高一数学上学期期末模拟卷（人教B版2019必修第一册+第二册，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B C C A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ABD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．6 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）令，即， 有，解得，故， 1分 的解为，， 当时，，， 则，无解； 3分 当或时，，，此时； 4分 当或时，，， 则，解得； 综上，； 6分 （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以当时，，， 则或，无解； 9分 当或时，，，此时不符合题意； 10分 当或时，， 则，解得；， 或，解得， 综上所述，a的取值范围为． 13分 16．【详解】（1）解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分. 2分 （2）解：由频率分布直方图，可得的频率为，的频率为， 所以用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生， 可得从抽取人，即为，从中抽取人，即为， 4分 从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有 ，共有12个基本事件； 6分 其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有：，共有3个， 所以概率为. 8分 （3）解：甲最终获胜的可能性大. 理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是， 可得，其中，解得， 10分 则甲的2分或3分的概率为：， 所以乙得分为2分或3分的概率为， 因为，所以甲最终获胜的可能性更大. 15分 17．【详解】（1）； 2分 ； 5分 （2）设，连接， ， 7分 ， 则，解得， 10分 设边上的高为，边上的高为， 则， 13分 所以. 15分 18．【详解】（1）偶函数，理由如下： 由题意得，则， 所以的定义域为，关于原点对称， 2分 由， 则， 所以是偶函数. 4分 （2）因为， 因为，又因为，则， ①当时，为增函数，此时，故的值域为， ②当时，为减函数，此时，故的值域为. 7分 综上所述，当时，故的值域为. 当时，的值域为. 8分 （3）由题意， 10分 设，因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 所以时，， 所以在区间上的最小值为，且对称轴为，开口向上， 12分 ①当，即时，此时在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值为，不符合题意，故舍去； 13分 ②当，即时，此时在区间上单调递减， 在上单调递增，则时，有最小值为，解得（负值舍去），符合题意； 15分 ③当，即时，此时在区间上单调递减， 所以当时，最小值为，解得舍去. 综上所述，的值为. 17分 19．【详解】（1）解：当时，，即， 3分 当时，令，可得，即，解得， 所以当时，；当时，， 所以， 6分 当时，，可得在单调递减； 当时，函数，可得在单调递减，在单调递增， 综上可得：函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. 8分 （2）解：（i）当时，令，可得； 当时，令，可得，解得或， 11分 因为关于的方程有三个不同的实根，则满足，解得， 所以的取值范围为. 13分 （ii）由（i）可知， 令，所以， 15分 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019必修第一册+必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题，6名同学的得分为，统计结果为：，已知这6名同学该解答题得分的第80%分位数和平均得分均为12分，则该解答题得分的极差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A． B．1 C． D． 7．已知函数，函数．若有四个不同的零点，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为函数的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设A，B为两个随机事件，以下命题正确的有（   ） A．若A，B是对立事件，则 B．若A，B是对立事件，则 C．若A，B是互斥事件，，，则 D．若A，B是互斥事件，，，则 10．已知，，定义直线的斜率为，对数函数与的图象如图所示，过原点的直线交的图象于不同的A，B两点，过点A，B分别作轴的平行线交于C，D两点，交轴于M，N两点，则（    ） A．三点共线 B．梯形的面积为梯形面积的2倍 C． D．当轴时，点坐标为 11．定义在上的函数满足下列条件：（1）;（2）当时，，则（      ） A． B．当时， C．当时， D．在单调递减 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设向量其中为坐标原点，  ，若三点共线，  则的最小值为 . 13．已知函数，，对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围是 . 14．甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知集合，集合，命题，命题． (1)当实数为何值时，； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．（15分）为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： (1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数； (2)用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； (3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 17．（15分）如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点G，记，． (1)用，表示，； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 18．（17分）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 19．（17分）定义已知函数 (1)求的单调区间． (2)已知是关于的方程的三个不同的实根． （i）求的取值范围； （ii）已知，求的最小值． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019必修第一册+必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式，解得或， 所以集合或， 解得，即， 所以集合， 所以. 故选：B 2．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，所以函数零点所在的一个区间是. 故选：C 3．在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：B 4．已知不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 则不等式变为在上恒成立， 设，对称轴， 当时，函数在上单调递增，最小值为或，所以； 当时，最小值在对称轴处取得，即，解得或，所以， 综上，a的取值范围为. 故选：C. 5．在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题，6名同学的得分为，统计结果为：，已知这6名同学该解答题得分的第80%分位数和平均得分均为12分，则该解答题得分的极差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为，所以，又， 所以，即， 因为，所以的值可能是13，14，15， 当时，， 因为，且，为整数，所以不可能； 当时，，因为， 且，为整数，所以不可能； 当时，， 因为，且，为整数， 所以当且仅当，时，， 所以所求极差为. 故选：C. 6．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：A. 7．已知函数，函数．若有四个不同的零点，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，由于函数， 所以画出的图象，如图所示，结合图象可知，即. 不妨设， 则，由得，又， 所以，则. 根据对勾函数在上单调递增，可知在上单调递增， 所以. 故选：D. 8．若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为函数的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由区间为函数的“稳定区间”， 得函数与函数在区间上同增或者同减， 当时，函数在上递减，在上递增，不合要求； 当时，，， 若两函数在上单调递增，则，解得； 若两函数在上单调递减，则，不等式组无解， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设A，B为两个随机事件，以下命题正确的有（   ） A．若A，B是对立事件，则 B．若A，B是对立事件，则 C．若A，B是互斥事件，，，则 D．若A，B是互斥事件，，，则 【答案】BD 【详解】对于A，若A，B是对立事件，则， 则，， 于是，故A错，B对； 对于C，若A，B是互斥事件，，，则，C错； 对于D，若A，B是互斥事件，，，则，D对. 故选：BD 10．已知，，定义直线的斜率为，对数函数与的图象如图所示，过原点的直线交的图象于不同的A，B两点，过点A，B分别作轴的平行线交于C，D两点，交轴于M，N两点，则（    ）    A．三点共线 B．梯形的面积为梯形面积的2倍 C． D．当轴时，点坐标为 【答案】ABD 【详解】设，，则，， ∵三点共线，∴，即，， 则，即，∴三点共线，A选项正确； ∵， ∴，同理， ，B选项正确； ，C选项错误； 当轴时，，则，即， 又∵，∴，∵，∴，则， ∴，，即，D选项正确. 故选：ABD. 11．定义在上的函数满足下列条件：（1）;（2）当时，，则（      ） A． B．当时， C．当时， D．在单调递减 【答案】AC 【详解】A：在中，令， 得，因此本选项说法正确； B：在中，令， 得， 即，因此本选项说法不正确； C：由上可知：， 在中，令， 得， 因为，所以， 又因为，所以， 即，所以本选项结论正确； D：设是上任意两个实数，且，则有， 由， 因为当时，， 所以由， 即， 设，则有，且， 所以在单调递增， 则有，设是上任意两个实数，且，则有， 所以有，而， 于是由不等式的性质可得， 因此在单调递增，所以本选项结论不正确， 故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设向量其中为坐标原点，  ，若三点共线，  则的最小值为 . 【答案】 【详解】由， 由三点共线，且， 所以， 则， 当且仅当时取等. 故答案为：6 13．已知函数，，对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 则时，； 在上单调递增，则， 因对任意的，总存在，使成立， 则， 则且，得， 则实数a的取值范围是. 故答案为： 14．甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中3名选手答对题的概率分别为.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为 . 【答案】 【详解】依题意甲队在一轮比赛中得分的概率为， 甲队在一轮比赛中得分的概率为， 乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 乙队在一轮比赛中得分的概率为： ， 设在这一轮中，满足且为事件， 则包含①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分， 所以， 即在这一轮中，满足且的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是分析得到①甲队得分，乙队得分，②甲队得分，乙队得分，③甲队得分，乙队得分，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知集合，集合，命题，命题． (1)当实数为何值时，； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）令，即， 有，解得，故， 1分 的解为，， 当时，，， 则，无解； 3分 当或时，，，此时； 4分 当或时，，， 则，解得； 综上，； 6分 （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以当时，，， 则或，无解； 9分 当或时，，，此时不符合题意； 10分 当或时，， 则，解得；， 或，解得， 综上所述，a的取值范围为． 13分 16．（15分）为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数； (2)用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； (3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 【详解】（1）解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分. 2分 （2）解：由频率分布直方图，可得的频率为，的频率为， 所以用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生， 可得从抽取人，即为，从中抽取人，即为， 4分 从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有 ，共有12个基本事件； 6分 其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有：，共有3个， 所以概率为. 8分 （3）解：甲最终获胜的可能性大. 理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是， 可得，其中，解得， 10分 则甲的2分或3分的概率为：， 所以乙得分为2分或3分的概率为， 因为，所以甲最终获胜的可能性更大. 15分 17．（15分）如图，在等腰梯形中，，，，，与交于点G，记，． (1)用，表示，； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【详解】（1）； 2分 ； 5分 （2）设，连接， ， 7分 ， 则，解得， 10分 设边上的高为，边上的高为， 则， 13分 所以. 15分 18．（17分）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 【详解】（1）偶函数，理由如下： 由题意得，则， 所以的定义域为，关于原点对称， 2分 由， 则， 所以是偶函数. 4分 （2）因为， 因为，又因为，则， ①当时，为增函数，此时，故的值域为， ②当时，为减函数，此时，故的值域为. 7分 综上所述，当时，故的值域为. 当时，的值域为. 8分 （3）由题意， 10分 设，因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 所以时，， 所以在区间上的最小值为，且对称轴为，开口向上， 12分 ①当，即时，此时在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值为，不符合题意，故舍去； 13分 ②当，即时，此时在区间上单调递减， 在上单调递增，则时，有最小值为，解得（负值舍去），符合题意； 15分 ③当，即时，此时在区间上单调递减， 所以当时，最小值为，解得舍去. 综上所述，的值为. 17分 19．（17分）定义已知函数 (1)求的单调区间． (2)已知是关于的方程的三个不同的实根． （i）求的取值范围； （ii）已知，求的最小值． 【详解】（1）解：当时，，即， 3分 当时，令，可得，即，解得， 所以当时，；当时，， 所以， 6分 当时，，可得在单调递减； 当时，函数，可得在单调递减，在单调递增， 综上可得：函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. 8分 （2）解：（i）当时，令，可得； 当时，令，可得，解得或， 11分 因为关于的方程有三个不同的实根，则满足，解得， 所以的取值范围为. 13分 （ii）由（i）可知， 令，所以， 15分 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 17分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $