2.6 一元二次方程的应用 专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

一元二次方程的应用（传播问题、增长率问题、几何图形问题）专项训练 一元二次方程的应用（传播问题、增长率问题、几何图形问题）专项训练 考点目录 一元二次方程的应用：传播问题 一元二次方程的应用：增长率问题 一元二次方程的应用：几何图形问题 考点一 一元二次方程的应用：传播问题 例1．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 初始患者为1人， 每轮传染中平均一人传染人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为． 故选：B． 例2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 开始有1人患了流感， 第一轮后患病人数为， 第二轮新增患病人数为， ∴ 两轮后总患病人数为， ∴， 故满足的方程为， 故选：A． 例3．（25-26九年级上·四川广安·期中）毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条祝福短信，这个班级的学生总人数是 名． 【答案】30 【详解】设班级学生总人数为x名，则每名同学需发送条祝福短信． 根据题意，得．整理得． 解方程，得． 由于x表示人数，不符合题意，舍去． 则这个班级的学生总人数是名． 故答案为：30． 例4．（25-26九年级上·云南昭通·月考）秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后，共有144人患支原体肺炎，则每轮传染中平均一人传染 人． 【答案】11 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人． 经过第一轮传染后，患病人数为； 经过第二轮传染后，患病人数为． 根据题意，得， 解得，（舍去）， 故每轮传染中平均一人传染11人． 故答案为：11． 例5．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染病．在新冠初期，人们因为不了解这种病毒，所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染，总感染人数将会达到144人，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人？ 【答案】11 设每一轮传染中平均一个人传染x人，根据两轮传染后总感染人数为144，建立方程，求解得到． 【详解】解：设每一轮传染后平均一个人传染x人． 最初有1人感染，第一轮传染后感染总人数为，第二轮传染后感染总人数为． 由题意，， 即， 解得：（舍去）， 所以． 答：每一轮传染后平均一个人会传染了11个人． 例6．（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 变式1．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：设每个支干长出的小分支个数为． ∵ 主干1个，支干个，小分支个， ∴， 即， 解得（舍去）， ∴ 小分支个数为7， 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均每一个患流感的人都会再传染给个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设每轮传染中平均每一个患流感的人都会再传染给个人， 由初始人数为人，则第一轮传染后，新增人，此时共有人患流感；第二轮传染时，这人每人再传染人，故第二轮新增人， ∴列方程为， 故选：． 变式3．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ． 【答案】5 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 则这种植物每个支干长出的小分支个数是． 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·江西上饶·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染人，则可列方程是 ． 【答案】 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人． 第一轮传染后，患流感的人数为：． 第二轮传染时，第一轮后的每个患者传染x人，新增患病人数为：． 第二轮传染后，总患病人数为：． 因为经过两轮传染后总人数共有225人患了流感， 所以列方程：，整理得：． 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·江苏常州·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】6 【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 变式6．（25-26九年级上·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 考点二 一元二次方程的应用：增长率问题 例1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 例2．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）近年来，由于新能源汽车的兴起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年6月份售价为20万元，8月份售价为18万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 例3．（25-26九年级上·河南周口·月考）某中学大力发展“红色底蕴，绿色发展”的校园文化建设，教育教学质量逐年提高，赢得了社会各界的关注和好评．近几年来，每年七年级新生报名人数均创新高．已知该校2021年七年级招生900人，2023年达到1089人，假设每年招生人数的平均增长率相同，则平均每年的增长率是 ． 【答案】 【详解】解：设平均每年的增长率为x． 根据题意，得． 解得或（舍去） ∴平均每年的增长率为， 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为 ． 【答案】 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·河南郑州·月考）市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． (1)求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； (2)此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50元 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月均增长率为x， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得 ， 解得，． 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去． 故， 答：该品牌头盔的销售价应定为50元． 例6．（25-26九年级上·广东梅州·期中）据统计，年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强，年“五一”假期接待游客量达约万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为元时可全部住满；每间客房每天定价每增加元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用． (1)求年“五一”到年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率； (2)为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为元？ 【答案】(1) (2)元 【详解】（1）解：设年平均增长率为，依题意有，       解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）设房价定为元时，店家才能实现每天利润元，依题意有： ，          解得，，           住宿单价需尽可能低， ， ， 答：房价应该定为元时，民宿当天的利润为元． 变式1．（25-26九年级上·福建宁德·月考）习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆1250人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1800人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·云南怒江·期中）今年的3月3日是第12个“世界野生动植物日”，今年我国的主题为“加大物种保护投入力度，共建地球生命共同体”．这些年对野生动物的关注和保护，使得云南某地的野生绿孔雀的数量增多，2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只，设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x， ∴2024年初数量为， ∴2025年初数量为． 又∵2025年初统计为180只， ∴． 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）某小区为改善环境，决定加大绿化投入．三月份绿化投入10万元，五月份绿化投入45万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程是 ． 【答案】 【详解】解：设平均每月绿化投入的增长率为，则四月份投入金额为万元，五月份投入金额为万元， 由题意，； 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·江西赣州·月考）为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，求这种药品平均每次降价的百分率 ． 【答案】 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意，得， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 故药品每次降价的百分率是， 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·江西宜春·月考）某学校要新建一块篮球场地（如图所示）．要求：①篮球场地的长和宽分别为和； ②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场地及篮球场地外部的安全区域的总面积为． (1)求安全区域的宽度． (2)某公司希望用50万元承包这项工程，校方认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】(1)2米 (2)20% 【详解】（1）解：设安全区域的宽度为米，由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：安全区域的宽度为2米； （2）设每次降价的百分率为，由题意得， ， 解得（舍去），， 答：每次降价的百分率为． 变式6．（25-26九年级上·广东深圳·月考）某电脑销售商试销某一品牌电脑（出产价为3000元）以元/台销售时，平均每月可销售台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来月份平均销售量的基础上，经月份的市场调查，月份调整价格后，月销售额达到元．已知电脑价格每台下降元，月销售量将上升台． (1)求月份到月份销售额的月平均增长率； (2)求月份时该电脑的销售价格． 【答案】(1)月份到月份销售额的月平均增长率为； (2)月份时该电脑的销售价格为元． 【详解】（1）解：设月份到月份销售额的月平均增长率为， 由题意得：， ， ， ， ， ， ，（舍）. 答：月份到月份销售额的月平均增长率为． （2）设月份时该电脑的销售价格在每个元销售的基础上下降元， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． 当时，月份该电脑的销售价格为元（舍去）；当时，月份该电脑的销售价格为元． 答：月份时该电脑的销售价格为元． 考点三 一元二次方程的应用：几何图形问题 例1．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建三条同样宽的小路，两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路，余下部分作为草地，若草地面积为，则小路的宽度为（    ） A．1m B．2m C．3m D．4m 【答案】B 【详解】解：设小路的宽度为x米， 小路的面积为： 由题意得： 或 解得：或（舍去） ∴小路的宽度为2m. 故选：B. 例2．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得：白色长方形的长为：， 三个白色长方形的宽之和为：， 三个白色长方形的面积为：， ∴， 故选：A． 例3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，为美化环境，某小区计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为． (1)用含的式子表示花圃的面积S． (2)若通道面积与花圃面积之比等于时，求此时通道的宽． 【答案】(1) (2)1米 【详解】（1）解：， ∴花圃的面积S为． （2）解：∵通道面积与花圃的面积之比为， ∴花圃的面积与整块长方形空地的面积之比为， ∴， 解得：，， 当时，舍， ∴， 答：通道面积与花圃的面积之比为，通道的宽为1米． 例4．（25-26九年级上·广东深圳·月考）（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． ①设的长为，用含的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡． 【答案】（1）①；②的长为8米或10米；（2）一只鸡每天平均传染7只鸡 【详解】解：（1）①∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米， ∴边长为：； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：饲养室总占地面积能为240平方米，此时的长为8米或10米； （2）设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染，依题意得： ， 整理得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡． 例5．（25-26九年级上·河南南阳·月考）某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： (1)用含x的代数式表示储物区的宽度； (2)若储物区总占地面积为400平方米，求x． 【答案】(1) (2)x的值为20 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故x的值为20． 变式1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图是小俊打印的一张“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵”的照片，整张照片的长为，宽为，四周是宽度相同的空白边，图案部分的面积是，若设空白边的宽度为，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设空白边的宽度为，根据题意得：． 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·广东潮州·月考）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，如果设长为x步，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设长为x步，则宽为步， 由题意得，， 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是米的道路．已知铺花砖的面积为平方米．求道路的宽是多少米？ 【答案】米 【详解】解：由题意得：， 解得：（舍）， ∴道路的宽是米． 变式4．（25-26九年级上·四川成都·期中）在某学校的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门． (1)设为x米，请用含x的式子表示为________． (2)若养鸡场的面积是160平方米，求养鸡场的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)8米 【详解】（1）解：由题意得，米； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，，即米， 答：养鸡场的宽为8米． 变式5．（25-26九年级上·河南商丘·月考）泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效．如图1，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，开垦一块面积为600平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多10米． (1)求采茶基地的长和宽； (2)该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与采茶基地大小、形状均相同，计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图2所示的小路（空白部分）供游客观光，且四周小路的宽度相等，中间小路的宽度是四周小路宽度的2倍，若鲜花的种植面积为468平方米，求四周小路的宽度． 【答案】(1)采茶基地的长为30米，宽为20米 (2)四周小路的宽度为1米 【详解】（1）解：设采茶基地的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得（不合题意，舍去），， 则， 答：采茶基地的长为30米，宽为20米． （2）解：由题意可知，观光园区的长为30米，宽为20米， 设四周小路的宽度为米，则中间小路的宽度为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意； 答：四周小路的宽度为1米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程的应用（传播问题、增长率问题、几何图形问题）专项训练 一元二次方程的应用（传播问题、增长率问题、几何图形问题）专项训练 考点目录 一元二次方程的应用：传播问题 一元二次方程的应用：增长率问题 一元二次方程的应用：几何图形问题 考点一 一元二次方程的应用：传播问题 例1．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·四川广安·期中）毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条祝福短信，这个班级的学生总人数是 名． 例4．（25-26九年级上·云南昭通·月考）秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后，共有144人患支原体肺炎，则每轮传染中平均一人传染 人． 例5．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染病．在新冠初期，人们因为不了解这种病毒，所以也没有及时进行隔离，若有1人感染后经过两轮的传染，总感染人数将会达到144人，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人？ 例6．（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 变式1．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均每一个患流感的人都会再传染给个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·湖北孝感·月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ． 变式4．（25-26九年级上·江西上饶·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染人，则可列方程是 ． 变式5．（25-26九年级上·江苏常州·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 变式6．（25-26九年级上·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 考点二 一元二次方程的应用：增长率问题 例1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）近年来，由于新能源汽车的兴起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年6月份售价为20万元，8月份售价为18万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·河南周口·月考）某中学大力发展“红色底蕴，绿色发展”的校园文化建设，教育教学质量逐年提高，赢得了社会各界的关注和好评．近几年来，每年七年级新生报名人数均创新高．已知该校2021年七年级招生900人，2023年达到1089人，假设每年招生人数的平均增长率相同，则平均每年的增长率是 ． 例4．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为 ． 例5．（25-26九年级上·河南郑州·月考）市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． (1)求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； (2)此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 例6．（25-26九年级上·广东梅州·期中）据统计，年“五一”假期梅州客天下景区接待游客约万人次．依托“潮动五一非遗嘉年华”“仙侠夜演出”等特色文旅活动，景区吸引力持续增强，年“五一”假期接待游客量达约万人次．景区周边某客家围龙屋改造的精品民宿有间客房供游客入住，主打客家文化体验，当每间客房每天定价为元时可全部住满；每间客房每天定价每增加元，就会有一间客房空闲．若客房有游客居住，民宿需对每间入住客房每天支出元的清洁、客家娘酒欢迎礼等配套费用． (1)求年“五一”到年“五一”假期梅州客天下景区累计接待游客的年平均增长率； (2)为让更多游客感受围龙屋魅力，尽可能降低住宿单价，房价应该定为多少元时，民宿当天的利润为元？ 变式1．（25-26九年级上·福建宁德·月考）习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆1250人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1800人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·云南怒江·期中）今年的3月3日是第12个“世界野生动植物日”，今年我国的主题为“加大物种保护投入力度，共建地球生命共同体”．这些年对野生动物的关注和保护，使得云南某地的野生绿孔雀的数量增多，2023年年初统计该地野生绿孔雀大约有120只，2025年年初统计该地野生绿孔雀大约有180只，设这两年该地野生绿孔雀数量的年平均增长率大约为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）某小区为改善环境，决定加大绿化投入．三月份绿化投入10万元，五月份绿化投入45万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程是 ． 变式4．（25-26九年级上·江西赣州·月考）为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，求这种药品平均每次降价的百分率 ． 变式5．（25-26九年级上·江西宜春·月考）某学校要新建一块篮球场地（如图所示）．要求：①篮球场地的长和宽分别为和； ②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场地及篮球场地外部的安全区域的总面积为． (1)求安全区域的宽度． (2)某公司希望用50万元承包这项工程，校方认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 变式6．（25-26九年级上·广东深圳·月考）某电脑销售商试销某一品牌电脑（出产价为3000元）以元/台销售时，平均每月可销售台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来月份平均销售量的基础上，经月份的市场调查，月份调整价格后，月销售额达到元．已知电脑价格每台下降元，月销售量将上升台． (1)求月份到月份销售额的月平均增长率； (2)求月份时该电脑的销售价格． 考点三 一元二次方程的应用：几何图形问题 例1．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建三条同样宽的小路，两条竖直方向的小路与一条水平方向的小路，余下部分作为草地，若草地面积为，则小路的宽度为（    ） A．1m B．2m C．3m D．4m 例2．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，为美化环境，某小区计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为． (1)用含的式子表示花圃的面积S． (2)若通道面积与花圃面积之比等于时，求此时通道的宽． 例4．（25-26九年级上·广东深圳·月考）（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． ①设的长为，用含的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡． 例5．（25-26九年级上·河南南阳·月考）某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： (1)用含x的代数式表示储物区的宽度； (2)若储物区总占地面积为400平方米，求x． 变式1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图是小俊打印的一张“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵”的照片，整张照片的长为，宽为，四周是宽度相同的空白边，图案部分的面积是，若设空白边的宽度为，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·广东潮州·月考）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，如果设长为x步，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是米的道路．已知铺花砖的面积为平方米．求道路的宽是多少米？ 变式4．（25-26九年级上·四川成都·期中）在某学校的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门． (1)设为x米，请用含x的式子表示为________． (2)若养鸡场的面积是160平方米，求养鸡场的宽为多少米？ 变式5．（25-26九年级上·河南商丘·月考）泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效．如图1，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，开垦一块面积为600平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多10米． (1)求采茶基地的长和宽； (2)该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与采茶基地大小、形状均相同，计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图2所示的小路（空白部分）供游客观光，且四周小路的宽度相等，中间小路的宽度是四周小路宽度的2倍，若鲜花的种植面积为468平方米，求四周小路的宽度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $