基本不等式导学案-2026届高三数学一轮复习

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第四节 基本不等式(1)

1. 基本不等式≤(必修一教材27页)

(1)基本不等式成立的条件：__________．

(2)等号成立的条件：当且仅当______时等号成立．

2. 算术平均数与几何平均数(必修一教材27页)

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为_____，几何平均数为_____，基本不等式可叙述为:____________________________________________________.

注意点：算术平均数与几何平均数的前提条件是两个正数.

3. 基本不等式与最值(必修一教材29页)

(1)已知x，y都是正数，若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值_____(简记：和定积最大)．

(2)已知x，y都是正数，若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值______(简记：积定和最小)．

注意点： 成立的条件是a∈R，b∈R，而 成立的条件是a>0，b>0.

拓展点：倒数性质的几个常用结论

(1)  ＋≥2(a，b同号)．             (2)  ab≤(a，b∈R)．

(3) ≤(a，b∈R)．        (4)  2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)．

(5) ≥≥ab(a，b∈R)．

【基础自测】

1. 下列命题中正确的是(　　)

A．若a，b∈R，则＋≥2＝2        B．若x>0，则x＋>2

C．若x<0，则x＋≥－2＝－4          D．若x∈R，则2x＋2－x≥2＝2

2. 若函数f (x)＝x＋(x>3)在x＝a处取最小值，则a＝______．

【考向1 直接应用基本不等式求最值】

例1 函数 的最大值是(　　)

A．7          B．－7        C．9            D．－9

例2 已知a>0，b>0，a＋2b＝2，则3a＋9b的最小值为(　　)

A.          B．6          C．6         D．12

例3 若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)

A．2        B．2        C．3         D．3