7.1.1 角的推广-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第七章三角函数。 第七章三角函数 7.1任意角的概念与弧度制 7.1.1角的推广 学习目标 类型 定义 图示 按逆时针方向旋转而形成 1.掌握用“旋转”定义角，理解并掌握 正角 的角 04 “正角”“负角”“象限角”“终边相同的 角”的定义 按顺时针方向旋转而形成 负角 2.掌握所有与角α终边相同的角（包括 的角 ! 角)的表示方法。 条射线没有作任何旋转】 3.体会运动变化的观点，深刻理解推广 零角 称它形成了一个零角 后的角的概念，了解角的概念的推广是为了 满足解决现实生活和生产中实际问题的需 思考角的取值范围？ 要，学会用数学的观点分析、解决实际问 例1钟表的分针在一个半小时内转了 题，通过训练各种角的表示法提高分析、抽 ( 象、概括的能力 A.180° B.-180° C.540 D.-540° 要点精析 B变式训练① 川要点1角的概念的理解 将时钟拨快20分钟，则分针转过的度 角的概念 数为( (1)角：一条射线绕其端点旋转到另一 A.120 B.100 条射线所形成的图形称为角，这两条射线分 C.-100° D.-120° 别称为角的始边和终边.由于是旋转生成的， 川要点2旋转角与角的求和 也称为转角 (2)角的分类： 角的加减法运算 按旋转方向可将角分为如下三类： 引入正角、负角的概念以后，角的减法 高中数学必修第三册人教B版 运算可以转化为角的加法运算，即α-B可以 川要点3象限角 化为α+(-B).这就是说，各角和的旋转量等 于各角旋转量的和 象限角 例2求和并作图表示： (1)使角的顶点与坐标原点重合，角的 (1)60°+90°；(2)90°-30°；(3)-60° 始边落在x轴的正半轴上，角的终边在第几 -45° 象限，把这个角称为第几象限角 如果终边在坐标轴上，就认为这个角不 属于任何象限 (2)①象限角的集合 第一象限角的集合{ak·360°<a<90°+k, 360°，k∈Z}={axla=B+k.360°，0°<B<90°， k∈Z}. 第二象限角的集合{a90°+k·360°<< 180°+k360°，k∈Z}={ala=B+k360°，90°< B<180°，k∈Z}. 第三象限角的集合{al180°+k.360°<a< 变式训练2 270°+k.360°，k∈Z}={ala=B+k.360°，180°< 如图所示，射线OA绕端点O逆时针旋 B<270°，k∈Z. 转15°到0B位置，接着顺时针旋转75°到 第四象限角的集合{a270°+k.360°<a< 0C位置，然后逆时针旋转100°到OD位置， 360°+k.360°，k∈Z}={ala=B+k.360°，270°< 最后顺时针旋转85°到OE位置，求∠A0E B<360°，k∈Z. 的度数 ②终边落在坐标轴上的角的集合 终边落在x轴正半轴上的角的集合为 159 {ala=k.360°，k∈Z. 终边落在x轴负半轴上的角的集合为 {aa=k·360°+180°，k∈Z} 终边落在x轴上的角的集合为{ala=k· 图7-1-1 180°，k∈Z}: 终边落在y轴正半轴上的角的集合为 {ala=k·360°+90°，k∈Z}. 终边落在y轴负半轴上的角的集合为 {ala=k.360°+270°，k∈Z}. 终边落在y轴上的角的集合为{aa=k· 2) 学 第七章三角函数。 180°+90°，k∈Z}. 终边落在坐标轴上的角的集合为{ala= 变式训练③ k90°，k∈Z}. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴 例3已知角的顶点与坐标系的原点重： 的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它 合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列 们是第几象限角： 各角，判断它们在第几象限，并指出在0°~ (1)225°；(2)-300°；(3)-450° 360°范围内与其终边相同的角。 (1)420°；(2)-75°；(3)855°； (4)-510. 川要点4终边相同的角 终边相同的角 (1)终边相同的角：所有与角α终边相 同的角，连同角在内，集合表示为S=B1 B=x+k360°，k∈Z}. (2)特殊角的集合（表示不唯一） ①终边在一条射线上时，其角的集合为 {ala=0+k·360°，k∈Z}; ②终边在一条直线上时，其角的集合为 {ala=0+h.180°，k∈Z}; ③终边在两条相互垂直的直线上时，其 角的集合为{ala=0+k.90°，k∈Z. 其中0表示终边落在该直线（射线）上 反思感悟 的任意角 利用图象判断角所在的象限时，依据 (3)区域角的集合 的是终边相同的角的关系，将正角或负角利 如第一象限角：{ak·360°<a<k·360°+ 用公式转化到0°~360°范围内.因为在0°~ 90°，k∈Z}. 360°之间，没有两个角的终边是相同的 思考如何理解终边相同的角？ 学 N 高中数学必修第三册人教B版 例4在与角10030°终边相同的角中， 变式训练4 求满足下列条件的角 (1)最大的负角；(2)最小的正角： 写出与α=-1910°终边相同的角的集合， (3)360°~720°内的角 并把集合中适合不等式-720°≤B<360°的元 素B写出来. 要点5角的对称问题 例5若角α，B的终边互为反向延长 线， 则a与B之间的关系一定是() A.=-B B.a=180°+B C.a=k·360°+B(k∈Z) D.a=k·360°+180°+B(k∈Z) 反思感悟 反思感悟 所有与角α终边相同的角，连同角α 常见对称性的两角有： 在内可以用式子k360°+a(k∈Z)表示， (I)与B的终边关于x轴对称，则 在运用时需注意以下四点： ax+B=k·360°，k∈Z; (1)飞是整数，这个条件不能漏掉， (2)a与B的终边关于y轴对称，则 (2)α是任意角」 a+B=(2k+1)·180°，k∈Z; (3)k·360°与a之间用“+”连接 (3)与B的终边关于原点对称，则 (4)终边相同的角不一定相等，但相 a-B=(2k+1)·180°，k∈Z; 等的角终边一定相同，终边相同的角有无 (4)α与B的终边在一条直线上，则 数个，它们相差周角的整数倍 a-B=k.180°，k∈Z. 4 第七章三角函数。 反思感悟 变式训练⑤ 区域角是指终边落在坐标系的某个区 已知角α的终边与-120°角的终边关于y 域内的角.其写法可分为三步： 轴对称，求α的度数， (1)先按逆时针方向找到区域的起始 和终止边界； (2)按由小到大分别标出起始和终止 边界对应的0°~360°范围内的角a和B,写 出最简区间{xla<x<B}; (3)起始、终止边界对应角α，B再加 上360°的整数倍，即得区间角集合， B变式训练6 (1)写出终边在射线OA,OB上的角的 集合； (2)写出终边在阴影部分（含边界）的 1要点6区域角的表示 角的集合 例6如图，分别写出适 30 60 合下列条件的角的集合： 60 K45 (1)终边落在射线OM上； 图7-1-3 (2)终边落在直线OM上： (3)终边落在阴影区域 图7-1-2 内（含边界）· 学 5 N 高中数学必修第三册人教B版 由以上步骤可知，若Q为第一象限角， 要点7角a与2a、 2、 所在象限 3 关系问题 则Q为第一、三象限角。 例7若0为第三象限角，求日， 角 ②9所在象限的判 23 断方法. 第一步：画出 所在象限，并在该象限表示出来」 平面直角坐标系.如图 2,将每一象限三等分 第二步：标号.从靠近x 图2 轴正半轴的第一象限内区域开始，按逆时 针方向，在图中依次标上1,2,3,4,1， 2,3,4,1,2,3,4.第三步：选号.因为 为第一象限角，在图中将数字1所在的 区域用阴影画出.第四步：定象限.阴影部 分在哪一象限，则9的终边就落在哪一 象限 由以上步骤可知，当α为第一象限角 时，则为第一、二、三象限角， 反思感悟 对于 2， 的判定 3 变式训练7 还有另一种方法 已知a为第二象限角，间2a,受分别 卦图法 是第几象限角. ①受所在象限的判 图1 断方法.第一步：画出平面直角坐标系.如 图1，将每一象限两等分.第二步：标号 从靠近x轴正半轴的第一象限内区域开始， 按逆时针方向，在图中依次标上1,2,3， 4,1,2,3,4.第三步：选号.因为为第 一象限角，在图中将数字1的范围画出， 可用阴影表示.第四步：定象限.阴影部分 在哪一象限，则的终边就落在哪一象限」 2 6 学 第七章三角函数。 B变式训练⑧ C是AB的中点，D在AB上，CD⊥AB.“会 圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公 如图1是杭州2022年第19届亚运会会 式：s=AB+CD. 当0A=2,A0B=60°时， 徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特 OA 色社会主义大潮的涌动和发展.如图2是 会徽的几何图形，设弧AD的长度是1，弧 A.11-3V3 B.11-4V3 BC的长度是I2,几何图形ABCD的面积为 2 S,扇形B0C的面积为S2,若4=2，则S= C.9-3V3 2 D.9-4V3 2 数学文化 例中国传统扇 文化有着深厚的底 19th Asian Cames Hangzhou 2022 蕴，一般情况下，折 图1 图2 扇可以看作是从一个 图7-1-6 图7-1-4 圆形中剪下的扇形制作而成的，当折扇所在 A.1B.2 C.3 D.4 扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为 色变式训练g V5-1时，折扇的外观看上去是比较美观 2 沈括的《梦溪笔谈》 的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数 是中国古代科技史上的 为() 杰作，其中收录了计算 A.V5+1 B.V5+1 圆弧长度的“会圆术” 2 如图，AB是以O为圆 c.V5-1 D.V5-1 图7-1-5 4 心，OA为半径的圆弧， 学 7N参考答案 学习手册参考答案 第七章 >"7.1任意角的概念与弧度制 7.1.1角的推广 要点精析 例1D【解析】钟表的分针是顺时针转动的，每转一周， 转过-360°，当分针转过一个半小时时，它转了-540°.故 选D 变式训练1D【解析】将时钟拨快时，分针是顺时针转 动，且转动角度为周角的三分之一·故选D. 例2解：(1)60°+90°=150°；(2)90°-30°=60°； (3)-60°-45°=-105°.作图，如图所示 AB 309 150 50 105 (1) (2) (3 例2答图 变式训练2解：由题意知∠AOB=15°，∠B0C=-75° ∠COD=100°，∠DOE=-85°，因此∠AOE=∠AOB+∠B0C+ ∠C0D+∠D0E=15°-75+100°-85°=-45°. 例3解：如图所示 420 (2 (3) (4 例3答图 参考答案。 三角函数 由图可知： (1)420°角在第一象限，在0°~360°范围内与60°角终 边相同 (2)-75°角在第四象限，在0°360°范围内与285°角终 边相同. (3)855°角在第二象限，在0°~360°范围内与135°角终 边相同. (4)-510°角在第三象限，在0°~360°范围内与210°角 终边相同. 变式训练3解：以原点为顶点、x轴的非负半轴为始边， 分别作出225°角、-300°角、-450°角，如图所示。 50 (1) (2) (3) 变式训练3答图 观察角的终边所在位置，知225°角，-300°角分别是第 三象限角和第一象限角，-450°角的终边在y轴负半轴上， 不属于任何象限. 例4解：与10030°终边相同的角的一般形式为B=k·360 +10030°(k∈Z). (1)由-360°<k·360°+10030°<0°，得-10390°<k·360 <-10030°，解得k=-28,故所求的最大负角为B=-50°. (2)由0°<k.360°+10030°<360°，得-10030°<k·360° <-9670°，解得k=-27,故所求的最小正角为B=310°. (3)由360°<k·360°+10030°<720°，得-9670°<k·360 <-9310°，解得k=-26,故所求的角为B=670°. 变式训练4解：由终边相同的角的表示知，与角a=-1910° 终边相同的角的集合为βB=k360°-1910°，k∈Z.-720° ≤B<360°，-720°≤k·360°-1910<360°，解得311≤ 36 k66故取4,5.6当e4时，B=460910=-470 当k=5时，B=5×360°-1910°= -110°：当k=6时，B=6×360° 1910°=250°. 例5D【解析】如图所示，以 角B的终边的反向延长线为终边 的角有一个为180°+β，∴.a=k· 例5答图 29 N 高中数学必修第三册人教B版 360°+180°+B(k∈Z).故选D. 变式训练5解：.角[180°-(-120°)]与-120°角的终边 关于y轴对称，∴.角的终边与300°角的终边重合.故角aα 的集合是S=aa=k·360°+300°，k∈Z. 例6解：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A=al a=45°+k·360°，k∈Z}. (2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B= ala=225°+k·360°，keZ,则终边落在直线0M上的角的 集合为AUB=ala=45°+k·360°，k∈ZU{ala=225°+k· 360°，k∈Z}=ala=45°+2k·180°，k∈ZU ala=45°+(2k+ 1)·180°，k∈Z=ala=45°+n180°，n∈Z. (3)同理，终边落在直线ON上的角的集合为BB=60 +n180°，n∈Z,故终边落在阴影区域内（含边界）的角 的集合为{al45°+n·180°≤a≤60°+n·180°，n∈Z}. 变式训练6解：(1)终边在射线OA上的角的集合是{al a=210°+k.360°，keZ}: 终边在射线OB上的角的集合是{aa=300°+k·360°， keZ· (2)终边在阴影部分（含边界）的角的集合是{a210°+ k·360°≤a≤300°+k·360°，k∈Z}. 例7解：由已知得，k360°+180°<0k360°+270°，k∈Z, h180°+90<号k.180+135°，keZ.当k为偶数时，2 在第二象限；当k为奇数时，9在第四象限如图1，号 在第二、四象限的阴影区域内（不含边界） 图1 图2 例7答图 又·k120°+60°<日<k.120°+90°，k∈Z, 3 当k=3n(neZ)时，9在第-象限； 3 当=3nt1(neZ)时，号在第三象限； 当k=3n+2(neZ)时，9在第四象限】 3 如图2，号在第一、三、四象限的阴影区域内（不合 边界). 变式训练7解：a是第二象限角，.90°+k·360°<a<180° +k.360°，k∈Z.∴.180°+2k·360°<2<360°+2k·360°，k∈Z ·2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴 上的角. 又45+号360<号<90+360，keZ.当k为偶 30 数时，令k=2n,n∈Z,则45+n·360°<Q<90°+n360°，此 时，号为第一象限角；当k为奇数时，令k=2n+1,ne乙， 则225+n360°<号<270°+n~360,此时，9为第三象限角. 2 2 “受为第一或第三象限角。 变式训练8C【解析】设∠BOC=a,由=2，得1OAa= 1OB·a 10AL=2,即10A=210B1, 51= AF- 1OBI S2 o 1OAP-10BP=410B-0BP=3.故选C. IOBP IOBP 变式训练9B【解析】如图，连接 OC,.C是AB的中点，.OC⊥AB. 又CD⊥AB,.O,C,D三点共线， 即0D=0A=0B=2.又.∠AOB=60°， AB=OA=0B=2,则OC=V3,故 CD-2-V3.s=AB+CD=2+ OA 变式训练9答图 (2-V32=11-4V3.故选B. 2 2 数学文化 例A【解析】设扇形的弧长为1，半径为r,圆心角 的派度数为。、由题意得Y,变形可得上 2 2(V5-1=V5+1.=r,折扇所在扇形的圆心角的 3-VW5 弧度数为V5+1.故选A. 71.2弧度制及其与角度制的换算 要点精析 例1D【解析】根据角度和弧度的定义，可知无论是角度 制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧 长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C三项 均为真命题.故选D. 变式训练1D【解析】半圆所对圆心角a=r=π，故A正 确：周角a=2-2m,故B正确；由1rad角的定义知C 选项正确，D选项错误.故选D. 例2解：1)200-晋2)-15哥-哥 1809 8)77×180=105.(4）-157=-5x180-396 5 变式训练2解：)11230=2空了-2空×0警 2)8-0×10)°-75 例3解：(I)要确定角α：所在的象限，只要把α表示为 a=2kπ+a0(keZ,0≤a<2T)的形式，由a所在的象限即 可判定出α所在的象限.