精品解析：四川省成都市青羊实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

青羊实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年巴黎奥运会，中国体育健儿勇夺91枚奖牌，如图是本届奥运会的领奖台，其左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球估计有（　　） A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 4. 若，反比例函数的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 四条边都相等的四边形是正方形 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 平行四边形、菱形、矩形都是轴对称图形 D. 顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形一定是菱形 6. 如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是反比例函数的图像上三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 4：9 D. 1：4 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，那么的值是 _____． 10. 已知关于的一元二次方程无实数根，那么m的取值范围是____． 11. 如图，乐器上的一根弦的长度为20cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段的长度为______cm． 12. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4）若点A的坐标为（5，6），则点A′的坐标为 ___． 13. 如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，分别交于点E、F，则的长为______． 三．解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程：； （3）先化简，再求值：，其中x满足． 15. 打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数共有___________名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是___________； （3）甲同学从三类书籍中随机选择一类，乙同学从，三类书籍中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 16. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果保留整数，参考数据：，，．） 17. 如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在边延长线上，，连接、、，交于点，交对角线于． （1）求证：； （2）若平分，求证：． 18. 如图1，反比例函数的图象经过点和点． （1）求a、k的值； （2）y轴上存在点C，使得点A、B、C构成等腰三角形，求点C坐标； （3）如图2所示，将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到曲线，过点，的直线与曲线l相交于点M、N，求的面积． 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若 ，是方程的两个实数根，则代数式的值等于_____________． 20. 一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别标有数字，，1，4．随机摸出一个小球记作m，然后放回，再随机摸出一个小球记作n，则方程是关于x的一元二次方程，且此方程有实数解的概率为_____________． 21. 如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果图中阴影部分的周长为22，且小矩形的长与宽之比为，那么菱形的面积为_____________． 22. 如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，为坐标原点，以为斜边构造等腰，反比例函数的图象经过点，交于点，连接，若，轴，，则的值为_____________． 23. 如图，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，，，则_____________（用含a、b、m的代数式表示）． 二、解答题 24. 成都文殊院糕点以物美价廉，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从年开始销售文殊院糕点，当年销售额为万元，到年的销售额达到万元． （1）求该电商这两年销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某规格糕点的售价为元/件时，每天能售出件，售价每降价元，每天可多售出件．为了推广宣传，该电商决定对这个规格的糕点降价促销．同时尽量减少库存，已知该糕点的平均成本价为元/件，若要每天获利元，则每件售价应为多少元？ 25. 如图，矩形中，，，对角线，相交于点O，点P为边上一动点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，连接交对角线于点E，连接，当时，求的值． （3）如图3，若以为折痕，将折叠，点A的对应点为点M，线段与相交于点N，当为直角三角形，请直接写出的长． 26. 如图①，在中，于点D，，，，点E是上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在上，点G，H在上，设，连接． （1）当矩形是正方形时，直接写出 ， ； （2）设的面积为，矩形的面积为，令，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）； （3）如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求面积的最小值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青羊实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．该方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 2024年巴黎奥运会，中国体育健儿勇夺91枚奖牌，如图是本届奥运会的领奖台，其左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图的画法，掌握左视图是从物体的左边观察得到的图形是解题关键．注意实际存在又没有被其它棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示． 【详解】解：从左边看到的图形如图， ， 故选D． 3. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球估计有（　　） A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率得到摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋中有黄球x个，由题意得， 解得， ∴黄球可能有15个． 故选：A． 4. 若，反比例函数的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 5. 下列命题是真命题的是（　　） A. 四条边都相等的四边形是正方形 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 平行四边形、菱形、矩形都是轴对称图形 D. 顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形一定是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质即可一一判断； 【详解】解：A、四条边都相等的四边形不一定是正方形，故本选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，故本选项符合题意； C、平行四边形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用直角三角形面积求法列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 即，故D正确． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，难度不大． 7. 已知是反比例函数的图像上三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像与性质即可得． 【详解】解：在反比例函数中， 此反比例函数的图像位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， 是反比例函数的图像上三点， ，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键． 8. 如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 4：9 D. 1：4 【答案】D 【解析】 【分析】证明，利用相似三角形的面积比等于像是比的平方即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，那么的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 10. 已知关于的一元二次方程无实数根，那么m的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程无实数根， ∴△=， 解得：． 故答案为． 11. 如图，乐器上的一根弦的长度为20cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段的长度为______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算是解题的关键．直接由黄金比值列式计算即可． 【详解】解：∵点C是弦靠近点B的黄金分割点，的长度为20cm， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4）若点A的坐标为（5，6），则点A′的坐标为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似比等于相似比，原点O为位似中心，利用B、B′的横纵坐标之比等于、的坐标之比即可求得答案． 【详解】点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4）若点A的坐标为（5，6）， 设点A′的坐标为， 则， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似比等于相似比，求位似图形对应的坐标，理解位似比等于相似比是解题的关键． 13. 如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，分别交于点E、F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得，证明，可得，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，直线为线段的垂直平分线， ，，， ， ， ， ，， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 三．解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程：； （3）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】（1）0 （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程、实数的运算及分式的化简求值，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及实数的运算法则是解题的关键． （1）先将特殊三角函数值和指数化简，再按照实数的混合运算法则进行计算即可； （2）用因式分解法解方程即可； （3）先按照分式的性质化简，再根据x的方程求值． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， 因式分解得，， 解得，，； （3）， ， ， ， ∵， ∴， ∴原式， ， ． 15. 打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，：科技类，：艺术类，：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生人数共有___________名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是___________； （3）甲同学从三类书籍中随机选择一类，乙同学从，三类书籍中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1），补全条形统计图如图所示． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次调查的学生人数；求出类的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以类的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：此次被调查的学生人数共有（名）． 类的人数为（人）． 故答案为：． 【小问2详解】 在扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角度数是． 故答案为：． 【小问3详解】 列表如下： B C D A B C 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， 甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解题的关键． 16. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果保留整数，参考数据：，，．） 【答案】古树的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．延长交的延长线于点F，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，求出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，则， 山坡上坡度， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ，， ， 在中，， 答：古树的高度约为． 17. 如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在边延长线上，，连接、、，交于点，交对角线于． （1）求证：； （2）若平分，求证：． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ； （2） 证明：由（1）知，，， 四边形是正方形， ，， 根据勾股定理得 ， 平分， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，关键是证明三角形的全等与相似． （1）利用正方形的性质证明，得到，，进而推导出是等腰直角三角形，从而得证； （2）先根据勾股定理得，利用角平分线的性质结合（1）所得的，证明，得到，根据相似三角形的对应边成比例列式，再等量代换即可证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图1，反比例函数的图象经过点和点． （1）求a、k的值； （2）y轴上存在点C，使得点A、B、C构成等腰三角形，求点C坐标； （3）如图2所示，将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到曲线，过点，的直线与曲线l相交于点M、N，求的面积． 【答案】（1）， （2）或或或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题，反比例函数的性质，用待定系数法求函数解析式，函数图象的旋转变换，坐标变换． （1）根据题意列方程得到，求得点，把点代入得到； （2）设出点C坐标，利用两点距离公式求出、、，进而分类讨论建立方程求解即可； （3）由题意点，，可知，建立如图新的坐标系即可求直线的解析式，利用方程组求出M、N的坐标，根据△计算即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴点， 把点代入得， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知，则，， 设， 则，，， 当时，则， 解得， ∴； 当时，则， 解得或9， ∴或； 当时，则， 解得， ∴或； 综上，或或或或． 【小问3详解】 解：如图，过点E作轴于点G，过点F作轴于点H． ∵，， ∴，， ∴，，， ∴． 以O为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立新的平面直角坐标系， 在新坐标系中，，． 设直线的解析式为（）， 则， 解得， ∴直线的解析式为． 由题意可知，曲线l的解析式为， 联立 解得或， ∴，， ∴． 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若 ，是方程的两个实数根，则代数式的值等于_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系，可得出，再将其代入，即可求出结论． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 20. 一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别标有数字，，1，4．随机摸出一个小球记作m，然后放回，再随机摸出一个小球记作n，则方程是关于x的一元二次方程，且此方程有实数解的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握列表法与树状图法以及一元二次方程根的判别式是解答本题的关键． 由题意得，，则，再画树状图求概率即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴， 画树状图如下， 共有16种等可能的结果，满足的结果有10种， ∴方程是关于x的一元二次方程且此方程有实数解的概率为， 故答案为：． 21. 如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果图中阴影部分的周长为22，且小矩形的长与宽之比为，那么菱形的面积为_____________． 【答案】35 【解析】 【分析】此题主要考查矩形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，运用矩形的性质和菱形的性质表示出线段之间的关系是解决问题的关键． 先把三个矩形的顶点都标记出来，根据小矩形的长与宽之比为，可设小矩形的长为，宽为，由此得，，，，，进而得图中阴影部分的周长为，由此得，解得．再根据，得是等腰直角三角形，则，从而得也是等腰直角三角形，则，进而得，据此即可得出菱形的面积． 【详解】解：如图所示，设小矩形的宽为， ∵小矩形的长与宽之比为， ∴小矩形的长为， 由题意可知，三个矩形全等， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵图中阴影部分的周长为22， ∴， 解得，， ∴，，，， 在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：35． 22. 如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，为坐标原点，以为斜边构造等腰，反比例函数的图象经过点，交于点，连接，若，轴，，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，交于，作于，过点作于，由，得，设，即得再证明四边形是矩形，得到，，，由是以为斜边的等腰直角三角形，可证明，从而可得，，再证明四边形是矩形，可得，进而可得，解方程即可得答案． 【详解】解：过点作于，交于，作于，过点作于，如图： ， ，即， 设， 反比例函数的图象经过点， ， 轴，，， ， 四边形是矩形， ，，， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ，， 轴，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点与系数的关系，等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，正方形、矩形的判定与性质，平行四边形的性质，三角函数，综合性较强，有一定难度，熟练掌握和灵活运用相关性质定理、判定定理，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 23. 如图，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，，，则_____________（用含a、b、m的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】作的平分线，交于点F，利用角平分线的性质和全等三角形的判定与性质得到，，，利用相似三角形的判定与性质求得，；利用相似三角形的判定与性质求得，利用求得，则，最后利用解答即可得出结论． 【详解】解：作的平分线，交于点F，如图， 则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形与相似三角形是解题的关键． 二、解答题 24. 成都文殊院糕点以物美价廉，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从年开始销售文殊院糕点，当年销售额为万元，到年的销售额达到万元． （1）求该电商这两年销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某规格糕点的售价为元/件时，每天能售出件，售价每降价元，每天可多售出件．为了推广宣传，该电商决定对这个规格的糕点降价促销．同时尽量减少库存，已知该糕点的平均成本价为元/件，若要每天获利元，则每件售价应为多少元？ 【答案】（1）该电商这两年销售额的平均年增长率为 （2）每件售价应为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该电商这两年销售额的平均年增长率，根据题意列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件售价应降低元，则每件售价为元，每天可售出件，根据要每天获利元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该电商这两年销售额的平均年增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该电商这两年销售额的平均年增长率为； 【小问2详解】 解：设每件售价应降低元，则每件售价为元，每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得，， 要尽量减少库存， ， （元）． 答：每件售价应为元． 25. 如图，矩形中，，，对角线，相交于点O，点P为边上一动点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，连接交对角线于点E，连接，当时，求的值． （3）如图3，若以为折痕，将折叠，点A的对应点为点M，线段与相交于点N，当为直角三角形，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，求得，根据三角形的面积公式得到，根据相似三角形的性质得到，然后根据勾股定理求的长； （2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，求得，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到结论； （3）分两种情况讨论：如图，当时，过点O作于H，根据矩形的性质得到，，，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据折叠的性质得到，求得，得到，然后根据勾股定理求出的长；当时，根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，，然后根据勾股定理求得，． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点O作于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分以下两种情况讨论： 如图，当时，过点O作于H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴，， ∵将折叠，点A的对应点为点，线段与相交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将折叠，点A的对应点为点，线段与相交于点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明，学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题． 26. 如图①，在中，于点D，，，，点E是上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在上，点G，H在上，设，连接． （1）当矩形是正方形时，直接写出 ， ； （2）设的面积为，矩形的面积为，令，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）； （3）如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求面积的最小值，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 的面积的最小值为4， 证明：如图②中，连接， 由（2）可知点P在上， 设直线的解析式为， 把代入得到，， ∴， ∴， ∴），， ∴，， ∴的面积， ∴的面积的最小值为4． 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型． （1）设．根据已知条件得到，求得，得到，根据正方形的性质设，根据等腰直角三角形的性质可得，根据勾股定理得到，，过点E作于M，根据三角形的面积公式得到，根据三角函数的定义得到； （2）根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，，求得，设，得到，再利用面积公式即可得到； （3）如图②中，由（2）可知点P在上，设直线的解析式为，把代入得到，进一步求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：设， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，． 如图， 过点E作于M， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴设，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $