7.2.1 三角函数的定义-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

a=-570-8m4+8,7502-2m-4m+石a 在第二象限，在第一象限. (2)B=3四=108°，设0=B+h360°(keZ),由-720 5 ≤0<0°，得-720°≤108°+k·360°<0°，.k=-2或k=-1,∴. 在-720°-0间与B,有相同终边的角是612°和-252°. 同理B2=-420°且在-720°-0间与B2有相同终边的角是 -60° 变式训练3解：题图1中，以0B为终边的330°角与-30° 角的终边相同，-30°-一石，而75°75x70-受，阴影部 分（不包括边界）位于-π与西之间且跨越x轴的正半 6121 轴，“终边在阴影部分（不包括边界）的角的集合为 d-看+2kma<7+2km,keZ 题图2中，以0B为终边的225°角与-135°角的终边相 同，-1359-135x-,面135=要，阴影部分（不 包括边界)位于-3π与3π之间且跨越x轴的正半轴 4 4 ..终边在阴影部分（不包括边界）的角的集合为 al-3π+2km<a<3亚+2km,keZ} 4 4 例4解：(1)圆心角为75x10-语，扇形半径为15cm 扇形面积广分×晋x153裙m(m) (2)设扇形半径为，圆心角为6，弧长为1，面积为 S,则l+2r=60,.l=60-2r S=2=3(60-2=-r430r=25-(-15尺 当=15时，面积S=225(cm).此时=L=60-2 60-2x15=2. 15 ∴.当半径为15cm,圆心角为2rad时，扇形面积最大， 最大值为225cm2. 变式训练4解：(1)设该弧所对的圆心角为&，则=L =8多，该扇形的面积为子×1Sx12-108(cm)· (2)设该扇形的圆心角为α，半径为r,周长为P,依 题意知 (1 解得， l=2, .o=1=2 rad. P-=l+2r=4, .该扇形OAB的圆心角∠AOB的弧度数为2rad 例5解：(1)设该文字的长、宽均为lm,则l≈10a, 其中视角a=5'≈0.001454弧度. .l=10×0.001454=0.01454m≈1.45cm.故视力正常的 人，在10m远处能阅读最小为1.45cm见方的文字. (2)设人离标语xm处，对5m见方的文字所张的视 角是5，约为0001454弧度，则x≈L≈ Q001454≈3439 5 参考答案。 (m).故视力正常的人，最远能在约3439m远处看清5m 见方的文字. 变式训练5解：设P,Q第一次相遇时所用的时间是t, 则r号：石2m,4(s).即P,Q第一次相遇所用 的时间为4s.设第一次相遇点为C,第一次相遇时已运动 到终边在写4=号n的位置，则e-4cos骨=-2，e4 sin受=-2V3,∴点C的坐标为(-2，-2V3).故P点走 过的弧长为号45m:Q点走过的孤长为号π 变式训练6ABD【解析】经过1s后，质点A运动1rad, 质点B运动2ad,此时∠B0A的弧度数为写+3，故A正 确：经过号s后，∠A0B=5+号+2x77侣，故扇形A06 的弧长为侣：侣，故B正确：经过君s后，∠A08=君 6 6 +写+2x君-石，故扇形A0B的面积为S2××臣， 故C不正确；设经过ts后，A,B在单位圆上第一次相遇， 则1+2)+号-2m,解得=g(s),故D正确，故选ABD 数学文化 例解：圆0的半径r=1,正 方形的边长a=1,.以正方形的一边 为弦时所对应的圆心角为写，正方 形在圆周上滚动时，点的位置如图所 示，故当点A首次回到点P的位置 时，正方形在圆周上滚动了3圈.设 A(P) 第i(ieN)次滚动点A的路程为 例题答图 A.则A=gx1B=君，A=君1C=V,A=君xA= 6 石，A:=0,六点A所走过的路程为3(A+A+A+A)= 2+V2m. 2 >“7.2任意角的三角函数 7.21三角函数的定义 要点精析 例1解：(1)设点P的坐标为(x,y),则x=cos∠AOP= cos号弓，y=n∠A0P=s血号=Y.故点P的坐标为 3 2 (2)点P与点Q关于y轴对称，.点Q的坐标为 根据正弦函数、余弦函数的定义可知sn∠A0Q=V3 cosLAOQ=-2 1 31 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练1B【解】折tinaco9g个-号-音故述B, 例2解：由题意知r=OPI=Vx+9,由三角函数定义得 cos0=*=_ r Vx249 又o,“后5=YDxa≠0，= Vx2+910 当x=l时，P(1,3),此时sin0=3=3V0 V12+3210 当x=-1时，P(-1,3),此时sin0=3=3V0 V(-1)P+32 10 综上所述，sin6=3V10 10 变式训练2解：由题意知，cosa≠0.设角a的终边上任 意一点为Pk,-3k)(k≠0)，则，=-3k,=V2+(-3k)2= 10hL. ①当k>0时，T=VI0k,a是第四象限角，sina=Y= -3k=-3V0,1=L=V10k=V10,10sina+ V10k 10'cosa k 3=-3Y03V-3v+3v而-0 10 ②当k<0时，r=-V10k,a是第二象限角，sina= -V10k :10sina+3=10x3y0+3x(-V10)=-3V10-3V10 cosa 10 =0. 综上所述，10+。0 例3B【解析】对于①，.1125°=1080°+45°，∴.1125°是 第一象限角，sn1250:对于②，因3=2+号，则 知是第三象限角，am吕00，s加诏<0，故m铝 sin0:对于③，因4孤度的角在第三象限，则sn40, am40,故40：对于④.“牙<1<受，则m10.综 上所述，②③为负数.故选B. 变式训练3解：(1).a是第四象限角，.sina<0,tana< 0,∴.sinatano>0. (2)）73m,<k7.n80,co4027- 4 -6m+子an2m子0.sn3rco4m-270 4 例4解：(1)cosa<0,角x的终边可能位于第二或 第三象限或x轴的非正半轴上..tana<0,∴.角a的终边可 能位于第二或第四象限.∴角α：的终边只能位于第二象限 故角u的集合为d号+2km<m+2km,ke乙} 32 (2)受+2kma<m+2km(keZ),∴年+hm<受<受+ 2 kπ(k∈Z). 当k=2n(neZ时，平+2nm<受<7+2nm(neZ). “受是第一象限角： 当k=2n+1(neZ)时，亚+2nm<受<3+2nm(ne Z),·号是第三象限角. (3)由(2)可知，当受是第一象限角时，si血号0， cosg0,tan号0： 当g是第三象限角时，sng<0,cosg<0,tang0. 变式训练4解：sin20>0,2kT<20<2kπ+T,keZ, km<0<km+交，keZ.当k=2m,meZ时，有2mm<0< 2mm+号，meZ:当k=2m+l,meZ时，有2mm+m<6< 2mT+3,meZ.故0为第一或第三象限角。 由cos0<0可知，角0在第二或第三象限或其终边位于 x轴负半轴上.综上所述，角0在第三象限. 例5解：x≠红，ke乙，故 当x是第一象限角时，sinx>0,cosx>0,anx>0,原式= sin cosx+tanx =3; sinx cosx tanx 当x是第二象限角时，sinx>0,cosr<0,tanx<0,原式= sinx+cost+tana=-1: sinx cosx -tanx 当x是第三象限角时，sir<0,cosx<0,anx>0,原式= sincos+tanx =-1; -sinx cosx tanx 当x是第四象限角时，sinx<0,cos>0,tanx<0,原式= sinx cost+tanx=-1. -sinx cosx -tanx 综上可知，+8+的值为3或1. 变式训练5解：由题意知P,Q两点的坐标分别为(m, -2m),(-m,2m),IOP=1OQH-1OAl=V5 Iml,..sinacosa+ sinBcos+tanotanB=-2m. m -+2m -m V5 Iml V5 Iml V5 Iml V5 Iml -2m.2m=-2-2+4=16 m-m55 5 数学文化 例D【解析】由图可知，sine≈tanp=0.02m=-0.02, 1m =-90350ag350(m350n, 2×0.02 故选D.第七章三角函数。 7.2任意角的三角函数 7.2.1 三角函数的定义 学习目标 (3)称y为角x的正切，记作tan,即 1.理解并掌握任意角的三角函数的定义」 tang=Y, 定义域为Qa≠km+T,keZ 2.能根据任意角的三角函数的定义，分析 这三个对应法则都是以α为自变量的函 出三角函数在各象限的符号，并能根据角α的 数，分别称为角α的正弦函数、余弦函数和 某种三角函数值符号，判断出α所在的象限. 正切函数， 3.通过任意角三角函数的定义，认识到 例1如图，∠AOP= 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特 例，加深对特殊与一般关系的理解。 牙，点Q与点P关于y轴 对称，P,Q都为角的终边 要点精析 与单位圆的交点.求： 图7-2-2 (1)点P的坐标； 川要点1求三角函数值 (2)∠AOQ的正弦函数值、余弦函数值」 任意角的三角函数 以角的顶点0为坐 P(x.y) 标原点，以角α的始边的方 向作为x轴的正方向，建立 直角坐标系xOy(如图所 图7-2-1 示)，并且使∠xOy=90°， ! 在角a终边上任取一点P(x,y),则OP 的长度记为r=Vx+y2 (I)称Y为角a的正弦，记作sina,即 反思感悟 sina=Y,定义域为alaER; 利用定义求α的三角函数值，其关键 (2)称X为角u的余弦，记作cosa, 是求出角的终边与单位圆的交点P的坐标 (u,v),由三角函数的定义得sina=v, 即cosa=x,定义域为{ala E R}; coSa=u. N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练① 变式训练2 在平面直角坐标系中，以x轴的非负半 已知角的终边在直线y=-3x上，求 轴为角的始边，如果角α，B的终边分别与 10sina+- 3的值 coSo 单位圆交于点侣音和子，专，那么 sinacosB=() A等 B c D.48 65 例2已知0终边上一点P(x,3)(x≠ 0),且cos=Y0x,求sin0的值， 10 川要点2判断三角函数值的符号 三角函数在各个象限的符号 sin 例3下列各式：①sinl125°；②tan37。 sin 37 12; ③sin4 ④sin-1l.其中为负值的 tan4 个数是( 反思感悟 A.1 B.2 在解决有关角的终边在直线上的问题 C.3 D.4 时，应注意到角的终边为射线，所以应分 反思感悟 两种情况处理，取射线上异于原，点的任意 对于较“大”的角先利用终边相同的 一点坐标(a,b),则对应角的三角函数值 :角转化为较“小”的角，即[0,2π)内的 分别为sina= b 角，再根据角所在的象限与三角函数值的 ,C0S0= Va+b2 .Va+B 符号进行判断 14)学 第七章三角函数。 变式训练3 变式训练④ 判断下列各式的符号： 若sin20>0,且cos0<0,试确定角0所 (1)a是第四象限角，sinatana; 在的象限。 (2)sin3·cos4tan 要点3由三角函数值的符号确定角的 范围 例4已知：cosa<0,tana<0. 川要点4三角函数式的化简求值与证明！ (1)求角a的集合； 例5化简： sinx Icosxl tanx (2)求角Q的终边所在的象限： Isinxl cosx Itanxl 其中x≠经，keZ】 (3)试判断sing, n受，o受，an受的符号 2 反思感悟 设单位圆与角a的终边交于点P(x, y),则由三角函数定义知x=cosa<0,y= 反思感悟 tana<0,所以x<0,y>0,所以点P在第二 求含绝对值的代数式的值时，要根据 象限，即角α为第二象限角，从而为第 绝对值的意义先去绝对值符号，为此常采 一或第三象限角.再由符号法则可知(3) 用分类讨论的思想.本题结合自身的特点按 中各值的符号. 角x所在的象限进行讨论」 学 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练⑤ 数学文化 已知角a的终边上的点P与点A(m, 例某校高一年级 +40mm→- 2m)(m≠0)关于x轴对称，角B终边上的： 光多制测速6 研究性学习小组利用激 点Q与点A关于y轴对称，求sinacosa+ 光多普勒测速仪实地测 探测 光束 北束2 sin,BcosB-+tanatanB的值. 量复兴号高铁在某时刻 汇聚 光线 的速度，其工作原理 是：激光器发出的光平 均分成两束后射出，并 图7-2-3 在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光， 当被测物体横向速度为零时，反射光与探测 光频率相同；当横向速度不为零时，反射光 相对探测光会发生频移f=2sin2，其中， 入 为测速仪测得的被测物体的横向速度，入为 激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半 如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm(1m= 109m),测得某时刻频移为9.030x109(1h), 则该时刻高铁的速度约等于() A.320 km/h B.330 km/h C.340 km/h D.350 km/h 16)学