期末压轴题专项（二）2025-2026学年北师大版数学七年级上册

参考答案 1.【答案】-子 2.【答案】1 3.【答案】-3 4.【答案】-8 5.【答案】125 6.【答案】21 7.【答案】4或24 8.【答案】41,2 9.【答案】2 10.【答案】S=7261 6 11.【答案】【小题1】 15 【小题2】 设经过t秒两只电子蚂蚊相遇， 2t+3t=40-(-10), 解得t=10 -10+2×10=-10+20=10, 即点C在数轴上所对应的数是10： 【小题3】 设a秒时两只电子蚂蚁在数轴上相距12个单位长度， 两只电子蚂蚁相遇之前：2a+3a=[40-(-10)]-12, 解得a=7.6; 两只电子蚂蚁相遇之后：2a+3a=[40-(-10)]+12, 解得a=12.4; 由上可得，7.6秒或12.4秒时两只电子蚂蚁在数轴上相距12个 12.【答案】-10,20： -15或25； 第1页，共1页 单位长度 t=9或t=号； m=4 13.【答案】-2；①-7：②点P表示的数为-8，点Q表示的数为4 14.【答案】-3,21；24①PQ=6;②2；③t的值是6或18 15.【答案】解：(1)解法一：因为0M,ON分别是∠A0C,∠B0D的角平分线， 所以∠MOC=专∠AOC,∠NOD=∠BOD, 因为∠C0D=110°， 所以∠A0C+∠B0D=180°-110°=70°， 所以 ∠MON=∠COD+∠MOC+∠NOD=∠COD+克∠A0C+克∠BOD-∠COD+(∠AOC+∠BOD)=1 解法二：因为OM,ON分别是∠A0C,∠BOD的角平分线. 所以∠MOA=专∠AOC,∠NOB=克∠BOD, 因为∠C0D=110°， 所以∠A0C+∠B0D=180°-110°=70°， 所以 ∠MON=180°-（∠M0A+∠N0B)=180°-(G∠A0C+克∠B0D)=180°-（∠A0C+∠B0D) (2)解法一：猜想：∠M0N=寺a+90°， 因为OM,ON分别是∠A0C,∠B0D的角平分线. 所以∠MOC=克∠AOC,∠NOD=寺∠BOD, 因为∠C0D=, 所以∠A0C+∠B0D=180°-， 所以 ∠MON=∠COD+∠MOC+∠NOD=∠COD+∠AOC+∠BOD=∠COD+(∠AOC+∠B0D)=Q 解法二：猜想：∠MON=专a+90°， 第1页，共1页 因为OM,ON分别是∠A0C,∠B0D的角平分线. 所以∠MOA=∠AOC,∠NOB=克∠BOD, 因为∠C0D=, 所以∠A0C+∠B0D=180°-x, 所以 ∠M0N=180°-（∠M0A+∠N0B)=180°-(G∠A0C+克∠B0D)=180°-（∠A0C+∠B0D)= 3)解法一：因为点M,N分别是AC,BD的中点， 所以MC=寺AC,DN=专BD, 因为CD=n, 所以AC+BD=m-n, 所以MN=CD+MC+DN=CD+AC+BD=CD+(AC+BD)=m+n: 解法二：点M,N分别是AC,BD的中点， 所以AM=AC,BN=专BD, 因为CD=n, 所以AC+BD=m-n, 所以 MN=AB-(AM+BN)=AB-(AC+BD)=AB-(AC+BD)=m-(m-n)=mn 16.【答案】90°∠A0B=2∠E0F,理由见解析∠A0B=2∠E0F仍然成立，理由见解析 17.【答案】解：（1)当n=70时，∠A0D=70, ·∠A0C=110°， :∠C0P=60°， ·∠A0P=50°， ·∠B0P=90°-∠A0P=40°； ·∠B0P为40°； 第1页，共1页 (②)：0P恰好平分∠A0B, ∠B0P=∠A0B=45, :∠C0P=600, ÷∠B0C=150, ∠B0D=165°， :∠A0B=90°， ·∠A0D=∠BOD-∠A0B=75°， n=75; (3)当0B在∠C0P内部时， :∠B0P=3∠A0D=3n°， :∠B0C=60°-号n°， :∠B0C+∠A0B+∠A0D=180°， :60°-青n°+90°+n°=180°， 解得n=45: :∠B0C=60°-号×45°=45°： 当0B在∠C0P外部时，如图： B :∠BOP=青∠AOD=吉n°， :∠B0C=60°+专n°， :∠B0C+∠A0B+∠A0D=180°， ÷60°+青n°+90°+n°=180°， 解得n=22.5, 第1页， 共1页 ÷∠B0C=60°+号×22.5°=67.5° 综上所述，∠B0C为45°或67.5°· 18.【答案】【小题1】 35。 【小题2】 解：设∠B0D=《,则∠BOC=30。+《, :OC平分∠BOM, ·∠C0M=∠B0C=30。+, ·∠B0M=2∠C0M=60。+2a, :OM平分∠A0B, ·∠A0B=2∠B0M=120。+4, :∠A0B=130。, ÷120。+4=130。, 解得：a=2.5。,即∠B0D=2.5 【小题3】 解：3次，t的值分别为6s,6.5s和13s, 理由如下： ①当OD平分∠BOC时，即∠BOD=∠C0D, :∠C0D=30。, ·∠B0D=∠C0D=30。. t=30÷5=6(s). ②当0D平分∠BOM时，即∠BOD=∠M0D, 由(1)可知∠B0M=65。, ÷∠B0D=∠M0D=克∠B0M=青×65。=32.5。. t=32.5÷5=6.5(s). ③当OD到达0M,即OD平分∠A0B时， 由(1)可知，∠B0M=65。, t=65÷5=13(S). 综上，0D作为角平分线的情况出现了3次，t的值分别为6s,6.5s和13s 第1页，共1页 19.【答案】【小题1】 是 【小题2】 30或90。 【小题3】 :OD、OE分别平分“共边角”∠A0C和∠B0C, ∠A0D=克∠AOC,∠B0E=克∠B0C, ·∠A0D-∠B0E=克∠A0C-∠B0C=(∠A0C-∠B0C)=克∠AOB, 又：∠AOD-∠BOE=(∠AOB+∠BOD)-(∠DOE+∠BOD)=∠AOB-∠DOE, ·∠AOB-∠D0E=∠AOB, ÷∠D0E=克∠AOB 【小题4】 学或 2 20.【答案】不是60°t=3或t=21t=3或t=9 21.【答案】【小题1】 由题意得，：图①空白部分小正方形的个数是22-12=2+1， 图②空白部分小正方形的个数是42-32=4+3， ·图③中得到的式子为：52-42=5+4 故③中得到的算式为：5+4， 故答案为：5+4： 【小题2】 62-52=6+5 (n+1)2-n2=(n+1)+n 【小题3】 由上述规律可知，（20252-20242+20232-20222+20212-20202+…+22-12)÷1013 第1页，共1页 =(2025+2024+2023+2022+2021+2020+·+2+1)÷1013 =2025902×10 =2025, 故答案为：2025. 22.【答案】【小题1】 ①③ 【小题2】 2 【小题3】 50 23.【答案】【小题1】 30 【小题2】 解：①油翻折可得∠ACM=∠A'CM=∠ACA',∠BCN=∠B'CN=∠BCB', ÷∠NCM=∠A'CM+∠B'CN=(∠ACA'+∠BCB')=寺×180。=90， ②(i):∠NCM=110。, :∠ACM+∠BCN=180。-110。=70。, 由①可得：∠ACM=∠A'CM=专∠ACA',∠BCN=∠B'CN=专∠BCB' :∠A'CB'=∠NCM-(∠A'CM+∠B'CN)=∠NCM-(∠ACM+∠BCN)=110。-70.=40。 (ii)由①可得：∠ACM=∠A'CM=专∠ACA',∠BCN=∠B'CN=∠BCB', ,:∠NCM=∠A'CM+∠B'CN-∠A'CB', ÷∠NCM+∠A'CB'=∠A'CM+∠B'CN' :∠ACM+∠NCM+∠BCN=180。' :∠NCM+∠A'CB'+∠NCM=180。 即2+B=180。. 第1页，共1页 24.【答案】①16；②片2+专n+1;①图见详解；8： 竖直于蛋糕面切4刀，再平行于蛋糕面切]3刀，理由见详解. 第1页，共1页 14;②Am=n2-n+2;分割方案：先 2025-2026北师大七年级上册数学期末压轴题专项（二） 一、填空题 1.已知，为常数，关于的方程，无论为何值它的解总是，则的值为        ． 2.对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个幻方的图案，其中个格中的点数分别为，，，，，，，，每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是如图是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为          ． 3.如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，，，，，，，，，，，这个数填入“六角幻星”图中，使条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则的值为_______． 4.相传有神龟出于洛水，其背上有此图案图，史称“洛书”，图是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图的“九宫格”中也有类似于图的数字之和的这个规律，则的值为_____ 5.生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；；在一种六进制计数法中，它是用这个数字来表示数，满进一，例如：六进制数对应十进制的数为，六进制数对应十进制的数为，那么六进制数对应十进制的数为        ． 6.我们通常用到的数我们称之为十进制数，在表示十进制数时，我们需要用到个数的数码：，，，：例如：，如果用我们刚学习过的乘方运算来表示，那么，在表示三进制数时，我们需要用到三个数码：，，，例如：三进制数，等于十进制的数，那么二进制中的等于十进制的数______． 7.如图，数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上一动点如果点以每分钟个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟个单位长度和每分钟个单位长度的速度也向左运动若分钟时点到点，的距离相等，则的值为        ． 8.如图，、、依次是线段上的三点，已知，，则图中以、、、、这个点为端点的所有线段的长度之和为____． 9.生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即：，，，，，，请你推算的个位数字是______． 10.为了求 的值，可令 ，则 ，因此 ，所以 仿照以上推理，计算 的结果为_________． 二、解答题 11.本小题分已知，如图，分别为数轴上的两点，点对应的数是，点对应的数为． 若将数轴沿着表示          的点折叠，可使得点与点重合． 现在有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇．试求出点在数轴上所对应的数； 在的前提下，何时两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 12.本小题分如图，在数轴上点表示数，点表示数，、两点之间距离为，原点在点和点之间，且点到的距离是点到的距离的倍动点沿数轴从数对应的点开始向右运动，速度为每秒个单位长度同时动点、分别从点、出发沿着数轴运动，点、的速度分别为每秒个单位长度、每秒个单位长度，设运动时间为秒． ______，______； 已知为数轴上一动点，且满足，求点表示的数； 若点向右运动，点向左运动，当时，求的值； 若点向左运动，点向右运动，的值不随时间的变化而改变，直接写出的值． 13.本小题分数学活动课上，组学生在一张透明白纸上制作了一条数轴，如图． 操作一： 折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． 操作二： 折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，解答以下问题： 表示的点与数轴上的点重合，求点表示的数． 若数轴上，两点之间的距离为点在点的左侧，且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 14.本小题分，在数轴上，分别表示数，，且． 直接写出的值是______，的值是______，线段的长度是______； 如图，是一条定长的线段点在点的左侧，它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点即点在线段上的这段过程所需的时间为秒，线段完全经过线段即线段与线段有公共点的这段过程所需的时间为秒． 求线段的长； 直接写出线段运动的速度为______个单位长度秒； 如图，当动线段运动到点与点重合时，与此同时，点从点出发，在动线段上，以个单位长度秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动，遇到点后也立即原速返回，向点运动设动线段，以及点同时运动的时间为秒，当时，求的值． 15.本小题分如图，点在直线上，过点在直线同侧作两条射线，；，分别是，的角平分线． 若，那么是多少度？ 若，请你猜想是多少度结果用含的代数式表示？并说明理由． 其实线段的计算和角的计算存在着紧密的联系．如图，已知线段，点，是线段上两点，线段，点，分别是，的中点，求的长．结果用含，的代数式表示 16.本小题分【问题提出】 如图，点、、在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则______； 【问题探究】 如图，点、、不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 如图，当是内的一条射线时，平分，平分，中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 17.本小题分综合与探究： 如图，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角尺的直角顶点放在点处，且直角三角尺在直线的上方设． 当时，求的大小． 当恰好平分时，求的值． 若射线的位置保持不变，将直角三角尺绕点在直线上方旋转，当时，请直接写出的度数． 18.本小题分如图，，将一个直角三角尺的顶点与点重合，平分，三角尺始终在的内部三角尺的边可以与重合． 如图，当在射线上时，的度数为          ； 如图，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； 如图，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线的情况出现了几次？分别求出作为角平分线时的值． 19.本小题分在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中和都有公共顶点和一条公共边，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】：如图，和           “共边角”填“是”或“不是”； 当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角是          ； 若、分别平分“共边角”和，请以图为例来说明与的数量关系； 【知识迁移】：在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：和都有公共端点，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为和，则这两条线段的中点之间的距离为          ； 20.本小题分【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”如图，点在直线上，射线，，位于直线同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 如图，射线______选填“是”或“不是”射线，的“双倍和谐线”； 若，射线是射线和的“和谐线”，直接写出的度数：______． 如图，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为秒，求何值时，射线是射线和的“和谐线”？ 如图，，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为单位：秒，且，当射线为两条射线和的“和谐线”时，直接写出的值． 21.本小题分【规律探索】 观察如图的各图形，我们会发现： 图空白部分小正方形的个数是， 图空白部分小正方形的个数是， 图空白部分小正方形的个数是_____； 请补充图中得到的算式； 像这样继续排列下去请你再写出一道算式：           ；你会发现这些算式存在一个规律：请归纳           用含有字母的算式表示，其中为正整数； 【问题解决】运用这个规律计算：． 22.本小题分某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有          ；只填序号 【制作纸盒】 综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子． 如图，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．如图，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子，则制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的          倍； 【拓展探究】若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体形盒子表面展开图的外围周长最小为          ． 23.本小题分综合与实践课上，老师让同学们以“利用角平分线的概念，解决有关问题”为主题开展数学活动．已知一张条形彩带，点在边上，点在边上，如图所示． 如图，将彩带沿翻折，点落在处，若，则           ； 若将彩带沿同时向中间翻折，点落在处，点落在处； 当点共线时，如图，求的度数； 当点不共线时： 如图，若，求的度数； 如图，设，直接写出满足的关系式． 24.本小题分综合与实践：探究规律可以从简单情形入手： 【温故知新】小明在学习鸡蛋饼的分割后，先复习巩固相关知识，然后整理成如下笔记： 抽象数学问题：条直线最多可以将平面分割成几个区域？ 画图探究，数据整理，并补全表格； 分割线条数 区域个数 ______ 结论： ______用含的代数式表示； 【探究新知】复习巩固相关知识后，小明又探究了新问题：个圆最多可以将平面分割成几个区域？ 类比探究： 画图探究，数据整理，并补全表格； 圆的个数 区域个数 ______ ______ 探究：与的关系？ 【实践应用】 七年级班有名同学，在元旦晚会上，班级买了一个长方体大蛋糕小明给大家提了这样一个问题：谁能用最少的刀数分蛋糕大小不限，只能竖直或平行于蛋糕面切，使每位同学都能分到一块？写出你的分割方案，并简要说明． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026北师大七年级上册数学期末压轴题专项（二） 一、填空题 1.已知m,n为常数，关于x的方程x”=1+心，无论k为何值它的解总是x=2,则m+n的值为一 2 2.对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图1是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为1,2,3， 4,5,6,7,8,9.每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15.如图2是一个没有填完整的 幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，那么正中间的方格中的数 字为 88 ●●● ●● ● ● ●●●】 ●●● ●● ● ●●● ●●● ●●● ●● ●●● 0 -2 图1 图2 3.如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力.一个小组尝试 将数字-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5,6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四 个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则α的值为-一 4.相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示.这也就是术数中 常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的 数字之和都相等.在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则x的值为一 神龟负书 洛老 6 图1 图2 图3 5.生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例如：12=1×10+2：235=2×10× 10+3×10+5:在一种六进制计数法中，它是用0~5这6个数字来表示数，满6进一，例如：六进制数 12对应十进制的数为1×6+2=8，六进制数235对应十进制的数为2×62+3×6+5=95，那么六进 制数325对应十进制的数为一· 6.我们通常用到的数我们称之为十进制数，在表示十进制数时，我们需要用到10个数的数码：0,1， 9:例如：9810.，如果用我们刚学习过的乘方运算来表示，那么9810=9000+800+10+0=9×103+ 第1页，共10页 8×102+1×101+0,在表示三进制数时，我们需要用到三个数码：0,1,2，例如：三进制数201=2×32+1， 等于十进制的数19，那么二进制中的10101等于十进制的数 7.如图，数轴上三点M,0,N对应的数分别为-6,0,18，点P为数轴上一动点如果点P以每分钟2个单位 长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟3个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向 左运动若t分钟时点P到点M,N的距离相等，则t的值为一· 0 N B C D E -60 18 8.如图，B、C、D依次是线段AE上的三点，己知AE=8.8cm,BD=3cm,则图中以A、B、C、D、E这5 个点为端点的所有线段的长度之和为_cm. 9.生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型在营养和生存空间没有限制的情 况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2”来表示.即：21=2,22=4,23=8,24=16， 25=32,,请你推算21+22+23+24+25+…+22025的个位数字是一- 10.为了求1+2+22+23+…+220的值，可令A=1+2+22+23+…+220,则2A=2+22+23+24+ …+221,因此A=2A-A=221-1,所以1+2+22+23+…+220=221-1.仿照以上推理，计算1+ 7+72+73+…+72025的结果为 二、解答题 11.(本小题9分)已知，如图A,B分别为数轴上的两点，点A对应的数是-10，点B对应的数为40. A B -10 40 (1)若将数轴沿着表示_的点折叠，可使得A点与B点重合. (2)现在有一只电子蚂蚁P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出 发，以3个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇.试求出点C在数轴上所对应的数； (3)在(2)的前提下，何时两只电子蚂蚁在数轴上相距12个单位长度？ 第2页，共10页 12.(本小题9分)如图，在数轴上点A表示数a,点C表示数c,A、C两点之间距离为30，原点0在点A和点C 之间，且点C到0的距离是点A到O的距离的2倍.动点B沿数轴从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1 个单位长度.同时动点P、Q分别从点A、C出发沿着数轴运动，点P、Q的速度分别为每秒3个单位长度、每 秒4个单位长度，设运动时间为t秒. (1)a= (2)已知D为数轴上一动点，且满足CD+AD=40,求点D表示的数； (③)若点P向右运动，点Q向左运动，当PB=BQ时，求t的值； (④若点P向左运动，点Q向右运动，3PB-m×BQ的值不随时间t的变化而改变，直接写出m的值. 13.(本小题9分)数学活动课上，3组学生在一张透明白纸上制作了一条数轴，如 1上1上上上上上上上 图.二5-4-3-2-1012345 操作一： (1)折叠纸面，使表示1的点与表示-1的点重合，则表示2的点与表示 的点重合 操作二： (2)折叠纸面，使表示0的点与表示-4的点重合，解答以下问题： ①表示3的点与数轴上的点M重合，求点M表示的数， ②若数轴上P,Q两点之间的距离为12（点P在点Q的左侧），且P,Q两点折叠后重合，求P,Q两点表示的数. 14.(本小题9分)A,B在数轴上，分别表示数m,n,且|m+3+(n-21)2=0. P8A B CA PQ 图1 图2 (1)直接写出m的值是 n的值是 ,线段AB的长度是 ； (2)如图1，PQ是一条定长的线段（点P在点Q的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段 PQ完全经过点A(即点A在线段PQ上的这段过程)所需的时间为3秒，线段PQ完全经过线段AB(即线段PQ与 线段AB有公共点的这段过程)所需的时间为15秒. ①求线段PQ的长： ②直接写出线段PQ运动的速度为一_个单位长度/秒： 第3页，共10页 ③如图2，当动线段PQ运动到Q点与A点重合时，与此同时，点C从P点出发，在动线段PQ上，以1个单位 长度/秒的速度向Q点运动，遇到Q点后，点C立即原速返回，向P点运动，遇到P点后也立即原速返回，向Q 点运动.设动线段PQ,以及点Cc同时运动的时间为t秒(0≤t≤23)，当3PC-QB=6时，求t的值. 15.(本小题9分)如图1，点0在直线AB上，过点0在直线同侧作两条射线0C,OD:OM,ON分别是∠A0C, ∠BOD的角平分线 (1)若∠C0D=110°，那么∠M0N是多少度？ (2)若LCOD=a,请你猜想LMON是多少度（结果用含a的代数式表示）？并说明理由 (③)其实线段的计算和角的计算存在着紧密的联系.如图2，已知线段AB=m,点C,D是线段AB上两点， 线段CD=n,点M,N分别是AC,BD的中点，求MN的长.（结果用含m,n的代数式表示） D 0 B 图1 N B 图2 16.(本小题9分)【问题提出】 (1)如图1，点A、O、B在一条直线上，0C是一条射线，OE平分LA0C,OF平分LB0C,则∠EOF=一°： 【问题探究】 (2)如图2，点A、O、B不在一条直线上，OC是∠AOB内的一条射线，OE平分LAOC,OF平分LBOC,判断LAOB 与LEOF的数量关系，并说明理由： 【问题拓展】 (3)如图3，当OA是∠B0C内的一条射线时，OE平分∠A0C,OF平分LBOC,(2)中LA0B与LE0F的数量关系 第4页，共10页 是否仍然成立，请说明理由. B B 图1 图2 图3 17.(本小题9分)综合与探究： 如图，以直线CD上的一点O为端点，在直线CD的上方作射线OP,使∠COP=60°，将一块直角三角尺(LAOB= 90)的直角顶点放在点O处，且直角三角尺在直线CD的上方.设∠A0D=n(0<n<90) (1)当n=70时，求∠B0P的大小. (2)当OP恰好平分∠A0B时，求n的值. (3)若射线0P的位置保持不变，将直角三角尺绕点0在直线CD上方旋转，当LB0P=号A0D时，请直接写出 LBOC的度数. A B n C 备用图 18.(本小题9分)如图，∠A0B=130°，将一个直角三角尺C0D的顶点与点0重合，∠C0D=30°，0M平分 LAOB,三角尺COD始终在∠AOB的内部（三角尺的边可以与OA,OB重合）· M M B BOD) B(D) (1)如图1，当0D在射线OB上时，LC0M的度数为一； (2)如图2，三角尺COD在∠BOM的内部，当0C平分LBOM时，求LBOD的度数： 第5页，共10页 (3)如图3，三角尺C0D从OD与OB重合开始，以每秒5的速度绕点0按图中的方向旋转，当0D到达0M处停 止旋转.在三角尺旋转过程中，OD作为角平分线的情况出现了几次？分别求出OD作为角平分线时t的值. 19.(本小题9分)在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中 LAOB和LB0C都有公共顶点O和一条公共边0B,所以这两个角是“共边角”， A E B ⑦ ② (1)【问题解决】：如图②，∠AOB和LB0C “共边角”（填“是”或“不是”）： (2)当两个“共边角”为60°和30时，它们非公共边的两边的夹角是： (3)若OD、OE分别平分“共边角”LAOC和LBOC,请以图①为例来说明LDOE与LAOB的数量关系； (④【知识迁移】：在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：AB 和BC都有公共端点B,所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为m和，则 这两条线段的中点之间的距离为一： 20.(本小题9分)【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其 中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍 和谐线”如图1，点P在直线上，射线PR,PS,PT位于直线同侧，若PS平分∠RPT,则有∠RPT=2LRPS, 所以我们称射线PR是射线PS,PT的“双倍和谐线”. 【迁移运用】 B R B 图① 图② 图③ (1)如图①，射线PS一一（选填“是”或“不是”）射线PR,PT的“双倍和谐线”： 第6页，共10页 (2)若LA0B=120°，射线0C是射线0A和0B的“和谐线”，直接写出∠A0C的度数： (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，∠APB=45°，∠DPC=60°，边PD与量角器0°刻度线重 合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角板ABP绕量角器中心点P以每秒5的速度顺时针方向旋转，当 边PB与O°刻度线重合时停止运动，设三角板ABP的运动时间为t秒，求t何值时，射线PB是射线PC和PD的 “和谐线”？ (4如图③，LA0B=90°，射线0P从射线0B的位置开始，绕点0按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时 射线OQ从射线0A的位置开始，绕点0按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线0P旋转的时间为t(单位： 秒)，且0<t<15,当射线0P为两条射线0A和0Q的“和谐线”时，直接写出t的值. 21.(本小题9分)【规律探索】 ⊙ ② ③ 观察如图的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是22-12=2+1， 图②空白部分小正方形的个数是42-32=4+3， 图③空白部分小正方形的个数是52-42=一一： (1)请补充图③中得到的算式： (2)像这样继续排列下去请你再写出一道算式：一；你会发现这些算式存在一个规律：请归纳一（用 含有字母n的算式表示，其中n为正整数)： (3)【问题解决】运用这个规律计算：(20252-20242+20232-20222+20212-20202+…+22-12)÷ 1013 第7页，共10页 22.(本小题9分)某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动. (1)【知识准备】 下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有一；（只填序号） ① ② ③ ④ (2)【制作纸盒】 综合实践小组利用边长为20c的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子， 如图⑤，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为3c的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长 方体形盒子.如图⑥，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小长方形， 再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子，则制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积 的倍： 13 图⑤ 图⑥ (3)【拓展探究】若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm,将它的表面沿某些棱剪开，展 成一个平面图形，则该长方体形盒子表面展开图的外围周长最小为cm, 第8页，共10页 23.(本小题9分)综合与实践课上，老师让同学们以“利用角平分线的概念，解决有关问题”为主题开展数 学活动.己知一张条形彩带，点C在AB边上，点M、N在EF边上，如图所示. 图 图2 B 图3 图4 (1)如图1，将彩带沿MC翻折，点A落在A′处，若∠A′CB=120°，则LA′CM=°： (2)若将彩带沿MC、NC同时向中间翻折，点A落在A'处，点B落在B'处： ①当点A'、B'、C共线时，如图2，求LNCM的度数； ②当点A′、B′、C不共线时： ()如图3，若∠NCM=110°，求∠A′CB′的度数； (i)如图4，设LNCM=%,∠A′CB′=B,直接写出a、B满足的关系式。 24.(本小题9分)综合与实践：探究规律可以从简单情形入手： 【温故知新】小明在学习鸡蛋饼的分割》后，先复习巩固相关知识，然后整理成如下笔记： (1)抽象数学问题：n条直线最多可以将平面分割成几个区域？ ①画图探究，数据整理，并补全表格： 图1 分割线条数(n) 1 4 区域个数(A) 7 11 ②结论：A= (用含n的代数式表示)： 【探究新知】复习巩固相关知识后，小明又探究了新问题：个圆最多可以将平面分割成几个区域？ (2)类比探究： 第9页，共10页 ①画图探究，数据整理，并补全表格； 画出第3个图△ 图2 圆的个数(n) 1 2 3 4 … 区域个数An 2 4 ②探究：An与n的关系？ 【实践应用】 (3)七年级1班有44名同学，在元旦晚会上，班级买了一个长方体大蛋糕小明给大家提了这样一个问题： 谁能用最少的刀数分蛋糕（大小不限，只能竖直或平行于蛋糕面切），使每位同学都能分到一块？写出你的分 割方案，并简要说明。 第10页，共10页