三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式 专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式专项训练 三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式专项训练 考点目录 倍角公式 辅助角公式 半角公式 考点一 倍角公式 sina tan 2a 例1.(25-26高一上河北邢台·月考)若sina≠0， 5 则cosa=() 2 -cosa A.√2 B.2 D.-2 2 4 【答案】D sina tan 2a = 【详解】由 得sin2a √2sina, 即2 sina cosa √2sina 2 -cosa cos 2a 1-2 cosa 2c0s2a-1 1-√2 cosa 因此 2sina cosa √2sina ,而sina≠0， (N2cosa-1)(√2cosa+1)1-V√2cosa 则-2cosa=V2(V5c0sa+),所以cosa=- 4 故选：D 例2.(25-26高三上湖南长沙月考)若tana+刀 cosa+） 6 = 则sin2a- π =() 6 3-sina+n】 6 6 A. 5 9 B. C.、5 D.- 9 9 【答案】D cosa+π sina+π 6 cosa+π 详解】因为ana+66 所以 6 3-sina+ 6 6 3-sima+】 6 所以sin ama*引引o如+引-2mo+8}1号 故选：D 例3.(2526高-上货州避义月考)已cmQ-到引则n2a=《) 三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式专项训练 8 B. c. D. 【答案】C 【详解】解： cos a- ）=o+nasn-5(s血a+eosa)=月 4 42 3 即sinu+cosa= 5 12 等式两边平方得(sina+cosa)2 3 2 继续展开sin2a+2 sina cosa+cos2a= 9 化简得1+sin2a=2 9 2 7 所以sin2a=二-1=- 9 9 故选：C 例4.(25-26高一上广东广州月考多选)下列各式结果为1的有() A.21-2sin215 B. 3-tan15 1+√3tanl5o C.2sinl5°cosl5o D.cos40°(1+V3tanl0° 【答案】BD 【详解】A:21-2sin215)=2cos30°=V5,不符， B: V5-tanl5°_tan60°-tanl59 1+V3tanl5°1+tan60°tanl5o =tan(60°-15)=tan45°=1，符合， C:2sin15cos15=sin30= 2’不符， D:cos40(1+3 tan10)=cos40 cos10°+V5sin10° c0s10° =c0s400.2si(30°+109）_2sin40c0s40°-sim80°-cos10 cos10° cos10° cos10°cos10° =1,符合 故选：BD 例5.(2526高一上云南月考多选)下列各式的值等于5的是() 2 三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式专项训练 A.2sin67.5°cos67.5 B.sin68cos 23-cos68'sin 23" C.2sin222.5°-1 D. 2tan22.5 1-tan222.5 【答案】AB 【详解】对于A:2sin67.5c0s675=6in135=sn90°+45)=cos45-5,故A符合题意， 对于B:sin68cos23-cos68sin23°=sin(68-23）=sin45°= √ 2，故B符合题意； 于C:2sin222.5-1=-1-2sim22.5=-c0s2x22.5）=-V2, 故C不合题意： 对于D: 1-am25=iam(2x2.5)=tam45°=1，故D不合题意 2tan22.5° 故选：AB 例6.Q25江苏灰裁酸》卫如r(后》-君)-手则2r+》 【答】 【详1因为（任，则引且m-君- π 可得x-F-sin-石5'a-6ox-二 3 2tanx-刀 8 6 3 24 周a26Lr3 16 6 故答案为： > 24 例7.(25-26高三上山东潍坊月考)己知simx-cosx= ,e0,, 2x- 4 【答案】 10 4 【详解】将sinr-cosx= 5两边平方，得1-2 sincos=写 1,2sinxcosx=, 5 即sim2x=5 4 由sinx,cosx同号，xe(0,π可得x为锐角， 又r>ew,4xe任} 所以2x∈ 三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式专项训练 故cos2x=-V-sin22x=-3 5 所以cos 2x- π 4 =cos2 c+sim2sim=3×2+4xV2V2 4(5 25210 故答案为： ② 10 例8.(25-26高一上辽宁营口月考)已知an0=,os0 4-sing' 则cos20的值是」 【答案】0s75 【详制】由题盒，得，0g则6n0-血0-os0=0,厚4sn0-m0as0)-0.:4n6-1d. 解得sin8= 4 ∴.cos20=1-2sin20=1-2× 127 4 8 故答案为：8 例9.(2425高一下-陕西榆林月考)(1)已知c0s0=-3, <0<3m 02 m -cos- 的值： （2》已知a,B都是锐角，sina=手coa+叭=各求n争的值： 5 1 (3)已知a,B都是锐角，tano 7'sin6= ,求tan(a+2B)的值 10 【路米10号2答8)1 【详解】(1)由cos0=-3, 元<0<证可得n0=--os9-4. 2 故sin 2c0s )2 2 1-2n2w号1-sn9=1+号号 +551 3 ,P都是锐角，放Q+B∈0，元，sina+B)三-cos(a+B三片，cosa=1 所np=m[a+-a]=nla+p1owa-owa+na-是号号 8)由于B是说：0·放8-3。m0-写 1 10 2 2tan B 因此tan2B= 33 1-tan2B84' 9 三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式专项训练 13 故tan(a+2β)= tana +tan 2B 74 =1 1-tana tan2β 1-x3 74 例10.(2425商二下湖南长沙-期中)己知sina=7ae0,受 (1)求cosa的值； (2)求sin2a+cos2aw的值. 【答案】0 2 23+1 2 【弹】1由ue0孕，行cou>0,又na=分所以cosa=-口--分=9 2 (2)由(1)知cosa= 1 sina=- 2 2 153 则sin2a=2 sina cosa=2×二× 222 os2a=1-2ma=1-2x分r-分 所以sin2a+cos2a= 5,15+1 222 (o)n .sin(2a+) -tand= 1 变式1.(2025·湖南永州模拟预测)已知a 5'tana anB,则 sin2a-β)=() A 2 B C. D. 5 5 5 【答案】B 【详解】由题意得cosa-sina-cosB ，即 2cos2a_cosβ sina G0 sa sing，即cosa-sina-cosi sinacosa sinB sin2 sinB’ 得sin2 acosB=2cos2 asinB,又因为sin(2a+B)=sin2 acosB+cos2sinB=5' 2 1 所以sin2 acosB= os2asin- 因此sin(2a-B)=sin2 acosB--cos2 asinB=} 故选：B 3sine-cos0 变式2.(25-26高三上.甘肃月考)若tan0=2,则tan20+ =() 2sin0+cos0 B.1 7 D. > 3 3 3 【答案】B 【详解】tan20+ 3sine-cose 2tan 3tan-1 2sin0+cos0 1-tan20'2tan0+1 三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式专项训练 2×2,3×2-11 = 1-222×2+13 故选：B 变式3.(2025·吉林长春·模拟预测)己知tana=√2，则cos2a-2sin'a=( A.5 1 5 B. 3 3 C. 3 D:3 【答案】A 【详解】因为tana sina=√2，所以cosa≠0，又sin2a+cos2a=1, cosa cos2a-2sin'a=cos'a-sin'a-2sin'a=cos'a-3sin'a sin a +cos a cos2a-3sin'a 二1 cos'a 1-3tan2a 1-3x25 sin a+cos a tan2a+1 (2+1 3 cosa 故选：A 变式4.(25-26高三上贵州月考多选)已知a∈(0，)，sing= 04= 5,则() A.cos B.cosa=3 25 C.a是锐角 D. sim+）-V2 2410 【答案】AB 4(04),im 【详解】对于A:因为%∈0， ,所以cos -sin2a=2v ,故A正确； 45 4 3 对于卫.o32os1-=25=5故B正确， 4 5 对于C:c0su=2cos2g-1=2x 2 2-1=25 9 7 25 <0,所以a为钝角，故C错误. 对于D:因为simg-2 sinc=2x5x25_4, 4 4 555 所以sin aπ）5， a√2 2+42 = sin- 0s9-V2(43-7V 22 -cos- 22(55-10 ,故D错误。 故选：AB. 变式5.(25-26高一上·湖北黄冈·月考·多选)下列等式成立的有() A.sin 40(tan10-v3)=-1 B.tan20°+tan40°+√3tan20°tan40°=√5 C. 2cos10°-sin20°=-5 c0s20° n.s通a+ore+月+s0aoa+2- 6 6 【答案】ABD 6 三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式专项训练 【详解】对A:sin40tan10-√5=sin40°(tan10°-tan60)=sin40° sinl0°sin60° c0s10°cos60° =sin40° sin10°.cos60°-cos10°.sin60° =sin40.sin10°-60°) =sin40° -sin50° cos10°.cos60° cos10°.cos60° cos10°.c0s60° sin40°cos40° 2 sin80 cos10° = cos10°.cos60° 2c0s100 cos10° =-1,故A正确； 对B:tan20°+tan40°+√5tan20°，tan40° =tan(20°+40)(1-tan20°.tan40）+√3tan20°.tan40° =tan60°.(1-tan20°.tan40）+√3tan20°.tan40° =√3(1-tan20°.tan40)+√3tan20°.tan40°=√5，故B正确； 对C: 2cos10°-sin20°2cos30°-20）-sin20°2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° cos20° c0s20° c0s20° 5c0s20°+sim20°-sin20°=5，故C错误； c0s20° 1-cos2a 2 1-cos2a cos 2a +cos 故D正确。 2 2 故选：ABD 变式6.(25-26高二上·河南驻马店月考)己知第二象限角u满足sin0+cos=- 1 ， 则tan2a= 【答案】-3号 7 【详解】由a为第二象限角，得sina>0,cosa<0, 3 1 sina = sina cosa =- 5,得 5 由 sin2a +cos2a =1 cosa4,则ana=sima=3 cosa 4 5 2tana 2x(3 24 所以tan2a= 4 1-tan2a 3、7 1-(-) 7 故答案为： 24 > 三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式专项训练 变式7.(25-26高二上河南许昌·月考)已知a∈ ，且3cos+ama,则eos2a= 2 【答案】号 【详解】由3cos 2 =tana得-3sina=sina cosa 所以cosa=一3' 1 c0s2a=2c0s2a-1=2× -1= Γ9 、7 故答案为：9 变式8.(25-26高一上江苏无锡月考)已知sin }则+ 【答】-5 【详解】令B=u-音即smB 4,a=B+ 12 m2a+g-om(8+8}]-m2p+列=-ow29=--2sm-(-26-g 7 故答案为一8 变式9.(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考)对下列各式子化简并求值. sin a+- (1) 4 -1 2cos+2snco 2 2 (2)sin501+v5tan10'） 【爷案】)9 (2)1 sin at 4 4 sina+） 4 2 【详解】(1)原式= cosa +sina √2 √ 2 sina+ 2 cosa sin a+ 4 (2)原式=sin50 3sin10 =sin 50x cos10+3sin 10 25cos10+5、 2 sin10') 1+ =sin50°x2 cos10' cos10 cos10 sin 50x 2(sin 30'cos10+cos30'sin10)2sin 40sin 50 cos10' cos10° 2sin40°cos40°_sin80° =1 cos10 cos10° P 三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式专项训练 变式10.(2425高-下-江苏宿迁月考)己知snx-a-cosx*a-日 (1)求sin2a的值： cos2a a+司的台 (2)求。 【答】0器 2 5 1 【详解】(1)因为sin(π-a)-cos(π+a)=sina+cosa= 所以，(sina+cosa=sin2a+cos2a+2 sina cosa=1+sin2a= 1 251 故sin2a=-24 5 cos2a (2) cosa+π cosasina(cosa+sina)= 2 5 4 (cosa-sina) 0 三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式专项训练 考点二 辅助角公式 例1.(2526高一上江苏连云港月考)函数y=sSin2 sin cos 2 的最大值是() A.14 2 B.1- 2 C.l+② D.1 2 【答案】C 【详解】y=sim sin,-cos sin-cos- sinx 2 2 sin2x 2 in cos=(1-cosr)- 22 11 22 coSx- 22 2 2 L_sin+ 22 所以函数的最大值为+2 2 故选：C 例2.(2425高二上上海浦东期中)函数f(x=sim 的最小正周期是() A.6π B.-6π 3x 2 D. 2 【答案】A 【详解】由题意， =m(}ar(引mos}-m盾》 所以(x)的最小正周期是 2π =6元 1 故选：A 例3.(25-26高一上上海青浦·月考)将-sina+√cosa化为Asin(a+p(A>0)的形式() A. C.2sina+ 3 D.2sina+5 6 【答案】C 【都】由-5na+5cwsu=2rcos0nu=26hosu+eos经6nay-2sa 2 2 3 故选：C 例4.(25-26高一上·河北唐山月考)把√3sina+cosa化成Asin(a+p)的形式： 【答案】2sin(a+ 6 【详解】5sina+eosa=2 sina+cosa)=2 cos sina+sin cosa 。1 =2sin(a " 2 6 6 61 故答案为：2sin(a+) 6 10三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式专项训练 三角函数：倍角公式、辅助角公式、半角公式专项训练 考点目录 倍角公式 辅助角公式 半角公式 考点一 倍角公式 例1．（25-26高一上·河北邢台·月考）若，，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）若，则（　　） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·贵州遵义·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·广东广州·月考·多选）下列各式结果为1的有（    ） A． B． C． D． 例5．（25-26高一上·云南·月考·多选）下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 例6．（2025·江苏·模拟预测）已知，，则 ． 例7．（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知，，则 . 例8．（25-26高一上·辽宁营口·月考）已知，则的值是 . 例9．（24-25高一下·陕西榆林·月考）（1）已知，，求的值： （2）已知，都是锐角，，，求的值； （3）已知，都是锐角，，，求的值. 例10．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 变式1．（2025·湖南永州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·甘肃·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·贵州·月考·多选）已知，，则（    ） A． B． C．是锐角 D． 变式5．（25-26高一上·湖北黄冈·月考·多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 变式6．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知第二象限角满足，则 . 变式7．（25-26高二上·河南许昌·月考）已知，且，则 . 变式8．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知，则 ． 变式9．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）对下列各式子化简并求值. (1)； (2). 变式10．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）已知 (1)求的值； (2)求的值. 考点二 辅助角公式 例1．（25-26高一上·江苏连云港·月考）函数 的最大值是（    ） A． B． C． D．1 例2．（24-25高二上·上海浦东·期中）函数的最小正周期是（     ）. A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·上海青浦·月考）将化为的形式（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·河北唐山·月考）把化成的形式： . 例5．（2025·浙江宁波·模拟预测）若，则 ． 例6．（25-26高一上·浙江衢州·月考）求值= 变式1．（25-26高一上·广西南宁·月考）求函数的最大值（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·上海徐汇·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·河南郑州·月考）设函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高一下·上海松江·期中）把化成的形式，则 ． 变式5．（2024·安徽合肥·模拟预测）若，则的最小正周期为 ． 变式6．（25-26高一上·四川成都·月考）函数的最大值为 ． 考点三 半角公式 例1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·福建厦门·月考·多选）下列有关三角函数的公式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 例5．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知，，则 . 例6．（25-26高一上·上海黄浦·月考）已知：，，则 . 例7．（25-26高一上·湖南郴州·月考）已知，，则 . 变式1．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江西赣州·月考）若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 变式4．（25-26高一上·广东广州·月考·多选）已知sin α＝－，且180°<α<270°，则下列结论正确的是（    ） A．sin 2α＝－ B．sin ＝ C．cos ＝－ D．tan ＝－2 变式5．（24-25高一下·上海金山·月考）已知，且为第三象限角，则 . 变式6．（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 . 变式7．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）已知，，则 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $