专题05 几何图形初步（3大知识点+20大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材沪科版

专题05 几何图形初步 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：几何图形 1. 立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱等；平面图形的各部分都在同一平面内，如三角形、圆等。 2. 从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。 3. 点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；点动成线，线动成面，面动成体。 知识点2 ：直线、射线、线段 1. 有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 2. 线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC＝BC＝AB。 3. 有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 知识点3 ：角 1. 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2. 角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 3. 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OB是∠AOC的角平分线，则∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。 4. 余角和补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。 5. 方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西。 【考点1 常见的几何体及其组成】 例1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列选项中，说法错误的是（   ） A．直三棱柱的侧面是长方形 B．长方体、正方体都是四棱柱 C．圆锥由一个平面和一个曲面围成 D．六棱柱有18条棱、8个侧面、12个顶点 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 变式2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）观察图形，回答下列问题． (1)长方体是由几个面围成的？圆柱是由几个面围成的？它们都是平面吗？长方体有哪些面是完全相同的？圆柱呢？ (2)圆柱的侧面和底面相交成几条线？它们是直的，还是曲的？ (3)长方体有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？这些棱有什么特点？ 变式3．（25-26七年级上·贵州六盘水·月考）根据如图所示的图形，完成下列各题： (1)指出哪些是平面图形？哪些是立体图形？ (2)把立体图形按柱体、锥体、球分类； (3)指出立体图形中各面既有平面又有曲面图形． 【考点2 点线面体四者之间的关系】 例2．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）一个棱柱如图所示，则这个棱柱有 个顶点；它由 个面围成；这些面相交成 条棱． 变式1．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 变式2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；n棱锥有 个面， 条棱， 个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 ． 变式3．（24-25七年级上·广东佛山·月考）如图，观察下列几何体并回答问题：    (1)棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点． (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 【考点3 平面图形旋转后所得的立体图形】 例3．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，某直角三角形纸片两直角边分别为，将纸片绕着它的某条直角边所在的直线旋转，可以得到一个几何体． (1)如果把直角三角形纸片看成一个面，那么这一过程体现的数学原理是______，最终形成的几何体是______； (2)求最终形成几何体的体积（结果保留）． 变式1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是_______（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积．（，结果保留） 变式2．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图是一张长方形纸片，长为，长为，将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周． (1)所得到的几何体是______，这个现象用数学知识解释为______（选填“点动成线”，成面”“面动成体”）； (2)求形成的几何体的表面积（结果保留）． 变式3．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到甲、乙两个立体图形． (1)小红得到的立体图形可以看成是由 和 构成的，这个现象用数学知识解释为 ． (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【考点4 直线、射线、线段的联系与区别】 例4．（25-26七年级上·全国·期末）下列几何语句描述正确的是（    ） A．直线和直线是同一条直线 B．射线和射线是同一条射线 C．延长线段到点C，使 D．画直线厘米 变式1．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D．图中共6条射线 变式2．（24-25七年级上·吉林长春·月考）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【考点5 直线、射线、线段的数量与交点问题】 例5．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，在一条笔直的公路上有五个车站，依次为，车站要准备车票，一共要准备车票（   ） A．20种 B．10种 C．8种 D．4种 变式1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：）．用这把直尺能直接量出的不同长度有（    ） A．3个 B．6个 C．8个 D．10个 变式2．（2025七年级上·湖北·专题练习）平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则 ． 变式3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 【考点6 线段的和差计算】 例6．（25-26七年级上·重庆万州·月考）已知线段，在直线上画线段，使它等于，则线段等于（    ） A． B．15cm C．或 D．或 变式1．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知平面内有A、B、C三点，且，，那么A、C两点之间的距离为（   ） A．10 B．2 C．10或2 D．不能确定 变式2．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点C在线段上，图中共有三条线段．若其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，则称C是线段的“巧点”．若，则的长为 ． 变式3．（24-25七年级上·山东德州·期末）如图，点是线段延长线上的一点，且将线段分成三部分，其中； (1)若，求的长． (2)若，求的长． 【考点7 线段中点的有关计算】 例7．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，是线段上两点．若，，且是的中点，则（      ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级上·西藏林芝·期末）如图，线段，C是上的一点，M是线段的中点，N是线段的中点，则 ． 变式2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，线段在线段上运动，M、N分别是、的中点，，． (1)若，则的长为______； (2)小东同学发现线段在线段上运动时，的长度始终不变，你认为小东同学说的对吗？请说明理由． 变式3．（24-25七年级上·四川德阳·期末）如图，，点C是线段上的一点，点M、N分别是线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)若D是线段上的点，且，点P是线段的中点，求线段的长度． 【考点8 尺规作线段】 例8．（25-26七年级上·甘肃天水·月考）如图，已知线段a，，利用尺规作图法作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 变式1．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，在同一平面内有，，，四个点，利用尺规，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹，不写结论）． (1)作直线； 作射线； 连接，交于点； (2)在（1）的条件下，在射线上作线段，使得线段． 变式2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，已知线段． (1)延长到点C，使． (2)请找出线段的中点O，并求线段的长度． 变式3．（25-26七年级上·福建厦门·月考）如图，已知线段和线段． (1)尺规作图：延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，点是线段的中点，求线段的长． 【考点9 与线段有关的动点问题】 例9．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）已知线段，点C是线段上的动点，且P是的中点，Q是的中点，则线段的长是（    ） A．20cm B．13cm C．10cm D．无法确定 变式1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，点C是线段上一点，，动点M从A出发以的速度沿直线向终点运动，同时动点N从C出发以速度沿直线向终点B运动，当有一点到达终点后，两点均停止运动，在运动过程中，总有，则 ． 变式2．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒的速度沿着射线的方向运动． (1)当点出发多少秒后，的长度等于长度的2倍？ (2)当点的运动时间超过9秒，设点为的中点，点为的中点，的长度是否是一个定值？如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 变式3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在长方形中，，，动点P沿边从点A开始，向点B以的速度运动；同时，动点Q沿边从点D开始，向点A以的速度运动；设运动时间为t． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，等于长方形周长的？ (3)如果点P到达点B后沿方向继续运动，点Q达到点A后沿方向继续运动，当点P到达点C时，求点Q的位置． 【考点10 角的相关概念】 例10．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下列关于角的说法，正确的有（　　） ①角是由两条射线组成的图形； ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关； ③在角的一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形； ⑤把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数也扩大10倍． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（24-25七年级上·河北石家庄·月考）下列关于角的说法正确的个数是（    ） ①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大； ③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形（动态定义）．开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．以数轴正方向（朝右）为基准，逆时针旋转对应正角，则顺时针旋转两周可以表示为 ． 【考点11 钟面角】 例11．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级上·全国·期末）如图，这四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数分别是 ， ， ， ．（均小于） 变式2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）观察常用时钟，回答下列问题： (1)早晨8时整，时针和分针所成的最小的角是多少度？ (2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？ (3)从8：00到8：40，分针转动了多少度？ 变式3．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），　　h后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，与成直角． （1）时，时针与分针所成的角度 ； （2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 【考点12 方向角】 例12．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，一名狙击手在O点蹲守，两个狙击点A、B分别在O 点东北方向和北偏西方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级上·吉林松原·期末）如图，射线表示北偏东方向，射线表示北偏西方向，点C在射线的反向延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）从海岛地观察海上两艘轮船、，发现轮船在地的北偏东，轮船在地的南偏东，则的度数是 ． 变式3．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，一艘渔船从海上点E处开始绕点O航行，已知点E在点O的北偏东方向上，航行到点C时，测得． (1)求的度数； (2)直接写出渔船到达的点C在点O的什么方向？ 【考点13 角的四则混合运算】 例13．（25-26七年级上·西藏林芝·期末）计算： (1) (2) 变式1．（25-26七年级上·全国·阶段练习）已知，，求和的度数． 变式2．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)___________°___________＇； (2)___________°； (3)___________； (4)___________． 变式3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)． 【考点14 角平分线的有关计算】 例14．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）如图，点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 变式1．（25-26七年级上·全国·期末）如图，E是直线上一点，分别是的平分线． (1)如果，求的度数； (2)试问与有什么数量关系？请说明理由． 变式2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在直线上，平分，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 变式3．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）如图，，是直线上一点，现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，经过多少秒后，线段恰好平分； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由． 【考点15 余角、补角的有关计算】 例15．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，都是直角． (1)在图①中， 判断与的关系是_____（填“相等”、“互余”或“互补”）．并说明理由． (2)当绕着点O旋转到图②所示位置时，判断与的关系是怎样的？并说明理由． 变式1．（25-26七年级上·全国·期末）已知与互余，且的度数比的度数的3倍还多，求的度数． 变式2．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，点在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若与互为余角，求的度数． (2)若平分，，求的度数． 变式3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 【考点16 尺规作角】 例16．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，已知，，用尺规作图，求作，使得． 变式1．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）已知：．请你用直尺和圆规画一个，使．（要求：要保留作图痕迹．） 变式2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不必写作法）如图，已知， 且， 作，使； 变式3．（25-26七年级上·陕西西安·月考）尺规作图：已知线段a，和射线．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在射线上找一点A，使得． (2)以A为顶点，在射线上方作，使得． 【考点17 三角板中角度计算问题】 例17．（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）把一副直角三角尺按如图方式拼在一起，其中，，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，延长到点M，作的平分线，求的度数． 变式1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）借助一副三角板，可以得到一些平面图形． (1)如图，求的度数； (2)将图中的三角板绕点顺时针旋转_______度时，边与边首次重合，并直接写出此时的度数． 变式2．（24-25六年级下·山东泰安·期末）利用三角板特殊角的度数，可以解决很多问题，现将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 变式3．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【考点18 几何图形中角度计算问题】 例18．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如图，点O是直线上一点，射线在直线的同一侧，且平分，． (1)如果，求的度数． (2)如果，求的度数． 变式1．（25-26七年级上·山西晋中·月考）综合与实践 问题情景：如图，已知射线分别是和的平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数； (3)若，直接写出的度数． 变式2．（25-26七年级上·山东济南·月考）如图，是的角平分线，是的角平分线，如果，，求的度数． 解：是的角平分线，， ___________， 是的角平分线，， ______________________． ____________________________________________ 变式3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，在内部作射线平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在的外部和的内部分别作射线，已知，求证：平分． 【考点19 实际问题中角度计算问题】 例19．（25-26七年级上·广西崇左·月考）如图，观察时钟，回答问题： (1)分针多长时间转一圈？它的转速是多少？ (2)从0点(12时)开始到6时整，时针转动了多少度？ (3)从12时到12时30分，分针转动了多少度？ (4)中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是多少度？ 变式1．（25-26七年级上·全国·阶段练习）在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 变式2．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t（，单位：秒） (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当恰好平分时，求t的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 变式3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若两个角的和为，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知与互为“幸运角”，与互补，若． (1)求的度数． (2)若如图2所示，射线在内部，且满足，求的度数． 【考点20 角的数量关系问题】 例20．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 变式1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）（1）如图1，将两块同样的直角三角尺的直角顶点叠放在一起，边在内部． ①若，则________，若，则________； ②猜想与的度数有何特殊关系，并说明理由． （2）如图2、图3，将两块同样的直角三角尺的角顶点和角顶点重合．在图2和图3中，分别写出与的度数关系． （3）如图4，已知，，（，都是锐角且），在的内部．请你先把图形补充完整，再用、表示出与的度数关系．（提示：有几种情况，就画几个图．） 变式2．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将旋转至如图2的位置，若平分，，求的度数； (3)将旋转至如图3位置，若平分，直接写出、的数量关系，并说明理由． 变式3．（25-26七年级上·四川广元·月考）小明利用直角三角板进行数学探究活动：点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，OF平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，， 以O为顶点作射线， 使， 若设 ，则的值有可能为：①；②；③；④．以上结论中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点、在线段上，，，如果，那么的长度为（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）线段，在直线上截取线段，D为线段的中点，E为线段的中点，那么线段的长为（   ） A．4 B．6 C．5或7 D．4或6 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（   ）秒时，点是线段的中点． A． B． C．1 D． 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，的度数是，以为一边，在的外部作 ，接着以为一边，在的外部作 ，再以为一边，在的外部作 ，……则的度数是（n是正整数）（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·安徽六安·开学考试）有一个时钟现在显示3时整，那么经过 分钟，分针和时针第一次重合． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）已知：，，且与有公共边，则这两个角的另两条边的夹角为 ． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 10．（24-25七年级上·安徽宣城·月考）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论：①； ②若，则；③； ④． 其中正确的结论是 （只填序号）． 11．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）将一副三角板按如图所示方式摆放，其中，． （1）若和互补，则的度数为 ； （2）若平分，平分，则的度数为 ． 12．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，与的顶点重合，且，，和分别是与的平分线． （1）当A、Ｏ、C三点在一条直线上时，则的度数为 ． （2）若与没有重叠部分，当时，则的度数为 ． 13．（2024七年级上·甘肃兰州·专题练习）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为 ． 14．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）如图，线段，，点是线段的中点． (1)求线段的长． (2)若点在线段所在的直线上，且，点为线段的中点，求线段的长． 15．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）如图，的平分线为，为内的一条射线． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 16．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 17．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 18．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 19．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）瑞士数学家欧拉（Euler，）发现并证明了多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在一个有趣的关系式，这个关系式被后人称为欧拉公式．观察下面画出的多面体，解答下列问题： (1)完成表格中的空格： 多面体 顶点数V 面数F 棱数E 四面体 4 4 长方体 8 6 八面体 8 五棱柱 7 你发现各个多面体顶点数V、面数F、棱数E之间存在的关系式是______ (2)一个多面体的面数比顶点数多8，且有条棱，这个多面体是几面体？ (3)一个玻璃饰品的外形是多面体，它的表面是由三角形和八边形两种多边形围成，且一共有个顶点，每个顶点处都有3条棱，这个玻璃饰品是几面体？ 20．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个角分成的两个角 中有一个角与已知的钝角互为补角，则称该射线为这个钝角的“割补线”． (1)如图1，，请判断是否为的“割补线”并说明理由； (2)若平分，且为的“割补线”，求的大小； (3)如图2，，在的内部作射线，使为的平分线，为的“割补线” ，当为的“割补线”时，请直接写出的度数． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 几何图形初步 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：几何图形 1. 立体图形与平面图形：立体图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱等；平面图形的各部分都在同一平面内，如三角形、圆等。 2. 从不同方向看立体图形：从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图。 3. 点、线、面、体之间的联系：体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；点动成线，线动成面，面动成体。 知识点2 ：直线、射线、线段 1. 有关直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 2. 线段的中点：若C是线段AB的中点，则AC＝BC＝AB。 3. 有关线段的基本事实：两点之间，线段最短。 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 知识点3 ：角 1. 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2. 角的度量：1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 3. 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OB是∠AOC的角平分线，则∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。 4. 余角和补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。同角（等角）的补角相等，同角（等角）的余角相等。 5. 方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西。 【考点1 常见的几何体及其组成】 例1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列选项中，说法错误的是（   ） A．直三棱柱的侧面是长方形 B．长方体、正方体都是四棱柱 C．圆锥由一个平面和一个曲面围成 D．六棱柱有18条棱、8个侧面、12个顶点 【答案】D 【分析】考查认识立体图形，掌握三棱柱、四棱柱、圆锥以及六棱柱的形体特征是正确解答的关键．需根据棱柱和圆锥的定义判断各选项的正确性即可． 【详解】解：∵ 直三棱柱的侧面是长方形，∴ A正确； ∵ 长方体、正方体都是四棱柱，∴ B正确； ∵ 圆锥由一个圆形平面和一个曲面围成，∴ C正确； ∵ 六棱柱有6个侧面，而不是8个侧面，∴ D错误． 故选：D． 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，能看到的正方体有 块，看不到的正方体有 块． 【答案】 16 14 【分析】本题考查的是立体图形，解决本题的关键是利用总的正方体个数减去看到的正方体个数，得到看不到的正方体的个数．看到的正方体个数直接数出来就可以了，看不到的正方体个数用总的正方体个数减去看到的正方体个数即可． 【详解】解：看到的正方体有（块， 总的正方体个数有（块， 看不到的正方体有（块． 故答案为：16，14． 变式2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）观察图形，回答下列问题． (1)长方体是由几个面围成的？圆柱是由几个面围成的？它们都是平面吗？长方体有哪些面是完全相同的？圆柱呢？ (2)圆柱的侧面和底面相交成几条线？它们是直的，还是曲的？ (3)长方体有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？这些棱有什么特点？ 【答案】(1)长方体是由个面，圆柱是由个面，它们有平面也有曲面，长方体，圆柱相对的面是完全相同的 (2)相交成条线，它们是曲的 (3)长方体有个顶点，经过每个顶点有条棱，它们相互垂直 【分析】本题考查立体图形﹣长方体和圆柱的认识，解题的关键是熟练掌握常见立体图形的特征． （1）根据观察的结果，即可得到答案； （2）观察圆柱侧面和两个底面相交成线的特征、数量，直接得出答案即可； （3）数一下他有多少个顶点，直接得出答案即可． 【详解】（1）解：长方体是由个面，圆柱是由个面，它们有平面也有曲面，长方体，圆柱相对的面是完全相同的； （2）相交成条线，它们是曲的； （3）长方体有个顶点，经过每个顶点有条棱，它们相互垂直． 变式3．（25-26七年级上·贵州六盘水·月考）根据如图所示的图形，完成下列各题： (1)指出哪些是平面图形？哪些是立体图形？ (2)把立体图形按柱体、锥体、球分类； (3)指出立体图形中各面既有平面又有曲面图形． 【答案】(1)平面图形：②④⑦⑧，立体图形：①③⑤⑥⑨ (2)柱体：①③⑤；锥体：⑨；球体：⑥ (3)③⑨ 【分析】本题主要考查点、线、面、体的基本知识，可以根据平面图形、立体图形进行解答， （1）根据平面图形与立体图形的定义解答即可； （2）根据柱体、锥体、球的定义进行解答即可； （3） 结合立体图形的面的定义，即可解决． 【详解】（1）解：平面图形：②④⑦⑧，立体图形：①③⑤⑥⑨； （2）解：柱体：①③⑤；锥体：⑨；球体：⑥； （3）解：各面既有平面又有曲面的立体图形：③⑨． 【考点2 点线面体四者之间的关系】 例2．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）一个棱柱如图所示，则这个棱柱有 个顶点；它由 个面围成；这些面相交成 条棱． 【答案】 6 5 9 【分析】本题考查了几何体中的点、棱、面，根据三棱柱的特征进行分析，即可作答． 【详解】解：观察图形得出这个几何体是一个三棱柱， 这个三棱柱有6个顶点；它由5一个面围成；这些面相交成9条棱． 故答案为： 变式1．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）12；10；（2）；（3）12 【分析】本题主要考查了几何体中点，棱和面的数量关系，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给几何体的形状即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）根据（2）所求可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得； （2）由表格中的数据可得． （3）∵多面体的面数比顶点数小8， ∴． ∴， ∵该多面体一共有有30条棱， ∴， ∴，即这个多面体的面数为12． 变式2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；n棱锥有 个面， 条棱， 个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 ． 【答案】 3n 2n 2n 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【详解】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有个面，3n条棱，2n个顶点；n棱锥有个面，2n条棱，个顶点． 故答案为：，3n，2n，，2n，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如下： 顶点数（V） 棱数（E） 面数（F） 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱柱 10 15 7 六棱柱 12 18 8 根据上表总结出这个关系为． 故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·广东佛山·月考）如图，观察下列几何体并回答问题：    (1)棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点． (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 【答案】(1)，，，，，； (2) 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【详解】（1）解：观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有个面，条棱，个顶点，棱锥有个面，条棱，个顶点； 故答案为：，，，，，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如图：    根据上表总结出这个关系为． 【考点3 平面图形旋转后所得的立体图形】 例3．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，某直角三角形纸片两直角边分别为，将纸片绕着它的某条直角边所在的直线旋转，可以得到一个几何体． (1)如果把直角三角形纸片看成一个面，那么这一过程体现的数学原理是______，最终形成的几何体是______； (2)求最终形成几何体的体积（结果保留）． 【答案】(1)面动成体；圆锥 (2)最终形成几何体的体积为或 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体，理解题意是解决本题的关键． （1）根据面动成体可知，将直角三角形纸片绕它的某条直角边旋转一周，得到的几何体是圆锥； （2）分两种情况确定出圆锥的底面半径和高，再根据圆锥的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将直角三角形纸片绕它的某条直角边旋转一周，得到的几何体是圆锥，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：面动成体，圆锥； （2）解：圆锥体积公式为（r为底面半径，h为高），分两种旋转情况： 情况1：绕的直角边（）旋转： 此时圆锥的高，底面半径， 代入公式得 ； 情况2：绕的直角边（）旋转： 此时圆锥的高，底面半径， 代入公式得 ． 综上所述，最终形成几何体的体积为或． 变式1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是_______（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积．（，结果保留） 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数． （1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系； （2）明确沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱和底面半径、高的圆锥组成，根据圆柱和圆锥的体积公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱和底面半径、高的圆锥组成， ∴得到的立体图形的体积为： ． 变式2．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）如图是一张长方形纸片，长为，长为，将此长方形纸片绕边所在直线旋转一周． (1)所得到的几何体是______，这个现象用数学知识解释为______（选填“点动成线”，成面”“面动成体”）； (2)求形成的几何体的表面积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2)形成的几何体的表面积是 【分析】本题主要考查了求圆柱的表面积，面动成体， 对于（1），根据长方形旋转得出圆柱解答； 对于（2），根据表面积等于两个底面积加上侧面积解答即可． 【详解】（1）解：所得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体． 故答案为：圆柱，面动成体； （2）解：绕所在直线旋转一周，形成底面半径为，高为的圆柱， ． 形成的几何体的表面积是． 变式3．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到甲、乙两个立体图形． (1)小红得到的立体图形可以看成是由 和 构成的，这个现象用数学知识解释为 ． (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)圆柱，圆锥，面动成体 (2)小红的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了点、线、面、体，圆柱体和圆锥体体积的计算，解答本题的关键是空间想象力及如何确定圆柱和圆锥的高． （1）由旋转后所得的立体图形的形状可判断； （2）由甲图的体积是圆柱体与圆锥体体积的差，乙图的体积是圆柱体与圆锥体体积的和，先分别求解两个立体图形的体积，然后判断即可． 【详解】（1）解：小红得到的立体图形可以看成是由圆柱和圆锥构成的，这个现象用数学知识解释为面动成体； 故答案为：圆柱，圆锥，面动成体； （2）解：小红的说法正确， 理由：甲的体积：， 乙的体积：， ∴甲，乙两个立体图形的体积不相等， ∴小红的说法正确． 【考点4 直线、射线、线段的联系与区别】 例4．（25-26七年级上·全国·期末）下列几何语句描述正确的是（    ） A．直线和直线是同一条直线 B．射线和射线是同一条射线 C．延长线段到点C，使 D．画直线厘米 【答案】C 【分析】本题考查几何基本概念，掌握直线、射线和线段的性质是解题的关键． 直线无限长，无长度；射线有端点，有方向；线段有长度，可延长，延长需注意方向． 【详解】A、点、、不一定在同一条直线上直线和直线不一定共线，故A错误，不符合题意； B、射线和射线端点不同，故B错误，不符合题意； C、延长线段到点使是可行操作，故C正确，符合题意； D、直线无限长，不能有长度，故D错误，不符合题意； 故选C． 变式1．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，点A，B，C在直线l上．下列说法正确的是（   ） A．点A在线段上 B．射线与射线是同一条射线 C．点C在线段的延长线上 D．图中共6条射线 【答案】D 【分析】本题考查了线段、射线的相关概念，需要根据这些概念对每个选项逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A．点A在线段外，故A错误； B．射线与射线的端点不同，方向不同，不是同一条射线，故B错误； C．点C在线段的延长线上，故C错误； D．从点A、点B、点C出发，各自有两条不同方向的射线，共有（条），故D正确， 故选：D． 变式2．（24-25七年级上·吉林长春·月考）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】解：①以点A为端点的射线有射线，共有5条，故该结论正确，符合题意； ②以点D为端点的线段有线段，共有5条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④． 故答案为：①④． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【答案】(1)是一条射线，表示为射线 (2)非正数 (3)线段，线段 【分析】本题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键． （1）观察数轴，利用射线定义判断，表示即可； （2）找出射线上的点表示的数即可； （3）由线段的定义可直接得出结论． 【详解】（1）解：数轴在原点O左边部分（包括原点）是一条射线，表示为射线； （2）解：射线上的点表示非正数； （3）解：线段，可表示为线段． 【考点5 直线、射线、线段的数量与交点问题】 例5．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，在一条笔直的公路上有五个车站，依次为，车站要准备车票，一共要准备车票（   ） A．20种 B．10种 C．8种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查了线段数量的计算，理解图示，掌握线段数量计算与实际问题的运用是解题的关键．根据题意，分别从端点开始找出线段即可求解． 【详解】解：以点开始，有4段，即， 以点开始，有3段，即， 以点开始，有2段，即， 以点开始，有1段，即， 同理，反向如此， ∴共有， ∴车站一共要准备车票20种． 故选：A． 变式1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：）．用这把直尺能直接量出的不同长度有（    ） A．3个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的度量，解题关键是按照一定的顺序度量，不漏不重． 根据直尺上的刻度得到图中共有条线段，进而求解即可． 【详解】解：图中共有条线段， 能直接量出6个长度，分别是：． 故选：B． 变式2．（2025七年级上·湖北·专题练习）平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则 ． 【答案】37 【分析】本题考查了直线的交点问题，代数式求值，掌握直线相交于一点时交点最少为1个，任意n条直线两两相交时交点最多为个是关键． 由题意可得9条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出m，n的值，从而得出答案． 【详解】解：对于9条直线，任两条都相交，最多交点数m为无三线共点时的交点数，即； 最少交点数n为所有直线交于一点时，即， 因此，， 故答案为：37． 变式3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 【答案】(1)1或4或6 (2) (3)1770 (4)①21，②42 【分析】此题考查图形的变化规律，找出运算的规律与方法，得出规律，解决问题． （1）分三种情况：当四个点在同一直线上时；当只有三个点在同一直线上时；当任意三点都不在同一直线上时，即可求解； （2）根据题意可得线段的总条数为，即可求解； （3）共要握手的次数为，即可求解； （4）①根据题意可得要定种不同的票价；②根据往返车票不同，可得车票的种类是票价的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：当四个点在同一直线上时，可以画1条直线； 当只有三个点在同一直线上时，可以画4条直线； 当任意三点都不在同一直线上时，可以画6条直线． 综上，经过平面上四个点中任意两点可以作1或4或6条直线； 故答案为：1或4或6 （2）解：当直线m上有n个点时，线段的总条数为 ； 故答案为： （3）解：若每人都与其余人握一次手，则共要握（次）； 故答案为：1770 （4）解：①因为客车中途停靠五个站(每两站之间距离不等)， 所以包括甲地和乙地共有七个站， 所以要定种不同的票价； 故答案为：21 ②因为往返车票不同， 所以要准备种不同的车票． 故答案为：42 【考点6 线段的和差计算】 例6．（25-26七年级上·重庆万州·月考）已知线段，在直线上画线段，使它等于，则线段等于（    ） A． B．15cm C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，分两种情况：点C在上和点C在线段的延长线上，根据线段的和差关系讨论求解即可． 【详解】解：当点C在线段上时， ∵，， ∴； 当点C在的延长线上时， ∵，， ∴； 综上所述，线段的长为或， 故选：C． 变式1．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知平面内有A、B、C三点，且，，那么A、C两点之间的距离为（   ） A．10 B．2 C．10或2 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间的距离的概念，需要注意点的位置关系是否明确，避免错误地假设三点共线而选择C选项． 由于A、B、C三点在平面内的位置关系不确定，可能共线也可能不共线，因此A、C两点之间的距离无法确定． 【详解】解：由于A、B、C三点在平面内的位置关系不确定，可能共线也可能不共线，因此A、C两点之间的距离无法确定． ∴的值不固定，无法确定． 故选：D． 变式2．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点C在线段上，图中共有三条线段．若其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，则称C是线段的“巧点”．若，则的长为 ． 【答案】8或12或16 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，根据“巧点”的定义可分三种情况：，和，根据线段的和差关系用表示出，再根据的长即可求出答案． 【详解】解：若，则， 若，则， 若，则， 综上所述，的长为8或12或16， 故答案为：8或12或16． 变式3．（24-25七年级上·山东德州·期末）如图，点是线段延长线上的一点，且将线段分成三部分，其中； (1)若，求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的比例关系和长度计算． （1）根据线段的比例关系设出未知数，再结合已知条件列出方程求解． （2）根据线段的比例关系设出未知数，再结合已知条件列出方程求解． 【详解】（1）设， 因为、将线段分成三部分， 所以，． 已知，即，解得， 因为， 把代入可得． 已知，则， 把代入可得． （2）设，同理可得，． 已知， 又因为，所以，解得。 因为， 所以，把代入可得。 ，其中，， 所以． 【考点7 线段中点的有关计算】 例7．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，是线段上两点．若，，且是的中点，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的计算，线段中点的定义和应用，熟练掌握线段的计算方法和线段中点的定义是解题的关键． 首先根据，，求出的长度；然后根据是的中点，可得，据此求出的长等于多少即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 故选：A． 变式1．（25-26七年级上·西藏林芝·期末）如图，线段，C是上的一点，M是线段的中点，N是线段的中点，则 ． 【答案】８ 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，数形结合是解题的关键．根据中点的定义回答即可． 【详解】解：M是线段的中点，N是线段的中点， ， ， ， ． 故答案为：8． 变式2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，线段在线段上运动，M、N分别是、的中点，，． (1)若，则的长为______； (2)小东同学发现线段在线段上运动时，的长度始终不变，你认为小东同学说的对吗？请说明理由． 【答案】(1)9 (2)小东同学说的正确，理由见解析 【分析】本题考查了两点间距离，线段中点相关的计算，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． （1）先求出线段，然后再利用线段中点的性质求出，即可； （2）利用线段中点的性质证明的长度不会发生改变． 【详解】（1）解：∵，，， ， 、N分别是、的中点， ，， ； 故答案为：9； （2）解：小东同学说的正确，的长度始终不变， 理由， ． 、N分别是、的中点， ，． ． ， ． 的长度始终不变，小东同学说的对． 变式3．（24-25七年级上·四川德阳·期末）如图，，点C是线段上的一点，点M、N分别是线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)若D是线段上的点，且，点P是线段的中点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了两点之间的距离，线段中点的性质． （1）根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和以及线段的差，可得答案； （2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论，根据线段中点的性质，可得和，再根据线段的和以及线段的差，可得答案． 【详解】（1）解：∵点分别是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：当点在点的左侧时， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴ ； 当点在点的右侧时， ∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴ ； 综上，线段的长度为或． 【考点8 尺规作线段】 例8．（25-26七年级上·甘肃天水·月考）如图，已知线段a，，利用尺规作图法作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作线段和差．在射线上截取，再在上截取则线段满足条件． 【详解】解：如图，线段为所作． 变式1．（25-26七年级上·重庆·月考）如图，在同一平面内有，，，四个点，利用尺规，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹，不写结论）． (1)作直线； 作射线； 连接，交于点； (2)在（1）的条件下，在射线上作线段，使得线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键． （1）根据线、射线、线段的定义画图即可； （2）以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，则；再以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，则，因此，线段即为所求作的． 【详解】（1）解：如图所示，直线、射线、点即为所求作的； （2）解：如图所示，线段即为所求作的． 变式2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，已知线段． (1)延长到点C，使． (2)请找出线段的中点O，并求线段的长度． 【答案】(1)见详解 (2)线段的长度为 【分析】本题主要考查画已知线段和中点的计算， （1）延长使得，得到C点即可； （2）首先找到的中点O，利用中点知识计算即可． 【详解】（1）解：延长到点C，使得，如图， （2）解：线段的中点O，如图所示， ∵，， ∴， ∵O是线段的中点， ∴， 即线段的长度为． 变式3．（25-26七年级上·福建厦门·月考）如图，已知线段和线段． (1)尺规作图：延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，点是线段的中点，求线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2)1 【分析】本题考查尺规作线段，与线段中点有关的计算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）以为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于一点，再以该点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点即可； （2）根据线段中点的定义，以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 【考点9 与线段有关的动点问题】 例9．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）已知线段，点C是线段上的动点，且P是的中点，Q是的中点，则线段的长是（    ） A．20cm B．13cm C．10cm D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差运算，解题的关键在于能够熟练掌握线段中点的定义．如图所示，先根据线段中点的定义得到，，再由即可得到答案． 【详解】解：如图所示，    ∵P，Q分别是，的中点， ∴，， ∴， 故选B． 变式1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，点C是线段上一点，，动点M从A出发以的速度沿直线向终点运动，同时动点N从C出发以速度沿直线向终点B运动，当有一点到达终点后，两点均停止运动，在运动过程中，总有，则 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题主要考查线段的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握线段的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键．设运动时间为秒，，将图中线段用和的代数式表示出来，再根据求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，，则， 依题意得，，，， 根据在运动过程中，总有得：， 解得：， 故答案为：． 变式2．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒的速度沿着射线的方向运动． (1)当点出发多少秒后，的长度等于长度的2倍？ (2)当点的运动时间超过9秒，设点为的中点，点为的中点，的长度是否是一个定值？如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由， 【答案】(1)秒或秒 (2)的长度是一个定值，这个值是 【分析】本题考查了两点之间的距离，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设运动时间为秒，得到，，得到或，解方程即可得到答案； （2）根据题意得出，，结合，即可得到答案． 【详解】（1）解：设运动时间为秒， ，， ， 或 解得或， 答：当点出发秒或秒后，的长度等于长度的2倍 （2）解：当点的运动时间超过9秒，则点P在点B的右侧， 点为的中点，点为的中点 ，， 又， ， 答：的长度是一个定值，这个值是． 变式3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，在长方形中，，，动点P沿边从点A开始，向点B以的速度运动；同时，动点Q沿边从点D开始，向点A以的速度运动；设运动时间为t． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，等于长方形周长的？ (3)如果点P到达点B后沿方向继续运动，点Q达到点A后沿方向继续运动，当点P到达点C时，求点Q的位置． 【答案】(1)2秒 (2)3秒 (3)在线段上距离A点处 【分析】（1）由点Q在边上运动且运动时间为ts时，表示、，令其相等，即可求出t值； （2）由点Q在边上运动时，点P在边上运动时， 表示、，利用等于长方形周长的，建立关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）先求解P运动到C的时间，再求解Q的运动路程，从而可得答案． 【详解】（1）解：当点Q在边上运动，运动时间为时， ，， 根据题意得：， 解得：． 答：t为时，． （2）由点Q在边上运动时， 此时，， 根据题意得：， 解得：； （3）当点P到达点C时，此时运动时间为， ∴的运动路程为：， ∵， ∴在上，与距离为． 【点睛】本题考查的是几何动点问题，一元一次方程的应用，确定相等关系，建立方程求解是关键． 【考点10 角的相关概念】 例10．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下列关于角的说法，正确的有（　　） ①角是由两条射线组成的图形； ②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关； ③在角的一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形； ⑤把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角的度数也扩大10倍． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查角的定义，角的大小，根据角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故①错误； 角的大小只与两边张开的角度有关，与边的长短无关，故②正确； 角的一边是射线，射线无限长，不需要延长，“延长线上”取点说法错误，故③错误； 角可以看作由一条射线绕其端点旋转形成的图形，故④正确； 放大镜放大角时，角的度数不变，故⑤错误； 故正确的有②、④，共2个． 故选：B． 变式1．（24-25七年级上·河北石家庄·月考）下列关于角的说法正确的个数是（    ） ①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大； ③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解决此题的关键． 【详解】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故①错误，不符合题意； 角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故②错误，不符合题意； 角的边是射线，不能延长，故③错误，不符合题意； 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，④正确，符合题意， ∴只有④一个选项正确， 故选：A． 变式2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，注意是同一个角必须满足：（1）顶点相同；（2）两边所在的射线相同． 【详解】解：根据角的定义可知： ①与满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ②和满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ③和的顶点相同，两边所在的射线不相同．和不是同一个角，说法错误，不符合题意； ④和的顶点不相同，两边所在的射线也不相同．和不是同一个角，说法正确，符合题意． 说法正确的有三个， 故选：C． 【点睛】角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，注意是同一个角必须满足：（1）顶点相同；（2）两边所在的射线相同，解决问题的关键是掌握角的概念以及特征． 变式3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形（动态定义）．开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．以数轴正方向（朝右）为基准，逆时针旋转对应正角，则顺时针旋转两周可以表示为 ． 【答案】 【详解】本题主要考查了正负数的实际应用，解题的关键是掌握正负数的实际意义． 利用正负数的实际意义进行表示即可． 【分析】解：根据角的动态定义，逆时针旋转对应正角，顺时针旋转对应负角； 旋转两周为720度，因此顺时针旋转两周表示为负720度， 故答案为：． 【考点11 钟面角】 例11．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角，先求出钟面上的数字2和数字10之间的夹角（小于平角），再减去时针走10分钟的度数即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 变式1．（25-26七年级上·全国·期末）如图，这四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数分别是 ， ， ， ．（均小于） 【答案】 【分析】此题考查的是角的运算的应用，读出钟表所显示的时间，明确钟表上每个大格是解题的关键． 根据钟面角的特点即可依次求解． 【详解】解：钟表上12个大格把一个周角12等分，每个大格， 巴黎的时间是1点，时针与分针之间共1个大格，故时针与分针所成的角是； 伦敦的时间是12点，故时针与分针所成的角是； 北京的时间是8点，时针与分针之间共4个大格，故时针与分针所成的角是； 东京的时间是9点，时针与分针之间共3个大格，故时针与分针所成的角是； 所以，四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数分别为，，，． 故答案为：，，，． 变式2．（25-26七年级上·全国·阶段练习）观察常用时钟，回答下列问题： (1)早晨8时整，时针和分针所成的最小的角是多少度？ (2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？ (3)从8：00到8：40，分针转动了多少度？ 【答案】(1)120° (2)30° (3)240° 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是度是解题的关键． （1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了等份，每一份是，找出8时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可； （2）由时钟可知时针个小时转一圈，一圈是，所以速度为； （3）若时针从8：00到8：40，共经过分钟，时针一小时即分钟转，一分钟转动，分针一小时转，一分钟转，据此作答． 【详解】（1）解：8时整，时针和分针中间相差4个大格． 因为钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， 所以早晨8时整，时针与分针所成的最小的角为． （2）解：由时钟可知，时针12个小时转一圈． ． 故时针12个小时转一圈，它转动的速度是每小时30°． （3）解：． 故分针转动了240°． 变式3．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），　　h后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，与成直角． （1）时，时针与分针所成的角度 ； （2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 【答案】问题一：5或25 问题二：（1）；（2），；（3）或分钟 【分析】本题考主要考查了一元一次方程的应用，钟面角问题： 问题一：分两种情况解答：①乙车在前甲车在后，②甲车在前乙车在后；列出方程求解即可； 问题二：（1）根据钟面的特点，平均分成12份，可得每份，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． （2）钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，分针每分钟转过的角是分，即；时钟的时针每小时转过的角是一份，即，即可得结果； （3）分①当分针在时针上方时②当分针在时针下方时两种情况列出方程解答即可． 【详解】解：问题一：设x小时后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． 故两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5小时或25小时后两车相距； 故答案为：5或25； 问题二： （1）． 故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （2）分针每分钟转过的角度为，时针每分钟转过的角度为； 故答案为：，； （3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得： 解得：． 答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 【考点12 方向角】 例12．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，一名狙击手在O点蹲守，两个狙击点A、B分别在O 点东北方向和北偏西方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查度分秒的计算，方向角的概念，将已知两个方向角相加可得结果． 【详解】解：由题意可得：． 故选：A． 变式1．（25-26七年级上·吉林松原·期末）如图，射线表示北偏东方向，射线表示北偏西方向，点C在射线的反向延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与方位角有关的计算题，角的运算，先理解题意，算出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵射线表示北偏东方向，射线表示北偏西方向， ∴， 则， 故选：A． 变式2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）从海岛地观察海上两艘轮船、，发现轮船在地的北偏东，轮船在地的南偏东，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查方位角的定义，角的和差运算．根据方位角的定义以及角的和差，可以求出角的度数． 【详解】解：∵轮船A在O地的北偏东，轮船B在O地的南偏东， ∴， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，一艘渔船从海上点E处开始绕点O航行，已知点E在点O的北偏东方向上，航行到点C时，测得． (1)求的度数； (2)直接写出渔船到达的点C在点O的什么方向？ 【答案】(1) (2)渔船到达的点C在点O的北偏西方向上 【分析】本题考查的是与方向角有关的计算，解题的关键是熟练掌握方向角之间的大小关系． （1）根据角的和差解答即可； （2）先根据角的和差求出的度数，则点C的位置即可判断． 【详解】（1）解：∵点E在点O的北偏东方向上， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴渔船到达的点C在点O的北偏西方向上． 【考点13 角的四则混合运算】 例13．（25-26七年级上·西藏林芝·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的混合运算； （1）将原算式化为，按度分秒的减法进行运算，即可求解； （2）将度和分分别乘以，再按进行化简，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式1．（25-26七年级上·全国·阶段练习）已知，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了角的运算，角度制，熟练掌握是解题关键．直接把，分别代入和进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ； ． 变式2．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)___________°___________＇； (2)___________°； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1)49；54 (2) (3) (4) 【分析】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． （1）将小数度转换为度分； （2）将度分转换为度； （3）进行角度加法，需从秒开始计算，满60进一位； （4）进行角度减法，不够减时需借位． 【详解】（1）解：， 故答案为：49；54． （2）解：， 故答案为：． （3）解： ， ， 故答案为：． （4）解：， 故答案为：． 变式3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了度分秒的计算． （1）按照度与度，分与分，秒与秒相加，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可； （2）按照度与度，分与分相加减，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【考点14 角平分线的有关计算】 例14．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）如图，点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面几何中角度的计算与角平分线的应用，解决本题的关键在于利用邻补角、余角关系及角平分线性质求解未知角． （1）结合平角定义和角平分线求解即可； （2）先求解的度数，利用“互余”条件即可求解． 【详解】（1）解：∵点是直线上一点，且． 已知， 那么． 又∵， ∴； （2）解：∵平分， ∴． ∵与互余， ∴． 变式1．（25-26七年级上·全国·期末）如图，E是直线上一点，分别是的平分线． (1)如果，求的度数； (2)试问与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义求出的度数，再由平角的定义可得答案； （2）由角平分线的定义可得，根据平角的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是的平分线，且， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵分别是的平分线， ∴， ∵， ∴． 变式2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在直线上，平分，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，邻补角的含义，结合图形求解是解本题的关键． （1）根据角平分线的定义求解即可； （2）根据题意得出，确定，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：平分，且，， ． （2）解：， ， 又， ， ． 变式3．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）如图，，是直线上一点，现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，经过多少秒后，线段恰好平分； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由． 【答案】(1)经过2秒后，平分 (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的有关计算，正确理解角平分线定义是解题关键， （1）先求出，得出，求出，即可求出运动时间； （2）根据所求得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ∵线段恰好平分 ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴经过2秒后，平分； （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴平分． 【考点15 余角、补角的有关计算】 例15．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，都是直角． (1)在图①中， 判断与的关系是_____（填“相等”、“互余”或“互补”）．并说明理由． (2)当绕着点O旋转到图②所示位置时，判断与的关系是怎样的？并说明理由． 【答案】(1)互补，理由见解析； (2)互补，理由见解析． 【分析】本题主要考查了补角的定义，几何图形中角度的计算，直角的定义，熟知补角的定义是解题的关键． （1）由直角的定义可得，再由周角的定义可得，据此可得结论； （2）由直角的定义可得，则由角的和差关系可得，据此可得结论． 【详解】（1）解：与互补，理由如下： ∵都是直角， ∴， ∴， ∴与互补； （2）解：与互补，理由如下： ∵都是直角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与互补． 变式1．（25-26七年级上·全国·期末）已知与互余，且的度数比的度数的3倍还多，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，余角的定义，根据题意列出方程是解题的关键． 设的度数为，则的度数为，根据余角的定义可得，解方程即可解答． 【详解】解：设的度数为，则的度数为， 根据题意得， 解得， 故的度数为． 变式2．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，点在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若与互为余角，求的度数． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了余角的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算； （1）根据题意得出，则，即可求解． （2）根据角平分线的定义可得，根据图形可得，进而根据平角的定义，列出方程，解方程，即可求解的度数，即可求解的度数． 【详解】（1）解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 变式3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，余角性质等，解题的关键是掌握角的和差及角平分线的性质． （1）根据余角性质得出，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）根据角的和差及倍数关系求出相关角的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵射线在直线的上方， ∴， ∴． 【考点16 尺规作角】 例16．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，已知，，用尺规作图，求作，使得． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是作图复杂作图，熟知作一个角等于已知角的作法是解答此题的关键．利用基本作图（作一个角等于已知角）先作出，再作，则即为所求． 【详解】解：如图，先作出，再作，则即为所求 变式1．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）已知：．请你用直尺和圆规画一个，使．（要求：要保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，作两角的和，掌握作法步骤是关键；按照作一个角等于已知角的步骤进行即可． 【详解】解：如图所示，作，再在射线的左侧作， 则． 则即为所求作． 变式2．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不必写作法）如图，已知， 且， 作，使； 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键． 先根据作一个角等于已知角的方法作，再在的内部作，则即为所求． 【详解】解：如图，为所求；            变式3．（25-26七年级上·陕西西安·月考）尺规作图：已知线段a，和射线．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在射线上找一点A，使得． (2)以A为顶点，在射线上方作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图的基本操作，包括作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角，解题的关键是掌握尺规作图中“截取等长线段”和“转移角度”的核心方法，准确保留作图痕迹． （1）根据作一条线段等于已知线段的作法解答即可； （2）根据作一个角等于已知角的作法解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【考点17 三角板中角度计算问题】 例17．（25-26七年级上·江西鹰潭·月考）把一副直角三角尺按如图方式拼在一起，其中，，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，延长到点M，作的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角的和差运算． （1）利用角的和差关系可得答案． （2）先求解，再利用角平分线进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 变式1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）借助一副三角板，可以得到一些平面图形． (1)如图，求的度数； (2)将图中的三角板绕点顺时针旋转_______度时，边与边首次重合，并直接写出此时的度数． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查三角板中有关的计算，找准角的和差关系，是解题的关键： （1）根据角的和差关系进行计算即可； （2）根据题意，求出旋转度数，再利用角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）解：由题意，当边与边首次重合时，旋转的角度为的度数，即为， 此时． 变式2．（24-25六年级下·山东泰安·期末）利用三角板特殊角的度数，可以解决很多问题，现将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角板中的角度计算、一元一次方程的应用，熟练掌握三角板特殊角的度数是解题的关键． （1）由图可得，结合，求出的度数，再利用角的和差即可求出的度数； （2）由图可知，，得出，再由，求出的度数，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：由图可知，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 变式3．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，李凯和张芳将一副透明三角板中的两个直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，其中，，． (1)操作判断 若，则______；若，则______； (2)性质探究 由（1）猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】本题考查了叠放三角板中的角的计算．熟练掌握三角板性质，余角补角定义和性质，旋转性质，平行线性质，是解题的关键． （1）先根据直角三角板的性质求出，进而可得、的度数； （2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由，论证即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 若， 则； 若， 则． 故答案为：，． （2）解：．证明如下： ∵， ∴． 【考点18 几何图形中角度计算问题】 例18．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）如图，点O是直线上一点，射线在直线的同一侧，且平分，． (1)如果，求的度数． (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键． （1）利用角平分线的定义求出的度数，再利用垂直的定义求出的度数；然后根据，代入计算求出的度数． （2）利用邻补角的定义和已知条件，可求出，的度数，利用角平分线的定义求出的度数；然后根据，代入计算求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴． 变式1．（25-26七年级上·山西晋中·月考）综合与实践 问题情景：如图，已知射线分别是和的平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数； (3)若，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义，能够求出是解此题的关键，求解过程类似． （1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （3）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：射线分别是和的平分线， ， ， ． （2）射线分别是和的平分线， ， ， ． （3）射线分别是和的平分线， ，， ， ∵， ∴． 变式2．（25-26七年级上·山东济南·月考）如图，是的角平分线，是的角平分线，如果，，求的度数． 解：是的角平分线，， ___________， 是的角平分线，， ______________________． ____________________________________________ 【答案】，，，，，， 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，数形结合是解题的关键． 根据是的角平分线，，可以求出，是的角平分线，，得出，两角相加得． 【详解】解：是的角平分线， ， 是的角平分线， ， ． 故答案为：，，，，，，． 变式3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，在内部作射线平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在的外部和的内部分别作射线，已知，求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算． （1）根据角平分线的定义可得，根据已知，等量代换，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，根据已知，得出即可得证． 【详解】（1）解：平分， 即 （2）平分 ， ，即 平分． 【考点19 实际问题中角度计算问题】 例19．（25-26七年级上·广西崇左·月考）如图，观察时钟，回答问题： (1)分针多长时间转一圈？它的转速是多少？ (2)从0点(12时)开始到6时整，时针转动了多少度？ (3)从12时到12时30分，分针转动了多少度？ (4)中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是多少度？ 【答案】(1)60分钟，(度/分) (2) (3) (4) 【分析】本题考查钟面角． （1）分针60分钟转一圈，时钟的分针1min旋转一个“小格”，即； （2）时钟的时针旋转一个“大格”，即，从0点(12时)开始到6时整，走了六个“大格”，即可得出时针转动了， （3）从12时到12时30分，时间为30分钟，再乘以转速即可求解. （4）根据钟面角的定义以及钟面上时针、分针旋转过程中所成角度的变化规律进行计算即可． 【详解】（1）解：分针60分钟转一圈，时钟的分针旋转的度数为， 答：分针60分钟转一圈，它的转速是度/分； （2）解：时钟的时针旋转的度数为， 从0点(12时)开始到6时整，时针转动了， 答：从0点(12时)开始到6时整，时针转动了180°. （3）解：从12时到12时30分，分针转动了 答：从12时到12时30分，分针转动了180°. （4）解：从12时到12时15分时，时针转动了，分针转动了，中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是. 答：中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是. 变式1．（25-26七年级上·全国·阶段练习）在市场上称货物用的台秤的量程（称量的最大范围）一般是16kg，指示盘上的刻度是均匀的，把12kg蔬菜放在秤上，指示盘上的指针转了． (1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了多少度？ (2)若指针转了，这些蔬菜有多少千克？ 【答案】(1)把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了； (2)若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【分析】（1）（2）先求出台秤指示盘指针最大转动角度，再利用台秤量程和指针转动度数之比即可求解. 【详解】（1）解：（1）由题可知：， 指针最多能转动， ， 把4kg的蔬菜放在秤上，指针转了. （2）（2）由（1）可知，指针最多能转， ， 若指针转了，这些蔬菜有8kg． 【点睛】本题考查了台秤量程和指示盘转动度数之间的关系，利用量程和转动度数成正比是解题关键. 变式2．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为t（，单位：秒） (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当恰好平分时，求t的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)t的值为秒 (3)存在，t的值为15秒或秒 【分析】（1）根据计算即可． （2）根据平分，得到，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）分及两种情况考虑，当时，利用，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；当时，利用，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）当时，． （2）平分， 解得：（或者11.25） 答：当恰好平分时，t的值为秒． （3）当，重合时， 解得： 当时： 解得： 当时， 解得：（或者22.5） 答：在旋转过程中存在这样的t，使得，t的值为15秒或秒． 变式3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若两个角的和为，我们称这两个角互为“幸运角”，如图1，2所示：已知与互为“幸运角”，与互补，若． (1)求的度数． (2)若如图2所示，射线在内部，且满足，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有关角的计算，明确题意，准得到角与角之间的数量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据题意可得，再由“幸运角”的定义可得，即可求解； （2）根据补角的性质可得：，再由“幸运角”的定义可得，然后根据，可得，即可求解； 【详解】（1）， ， 与互为“幸运角”， ， ， （2）与互补， ， 与互为“幸运角”， ， ， 射线在内部，且满足， ， ， ， 。 【考点20 角的数量关系问题】 例20．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，；  ②， （2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解； （2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （3）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，； ②∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）（1）如图1，将两块同样的直角三角尺的直角顶点叠放在一起，边在内部． ①若，则________，若，则________； ②猜想与的度数有何特殊关系，并说明理由． （2）如图2、图3，将两块同样的直角三角尺的角顶点和角顶点重合．在图2和图3中，分别写出与的度数关系． （3）如图4，已知，，（，都是锐角且），在的内部．请你先把图形补充完整，再用、表示出与的度数关系．（提示：有几种情况，就画几个图．） 【答案】（1）①；；②与互补，理由见解析；（2）图2中：；图3中：；（3）图见解析，或或 【分析】（1）①根据、即可求解；②根据①的求解过程即可求解； （2）图2：根据、即可求解；图3：根据即可求解； （3）根据题意可画出满足条件的四种情况，根据图示情况即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：， ①若， 则， ∴， 若， 则， ∴， 故答案为：；； ②与互补，理由如下： ∵， ， ∴， ∴； （2）图2中：， ∴， ∵， ∴， ∴； 图3中：， ∵， ∴， ∴； （3）①在上方： ∵， ∴； ②在内部： ∵， ∴； ③在内部： ∵， ∴； ④在下方： ∵， ∴； 综上所述：或或 【点睛】本题考查了三角板中角度计算问题，根据几何图，确定各角度之间的和差关系是解题关键． 变式2．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将旋转至如图2的位置，若平分，，求的度数； (3)将旋转至如图3位置，若平分，直接写出、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)；理由见解析 【分析】本题考查了角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的应用，结合图形正确利用角的和差计算是解题的关键． （1）由题意得，得出，再根据角平分线的定义得到，即可求解； （2）由，可设，则，利用角的和差表示出，利用列出方程求出的值，再利用角的和差即可求出的度数； （3）由平分，设，利用角的和差表示出、，再结合的度数，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 的度数为． （2）解：， 设，则， ， 平分， ， ， ， ， 解得：， ，， 平分， ， ， 的度数为． （3）解：平分， 设， ，， 平分， ， ， , 即． 变式3．（25-26七年级上·四川广元·月考）小明利用直角三角板进行数学探究活动：点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，OF平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①时，由题意得， ∴ =， ∴； ②时， 由题意得， ∴ = ∴． 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查角的和差，角平分线与三等分线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由角平分线得到，结合可得，再根据射线是三等分线可分和两种情况求解可得． 【详解】解： 平分，， ， ， ， ∵是三等分线， ∴①若， 则， ； ②若， 则， ； 综上，的度数为或， 故选：C． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，， 以O为顶点作射线， 使， 若设 ，则的值有可能为：①；②；③；④．以上结论中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据题意，分情况讨论射线和的位置，计算出的可能值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 如图，分四种情况进行讨论： 由图可知：； ； ； ； 综上：正确的个数是4个； 故选A． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点、在线段上，，，如果，那么的长度为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是熟练表示出线段的组成； 观察图形可知，，，根据已知，即可得出，根据CD，可得，再根据已知即可得出答案. 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）线段，在直线上截取线段，D为线段的中点，E为线段的中点，那么线段的长为（   ） A．4 B．6 C．5或7 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：①当点在线段上时： ∵ D为线段的中点，E为线段的中点， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时： ∵ D为线段的中点，E为线段的中点， ∴， ∴； 故选D． 5．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（   ）秒时，点是线段的中点． A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了线段的中点和一元一次方程应用，设秒时，点是线段的中点，此时，,根据中点的定义列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设秒时，点是线段的中点，此时，,根据题意可得， 解得， 即秒时，点是线段的中点， 故选：D 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，的度数是，以为一边，在的外部作 ，接着以为一边，在的外部作 ，再以为一边，在的外部作 ，……则的度数是（n是正整数）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的运算、图形变化的规律，熟练掌握角的运算，结合图形找出隐含的规律是解题的关键．根据题意，依次计算出、、……，观察找到隐含的规律即可得到的度数． 【详解】解：的度数是， ， ，， ，， ， …… ． 故选：D． 7．（24-25七年级上·安徽六安·开学考试）有一个时钟现在显示3时整，那么经过 分钟，分针和时针第一次重合． 【答案】/ 【分析】本题考查钟表问题，时针走1大格，分针走1圈，1分钟分针走度，时针走度，所以分针每分钟追赶度，3 时整时，时针指向 3，分针指向 12，两者之间的夹角是 （相当于分针需要 “追上” 时针的距离是 ），列方程即可得出答案． 【详解】解：1分钟分针走：（度） 时针走：（度） 设经过x分钟，分针和时针第一次重合， ， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）已知：，，且与有公共边，则这两个角的另两条边的夹角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了度分秒的换算，角的计算，分两种情况：当这两个角的另两条边在公共边的异侧时；当这两个角的另两条边在公共边的同侧时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当这两个角的另两条边在公共边的异侧时，如图： ∵，， ∴这两个角的另两条边的夹角； 当这两个角的另两条边在公共边的同侧时，如图： ∵，， ∴这两个角的另两条边的夹角； 综上所述：这两个角的另两条边的夹角为或， 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 【答案】 或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、角度的计算等知识与方法，正确地用代数式表示射线和射线各自转过的角度是解题的关键． （1）因为射线每秒旋转，射线每秒旋转，所以时，，，即可求得的度数； （2）分三种情况，一是、相遇前，二是、相遇后，第一次形成角，三是、相遇后，第二次形成角，分别列方程，求出相应的t值即可． 【详解】解：（1）当时，，， ， 故答案为：； （2）当与重合时，、都停止运动， 由（1）可知，则旋转后停止运动， 秒，则时，、都停止运动， 则有， 运动共旋转度数为，则停止运动时，刚好旋转一周与重合， ①如图，、相遇前， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ②如图，、相遇后，第一次形成角， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ③如图，、相遇后，第二次形成角， 由题意可知：，， ， 则，， 则有方程：， 解得：， 故答案为：或或． 10．（24-25七年级上·安徽宣城·月考）如图，C，D是线段上两点（点D在点C右侧），E，F分别是线段的中点．下列结论：①； ②若，则；③； ④． 其中正确的结论是 （只填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的计算，准确识图，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键． 设，，，依题意得，，，，则，． ①根据，，据此可对结论①进行判断； ②根据，，再根据得，据此可对结论②进行判断； ③根据，得，再根据得，据此可对结论③进行判断； ④根据，得，再根据，得，据此可对结论④进行判断． 【详解】解：设，，， ∵E，F分别是线段，的中点， ∴，，，， ∴，， ①∵， ∴， ∴， ∴， 故结论①不正确； ②∵，， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故结论④不正确． 故答案为：②③． 11．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）将一副三角板按如图所示方式摆放，其中，． （1）若和互补，则的度数为 ； （2）若平分，平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板的角度计算，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）依据题意可得，从而得出，代入数值求解即可． （2）依据题意，，结合，代入数值即可求解． 【详解】（1）解：∵和互补， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图，与的顶点重合，且，，和分别是与的平分线． （1）当A、Ｏ、C三点在一条直线上时，则的度数为 ． （2）若与没有重叠部分，当时，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中角的计算，解题的关键是理解题意． （1）根据角平分线可得，，根据A、Ｏ、C三点在一条直线上，得出即可求解． （2）先求出，再根据即可求解． 【详解】解：（1）∵，，和分别是与的平分线， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）当时，， ∴， 故答案为：． 13．（2024七年级上·甘肃兰州·专题练习）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，当在上方时，分别讨论即可求解 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即或． 故答案为：或． 14．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）如图，线段，，点是线段的中点． (1)求线段的长． (2)若点在线段所在的直线上，且，点为线段的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2)1或4 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差． （1）根据得到，，根据点是线段的中点得到，根据计算即可； （2）分两种情况作答即可． 【详解】（1）解：， ∴ ∵， ，． ∵点是线段的中点， ． ； （2）解：①当点在线段上时，如图所示， ， ． ∵点是线段的中点， ． ． ②当点在线段之外时，如图所示， ， ． ∵点是线段的中点， ． ． 的长为1或4． 15．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）如图，的平分线为，为内的一条射线． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的有关计算，解题关键是熟练掌握角平分线定义、正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系． （1）先根据已知条件求出的度数，再根据角平分线的定义求出，最后根据求出答案即可； （2）先根据垂直定义求出，再根据角平分线定义求出，然后列出关于和的方程组，解方程组求出即可． 【详解】（1）解：，， ， 的平分线为， ， ； （2）解：， ， 的平分线为， ， ， ①， ， ∴ ② 得． 16．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)是定值，值为2 【分析】本题考查了数轴上动点问题、多项式的定义，根据二次多项式的次数及系数，掌握数轴上两点间的距离的表示方法，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （1）根据代数式是关于的二次多项式，得出，代数式，二次项的系数为．得出，由．可列方程求解即可； （2）设点P的出发时间为t秒，则，，，，，当时，根据线段的和差得到，，即可求出比值；当时，此时点Q与点A重合，，点F对应的数值为，点E对应的值为，进而得出，，即可求出比值． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，二次项的系数为b， ，， ， ， ， ， ， ，，． （2）设点P的出发时间为t秒， 由题意得：，，，，， 当时，如图1， ， ， ∴； 当时，此时点Q与点A重合，如图2， 此时，点F对应的数值为，点P在点O的右侧， ， 点E对应的值为， ， ， ， ； 综上，的值是定值，值是2． 17．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 【答案】(1)， (2)运动5秒，点可以追上点 (3)点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为，图见解析 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质即可得点表示的数和点对应的数； （2）根据点运动距离减去点运动距离等于的长，建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①当点在点之间运动时，则，②当点在点左侧运动时，则，先根据线段中点可得，再线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：点表示的数是， 点对应的数是， 故答案为：，． （2）解：由题意得：， 解得， 答：运动5秒，点可以追上点． （3）解：线段的长度不发生变化，画图求解如下： ①如图，当点在点之间运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； ②如图，当点在点左侧运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； 综上，点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为． 19．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）瑞士数学家欧拉（Euler，）发现并证明了多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在一个有趣的关系式，这个关系式被后人称为欧拉公式．观察下面画出的多面体，解答下列问题： (1)完成表格中的空格： 多面体 顶点数V 面数F 棱数E 四面体 4 4 长方体 8 6 八面体 8 五棱柱 7 你发现各个多面体顶点数V、面数F、棱数E之间存在的关系式是______ (2)一个多面体的面数比顶点数多8，且有条棱，这个多面体是几面体？ (3)一个玻璃饰品的外形是多面体，它的表面是由三角形和八边形两种多边形围成，且一共有个顶点，每个顶点处都有3条棱，这个玻璃饰品是几面体？ 【答案】(1)6，6，， (2) (3) 【分析】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数及它们之间的关系，数字规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据已知空间图形即可填空，最后可得规律顶点数面数棱数； （2）由题意得，代入（1）中的公式计算即可得到面数； （3）一共有个顶点，每个顶点处都有3条棱，且两点确定一条直线，则共有条棱，代入（1）中的公式计算即可得到面数． 【详解】（1）解：四面体的棱数为6，正八面体的顶点数为6，五棱柱的棱数为15，关系式为：； 故答案为：6，6，，； （2）解：由题意得，代入得， ， ， ， 解得； （3）解：有个顶点，每个顶点处都有3条棱，且两点确定一条直线， 共有条棱， 那么， ， 解得， 故为面体． 20．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个角分成的两个角 中有一个角与已知的钝角互为补角，则称该射线为这个钝角的“割补线”． (1)如图1，，请判断是否为的“割补线”并说明理由； (2)若平分，且为的“割补线”，求的大小； (3)如图2，，在的内部作射线，使为的平分线，为的“割补线” ，当为的“割补线”时，请直接写出的度数． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，涉及角度的和差计算，角平分线的定义，解一元一次方程，熟练掌握知识点，正确理解新定义是解题的关键． （1）由于，那么，基即可证明； （2）由平分，得到，因为为的“割补线”，则，即可求解； （3）设，则，由于为的“割补线”，那么或，则或，①当时，由于为的“割补线”，那么或，当时，得到，当时，得到，②当时，则，那么当时，得到，当时，得到，分别解方程即可． 【详解】（1）解：是的“割补线”，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是的“割补线”； （2）解：∵平分， ∴， ∴ ∵为的“割补线” ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为的平分线， ∴设， ∴， ∵为的“割补线”， ∴或， ∴或， ①当时， ∵为的“割补线”， ∴或， 当时， ， 解得：， 此时（不符合题意，舍）； 当时， ， 解得：， ∴； ②当时， 则， ∵为的“割补线”， ∴或， 当时， ， 解得：（不符合题意，舍）； 当时， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $