4)sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°) +tan945°=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360° +300°)·sin(2x360°+330°)+tan(2x360°+225°)=-sin(180°-60°)· cos(180°+30°)-cos(360°-60°）·sin(360°-30°)+tan(180°+ 45°)=sin60°.cos30°+cos60°.sin30°+tan45°=Y3×3+ 2. 2 x+12 35第七章三角函数。 7.2.3同角三角函数的基本关系式 反思感悟 学习目标 (1)已知角的某一种三角函数值，求 1.理解同角三角函数的基本关系式： 角Q的其余三角函数值，要注意公式的合理选 sin'x+cosx=1, sinx =tanx. 择，一般是先选用平方关系，再用商数关系 COSx (2)若角α所在的象限已经确定，求 2.会运用以上两个基本关系式进行化 另两种三角函数值时，只有一组结果；若 简、求值和证明 角α所在的象限不确定，应分类讨论，一 3.通过学习同角三角函数的基本关系 般有两组结果 式，认识事物之间的普遍联系规律，培养辩 证唯物主义观， B变式训练① 要点精析 已知cosa=- 求sina,tana的值 川要点1利用同角三角函数的关系式求值： (1)同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin2a+cos2a=1. 商数关系：sina=tana cosa a≠km+,keZ: 川要点2条件求值 ②语言叙述：同一个角的正弦、余弦 的平方和等于1，商等于角α的正切. 例2已知aa=了，求下列各式的值： (2)“同角”一词的含义 (1) 4sina-2cosa 一是“角相同”，如sina+cosB=1就不 5cosa+3sing 一定成立；二是对任意一个角（在使得函数 (2)2sina-3sinacosa+5cos: 2 有意义的前提下)，关系式都成立，即与角 的表达式形式无关，如sin15°+cos215°=1， (3) 1 1-singcosa sin'9+cos9l等. 例1已知tana=-2,求sina,cosa的值 学(21 N 高中数学必修第三册人教B版 反思感悟 例3 已知sin0+eos0=V2(0<0m), 化切求值的方法技巧 3 (1)已知tana=m, 可以求sina+-bcosa 求tan0的值. csing+dcosa 或asin'+bsinacosa+-ccos'a的值，将分子 dsin'a+esinacosa+fcos a 分母同除以cosa或cos2a,化成关于tana 的式子，从而达到求值的目的 (2)对于asina+bsinacos2a+ccos2a的 求值，可看成分母是1，利用1=sina+cos2a 进行代替后，分子、分母同时除以c0s2, 得到关于tana的式子，从而可以求值. 变式训练2 反思感悟 已知3sina-2cosa=0,求下列各式的值 (1)sina+cosa, sina-cosa,sinacosa (1)cosa-sinocosa+sina 三个式子中，已知其中一个，可以求其他 cosa+sing cosa-sina 两个，即“知一求二”，它们之间的关系是 (2)sin2a-2sinacosa+4cos2a. (sinx±cosa)2=1±2 sinacosa. (2)求sina+cosa或sina-cosa的值， 要注意判断它们的符号 B变式训练③ 已知sina+cos= 3, 计算下列各式的值： (1)sina-cosa; (2)sina+cosa. 22)学 第七章三角函数。 例4求证： cosa 1+sina 1-sing 川要点3综合问题 分析 方法一：.右边分母为cosa, 例5设α是第三象限角，问是否存在 故可将左边分子、分母同乘c0sa, 整理化 这样的实数m,使得sina,cosa是关于x的 简即可. 方程8x2-6mx+2m+1=0的根.若存在，求出 方法二：只要证明左式-右式=0即可. 实数m;若不存在，请说明理由 分析求解此类题型时，一般地，我 们先假设存在，再在此基础上求解出m的 值，符合条件则存在，不符合条件则不存在. 反思感悟 关于三角恒等式的证明，一般方法有 以下几种： (1)从一边开始，证得它等于另一边， 一般由繁到简 (2)左右归一法，即证明左右两边都 等于同一个式子. (3)比较法，即证明“左边-右边=0” 或“左 右边1” (4)分析法，从被证的等式出发，逐 步探求使等式成立的条件，一直到成立的 反思感悟 条件为已知条件或明显的事实为止，就可 解答此类题目常用的方法有： 以判定原式成立 (1)化切为弦，即把非正、余弦的函 变式训练4 数都化成正、余弦函数，从而减少函数名 称，达到化简的目的. 求证： tanasinatana+sing tang-sing tanasing (2)对于含有根号的，常把根号下的 式子化成完全平方式，然后去根号达到化 简的目的， (3)对于化简含高次的三角函数式， 往往借助于因式分解，或构造sina+cos2au 1,以降低函数次数，达到化简的目的 学 23 高中数学必修第三册人教B版 变式训练⑤ ! 数学文化 已知sina,cosa为方程4x2-4mx+2m-1= 例在北京召开的国 0的两个实根，&∈受，0，求m及m的值 际数学家大会会标如图所 示，它是由4个相同的直 角三角形与中间的小正方 形拼成的一个大正方形 图7-2-6 若直角三角形中较小的锐角为0，大正方形 的面积是1，小正方形的面积是方，则 sin0-cos20的值等于（) A.1 B C 。名 分析本题是三角函数在生活中的应 用，由题意得到三角函数算式，根据同角 三角函数平方关系，整理运算后得到答案。 24)学