第3章幂、指数与对数高频考点分类复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版同步培优

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理了幂、指数与对数的知识体系，将指数幂化简与求值、对数运算、换底公式应用等六个考点按“基础运算-实际应用-综合提升”的递进关系组织，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“真题例题+变式训练”的练习设计，如对数实际应用模型中结合大气压强、地震震级等实例，培养用数学眼光观察现实世界的素养。通过换底公式应用、指数对数互化等方法指导，提升运算能力与推理意识，基础题巩固知识，综合题拓展思维，助力教师实施精准分层教学。

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第3章幂、指数与对数高频考点分类复习 考点一：指数幂的化简与求值 考点二：指数式与对数式的互化 考点三： 对数的运算 考点四：对数的换底公式的应用 考点五：对数的实际应用模型 考点六：综合提升 考点一：指数幂的化简与求值 【例1】（24-25长宁区高一上期末）指数幂的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】应用有理数指数幂的运算化简求值. 【详解】由. 故答案为：4 【例2】（2024-25上海师大二附中高一上考试）代数式化成分数指数幂为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将根式化为分数指数幂，再化成负分数指数幂即可求解. 【详解】 故答案为：. 【变式训练】 1. （2024-25嘉定高一上期末）已知，化简：______. 【答案】 【解析】 【分析】由指数幂的运算化简即可； 【详解】原式. 故答案为：. 2.（24-25浦东新区高一上期末） 已知，用有理数指数幂的形式表示________. 【答案】 【解析】 【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可. 【详解】. 故答案为：. 3. （24-25松江区高一上期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 __________ 【答案】 【解析】 【分析】化根式为分数指数幂即可列式计算得答案. 【详解】依题意，，而， 则，而，解得， 所以. 故答案为：. 4. （2024-25晋元高级中学高一上期末）若幂函数的图象经过点，则实数______. 【答案】4 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求即可. 【详解】因为幂函数的图象经过点，所以， 所以，所以， 故答案为：4. 考点二：对数的概念与性质 【例3】（2024秋·上海高一专题练习）若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用对数中底数和真数的范围，可得出关于的不等式组，即可解得实数的值. 【解析】对于等式，有，解得且， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练】 1.（2024秋·上海高一专题练习）② ；③ ④ ；⑤ 【答案】 0 1 【分析】略 【解析】略 2.（2024秋·上海高一专题练习）若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【解析】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 考点三：指数式与对数式的互化 【例4】（2024-25敬业中学高一期末）已知且，若，，则_______________. 【答案】6 【解析】 【分析】 利用指数式与对数式的互化，再利用同底数幂相乘即可. 【详解】，同理： ∴ 故答案为：6 【点睛】对数运算技巧： (1)指数式与对数式互化； (2)灵活应用对数的运算性质； (3) 逆用法则、公式； (4) 应用换底公式，化为同底结构． 【变式训练】 1.（2024-25控江中学高一上期末）已知，，若用，表示，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由指数式与对数式互化得出，再利用对数的运算性质可得出结果. 【详解】因为，则，又因为，则. 故答案：. 2．（23-24高一上·上海普陀·期末）已知，，则= . 【答案】2 【分析】根据已知求出的值即得解. 【解析】解：因为， 因为，所以. 所以. 故答案为：2 3. （24-25长宁区高一上期末）已知，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由指对数的关系得，再有，即可求值. 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 考点三： 对数的运算 【例5】（2024-25虹口高一上期末）计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算公式计算即可. 【详解】原式. 故答案为： 【变式训练】 1.（2024秋·上海高一专题练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)2(2)1 【分析】（1）（2）根据对数运算律计算即可； 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． 2．计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用对数运算性质化简求解即可． 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． 考点四：对数的换底公式的应用 【例6】（24-25向明中学高一上期末）已知，则_________．（用的代数式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算即可得． 【详解】由，，则． 故答案为：． 【变式训练】 1. （24-25华东师大附中高一上期末）的值是______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用换底公式计算可得结果. 【详解】易知. 故答案为：1 2. （24-25松江区高一上期末）已知，则 ______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用指数式与对数式的互化和换底公式即可求值． 【详解】，则，， ． 故答案为：． 3. （24-25浦东新区高一上期末）已知，，则_________.（结果用a，b表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式和对数运算性质即可. 【详解】. 故答案为：. 4. （2024-25徐汇高一上期末）已知，则用表示______. 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式和对数运算性质即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 考点五：对数的实际应用模型 【例7】（24-25长宁区高一上期末）大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数．已知海拔为、两地的大气压强分别为、，若测得某地的大气压强为，则该地海拔为（ ）． A. 2415 B. 2053 C. 2871 D. 3025 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及函数关系式列方程得、，再将其代入求即可. 【详解】由题意可得，两式相除得，两边取对得， 所以，则，可得， 由，则，可得， 两边取对得， 则m. 故选：C 【变式训练】 1. （2024-25嘉定高一上期末）科学家以里氏震级来度量地震的强度，设为地震时所散发出来的相对能量程度，里氏震级度量定义为，则7级地震和6级地震的相对能量比值是______.（结果精确到个位） 【答案】32 【分析】设7级时能量为，6级时能量为，利用已知条件结合对数的运算性质求出即可． 【详解】设7级时能量为，6级时能量为， 则， 两式相减得， 所以，所以， 注意到， 所以. 故答案为：. 2. （2024-25复旦附中高一期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（ ） A. 1.19 B. 2.19 C. 3.19 D. 4.19 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得，即， 可得，所以. 故选：B. 3．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【答案】B 【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【解析】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73. 故选：B. 考点六：综合提升 【例8】（23-24高二下·上海·期末）已知且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式得到，结合对数运算法则求出最值. 【解析】且，故， 即，解得，当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 【变式训练】 1. （24-25进才中学高一上期末）已知，，且，则ab的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】运用对数运算及换底公式可得，运用基本不等式可求得的最小值. 【详解】∵， ∴，即： ∴， ∵，， ∴，， ∴，当且仅当即时取等号， 即：，当且仅当时取等号， 故的最小值为16. 故选：C. 2.（24-25上海华东模范中学高一上期末） 已知，，当变化时，最小值为4，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用换底公式结合基本不等式确定的最小值表达式，结合题意可得方程，即可求得答案. 【详解】由题意得，， ，当且仅当即时取等号， ∴，此时，适合题意， 故答案为：2 3. （2024-25洋泾中学高一期末）方程的解为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将对数方程转化为关于的方程组，求解即可． 【详解】原方程可化为, 即 . 所以, 即, 解得 或. 又 且, 所以 .所以不满足题意, 因此应舍去.故方程的解为. 故答案为. 【点睛】本题考查解对数方程，求解对数方程时，利用对数运算性质转化为关于真数的方程时，要注意等价变化，同时要满足真数大于0的条件，是基础题． 1. （2024-25上海大学附中高一期末）当 时，化简: _____. 【答案】 【解析】 【分析】利用根式化简计算即可； 【详解】因为 所以， 故答案为： 2. （2024-25金山高一上期末）将化为有理数指数幂的形式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由分数指数幂的运算即可得解. 【详解】由题意. 故答案为：. 3. （2024-25虹口高一上期末）已知，则__________. 【答案】2 【分析】根据，表示出，根据对数的运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案：2. 4.（2024-25华东师大附中进华中学高一期末）已知，则________． 【答案】2024 【分析】利用对数的运算性质计算即得. 【详解】． 故答案为：2024. 5. （2024-25嘉定高一上期末）已知，，则________ 【分析】根据指数和对数的互化以及对数运算法则即可得出结果. 【详解】由，则，又， . 6 （2024-25长宁高一期末）已知，，则________ 【答案】 【分析】由指对数的关系得，再有，即可求值. 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 7. （24-25闵行区高一上期末）若，，则______ 【答案】1 【分析】指数式化为对数式，结合换底公式得到. 【详解】由，得，， 故，， 故. 故答案为：1 8. （2024-25金山高一上期末）设，，用a，b表示的结果为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】. 故答案为：. 9.（2024-25晋元高级中学高一上期末） 已知，则=______． 【答案】 【分析】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【详解】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 10．（23-24高一上·上海闵行·期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】现根据对数运算结合已知数据求出，根据指对互化，即可得出答案. 【解析】， 所以，. 故选：A. 11．（22-23高一上·上海奉贤·期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，得到可得，两式相减得，即可求解. 【解析】由题意知，声强级是表示声强度相对大小的指标值的定义为， 可得， 两式相减得， 即，解得， 所以声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的倍． 故选：A. 12.计算：(1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数运算法则直接化简求解即可. 【解析】（1）. （2）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第3章幂、指数与对数高频考点分类复习 考点一：指数幂的化简与求值 考点二：指数式与对数式的互化 考点三： 对数的运算 考点四：对数的换底公式的应用 考点五：对数的实际应用模型 考点六：综合提升 考点一：指数幂的化简与求值 【例1】（24-25长宁区高一上期末）指数幂的值为________． 【例2】（2024-25上海师大二附中高一上考试）代数式化成分数指数幂为______． 【变式训练】 1. （2024-25嘉定高一上期末）已知，化简：______. 2.（24-25浦东新区高一上期末） 已知，用有理数指数幂的形式表示________. 3. （24-25松江区高一上期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 __________ 4. （2024-25晋元高级中学高一上期末）若幂函数的图象经过点，则实数______. 考点二：对数的概念与性质 【例3】（2024秋·上海高一专题练习）若，则的取值范围是 . 【变式训练】 1.（2024秋·上海高一专题练习）② ；③ ④ ；⑤ 2.（2024秋·上海高一专题练习）若，则 . 考点三：指数式与对数式的互化 【例4】（2024-25敬业中学高一期末）已知且，若，，则_______________. 【变式训练】 1.（2024-25控江中学高一上期末）已知，，若用，表示，则________． 2．（23-24高一上·上海普陀·期末）已知，，则= . 3. （24-25长宁区高一上期末）已知，，则________ 考点三： 对数的运算 【例5】（2024-25虹口高一上期末）计算：__________. 【变式训练】 1.（2024秋·上海高一专题练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 2．计算下列各式的值： (1)； (2)． 考点四：对数的换底公式的应用 【例6】（24-25向明中学高一上期末）已知，则_________．（用的代数式子表示） 【变式训练】 1. （24-25华东师大附中高一上期末）的值是______. 2. （24-25松江区高一上期末）已知，则 ______． 3. （24-25浦东新区高一上期末）已知，，则_________.（结果用a，b表示） 4. （2024-25徐汇高一上期末）已知，则用表示______. 考点五：对数的实际应用模型 【例7】（24-25长宁区高一上期末）大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数．已知海拔为、两地的大气压强分别为、，若测得某地的大气压强为，则该地海拔为（ ）． A. 2415 B. 2053 C. 2871 D. 3025 【变式训练】 1. （2024-25嘉定高一上期末）科学家以里氏震级来度量地震的强度，设为地震时所散发出来的相对能量程度，里氏震级度量定义为，则7级地震和6级地震的相对能量比值是______.（结果精确到个位） 2. （2024-25复旦附中高一期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（ ） A. 1.19 B. 2.19 C. 3.19 D. 4.19 3．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 考点六：综合提升 【例8】（23-24高二下·上海·期末）已知且，则的最大值为 . 【变式训练】 1. （24-25进才中学高一上期末）已知，，且，则ab的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2.（24-25上海华东模范中学高一上期末） 已知，，当变化时，最小值为4，则______. 3. （2024-25洋泾中学高一期末）方程的解为______. 1. （2024-25上海大学附中高一期末）当 时，化简: _____. 2. （2024-25金山高一上期末）将化为有理数指数幂的形式为__________. 3. （2024-25虹口高一上期末）已知，则__________. 4.（2024-25华东师大附中进华中学高一期末）已知，则________． 5. （2024-25嘉定高一上期末）已知，，则______ 6 （2024-25长宁高一期末）已知，，则________ 7. （24-25闵行区高一上期末）若，，则______ 8. （2024-25金山高一上期末）设，，用a，b表示的结果为__________. 9.（2024-25晋元高级中学高一上期末） 已知，则=______． 10．（23-24高一上·上海闵行·期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·上海奉贤·期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 12.计算：(1)； (2)． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $