专题08 排列组合10大考点（高效培优期末专项训练）高二数学上学期人教B版2019

专题08 排列组合10大考点 考点01排列数、组合数的计算 考点02排列数、组合数相关的方程及不等式 考点03相邻问题及不相邻问题 考点04位置有限制问题 考点05定序问题 考点06分组分配问题 考点07最短路线和台阶问题 考点08相同元素的分配问题 考点09元素配对问题 考点10排列组合与古典概型 考点01排列数、组合数的计算 1．可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 3．（多选）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 考点02排列数、组合数相关的方程及不等式 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知，则满足不等式的的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．若，则正整数的值为 . 8．若正整数n满足不等式，则 . 9．解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 考点03相邻问题及不相邻问题 10．某人计划到山东旅游，打算用连续5天时间游玩泰山、崂山、蓬莱阁3个景点，其中泰山、崂山2个景点分别安排连续的两天游玩，则不同的日程安排种数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）为鼓励学生们进行兴趣爱好的培养，某学校拟在校园音乐节上邀请某乐队演唱6首风格不同的歌曲，设编号分别为A、B、C、D、E、F，且为了一定效果需对这6首歌的演唱顺序进行一定调整，则（   ） A．若歌曲B、C、D必须三首连续进行演唱，则有144种安排方式 B．若歌曲B、C、D任意两首不连续进行演唱，则有144种安排方式 C．若歌曲必须在歌曲之前进行演唱，则有120种安排方式 D．若歌曲必须第一个进行演唱，歌曲不能最后进行演唱，则有96种安排方式 13．甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，则不同的坐法有 种. 14．在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 种. 15．用1、2、3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个1相邻出现，则这样的四位数有 个．（用数字作答） 16．7个人站成两排照相，前排3人，后排4人；其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻（若两人分站两排视为不相邻），则共有 种不同安排方式． 考点04位置有限制问题 17．某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、文明、民主三个社区进行普法宣传，要求每人必须去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，若甲去文明社区，乙不去富强社区，则不同的安排方法有（   ） A．16种 B．12种 C．7种 D．6种 18．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 19．甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有 . 20．袋中有7个小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球.每次不放回从袋中随机取出一个球，当三种颜色的球都取到时停止，则停止摸球时共取出5个球的概率为 . 21．从数字，，，，中不重复地选取组成五位数，若该数满足千位和十位上的数字均比各自相邻数字大（形如“低一高一低一高一低”），则称其为“龙脉数”，则所组成的数为“龙脉数”的概率为 . 22．甲、乙等5名同学参加羽毛球比赛，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖各1名.若甲、乙均没有获得特等奖，则获奖的所有可能情况有 （用数字作答）种. 考点05定序问题 23．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 24．5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有 种情况. 25．掷一枚质地均匀的骰子3次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为x，y，z，则的概率为 ． 26．如图，3根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球个数依次为2，2，3，每枪只能打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法有 种（请用数字作答） 27．书架上某一层有本不同的书，新买了本不同的书插进去，要保持原来本书的顺序不变，则不同的插法种数为 .（用数字作答） 28．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 考点06分组分配问题 29．把6名技术员分到3个车间工作，分到3个车间的人数各不相同，每个车间至少1人，则不同的分配方案共有（　　） A．270种 B．540种 C．720种 D．360种 30．要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 32．某高校7名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观，且只参观一个地点，每个地点至少有2名学生参观的不同方案共有（   ） A．105种 B．210种 C．630种 D．1260种 33．某校安排高一年级班共个班去五个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一班恰被安排到基地的排法种数为（    ） A． B． C． D． 34．（多选）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 考点07最短路线和台阶问题 35．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（    ） A．156 B．210 C．211 D．216 36．从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步从一楼到二楼共有走法． A．12 B．8 C．70 D．66 37．将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从处行走至处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有 A．360种 B．210种 C．60种 D．30种 38．如图是一个某城市街道图，其中虚线部分为不可通过的荷塘．李四家住A处，学校在B处，问李四从家里上学的最短路径有多少条不同的路线？ 39．沿图中的网格线从顶点到顶点，最短的路线有 条．    40．如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）    考点08相同元素的分配问题 41．三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 42．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（   ）种不同分配方案． A．9 B．36 C．84 D．120 43．方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 44．已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有 种． 45．若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 考点09元素配对问题 46．有四对双胞胎共8人，从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 47．有3对双胞胎孩子站成一排拍照，则每对双胞胎必须相邻的排法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．96种 48．A家庭有一对夫妻和两个女儿，B家庭有一对夫妻和两个儿子，共8人，一起去游乐场游玩，坐在共有8个座位的一排座位上，A家庭的两个女儿要相邻，B家庭的两个儿子要相邻，并且为了安全起见，两位爸爸要坐在两端．那么这8人的排座方法种数为 ． 49．现有5双鞋子，从中任取4只鞋子，则取出的4只鞋子中，恰好有1双的取法总数为 . 50．双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出只，试求各有多少种情况出现如下结果： (1)只鞋子没有成双的； (2)只鞋子恰成两双； (3)只鞋中有只成双，另只不成双． 考点10排列组合与古典概型 51．现有5瓶溶液标签缺失，已知其分别为，若从中任取2瓶混合，则会发生复分解反应的概率为（    ） A． B． C． D． 52．2025年正好是一个平方年（），纵观历史，从1250年到1900年，所有平方年对应的朝代如下表所示： 1296 1369 1444 1521 1600 1681 1764 1849 元朝 明朝 明朝 明朝 明朝 清朝 清朝 清朝 某位历史老师将从这8个年份中随机选取3个年份，对当年的历史进行深入研究，则他选取的年份至少有2个在明朝的概率为（    ） A． B． C． D． 53．如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网处的甲乙两人分别要到N,M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N处为止，则下列说法错误的是（   ） A．甲从M必须经过到达N处的方法有9种 B．甲乙两人相遇的概率为 C．甲乙两人在处相遇的概率为 D．甲从M到达N处的方法有20种 54．6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是 ． 55．平面上有一个点，等可能地向前、后、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，则经过4次移动后回到出发点的概率为 ． 56．《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共个人物手办，小明从个盲盒中（个盲盒内的人物一定不同）任意抽取个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的概率是 . 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 排列组合10大考点 考点01排列数、组合数的计算 考点02排列数、组合数相关的方程及不等式 考点03相邻问题及不相邻问题 考点04位置有限制问题 考点05定序问题 考点06分组分配问题 考点07最短路线和台阶问题 考点08相同元素的分配问题 考点09元素配对问题 考点10排列组合与古典概型 考点01排列数、组合数的计算 1．可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 2．（   ） A．0 B．56 C．1 D．42 【答案】A 【详解】由题意得， 故选：A. 3．（多选）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对A选项，，A正确； 对B选项，左边=，B错误； 对C选项，方法一：，方法二：，C正确； 对D选项，，故D错误. 故选：AC. 4．（多选）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对A：因为．故A正确； 对B：根据组合数公式得， ， 所以．故B正确； 对C：， 而， 显然此时，．故C错误； 对D：， 而，所以．故D正确. 故选：ABD 考点02排列数、组合数相关的方程及不等式 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A 6．（多选）已知，则满足不等式的的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【详解】因为， 所以， 即，又， 所以或4. 故选：AB. 7．若，则正整数的值为 . 【答案】5或7 【详解】由组合数的性质，可得， 则，可得或， 解得或. 故答案为：5或7. 8．若正整数n满足不等式，则 . 【答案】5 【详解】由，得，且， 化简整理得，解得， 又因为，所以. 故答案为：. 9．解下列方程. (1)若，求. (2) (3). 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）由题意得， 则， 则同除得， 同乘得到， 则，又，故解得. （2）因为，所以， 又因为，所以，解得. （3）由题意得， 即，因为，所以， 得到，则， 化简可得，解得或， 又，即，所以解得. 考点03相邻问题及不相邻问题 10．某人计划到山东旅游，打算用连续5天时间游玩泰山、崂山、蓬莱阁3个景点，其中泰山、崂山2个景点分别安排连续的两天游玩，则不同的日程安排种数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】首先考虑蓬莱阁的游玩，可能安排在第1天或第3天或第5天，所以共有种不同的日程安排． 故选：D 11．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法. 故选：D. 12．（多选）为鼓励学生们进行兴趣爱好的培养，某学校拟在校园音乐节上邀请某乐队演唱6首风格不同的歌曲，设编号分别为A、B、C、D、E、F，且为了一定效果需对这6首歌的演唱顺序进行一定调整，则（   ） A．若歌曲B、C、D必须三首连续进行演唱，则有144种安排方式 B．若歌曲B、C、D任意两首不连续进行演唱，则有144种安排方式 C．若歌曲必须在歌曲之前进行演唱，则有120种安排方式 D．若歌曲必须第一个进行演唱，歌曲不能最后进行演唱，则有96种安排方式 【答案】ABD 【详解】6首歌曲的全排列总数为种.要求B、C、D三首必须连续，采用捆绑法. 将B、C、D看作一个整体，与A、E、F共同进行排列， 将、C、D视为1个元素，与另外3个元素进行全排列，共有种排法， B、C、D这个整体内部进行全排列，共有种排法，故总安排方式为种，故A正确； 要求B、C、D任意两首不连续，采用插空法，先将A、E、F三首歌曲进行全排列，共有种排法， A、E、F排好后形成4个空位（包含首尾），从这4个空位中选3个插入B、C、D，共有种排法. 总安排方式为种，故B正确； 要求在之前演唱且无需连续，利用对称性分析， 在全排列中，在前和在前的概率均等，各占总数的一半. 故总安排方式为种，故C错误； 要求必须先演唱，必须不最后演唱，先确定的位置，固定在第1位，有1种排法， 再确定的位置，不能在第1位，也不能在第6位， 只能在第2、3、4、5位中选择，共有种排法， 则剩余的4首歌曲在剩下的4个位置进行全排列，共有种排法， 总安排方式为种，故D正确. 故选：ABD. 13．甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，则不同的坐法有 种. 【答案】 【详解】甲乙两人的排列方式有种，将甲乙看成一人，可选的位置有2种， 剩余3人的排列方式有种， 所以若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，不同的坐法有种. 故答案为： 14．在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 种. 【答案】5160 【详解】①当与同行，与也同行时，有种种植方案； 与不同行时，有种种植方案； ②当与不同行时，有种种植方案. 故不同的种植方案有（种）. 故答案为： 15．用1、2、3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个1相邻出现，则这样的四位数有 个．（用数字作答） 【答案】60 【详解】若四位数中没有1，共有个， 若四位数中有1个1，共有个， 若四位数中有2个1，则这两个1不能相邻，有种放置方法， 其余两位各有2种选择（2或3），故共有个. 因此共有60个． 故答案为：60． 16．7个人站成两排照相，前排3人，后排4人；其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻（若两人分站两排视为不相邻），则共有 种不同安排方式． 【答案】1056 【详解】依题意，分为两类情况： 当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，丙随便排都与甲不相邻，其他人随便排，有种排列方式； 当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选， 丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有种排列方式； 所以由分类加法计数原理，总共有种排列方式. 故答案为：1056 考点04位置有限制问题 17．某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、文明、民主三个社区进行普法宣传，要求每人必须去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，若甲去文明社区，乙不去富强社区，则不同的安排方法有（   ） A．16种 B．12种 C．7种 D．6种 【答案】C 【详解】由题意可知，4个人去3个社区，每人必须去且只能去一个社区， 每个社区至少1人，有以下两种情况： 第一种情况：文明社区去2人. 已知甲去文明社区，需要从乙，丙，丁三人中再选1人去文明社区，若 ①乙去文明社区，剩下丙，丁分别去富强、民主社区有种方法； ②乙不去文明社区，也不去富强社区，则有种方法. 所以文明社区去2人共有种方法； 第二种情况：文明社区只有甲1人， 则乙只能去民主社区，丙、丁可以同去富强社区有1种方法， 也可以1人去富强社区、1人去民主社区有种方法， 所以文明社区去1人共有种方法. 综上，不同的安排方法共有种. 故选：C 18．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】D 【详解】由题意知讲座只能安排在第一或最后一场，安排A有种排法， 因为讲座和必须相邻，所以安排BC及其余三场讲座共有种排法， 根据分步计数原理知共有种排法. 故选：D． 19．甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有 . 【答案】18种 【详解】因为甲不去重庆动物园，所以甲有三种不同的去处， 又因为甲、乙、丙三人去的景区互不相同， 所以这三人的不同选择方法共有. 故答案为：18. 20．袋中有7个小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球.每次不放回从袋中随机取出一个球，当三种颜色的球都取到时停止，则停止摸球时共取出5个球的概率为 . 【答案】 【详解】根据题意可知，停止摸球时共取出5个球的所有可能的情况为： 前4次摸出的球仅有白球和红球，第5次摸出1个黄球：此时概率为， 前4次摸出的球仅有白球和黄球，第5次摸出1个红球：此时概率为， 前4次摸出的球仅有黄球和红球，第5次摸出1个白球：此时概率为， 故停止摸球时共取出5个球的概率为. 故答案为： 21．从数字，，，，中不重复地选取组成五位数，若该数满足千位和十位上的数字均比各自相邻数字大（形如“低一高一低一高一低”），则称其为“龙脉数”，则所组成的数为“龙脉数”的概率为 . 【答案】 【详解】由，，，，可构成不重复数字的个数有，记由，，，，可构成不重复的“龙脉数”为事件， 则包含的结果有十位和千位数为，和十位和千位数为，两种情况： ①十位和千位数只能是，的结果有； ②当十位和千位数为，时，分两种情况： 当千位为，十位为，则万位和百位须从，中选取，有种； 当千位为，十位为，则百位和个位须从，中选取，有种； 故共有种； 由古典概率的计算公式可得， 故答案为：. 22．甲、乙等5名同学参加羽毛球比赛，决出特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖各1名.若甲、乙均没有获得特等奖，则获奖的所有可能情况有 （用数字作答）种. 【答案】72 【详解】因为甲、乙均没有获得特等奖，所以甲、乙获奖的可能情况有种， 则除甲、乙之外的三个同学获奖情况有种，， 所以5名同学获奖的所有可能情况有种. 故答案为：72 考点05定序问题 23．让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 【答案】(1)360 (2)120 【分析】 【详解】（1）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙顺序，有种排法，甲、乙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边的排法共有（种）． ［方法二］空位法：从6个位置中选择4个位置把除甲、乙外的其余4人放入，共有种排法， 再将甲、乙按序排入余下的2个位置，因此共有（种）排法． （2）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙、丙顺序，有种排法，甲、乙、丙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边，乙在丙的左边共有（种）排法． ［方法二］空位法：从6个位置中选择3个位置把除甲、乙、丙外的其余3人放入，共有种排法， 再将甲、乙、丙按序排入余下的3个位置，因此共有（种）排法． 24．5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有 种情况. 【答案】60 【分析】 【详解】解法1：先在5个位置中选2个位置放定序元素甲、乙，有种；再排另外3人，有种.所以共有种. 解法2（定序问题）：5人全排列有种情况，由于甲和乙的顺序确定，因此满足条件的共有种情况. 故答案为：60. 25．掷一枚质地均匀的骰子3次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为x，y，z，则的概率为 ． 【答案】 【详解】掷一枚质地均匀的骰子3次，总的样本点个数为：， 包含的样本点，可分为以下四种情况： ，可理解为从1到6任选3个数，最大的赋给，中间值赋给，最小的赋给， 所以包含的样本点个数为：； ，可理解为从1到6任选2个数，较大的赋给，，较小的赋给， 所以包含的样本点个数为：； ，可理解为从1到6任选2个数，较大的赋给，较小的赋给，， 所以包含的样本点个数为：； ，可理解为从1到6任选1个数，把这个数都赋给，，， 所以包含的样本点个数为：；所以所求事件概率为． 故答案：． 26．如图，3根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球个数依次为2，2，3，每枪只能打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法有 种（请用数字作答） 【答案】210 【详解】将7只气球编号，从下往上，从右往左依次编号为1，2，3，4，5，6，7，如图， 问题等价于求7只气球的排列，且1在2的前面，2在3的前面，4在5的前面，6在7的前面的排法总数，则总共有种排法. 故答案为：210. 27．书架上某一层有本不同的书，新买了本不同的书插进去，要保持原来本书的顺序不变，则不同的插法种数为 .（用数字作答） 【答案】 【详解】原问题等价于将本书放在书架上，保持原来的本书顺序不变， 由倍缩法可知，不同的插法种数为种. 故答案为：. 28．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【答案】 【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅， 所以，不同的下锅顺序种数为种. 故答案为：. 考点06分组分配问题 29．把6名技术员分到3个车间工作，分到3个车间的人数各不相同，每个车间至少1人，则不同的分配方案共有（　　） A．270种 B．540种 C．720种 D．360种 【答案】D 【详解】每个车间至少分配一名技术员且人数各不相同,故三个车间分配到技术员的人数为1，2，3， 故共有种不同的分配方案. 故选：D. 30．要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】B 【详解】若一个村1名，另一村3名志愿者，则有种选法； 若一个村2名，另一个村2名志愿者，则有种选法， 所以不同的安排方法共有8+6=14种. 故选：B 31．（河南省驻马店市2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题）某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】5名同学分成3个小组， 若按2人，2人，1人来分有种分组方式， 若按3人，1人，1人来分有种分组方式， 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种. 若甲乙去同一个服务点且该服务点有两人，则有种分组方式； 若甲乙去同一个服务点且该服务点有三人，则有种分组方式； 再把这三个小组排列到三个服务点去共有种分配方法， 所以甲乙去同一个服务点的不同安排方法有：种. 因此，甲乙去同一个服务点的概率为， 则甲与乙不去同一个服务点的概率为. 故选：B. 32．某高校7名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观，且只参观一个地点，每个地点至少有2名学生参观的不同方案共有（   ） A．105种 B．210种 C．630种 D．1260种 【答案】C 【详解】将7名大学生分为3人，2人、2人的3个小组，分别去参观这三个地点， 共有种不同参观方案. 故选：C 33．某校安排高一年级班共个班去五个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一班恰被安排到基地的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先将6个班中随机挑选两个班为一组，共有种排法， 再将含高一班这个组安排去基地，有种方法， 最后将剩下4个班（组）全排列，即由种排法， 所以共有种排法. 故选：C. 34．（多选）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ） A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 【答案】AB 【详解】若刚好每人分到3本书，则有种不同的分法，故A正确； 若每人至少分到2本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故B正确； 若刚好有1人只分到1本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故C不正确； 若每人至多分到4本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故D不正确． 故选：AB 考点07最短路线和台阶问题 35．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（    ） A．156 B．210 C．211 D．216 【答案】D 【详解】若三人站在一个台阶上，有种站法， 若三人站在两个台阶上，有种站法， 若三人站在三个台阶上，有种站法， 所以，一共有种站法. 故选：D. 36．从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步从一楼到二楼共有走法． A．12 B．8 C．70 D．66 【答案】C 【详解】解：设一步一级x步，一步两级y步，则 故走完楼梯的方法有 种． 故答案为C. 【点睛】8步中有多少一步上两级是解题关键．通过列方程找到突破口． 37．将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从处行走至处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有 A．360种 B．210种 C．60种 D．30种 【答案】C 【详解】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路； 所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次； 因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列起来,也就是2次向左和2次向前全排列， 因为2次向左是没有顺序的,所以还要除以， 同理2次向前是没有顺序的,再除以， 接下来,就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位置排三个元素,也就是， 则共有种； 本题选择C选项. 点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 38．如图是一个某城市街道图，其中虚线部分为不可通过的荷塘．李四家住A处，学校在B处，问李四从家里上学的最短路径有多少条不同的路线？ 【答案】 【详解】把A看作原点，根据题意，可得所有经过的路径都不行， 用总路径去掉不符合题意的路径数，则李四从家里上学的最短路径（条）． 39．沿图中的网格线从顶点到顶点，最短的路线有 条．    【答案】35 【详解】从到需要7步，其中横向4步，纵向3步， 故有（条）． 故答案为：35. 40．如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）    【答案】 【详解】由题意，从西南角A地到东北角B地的最短路线，共需要走9步， 其中4步向上，5步向右，共有种不同的走法， 又由中间的矩形中没有道路，所以在向上和向右的走法中，都需要连续走2步， 共有种不同的走法， 所以从西南角A地到东北角B地的最短路线共有种不同的走法. 故答案为：. 考点08相同元素的分配问题 41．三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 42．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（   ）种不同分配方案． A．9 B．36 C．84 D．120 【答案】C 【详解】我们可以把10个名额排成一排，会产生9个空隙， 要分成7组，需要插入6个隔板，不同的隔板位置对应不同的分配方案， 所以分配方案数就是从9个空隙中选6个的组合数，即. 故选：C 43．方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 【答案】B 【分析】 【详解】对于方程， 设，则， 当时，，因为为偶数，则也为偶数，所以可以为， 时，只有一种解，此时， 由隔板法可知，将8个单位长度分成3个整数部分，一共有种分法， 所以共有组解，同理可得其他的组数， 所以当时，可得解的组数为； 当时，，因为为偶数，则为奇数，所以可以为， 利用隔板法可得解的组数为， 当时，因为，所以此时，不合题意， 综上，方程的正整数解共有组． 故选：B. 44．已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有 种． 【答案】150 【详解】由，得，即， 故分配方案共有150种． 故答案为：150 45．若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 【答案】28 【详解】已知方程，且， 则，其中均为自然数. 将其转化为， 其中为正整数. 运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组， 第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则. 2个隔板的放置方法共有种， 故方程的正整数解的个数为28. 即方程的自然数解的个数为28. 故答案为：28. 考点09元素配对问题 46．有四对双胞胎共8人，从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 【答案】A 【详解】第一步：选一对双胞胎有种； 第二步：再选两对双胞胎，并从每对双胞胎中各选一人共有种； 利用分步计数乘法原理可知：从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为， 故答案：A. 47．有3对双胞胎孩子站成一排拍照，则每对双胞胎必须相邻的排法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．96种 【答案】C 【详解】将每对双胞胎孩子捆绑在一起，然后再排列，有种排法. 故选 ：C. 48．A家庭有一对夫妻和两个女儿，B家庭有一对夫妻和两个儿子，共8人，一起去游乐场游玩，坐在共有8个座位的一排座位上，A家庭的两个女儿要相邻，B家庭的两个儿子要相邻，并且为了安全起见，两位爸爸要坐在两端．那么这8人的排座方法种数为 ． 【答案】192种 【详解】根据题意，分两步进行分析： 第一步，两位爸爸要坐在两端，则两位爸爸的排法有种； 第二步，将A家庭的两个女儿看成一个整体，B家庭的两个儿子也看成一个整体，与两个母亲全排列，则有， 由分步原理可知共有种排法， 故答案为：192 49．现有5双鞋子，从中任取4只鞋子，则取出的4只鞋子中，恰好有1双的取法总数为 . 【答案】 【详解】先从5双鞋子中任取1双，有种， 再从剩下的4双中选取两双，并从这两双中每双鞋各取一个，共种， 故共有种. 故答案为：. 50．双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出只，试求各有多少种情况出现如下结果： (1)只鞋子没有成双的； (2)只鞋子恰成两双； (3)只鞋中有只成双，另只不成双． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：从双鞋子中选取双，有种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有种取法，根据分步计数原理，选取种数为(种)． 即只鞋子没有成双有种不同取法． （2））从双鞋子中选取双有种取法， 所以选取种数为 (种) 即只鞋子恰成两双有种不同取法． （3）先选取一双有种选法，再从双鞋中选取双有种选法，每双鞋只取一只各有种取法．根据分步计数原理，不同取法为 (种)． 考点10排列组合与古典概型 51．现有5瓶溶液标签缺失，已知其分别为，若从中任取2瓶混合，则会发生复分解反应的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从5瓶溶液中任取2瓶，共有， 溶液中酸性为，碱性为， 酸碱中和反应生成水属于复分解反应，所以发生复分解反应的组合有， 因此会发生复分解反应的概率为， 故选：C. 52．2025年正好是一个平方年（），纵观历史，从1250年到1900年，所有平方年对应的朝代如下表所示： 1296 1369 1444 1521 1600 1681 1764 1849 元朝 明朝 明朝 明朝 明朝 清朝 清朝 清朝 某位历史老师将从这8个年份中随机选取3个年份，对当年的历史进行深入研究，则他选取的年份至少有2个在明朝的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由表格可知，从1250年到1900年，平方年在明朝的个数为4. 从8个年份中选3个年份的总组合数为， 至少2个年份在明朝的组合数为. 所以他选取的年份至少有2个在明朝的概率为. 故选：A 53．如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网处的甲乙两人分别要到N,M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N处为止，则下列说法错误的是（   ） A．甲从M必须经过到达N处的方法有9种 B．甲乙两人相遇的概率为 C．甲乙两人在处相遇的概率为 D．甲从M到达N处的方法有20种 【答案】B 【详解】对于甲，经过到达N有1种，经过到达N有种， 经过到达N有种，经过到达N有1种，甲从M到达N处的方法共有20种， 同理对于乙，经过到达N分别有种． 对于A，甲从M必须经过到达N处的方法有9种，A正确； 对于B，甲乙两人相遇的概率，B错误； 对于C，甲乙两人在处相遇的概率，C正确； 对于D，甲从M到达N处的方法共有20种，D正确． 故选：B． 54．6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是 ． 【答案】/0.3 【详解】依题意，6名同学排成一排，记事件甲与乙不相邻，则， 记事件丙与丁相邻，则， 由条件概率公式可得. 所以在甲与乙不相邻的条件下，丙与丁相邻的概率为. 故答案为：. 55．平面上有一个点，等可能地向前、后、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，则经过4次移动后回到出发点的概率为 ． 【答案】 【详解】每次移动有4种方向，4次移动，总路径数为：， 设前、后单位数分别为，左、右单位数分别为， 因运动4次后仍回到出发点，所以前后步数相等且左右步数相等， 记，则，即. 若即则路径数有6种； 若即则路径数有24种； 若即则路径数有6种； 所以运动4次后仍回到出发点的概率为. 故答案为： 56．《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共个人物手办，小明从个盲盒中（个盲盒内的人物一定不同）任意抽取个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的概率是 . 【答案】 【详解】从个盲盒中任取个盲盒，共有种取法； 抽取的盲盒中，包含哪吒，不包含龙王的取法有种；包含哪吒和一个龙王的取法有种； 任意抽取个盲盒，包含哪吒和至多一位龙王的概率. 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $