7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 7.1.2弧度制及 学习目标 1.了解弧度的意义，能正确地进行弧度 与角度的换算 2.熟记特殊角的弧度数. 要点精析 川要点1概念的理解 角度制与弧度制的定义 (1)角度制：用度作单位来度量角的制 度称为角度制.角度制规定60分等于1度， 60秒等于1分 (2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所 对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.以弧 度为单位来度量角的制度称为弧度制. 例1下列命题中，假命题是() A.“度”与“弧度”是度量角的两种不 同的度量单位 B.1°的角是周角的_1 360,1rad的角是 周角的1 C.1ad的角比1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角，都与圆 的半径有关 反思感悟 孤度制与角度制的区别与联系 (1)区别： ①单位不同，孤度制以“孤度”为度 量单位，角度制以“度”为度量单位； 8 学 其与角度制的换算 ②定义不同 (2)联系：不管以“孤度”还是以 “度”为单位的角的大小都是一个与圆的半 径大小无关的定值」 B变式训练① 下列各说法中，错误的是() A.半圆所对的圆心角是rrad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆 的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的 大小是1弧度 川要点2角度制与弧度制的互化 (1)角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°=2rrad 2mrad=360° 180°=rrad Trad=180° 1=180 rad 1 rad=(180 π (2) 一些特殊角与弧度数的对应关系 角度 0° 15 30° 45° 60° 75° 90° 弧度 0 T 5 12 6 4 3 12 2 角度 1209 135° 1509 1809 210° 225° 240° 弧度 n 3π 5π 7 5π 4π 3 4 6 T 6 4 3 角度 270 300° 3159 330° 360 弧度 11m 6 思考某同学表示与30°角终边相同的 角的集合时写成S={axla=2kT+30°，k∈Z}, 这种表示正确吗？为什么？ 例2将下列角度与弧度进行互化 (1)20°；(2)-15；(3)7晋： (4)-11r 5 反思感悟 (1)进行角度与孤度换算时，要抓住 关系：Trad=l80°. (2)熟记特殊角的度数与孤度数的对 应值 第七章三角函数。 P变式训练② （)把1230化成弧度：(2)把-码 化成度. 要点3弧度制和角度制的简单应用！ 例3设角a=-570,&=750,B=号m, (1)将，2用弧度制表示出来，并指 出它们各自所在的象限： (2)将B,B2用角度制表示出来，并 学(9 N 高中数学必修第三册人教B版 在-720°~0°之间找出与它们终边相同的所 有角. 反思感悟 角度制与孤度制的转换中需注意的问题： (1)在进行角度与孤度的换算时，抓 住关系式πrad=l80°是关键.由它可以得， 度教×180=孤度数，孤度数× 180°=度数. (2)特殊角的孤度数与度数对应值今 后常用，应该熟记 (3)在同一个式子中，角度与孤度不 能混合用，必须保持单位统一，如α=2kT+ 30°，k∈Z是不正确的写法. (4)判断角心终边所在的象限时，若 a生[-2r,2m],应首先把表示成= 2kT+B,B∈[-2m,2T]的形式，然后利用 角B终边所在的象限来确定角α终边所在 的象限」 10)学 变式训练③ 用弧度表示顶点在原点、始边与x轴的 正半轴重合、终边在图中阴影部分（不包括 边界)的角的集合. 22535 图1 图2 图7-1-7 川要点4弧长公式与扇形面积公式的应用？ (1)弧长公式：l=r; (2)扇形面积公式：S=乃 22, 其中α为圆心角，为半径 思考1：用公式a=L求圆心角时，应 注意什么问题？ 思考2：在使用孤度制下的孤长公式及 面积公式时，若已知的角是以“度”为单 位，需注意什么问题？ 例4求解下列各题. (1)若某扇形的圆心角为75°，半径为 15cm,求扇形面积， (2)若一扇形的周长为60cm,那么当 它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积 达到最大？最大值是多少？ 反思感悟 (1)给出扇形周长，即间接给出孤长 及面积，列方程组求孤长及半径，最后求 得圆心角的孤度数.在以面积作等式时有孤 度制和角度制下的两种方式」 (2)求面积最值，本题可以以r为变 量建立面积关于半径下的二次函数，也可 以建立关于0角的函数，求函数的最值方 法较多，希望尽力把握」 (3)使用弧度数公式lal=1时，应注意 Q是弧度数，且三个量l,r,中，知道其 中任意两个可求另外一个；有些问题还要 注意角α的方向和旋转的圈数 第七章三角函数。 B变式训练④ (1)在半径为12cm的圆上，有一条弧 的长是18cm,求该弧所对的圆心角的弧度 数和该扇形的面积； (2)已知扇形OAB的面积为1cm2,它 的周长是4cm,求该扇形OAB的圆心角 ∠AOB的弧度数. 川要点5弧度制的实际应用 例5视力正常的人，能读远处文字的 视角不小于5'.试求： (1)离人10m处，人所能阅读的最小 文字的大小如何？ (2)要看清长、宽均为5m的大字标 语，人离标语最远距离为多少米？ 学(11 N 高中数学必修第三册人教B版 B变式训练 如图，动点P,Q从点A(4,0)出发， 沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒转π弧 3 度，点0按顺时针方向每秒转T弧度，求 6 P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的 坐标及P,Q点各自走过的弧长。 图7-1-8 B 变式训练6 (多选题)如图，A, B是单位圆上的两个质点， 点B的坐标为(1,0)， ∠BOA=60°，质点A以 lrad/s的角速度按逆时针 图7-1-9 方向在单位圆上运动，质点B以2rads的角速 度按顺时针方向在单位圆上运动，则() (12)学 N A.经过1s后，∠BOA的弧度数为T+3 B.经过石s后，扇形A0B的弧长为7m 12 12 C.经过Ts后，扇形AOB的面积为T 6 D.经过5πs后，A,B在单位圆上第 一次相遇 数学文化 例圆O的半径为1，P为圆周上一点， 现将如图放置的边长为1的正方形（正方形 的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚 动.经过若干次滚动，点A第一次回到点P 的位置，求点A走过的路程 A(P) 图7-1-10N 高中数学必修第三册人教B版 360°+180°+B(k∈Z).故选D. 变式训练5解：.角[180°-(-120°)]与-120°角的终边 关于y轴对称，∴.角的终边与300°角的终边重合.故角aα 的集合是S=aa=k·360°+300°，k∈Z. 例6解：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A=al a=45°+k·360°，k∈Z}. (2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B= ala=225°+k·360°，keZ,则终边落在直线0M上的角的 集合为AUB=ala=45°+k·360°，k∈ZU{ala=225°+k· 360°，k∈Z}=ala=45°+2k·180°，k∈ZU ala=45°+(2k+ 1)·180°，k∈Z=ala=45°+n180°，n∈Z. (3)同理，终边落在直线ON上的角的集合为BB=60 +n180°，n∈Z,故终边落在阴影区域内（含边界）的角 的集合为{al45°+n·180°≤a≤60°+n·180°，n∈Z}. 变式训练6解：(1)终边在射线OA上的角的集合是{al a=210°+k.360°，keZ}: 终边在射线OB上的角的集合是{aa=300°+k·360°， keZ· (2)终边在阴影部分（含边界）的角的集合是{a210°+ k·360°≤a≤300°+k·360°，k∈Z}. 例7解：由已知得，k360°+180°<0k360°+270°，k∈Z, h180°+90<号k.180+135°，keZ.当k为偶数时，2 在第二象限；当k为奇数时，9在第四象限如图1，号 在第二、四象限的阴影区域内（不含边界） 图1 图2 例7答图 又·k120°+60°<日<k.120°+90°，k∈Z, 3 当k=3n(neZ)时，9在第-象限； 3 当=3nt1(neZ)时，号在第三象限； 当k=3n+2(neZ)时，9在第四象限】 3 如图2，号在第一、三、四象限的阴影区域内（不合 边界). 变式训练7解：a是第二象限角，.90°+k·360°<a<180° +k.360°，k∈Z.∴.180°+2k·360°<2<360°+2k·360°，k∈Z ·2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴 上的角. 又45+号360<号<90+360，keZ.当k为偶 30 数时，令k=2n,n∈Z,则45+n·360°<Q<90°+n360°，此 时，号为第一象限角；当k为奇数时，令k=2n+1,ne乙， 则225+n360°<号<270°+n~360,此时，9为第三象限角. 2 2 “受为第一或第三象限角。 变式训练8C【解析】设∠BOC=a,由=2，得1OAa= 1OB·a 10AL=2,即10A=210B1, 51= AF- 1OBI S2 o 1OAP-10BP=410B-0BP=3.故选C. IOBP IOBP 变式训练9B【解析】如图，连接 OC,.C是AB的中点，.OC⊥AB. 又CD⊥AB,.O,C,D三点共线， 即0D=0A=0B=2.又.∠AOB=60°， AB=OA=0B=2,则OC=V3,故 CD-2-V3.s=AB+CD=2+ OA 变式训练9答图 (2-V32=11-4V3.故选B. 2 2 数学文化 例A【解析】设扇形的弧长为1，半径为r,圆心角 的派度数为。、由题意得Y,变形可得上 2 2(V5-1=V5+1.=r,折扇所在扇形的圆心角的 3-VW5 弧度数为V5+1.故选A. 71.2弧度制及其与角度制的换算 要点精析 例1D【解析】根据角度和弧度的定义，可知无论是角度 制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧 长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C三项 均为真命题.故选D. 变式训练1D【解析】半圆所对圆心角a=r=π，故A正 确：周角a=2-2m,故B正确；由1rad角的定义知C 选项正确，D选项错误.故选D. 例2解：1)200-晋2)-15哥-哥 1809 8)77×180=105.(4）-157=-5x180-396 5 变式训练2解：)11230=2空了-2空×0警 2)8-0×10)°-75 例3解：(I)要确定角α：所在的象限，只要把α表示为 a=2kπ+a0(keZ,0≤a<2T)的形式，由a所在的象限即 可判定出α所在的象限. a=-570-8m4+8,7502-2m-4m+石a 在第二象限，在第一象限. (2)B=3四=108°，设0=B+h360°(keZ),由-720 5 ≤0<0°，得-720°≤108°+k·360°<0°，.k=-2或k=-1,∴. 在-720°-0间与B,有相同终边的角是612°和-252°. 同理B2=-420°且在-720°-0间与B2有相同终边的角是 -60° 变式训练3解：题图1中，以0B为终边的330°角与-30° 角的终边相同，-30°-一石，而75°75x70-受，阴影部 分（不包括边界）位于-π与西之间且跨越x轴的正半 6121 轴，“终边在阴影部分（不包括边界）的角的集合为 d-看+2kma<7+2km,keZ 题图2中，以0B为终边的225°角与-135°角的终边相 同，-1359-135x-,面135=要，阴影部分（不 包括边界)位于-3π与3π之间且跨越x轴的正半轴 4 4 ..终边在阴影部分（不包括边界）的角的集合为 al-3π+2km<a<3亚+2km,keZ} 4 4 例4解：(1)圆心角为75x10-语，扇形半径为15cm 扇形面积广分×晋x153裙m(m) (2)设扇形半径为，圆心角为6，弧长为1，面积为 S,则l+2r=60,.l=60-2r S=2=3(60-2=-r430r=25-(-15尺 当=15时，面积S=225(cm).此时=L=60-2 60-2x15=2. 15 ∴.当半径为15cm,圆心角为2rad时，扇形面积最大， 最大值为225cm2. 变式训练4解：(1)设该弧所对的圆心角为&，则=L =8多，该扇形的面积为子×1Sx12-108(cm)· (2)设该扇形的圆心角为α，半径为r,周长为P,依 题意知 (1 解得， l=2, .o=1=2 rad. P-=l+2r=4, .该扇形OAB的圆心角∠AOB的弧度数为2rad 例5解：(1)设该文字的长、宽均为lm,则l≈10a, 其中视角a=5'≈0.001454弧度. .l=10×0.001454=0.01454m≈1.45cm.故视力正常的 人，在10m远处能阅读最小为1.45cm见方的文字. (2)设人离标语xm处，对5m见方的文字所张的视 角是5，约为0001454弧度，则x≈L≈ Q001454≈3439 5 参考答案。 (m).故视力正常的人，最远能在约3439m远处看清5m 见方的文字. 变式训练5解：设P,Q第一次相遇时所用的时间是t, 则r号：石2m,4(s).即P,Q第一次相遇所用 的时间为4s.设第一次相遇点为C,第一次相遇时已运动 到终边在写4=号n的位置，则e-4cos骨=-2，e4 sin受=-2V3,∴点C的坐标为(-2，-2V3).故P点走 过的弧长为号45m:Q点走过的孤长为号π 变式训练6ABD【解析】经过1s后，质点A运动1rad, 质点B运动2ad,此时∠B0A的弧度数为写+3，故A正 确：经过号s后，∠A0B=5+号+2x77侣，故扇形A06 的弧长为侣：侣，故B正确：经过君s后，∠A08=君 6 6 +写+2x君-石，故扇形A0B的面积为S2××臣， 故C不正确；设经过ts后，A,B在单位圆上第一次相遇， 则1+2)+号-2m,解得=g(s),故D正确，故选ABD 数学文化 例解：圆0的半径r=1,正 方形的边长a=1,.以正方形的一边 为弦时所对应的圆心角为写，正方 形在圆周上滚动时，点的位置如图所 示，故当点A首次回到点P的位置 时，正方形在圆周上滚动了3圈.设 A(P) 第i(ieN)次滚动点A的路程为 例题答图 A.则A=gx1B=君，A=君1C=V,A=君xA= 6 石，A:=0,六点A所走过的路程为3(A+A+A+A)= 2+V2m. 2 >“7.2任意角的三角函数 7.21三角函数的定义 要点精析 例1解：(1)设点P的坐标为(x,y),则x=cos∠AOP= cos号弓，y=n∠A0P=s血号=Y.故点P的坐标为 3 2 (2)点P与点Q关于y轴对称，.点Q的坐标为 根据正弦函数、余弦函数的定义可知sn∠A0Q=V3 cosLAOQ=-2 1 31