山西省忻州市代县2025-2026学年高三上学期12月质量检测数学试题B

2026届高三一轮复习12月质量检测 数学试题 注直事项: 】.将轻筋,考生每必期白已的蜂名.号城号、$伊号、滦考证号莆写在答题卡上。 2阿容进择题时,选H师小题粹案后.用阳宫把笄题卡小对成题肝的粹案标号涂:如需改 动,用移皮排干冲异.丙选涂其他然案标号.问答作进邪恩时,将辉案可在芬题卡上,写在 本祝餐上无效。 3$试特束后,将木试鞋和容题卡一并交同, 考议时间为120分钟.漏分150分 一、选择题:本睡共8小随,每小整5分,共0分。在每小陋给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1+ 1若:吉则1 A.1 B.2 CN万 D.4 2.若聚合A {x∈N|0<r≤41,B={xlx2-9x十18≤0;,则A∩B= A.3} B.{4} C.{2,3} D.(3,4} 3如图,四梭锥P一ABCD的底面是边长为4正方形,E为BC上的点,F为PC的中点, PD⊥底面ABCD,PD=2,CE=I,则以下向量可以作平面DEF的法向量的是 A.(4.-2.1) B.4,-1,2) C.(4,1.-2) D.(4.一2.-1) 第3题图 第5题图 4.格面数了x)=sim3x+)的图象向左平移器个单位,得到函数g《x)的图象,则函数 g(x)= Asn3z+阅) B.co3x+ C.cos 3r D,sin 3x 5.如图,在直三校柱ABC-A1B,C,中,∠ACB=90 ,AA,=AC=BC=2,P为线段BC 的中点,E,F分别为线段A,P与线段CC,上的点,則线段EF长的最小值为 B3 37 4 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 6.如图,在三棱锥P一ABC,平面PAC⊥平面ABC, ABC是边长为2.的等边三角形, PA=PC=3,则二面角A一PC一B的正切值为 &36 C36 D. 第6题图 第7题图 2 7,如图,记三棱锥P-ABC的体积为V,3≤V≤2,BA=BC=2,∠ABC=90 ,D为AC的 中点,且PD⊥平面ABC,则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为 1211 25 8,已知函数f(x)=e二号z3h 2z2-x(a,b∈R)在(-∞,十∞)上单调递增,则a十b的 取值范围是 A.(-∞,-1] B.(-∞,0] C.(-∞,1] D.(-∞,2] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知m,n是两条不同的直线,a,B,y是三个不同的平面,下列命题正确的是 A若mCa,nCa,m∥p,n∥B,则a∥p B若a∥p,B∥y,m⊥a,则m⊥y C.若m⊥a,n∥a,则m⊥n D.若m∥n,m∥a,n史a,则n∥a 10.下列各式化简结果为一√3的有 A.3cos275 -sin275 -1 B1-tan275 1十tan275 C.cos34 -2sin64 D.sin40 +sin80 sin34 cos160 11.如图,在多面体ABCD一A1B1C1中,平面ABCD∥平面A1B,C1,A1C1=AD,DC= 2AB,AB∥DC,且交线A,C1与A1B确定的平面与DC交于点E, C 则下列结论正确的是 A.点E在线段DC上的位置不确定 B.A,B∥平面DCB,C1 C.EC1∥平面A1BB1 D.EC1∥平面BCB, 2026届高三一轮复习12月质量检测数学试题第2页(共4页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.如图,平行六面体ABCD一A1B1C,D,中,延长AB至点P,使AB=2BP,则向量C1P 可用向量DA,DC,DD1表示为 D 13.已知一球O与一圆台的上、下底面及其侧面都相切,圆台的上、下底面的半径分别为 r1=1r2=3,则球O的体积为 14,如图,在 ABC中,P为AC的中点,AB=4A京,Q为BC上一点,且满足C克=4C, PQ∩CF=E,若CE= CA+ CB,则 + = 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{am}的前n项和为Sm,且S.=nan十 n(1一n)()∈R,n∈N+),a2= a1+2 (1)求实数 的值; (2)若a1=1,求{am}的通项公式; (3)将数列(a.}与数列(m一1)的公共项从小到大排列得到新数列{6.},求之二的值. 台ib 16.(15分)某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作,河岸一侧A,B两地相距50米,河对 岸有C,D两地,测得AC=70米,∠DBA=∠DBC,cOs∠DBA= 5 (1)求sin∠ACB的值; (2)若测量后发现DB=DC,求A,D两地的距离. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(15分)如图,在三棱锥P一ABC中,PC⊥平面ABC,AB⊥BC,AC=4,PC=2, ∠ACB=D为BP上靠近点B的三等分点. (1)证明:AB⊥CD; (2)求平面ABP与平面ADC夹角的余弦值. 18.(17分)如图,正方体ABCD一A,B,C1D1的棱长为6,且E,F,P分别为BB1,B,C1, CC1的中点. (1)证明:平面A1EF∥平面AD1P; (2)平面AD1P将正方体ABCD一A1B1C,D,截成两部分,若这两部分的体积分别 V 为V,V'(V≤V'),求可的值. D D 19.(17分)已知函数f(x)=ax+e(a∈R). (1)求函数f(x)的极值. (2)若a<0,函数f(x)有两个零点x1,x2,且x2>x1>0. ①咏名品的值: 2-.<丝 ②求证:1nx2一lnx1 2 9∩96屈京=一热组习12月居器给新堂战蹈笠4百(业4而) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP B 2026届高三一轮复习12月质量检测 数学参考答案及评分意见 1A【解标I=吉=il:=1旅法入 2.D【解析】,0<x≤4,x∈N,A={1,2,3,4.解不等式x2-9x十18≤0得3≤x≤6,.B={x|3≤x≤6}, .A∩B={3,4}.故选D. 3.B【解析】由题意,知D(0,0,0),P(0,0,2),C0,4,0),E(1,4,0),F(0,2,1),∴DE=(1,4,0),D京=(0,2,1). m D2=0,nz+4y=0, 设平面DEF的法向量为m=(x,yx),则 即 令x=4,则y=一1,之=2,所以m= m DF=0,2y+z=0. (4,一1,2).故选B. 4.C【解析】函数f(x)=sin3z+的图象向左平移是个单位, 所得图象对应的函数为gz)=加[(c+)十]-nx+骨+】-sn个z+》=cos3z.散选C 5.C【解析】在直三棱ABC一A,B,C,中,,∠ACB=90 ,∴.CA,CB,CC两两垂直.建立如图所示的空间直角坐 标系,则C(0,0,0),P(0,1,0),C1(0,0,2),A(2,0,2),PA,=(2,-1,2),CC=(0,0,2). 设P它= PA,0≤≤1,F(0,0,t),则E(2x,1-入,2入),EF=(-2 ,A-1,l-2 ). 要使线段EF最短,必满足EF⊥CC1,则E京.CC=0,解得t=2 ,E京=(-2 ,入-1,0). “1-W0+Q-=√5-公+=民-局+号≥25,当且仅当x-号时等号成立 六线段EF长的最小值为25 故选C 6.B【解析】如图,设AC的中点为E,连接PE,BE. 在 PAC中,AC=2,PA=PC=3,则PE⊥AC,PE=√PA2-AE=√9-I=22. BA=BC,E为AC的中点,.BE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, BEC平面ABC,.BE⊥平面PAC.,PCC平面PAC,∴.BE⊥PC. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 作EF⊥PC于点F,连接BF.:BE,EFC平面EFB,BE∩EF=E,∴.PC⊥平面EFB. ,BFC平面EFB,∴.BF⊥PC.∴,∠BFE是二面角A一PC一B的平面角. 在Rt PEC中,EF⊥PC,有PE EC=EF PC,即22X1=EFX3,EF=2EXL_22 3 3 在Rt ABE中,BE=√②-下=3.BE⊥平面PAC,EFC平面PAC,∴BE⊥EF,tan∠BFE=BE EF 3_3v6 224 故选B. 3 7.C【解析】,∠ABC=90 ,BA=BC=2,∴AC=2NE.又D为AC的中点,.AD=BD=CD=√2. :PpL平面ABC,iV=号XPDX-X2 E=号xPD∈[后,21<PD≤, 由题意知,该三棱锥外接球的球心O在直线PD上. 设OD=t(t为负值,则球心在平面ABC的下方),外接球半径为r,PD=x,l≤x≤3, 则2=(x-)2=12+2)2,整理得1=二2三-上 2x-2x 设fx)=号-fx)在(0,+∞)止单调递增,f1)<fx)f(3), 即-<f)<名放=+2e[2,】 “该三棱锥的外接球的表面积S-4∈[8x,号,],故选C 8.C【解析】f'(x)=e-ax2-bx一1,函数f(x)在(-∞,十∞)上单调递增, .f'(x)≥0在(一∞,十∞)上恒成立,即e≥ax2+bx十1在(-∞,+∞)上恒成立. g(x)=ax2+bx+1,h(x)=e', 当a=0时,g(x)=bx十1,直线g(x)恒过点(0,1), 故只需直线g(x)=bx十1为曲线h(x)=e在点(0,1)处的切线即可,b=h'(0)=1,此时a+b=1; 当a≠0时,函数g(x)的图象恒过点(0,1),为使e≥ax2十bx十1在(一∞,十∞)上恒成立, 需函数g(x)=a:x2十bx十1的图象开口向下,且在点(0,1)处与函数h(x)=e的图象有公切线, a<0, 则有 a+b<1, g'(0)=b=1, 综上,a十b的取值范围是(一∞,1].故选C. 9BCD【解析】对于A,若mCa,nCa,m∥p,n∥B,因为直线m,n未必相交, 所以a与B不一定平行,故A错误; 对于B,由a∥ ,B∥y,得a∥y,又m⊥a,则m⊥Y,故B正确; 对于C,由n∥a,得存在过直线n与平面a相交的平面,设交线为l,则n∥l, 因为m⊥a,所以m⊥l,m⊥n,故C正确; CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 对于D,由m∥a,得存在过m的平面与a相交,令交线为l,则m∥L,因为m∥n,所以n∥l, 又因为n中a,所以n∥a,故D正确故选BCD. 10.ACD【解析】对于A,3cos275 -sin275 -1=(cos275 -sin275)+(2cos275 -1)=2cos150 =一√3,故A 正确, 1-tan275 1-sin275 对于B,1+tan75 -C0s2750 Scos75-co75干7=cos(2X75)二一c0s30=一2,放B绪误, c0s275 对于C,cos34 -2sin64=0s34 -2sin(30 +34)_c0s340-2sin30c0s34 -2c0s30 sin34 sin34 sin 34 sin34 =-2cos30sin34-=-5,故C正确: sin34 对于D,sin40 +sin80 =-sin(60 -20)+sin(60+20) cos 160 C0s20 号os20-7n20+s20+7如20 cos20 、-cos,20=-3,故D正确,故选ACD. 11.BC【解析】平面ABCD∥平面A:B,C1,平面ABCD∩平面ADC1A1=AD, 平面A1B1C1∩平面ADC1A,=A1C1,∴AD∥A,C1,同理得BE∥A,C1,.AD∥BE. :AB∥DC,∴四边形ABED为平行四边形,.AB=DE,又DC=2AB,.E为DC的中点,故A错误. 由A知,四边形ABED为平行四边形,AD=BE,AC1=AD,BE=A,C1. 又BE∥A1C1,四边形A1C,EB为平行四边形,.A1B∥C,E. A1B丈平面DCB1C1,C1EC平面DCB1C1,.A1B∥平面DCB,C,故B正确. 由B知,CE∥A,B,CE丈平面A1BB1,ABC平面A1BB1,∴.C1E∥平面A1BB1,故C正确. B1C,与EC的长短不确定,若B,C,与EC的长短不一样,又EC1与CB,在同一平面内, 则EC1与CB1一定相交,EC1与平面BCB,相交,故D错误故选BC 12.DA+2D心-DD,【解桥】C户=D时-DC-Di+A花-(DD,+D心)=Di+多A店-DD-D心-Di+ D心-DD,-D心-Di+号Dc-DD. 13.4√5 【解析】设圆台的高为h,母线长为l,球0的半径为R,作出圆台的轴截面,如图. 02 圆台的轴截面等腰梯形的高h等于球O的直径2R.,球O与圆台的侧面相切,∴.OE⊥CD. 则 COE≌ COO2, DOE≌ DOO1,∴.CE=CO2,DE=DO1, ∴.l=DE+CE=D01+C02=r1+r2=1+3=4,h=2R. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 在Rt DFC中,由勾股定理得h2+(r2一r1)2=2,.(2R)2+22=42,解得R=3. “球0的体积为号x)=4元 48 【解析1:a店=4A,G床=+-+A店-C+(G-C成)-c+. 又:C,E,F三点共线,∴C克=mC-30C+C。 :P为AC的中点,C-Ci.C=4威,C成=克. 又P,E,Q三点共线,∴C范=nC+(1-n)=2Ci+(1-m)C克. 得m-号=C=品C+C破,即A=品=司以十a=号 =1一”, 44 15.解:1S。=0+m1-n)Q∈R,m∈N+),S=a.+a01-), cS=ag- ,即a2-a1=2以.又a2-a1=2, =1,m 2 3分 (2)由(1)得,Sn=nam十n(1-n)=nam十n-n2(n∈N+), ∴.Sm+1=(n+1)am+1十n+1-(n+1)2. 以上两式相减得am+1=(n十1)aw+1一na。一2m, 整理得amt1一an=2(n∈N+., …6分 ∴.数列{an}为等差数列,公差d=2,首项a1=1, 通项公式为an=2n一1.… …8分 (3)若将数列{am}与数列{n2一1)的公共项从小到大排列得到新数列{bn},得b,=(2n一1)(2n十1), -m-n+n-(品2h) 1 站-0-+号-+…+)0-动器 …13分 16.解:I)由∠DBA=∠DBC,cos∠DBA= 5, 得6os∠ABC=2ams∠DBA-1-2 号-1=-号 sin ZABC-/1-0ZABC- ,…………2分 5 在 ABC中,由正弦定理得AC sinLABC-sin2ACB,即,20 AB 50 26 sin∠ACB 5 sinLACB=26 …5分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2)在 ABC中,由余弦定理得,70-BC+50-2 50XBCX()】 整理得BC2+20BC一2400=0,解得BC=40(BC=一60舍去). …7分 在 DBC中,DB=DC,∴coS∠DBC=cOS∠DCB=cOS∠DBA= 5 设BC的中点为点E,连接DE,DB=DC,,DE⊥BC. BC cosLDBC= D筋D,即0-20 BE220 写=0品DB=DC=10而.…10分 在 ABD中,AD2=DB2+AB2-2DB ABcos∠DBA -10V1)+50-2x10v1而 50 0-150 .AD=10√15米,即A,D两地的距离为10√15米.…………15分 17.(1)证明:,PC⊥平面ABC,ABC平面ABC,∴.PC⊥AB.… …2分 又AB⊥BC,PC∩BC=C,PC,BCC平面PBC,AB⊥平面PBC.…4分 CDC平面PBC,.AB⊥CD. ……5分 (2)解:设AC的中点为O,作Oz⊥平面ABC,在平面ABC内作Ox⊥AC,建立如图所示的空间直角坐标系 0-xyz. ∠ACB=5,AC=4,PC=2,BC=2,AB=25,则A0,-2,0),C(0,20,B5,1,0),P0,2,2, Bp=(-5,1,2),”7分 又,D为BP上靠近点B的三等分点, 筋-丽-(-g引,引 ∴AD= 9,9引Ac=04o0店=530 9分 设m=(x,y,之)为平面ABP的法向量, m AD=23,+102 则 3x+ 3+32=0, m AB=5x+3y=0, 令y=-1,则m=(√5,一1,2).… ……1】分 设n=(a,b,c)为平面ADC的法向量, CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP n AD=23n+102 则 3a+ 36+3c=0, a AC=4b=0, 令a=-1,则n=(-1,0,3).… …13分 ∴.平面ABP与平面ADC夹角的余弦值为 |-5+25 lcos(mn川=mn=写 8 15分 2√2X2 18.(1)证明:如图,设BC的中点为Q,连接PQ,AQ,FQ,BC1. D 四边形ABCD1为平行四边形,.BC1∥AD1.……2分 P,Q分别为CC1,BC的中点,.PQ∥BC1,PQ∥AD1, 即平面AD1P与平面AD1PQ为同一平面.… 4分 FQ∥BB1∥AA1,FQ=BB,=AA1, ∴.四边形AQFA,为平行四边形,AQ∥A,F. 又A,F丈平面AD1P,AQC平面AD1P,.A1F∥平面AD,P.…6分 E,F,P,Q分别为BB,BCCC1,BC的中点,EF∥PQ. EF丈平面AD1P,PQC平面AD,P,EF∥平面AD1P. ……8分 A1F∩EF=F,AF,EFC平面A,EF, ∴.平面A1EF∥平面AD1P. …10分 (2)解:由(1)得平面AD1P即平面AD1PQ.……11分 V-Vp-ae,+V,-Am-专XSam,XCD+号XSoncXPC 1 =号 号 6x6x6+号 号(3+6)x6 3=63. …14分 ∴.V'=V正方体-V=6X6 6-63=153, 出篇- 17分 19.(1)解:函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=a十e. 当a≥0时,∫'(x)>0恒成立,∴.函数f(x)在R上单调递增,无极值,……2分 当a<0时,令f'(x)=0,解得x=ln(-a). 当x∈(一∞,ln(一a)时,f'(x)<0,函数f(x)在(-∞,ln(一a)上单调递减, 当x∈(ln(一a),十o∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在(ln(-一a),十∞)上单调递增.…5分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP