精品解析：江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年高一上学期数学周练19

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高一数学周练19 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式和对数的运算性质分别求出集合A、B，结合交集的定义和运算即可求解. 【详解】由，解得， 所以； 由，解得， 所以， 所以. 故选：B 2. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别利用正弦函数，指数函数和对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由，所以， 又由，因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 3. 已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，得到为第二象限角，得到，结合，即可求解. 【详解】由点位于第三象限，可得且，可得为第二象限角， 则，可得 当为奇数时，可得为第三象限角，可得，不满足题意； 当为偶数时，可得为第一象限角，满足， 综上可得为第一象限角. 故选：A. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用诱导公式即可求解. 【详解】， 故选：A 5. 已知某放射性物质的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的某种物质的质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ） （参考数据：，） A. 690年 B. 700年 C. 710年 D. 720年 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，即，结合对数的运算公式，得到，代入参考数值，即可求解. 【详解】由题意知，某放射性物质的质量随时间的衰变规律满足， 要使得某放射性物质的质量是原来的倍，可得，即， 两边取自然对数，可得，可得， 所以年. 故选：B. 6. 已知函数是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是奇函数， 所以， 故选：B 7. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可； 【详解】由题意可得，解得，又，所以，所以， ，所以， 所以， 所以，即， 因为，，所以， 所以，所以. 故选：A. 8. 已知函数，满足为正实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知构造函数，探讨函数的单调性、奇偶性，进而求得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】令，由，得定义域为， ，即函数是奇函数， 而， 当时，函数是减函数，又是增函数，于是函数在上单调递减， 由奇函数的性质知，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，由， 得，即， 所以，则，即，又， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 故选：B. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知，则下列等式正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知得的值，由此即可判断AB；求出的值即可判断C；再结合已知求出和的值，求出的值，由此即可判断D 【详解】由已知可得，则， 因为，， 所以，，故AB正确； 所以 则①，故C正确； 又②，联立①②解得，则，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知，则（   ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件以及指数函数的单调性判断选项A即可；选项B利用幂函数的性质判断即可；利用对数函数的单调性判断C、D选项即可. 【详解】因为，所以函数在上单调递减， 又，所以，故A选项不正确， 因为幂函数在上单调递增， 且，所以，故B选项正确； 因为，所以函数在上单调递减， 且，所以，故C选项正确； 因为，所以函数在上单调递减， 且，所以，即，故D选项正确； 故选：BCD. 11. 已知，，则（ ） A. 的最大值是1 B. 的最小值是2 C. 的最小值是2 D. 的最小值是4 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，得到，结合二次函数的性质，可判定A正确；由，结合，可判定B正确；利用基本不等式，可判定C正确，D不正确； 【详解】对于A，由，可得，则， 所以，即的最大值是1，所以A正确； 对于B，由， 由A项知，所以，所以的最小值是，所以B正确； 对于C，由， 当且仅当时，即时，取等号，所以的最小值是，所以C正确； 对于D，由， 当且仅当时，即时，取等号，所以的最小值是，所以D不正确. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数商的关系结合弦化切即可求解. 【详解】由， 可得，解得， 所以， 故答案为： 13. 已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为___________． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，根据的值分类讨论即可. 【详解】由是幂函数，得，解得或, 当时，，此时函数是奇函数，在上单调递减，定义域为，此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，符合题意； 当时，，此时函数是偶函数，在上单调递增，定义域为R，此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故不符合题意； 综上所述，的取值为， 故答案为： 14. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________；的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据不等式的解集和韦达定理确定的关系式，进而可求得不等式的解集；②利用的关系式化简原式，根据基本不等式的性质求得最小值. 【详解】因为关于的不等式的解集为，所以且和2是方程的两个根， 则有，所以. 所以不等式化简得， 解得或，所以不等式的解集为. . 因为，所以，根据基本不等式的性质可得， 当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值为. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设函数，为第四象限角． （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数性质及所在象限去除根式并将正切化为正余弦，化简即可； （2）由（1）化简，令，求出的取值范围，进而化成一元二次方程解出即可. 【小问1详解】 由， 因为为第四象限角，所以，所以. 【小问2详解】 ， 令，所以，因为为第四象限角，所以， 所以，所以， 所以，所以或（舍） 所以. 16. 已知正实数x，y满足. （1）比较x，y，1三个数的大小； （2）求的值； （3）证明：. 【答案】（1） （2） 15 （3） 证明：由（2）知，即， 则. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性确定的范围，进而可判断的大小. （2）根据指数与对数的互换求出，进而得到，从而求得结果. （3）根据（2）中的结果，结合基本不等式的性质即可证明结论. 【小问1详解】 由，且，知，即. 由，且，知，即. 综上可知. 【小问2详解】 由，可得，， 则，， 因此，. 【小问3详解】 略 17. 已知函数，其中. （1）化简； （2）若，求 的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）且； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）运用诱导公式规则，分别化简分子、分母中每个三角函数（如，等），再对化简后的分式进行约分，最终转化为基本三角函数（正切）的形式化简求值； （2）先利用同角三角函数的平方关系（），将所求式子中的“”“”转化为含的表达式，再将“弦函数（，）表达式”转化为“切函数（）表达式”，化简求值即可； （3）先将，代入已知等式，结合诱导公式（）化简等式，再结合同角三角函数的平方关系，建立关于的方程，解方程得的值（即）即可. 【小问1详解】 由且， 所以且. 【小问2详解】 由题设及（1）知， 且 因为，所以， 所以 ； 【小问3详解】 由题知，得 所以代入原式得：， 即， 又， 整理得， 所以， 可得， 所以， 因为，所以， 等式两边同时除以得： 所以， 即 . 18. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【小问1详解】 若，则，令，得， 故的定义域为． 【小问2详解】 令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. 【小问3详解】 因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 19. 已知定义在上的函数，且有，. （1）求函数的解析式并判断其奇偶性； （2）解不等式； （3）设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1） 因为，所以，解得，所以； 为奇函数，证明如下： 定义域为且关于原点对称，因为， 所以为上的奇函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入求得的值，则解析式可知，根据的关系结合定义域证明出奇偶性； （2）根据奇偶性对不等式变形，再根据的单调性解不等式，由此可求结果； （3）先将问题转化为“”，然后根据单调性分析的最值，采用换元法分析的最值，由此可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减，所以在上单调递减； 因为，所以，所以， 所以，所以或，解得或， 所以不等式解集为. 【小问3详解】 因为，，使得，所以； 因为，，所以， 由指数函数性质可知，无最大值，但可以无限接近； 又因为，令， 所以，对称轴为且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时有，所以， 若，则， 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高一数学周练19 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某放射性物质的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的某种物质的质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ） （参考数据：，） A. 690年 B. 700年 C. 710年 D. 720年 6. 已知函数是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，满足为正实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知，则下列等式正确的是（  ） A. B. C. D. 10. 已知，则（   ） A. B. C. D. 11. 已知，，则（ ） A. 的最大值是1 B. 的最小值是2 C. 的最小值是2 D. 的最小值是4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知，则___________. 13. 已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为___________． 14. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________；的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设函数，为第四象限角． （1）化简； （2）若，求的值． 16. 已知正实数x，y满足. （1）比较x，y，1三个数的大小； （2）求的值； （3）证明：. 17. 已知函数，其中. （1）化简； （2）若，求 的值； （3）若，求的值. 18. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19. 已知定义在上的函数，且有，. （1）求函数的解析式并判断其奇偶性； （2）解不等式； （3）设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $