专题05反比例函数（知识清单）（5大考点+13大题型+2大易错+4大技巧方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单全面覆盖反比例函数专题，包含5大核心考点、13大重难题型、2个易混易错点及4大方法技巧，构建了从基础定义、图象性质到综合应用的完整知识体系。 清单通过思维导图呈现知识结构培养几何直观，标注k的几何意义模型发展抽象能力，警示比较函数值大小的易错点强化推理意识。特色设计如“反比例与一次函数综合问题”解题模板，配套24道实战演练题，助力学生自主复习，也为教师教学提供系统辅助。

专题05反比例函数 （5大考点+13大题型+4大易错+4大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（5个核心考点） 考点01反比例函数的图象与性质 考点02待定系数法求反比例函数的解析式 考点03反比例系数k的几何意义 考点04反比例函数与一次函数综合问题 考点05反比例函数的实际应用 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型） 题型01题型01反比例函数的有关定义 题型02反比例函数的性质 题型03比较反比例函数或自变量的大小 题型04反比例函数的函数值取值范围 题型05反比例函数的图象 题型06反比例函数的k几何意义 题型07反比例函数与一次函数的交点问题 题型08反比例函数与一次函数综合问题 题型09反比例函数的应用 题型10反比例函数与跨学科问题 题型11反比例函数与跨学科问题 题型12有关反比例函数的探究性问题 题型13反比例函数与动点综合问题 题型14反比例函数与几何综合问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（2个易混易错点） 易错点01利用反比例的性质比较函数值的大小 易错点02反比例函数的实际应用问题 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（4大方法技巧） 技巧01：反比例函数的比例系数与面积问题 技巧02：反比例函数与一次函数综合问题 技巧03：利用反比例函数解决分段类应用问题 技巧04：反比例函数与几何压轴问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式； 2. 能画反比例函数的图像，根据图像和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图像的变化情况，并会用性质解决有关问题 3. 理解反比例函数与一次函数之间的关系，会利用图象求不等式的解集 4. 能用反比例函数解决简单实际问题. 考点01反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数的概念 我们把形如y＝(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．自变量x≠0． 反比例函数有三种表达形式：①y＝(k为常数，k≠0)；②y＝kx－1(k为常数，k≠0)；③xy＝k(k为常数，k≠0)． 2 .反比例函数的图象： 反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线，且不与两坐标轴相交． 3 .反比例函数的性质： (1)当k＞0时，图象的两个分支位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． (2)当k＜0时，图象的两个分支位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 4.正比例函数与反比例函数的对比 函数 正比例函数 反比例函数 解析式 y=kx(k≠0) y＝((k≠0) 图象 直线 双曲线→与坐标轴没有交点 自变量的 取值范围 全体实数 x≠0 的一切实数 图象位置 当 k>0 时,图象经 过第一、第三象限; 当 k<0 时,图象经 过第二、第四象限 当 k>0 时,图象在第一、 第三象限;当 k<0 时,图 象在第二、第四象限 性质 当 k>0 时,y随x 的增大而增大;当 k<0时,y随x的 增大而减小 当 k>0 时,在每一个象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而增大 5.比较反比例函数值大小的方法 (1)直接代入法（或特殊值代入法)：先直接代入已知的横坐标（或代入选取合适的横坐标)，求出对应的纵坐标，再比较函数值的大小 (2)性质法：在同一分支上的点可以通过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小：不在同一分支上的点，依据与x轴的相对位置来进行函数值大小的比较 (3)图象法：利用画图象、描点的方法判断函数值的大小 考点02待定系数法求反比例函数的解析式 (1)确定反比例函数解析式的方法是待定系数法 (2)由于反比例函数的解析式y=中，只有一个待定系数k,因此只需一对对应的x,y的值，即可求出待定 系数k的值，从而确定反比例函数的解析式。 考点03反比例系数k的几何意义 反比例函数的比例系数k的几何意义：等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴围成的矩形的面积.在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形面积时，常用比例系数 的几何意义求解. (1)如图①，四边形ACOB是矩形， A(a,b)是双曲线y=上一点，则 矩形ACOB的面积=ab= (2) 如图②，A(a,b)是双曲线y=上一点，AB⊥x轴，垂足是B,则△AOB的面积=ab= 考点04反比例函数与一次函数综合问题 1.若两个函数图象在同一坐标系中，则它们的解析式中相同字母的取值相同. 要判断这两个函数图象在同一坐标系中的大致位置，可以分k>0和k<0两种情况，由k的符号确定图象位置；也可由一个函数的图象在坐标系中的位置，确定字母系数的取值范围，再判断另一个函数的图象画得是否正确，或由这两个函数图象的位置，推导出字母系数的取值范围是否一致 2.求反比例函数和一次函数交点主要是联立反比例函数和一次函数的解析式，得到方程组，解这个方程组得到交点的横坐标，进而得到交点坐标 考点05反比例函数的实际应用 1.用反比例函数解决实际问题的步骤 （1）审：审清题意，找出问题中的常量、变量（有时以图象的形式始出），并厘清常量与变量之间的美系 （2）设：根摇常量与变量之间的美系，设出函数解析式，待定系数用字母表示， （3）列：由题目中的已知条件列出方程(组)，求出待定系数， （4）写：写出函数解析式，并注意自变量的取值范国. （5）解：运用函数的解析式和相美性质解决实际问题 2.反比例函数实际应用常考题型解题方法 （1）与实际情境结合的分段函数问题 ①通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 ②写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 （2）跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 考点06反比例函数与几何综合问题 数形结合类综合题，常与面积、等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形等相结合. 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型01反比例函数的有关定义 【典例1】（2025·云南大理·一模）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【变式练习】 1．（2025·安徽亳州·一模）若点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．10 2．（2025·云南·模拟预测）若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 题型02反比例函数的性质 【典例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列几个命题中，是假命题的有（  ） 若，则时， 随的增大而减小； 若反比例函数的图像不经过点(，是常数)，则； 若直线和()与反比例函数的图像交于，，，四点，则以，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式练习】 3．（2025·山西临汾·二模）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（   ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值随的增大而增大 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知反比例函数 的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·模拟预测）三张完全相同的卡片上分别写有函数，，，从中随机抽取一张，则所得卡片上的函数图像在第一象限内随的增大而减小的概率是 ． 题型03比较反比例函数或自变量的大小 【典例3】（2025·安徽·模拟预测）反比例函数（a为常数）的图象过点，，已知，下列结论一定正确的是 （ ） A． B． C． D． 【变式练习】 6．（2025·江苏苏州·二模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·浙江·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是 ． 题型04反比例函数的函数值取值范围 【典例4】（2025·广东东莞·模拟预测）已知函数的图象，当时，的取值范围是 ． 【变式练习】 9．（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数（m为常数）的图象上，，若，则的值为（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． 11．（2025·陕西榆林·三模）已知反比例函数，当时，该反比例函数的最小值为 ． 题型05反比例函数的图象 【典例5】（2025·山西长治·模拟预测）如果三角形的面积为15平方厘米，那么它的一边y厘米与这边上的高x厘米之间的函数关系用图像表示大致是（    ） A．B．C．D． 【变式练习】 12．（2024·河北·模拟预测）物理课上我们已经学习了密度ρ、质量m、体积V之间满足公式：．在解决具体问题中，由于给定的量不同，我们常常需要对这个公式进行变形，因此也会相应产生不同的函数图像，下列图像中不可能产生的是（    ） A．B．C．D． 13．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·江苏盐城·三模）小军借助几何画板软件研究函数的图像和性质，他设定了一组m，n的值，得到如图所示函数图像，借助之前学习函数的经验，推断小军输入的m，n的值满足（   ） A．， B．， C．， D．， 15．（2025·河北邯郸·一模）定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 题型06反比例函数的k几何意义 【典例6】（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【变式练习】 16．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 19．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 20．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①；②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 题型07反比例函数与一次函数的交点问题 【典例7】（2022·四川内江·中考真题）如图，已知一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象在第一象限交于点，若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 . 【变式练习】 21．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 22．（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ． 题型08反比例函数与一次函数综合问题 【典例8】（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【变式练习】 24．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点E，F在函数 的图像上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且． (1)当点E的横坐标为时，求点F的坐标 (2)当点E在 图像上移动时，△OEF的面积是否变化？说明理由． 25．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 26．（2025·安徽亳州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若． ①求线段的长；②求的面积． 题型09反比例函数的应用 【典例9】（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【变式练习】 27．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 28．（2021·山东青岛·一模）目前中学生视力下降严重，某公司开发了一款护眼贴，自上市以来，非常畅销．公司研究发现，每副护眼贴的成本（元）和销售的数量（副）是一次函数、二次函数和反比例函数中的一种函数关系，如下表格所示．当销售的护眼贴达到或超过副时，每副护眼贴的成本不再变化．预测下一个月销售量将达到或超过副，并且发现每副按元出售时，能销售副，单价每提高元，销售量就会下降副． 销售件数（副） 每件成本（元） (1)请你求出与的函数关系式； (2)设下个月销售获得总利润是元，设下个月销售单价是每副元，请你写出与间的函数关系式；求出下个月的最大值． 29．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 题型10反比例函数与跨学科问题 【典例10】（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【变式练习】 30．（2025·河南开封·一模）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 31．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3) 根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 32．（2025·宁夏银川·模拟预测）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (4) 在（2）的坐标系中画出的图象，结合函数图象，直接写出当时，的解集为 ． 题型11有关反比例函数的探究性问题 【典例11】（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表 ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 1 ．．． 2．描点 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当时，随着的增大而减小，所以当时，有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求的最大值→求的最大值． 通过推理可得：当时，的最大值为6，所以当时，有最小值． 任务： (1)填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）； (2)请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值； (3)直接写出的最小值． 【变式练习】 33．（2025·宁夏固原·三模）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 34．（2025·河南南阳·二模）某班数学兴趣小组对函数（）的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是，与的几组对应值如表： … … … 1 … 其中，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)进一步探究函数图象发现： ①函数可以看成是由函数向_____平移_____个单位长度，再向____，平移_____个单位长度得到的； ②函数：的图象关于_____成中心对称； ③写出这个函数的一条性质_______； ④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 题型12反比例函数与动点综合问题 【典例12】（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，在中，，，，为边上的中点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着——的路线运动，到达点停止．同时动点以相同的速度从点出发，沿运动，到达点停止，连接，过点作交于点运动的时间为秒．点，的距离为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【变式练习】 35．（2025·重庆九龙坡·二模）如图，在四边形中，，，对角线，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，作于点M，同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点N是射线上一点，连接，满足，当点P到达C点时，P、Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，线段的长度为，线段的长度为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 36．（2025·重庆开州·模拟预测）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止运动，连接，．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．两点同时出发，设运动时间为秒（），过点作于点．的面积为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 题型13反比例函数与几何综合问题 【典例13】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式练习】 37．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 38．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上． (1)求，，的值． (2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值． (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值． 39．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)点为射线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接．当时，求点的坐标． (3)将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转交轴于点．若点为反比例函数的图象上一动点，直线交轴的正半轴于点，求面积的最小值． 易错点01利用反比例的性质比较函数值的大小 【错因】利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上 【避错关键】反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 【典例】 1．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数，又，对应的函数值分别是，，若，则有（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（2025·宁夏银川·二模）一元二次方程有两个相等的实数根，点，点在反比例函数的图象上，若，则，，0的大小关系为（   ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且． (1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求该函数的表达式． 2．（2023·浙江杭州·二模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 易错点02反比例函数的实际应用问题 【错因】利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义 【避错关键】应用反比例函数解决生活实际问题的关键是先将实际问题转化为数学问题，再根据所给变之间的关系求出反比例函数的解析式，最后解决问题.注意实际问題中的反比例函数的自变量的取值往往受一定的限制，这时其图象通常是双曲线的一支或一段 【典例】 1．（2025·福建福州·三模）光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由． 2．（2025·河南驻马店·三模）“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点的距离保持不变时，弹簧秤的示数是关于（弹簧秤与中点的距离）的反比例函数．已知当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； (3)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 3．（2025·四川达州·二模）知识背景 当且时，因为，所以，从而（当时取等号）． 设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例 已知函数与函数，则当时，有最小值为． 解决问题 (1)已知函数与函数，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 4.（2025·广东广州·二模）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．． ①表格中的___________； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 技巧01：反比例函数的比例系数与面积问题 《方法技巧》 1.反比例函数y=的比例系数与面积关系：双K模型 (1)如图，四边形ABCD是矩形，B是双曲线y=上一点，A是双曲线y=上一点，AB∥x轴，BA的延长线交y轴于点E,则矩形ABCD的面积= (2)如图，△AOB的顶点A在双曲线y=上，顶点B在双曲线y=上，AB∥y轴，AB的延长线交x轴于点C, 则△AOB的面积= 2.反比例函数图象与三角形中点模型 如图，若点A,B是双曲线y=上的两点，且AD⊥x轴，垂足是D,BE⊥x 轴，垂足是E,且点B是AC的中点，则 (1OD=DE=EC; (2)= 3.反比例函数图象与矩形中点模型 如图①，若双曲线y=过矩形相邻两边的“中点”，则四边形OEBF的面积=,△BEF的面积= 【典例】 1．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 2．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为 5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，的延长线交轴于点，连接交双曲线于点，连接，若，则的面积是 ． 技巧02：反比例函数与一次函数综合问题 《方法技巧》 1.题型特征：已知反比例函数与一次函数的解析式（或交点坐标），求两函数图象与坐标轴围成的图形面积。 2.解题关键：先求两函数的交点坐标、一次函数与坐标轴的交点坐标，再通过“大图形面积 - 小图形面积”计算目标面积 3.方程思想：方程思想是根据条件构造方程（组），并通过解方程（组）来解决问题.本章中反比例函数的解析式的确定及关于反比例函数的实际问题中无不渗透着方程思想，它集中体现在待定系数法的运用上 【典例】 1．（2025·江苏连云港·二模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式； (2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围； (3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标． 2．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与、轴分别交于点、．的顶点在第一象限内，且在的图象上，顶点在轴上．若点的坐标为，且．    (1)求一次函数解析式和反比例函数的解析式： (2)将向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为______； 3．（2024·湖北·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)填空： ______， ______， ______ (2)直接写出不等式的解集为________； (3)连接，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 5（2025·河南郑州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移个单位长度与的图象交于点，连接、． ①求的面积． ②若直线的解析式为，请直接写出成立时的取值范围． 6．（2025·贵州·模拟预测）如图：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为． (1)求反比例函数和正比例函数的表达式，并直接写出点坐标； (2)将正比例函数的图象逆时针旋转后向上平移（）个单位长度，得到的一次函数的图象刚好与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 技巧03：利用反比例函数解决分段类应用问题 《方法技巧》 若题目中的函数是分段函数，当x取不同的值时，函数解析式也不同.解决此类分段函数问题时，要注意函数、自变量的取值范围以及所给的自变量或函数值应代入哪个函数解析式中，再运用相应函数的性质解题 【典例】 1．（2025·宁夏银川·模拟预测）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式： (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 2．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）项目式学习 项目主题：利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度． 项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内通常白天温度需保持在，夜间温度不低于． 数据搜集：某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间x（时）变化的图象．如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点D表示时，温度降到． 问题解决：结合图象信息及项目所给信息，解决下列问题： (1)在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．求智能控制系统设定的恒温温度； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时间有多少小时？ 3．（2025·宁夏银川·二模）饮水机中原有水的温度是，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图）．根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测他散步87分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少？ 技巧04：反比例函数与几何压轴问题 《方法技巧》 1.解题思路（1）设坐标，标已知：设反比例函数上未知点的坐标或几何图形中关键点的坐标（如矩形顶点、三角形顶点），并用字母表示；同时标记题目中已知的坐标、边长、角度等条件 （2）用几何性质，建等式：根据几何图形的性质（如三角形全等/相似、平行四边形对边相等、矩形对角线相等、菱形四边相等），将“几何关系”转化为“坐标关系”。 （3）列方程，求未知：将坐标关系转化为方程（含k或设的字母），解方程求出k值、点坐标，最终解决问题（如求面积、解析式）。 2.常用辅助线：“作垂线”构造直角三角形或矩形压轴题中几何图形常非特殊位置，需通过辅助线转化为“与坐标轴关联的直角图形”， 【典例】 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 3（2025·广东中山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，． (1)如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和B点坐标； (2)如图2，当，连接，时，求m的值； (3)当时，若，求b的值． 4（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点P． (1)如图1，若点P的坐标为． ①求正比例函数及反比例函数的表达式； ②在反比例函数图象上是否存在点C，使得？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如图2，以点P为圆心，以为半径作弧，交反比例函数图象于点Q（点Q在的右侧），分别过点P和Q作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接，点B在x轴的正半轴上，得到．求证：． 5．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点． (1)求点的坐标并直接写出、的值； (2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标； (3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2025·天津西青·二模）在反比例函数的图形上的一个点是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强p与受力面积S之间的函数关系式，该函数图象位于   （   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·云南·模拟预测）若点在函数的图像上，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 4．（2025·湖南·模拟预测）在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量（单位：克）固定时，溶液质量（单位：克）与溶质质量分数之间成反比例关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·江苏连云港·二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 6．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 7．（2025·河北·一模）有甲、乙、丙、丁四块长方形的小麦试验田，图中的四个点分别表示这四块试验田的长y（单位：）与宽x（单位：）的情况，其中表示甲、丁试验田长、宽情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则面积最大的试验田是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A 是直线上的一动点，点 B在双曲线 上，点B 的纵坐标为，点 P 是x轴正半轴上的一动点，连接．当四边形是矩形时，k的值为（   ） A． B．2 C． D．3 9．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知点，均在函数的图象上，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点，交于点F．则下列说法正确的是（    ） A．k越小，的长越小 B．当时，为定值 C．若矩形面积为16，时， D．当为边长1的正方形时，最小为 二、填空题 11．（2025·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是 12．（2025·陕西汉中·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点、，则点的坐标是 ． 13．（2025·安徽淮南·二模）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为 ． 14．（2024·湖南·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 15．（2024·湖北·模拟预测）如图，一次函数是常数）的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴，y 轴分别交于点A，B，将沿y轴向上平移得到，且点在反比例函数的图象上，则点的坐标为 16．（2025·安徽淮南·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点C，点C的纵坐标为4，直线与x轴交于点，与y轴交于点M，B为直线上一点，横坐标为，过点B作轴于点D，交反比例函数的图象于点H，G为反比例函数图象上一动点，过点G作于点E，作交y轴于点F． （1） ； （2）若点G在点C，H之间（不与点C，H重合）运动，当面积取得最大值时，的长为 ． 三、解答题 17．（2026·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．将点 A 向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，此时点C的纵坐标为1． (1)点B的坐标为 ，点C 的坐标为 ；(用含a的代数式表示) (2)求 k的值． 18．（2023·辽宁·一模）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为200欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为6欧姆时，电流I为24安培． (1)求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数解析式； (2)若，求电流I的变化范围． 19．（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求、的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 20．（2025·浙江杭州·二模）小王家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)若小王在通电开机后即外出散步，分钟后回家，要使得回家时饮水机内温度不低于，求t的取值范围． 21．（2025·广东广州·二模）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 22．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． 23．（2025·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线：交反比例函数的图象于点P，交x轴于点Q，交y轴于点M，已知，点P到y轴的距离为2． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)如图1，点N在反比例函数第三象限的图象上，若，直接写出N的横坐标t的取值范围； (3)如图2，将直线：沿y轴向下平移，平移后的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，交y轴于点B，且，求直线到直线的平移距离． 24．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C． (1)求k的值； (2)连接，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？  若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05反比例函数 （5大考点+13大题型+4大易错+4大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（5个核心考点） 考点01反比例函数的图象与性质 考点02待定系数法求反比例函数的解析式 考点03反比例系数k的几何意义 考点04反比例函数与一次函数综合问题 考点05反比例函数的实际应用 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型） 题型01题型01反比例函数的有关定义 题型02反比例函数的性质 题型03比较反比例函数或自变量的大小 题型04反比例函数的函数值取值范围 题型05反比例函数的图象 题型06反比例函数的k几何意义 题型07反比例函数与一次函数的交点问题 题型08反比例函数与一次函数综合问题 题型09反比例函数的应用 题型10反比例函数与跨学科问题 题型11反比例函数与跨学科问题 题型12有关反比例函数的探究性问题 题型13反比例函数与动点综合问题 题型14反比例函数与几何综合问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（2个易混易错点） 易错点01利用反比例的性质比较函数值的大小 易错点02反比例函数的实际应用问题 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（4大方法技巧） 技巧01：反比例函数的比例系数与面积问题 技巧02：反比例函数与一次函数综合问题 技巧03：利用反比例函数解决分段类应用问题 技巧04：反比例函数与几何压轴问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式； 2. 能画反比例函数的图像，根据图像和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图像的变化情况，并会用性质解决有关问题 3. 理解反比例函数与一次函数之间的关系，会利用图象求不等式的解集 4. 能用反比例函数解决简单实际问题. 考点01反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数的概念 我们把形如y＝(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．自变量x≠0． 反比例函数有三种表达形式：①y＝(k为常数，k≠0)；②y＝kx－1(k为常数，k≠0)；③xy＝k(k为常数，k≠0)． 2 .反比例函数的图象： 反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线，且不与两坐标轴相交． 3 .反比例函数的性质： (1)当k＞0时，图象的两个分支位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． (2)当k＜0时，图象的两个分支位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 4.正比例函数与反比例函数的对比 函数 正比例函数 反比例函数 解析式 y=kx(k≠0) y＝((k≠0) 图象 直线 双曲线→与坐标轴没有交点 自变量的 取值范围 全体实数 x≠0 的一切实数 图象位置 当 k>0 时,图象经 过第一、第三象限; 当 k<0 时,图象经 过第二、第四象限 当 k>0 时,图象在第一、 第三象限;当 k<0 时,图 象在第二、第四象限 性质 当 k>0 时,y随x 的增大而增大;当 k<0时,y随x的 增大而减小 当 k>0 时,在每一个象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而增大 5.比较反比例函数值大小的方法 (1)直接代入法（或特殊值代入法)：先直接代入已知的横坐标（或代入选取合适的横坐标)，求出对应的纵坐标，再比较函数值的大小 (2)性质法：在同一分支上的点可以通过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小：不在同一分支上的点，依据与x轴的相对位置来进行函数值大小的比较 (3)图象法：利用画图象、描点的方法判断函数值的大小 考点02待定系数法求反比例函数的解析式 (1)确定反比例函数解析式的方法是待定系数法 (2)由于反比例函数的解析式y=中，只有一个待定系数k,因此只需一对对应的x,y的值，即可求出待定 系数k的值，从而确定反比例函数的解析式。 考点03反比例系数k的几何意义 反比例函数的比例系数k的几何意义：等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴围成的矩形的面积.在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形面积时，常用比例系数 的几何意义求解. (1)如图①，四边形ACOB是矩形， A(a,b)是双曲线y=上一点，则 矩形ACOB的面积=ab= (2) 如图②，A(a,b)是双曲线y=上一点，AB⊥x轴，垂足是B,则△AOB的面积=ab= 考点04反比例函数与一次函数综合问题 1.若两个函数图象在同一坐标系中，则它们的解析式中相同字母的取值相同. 要判断这两个函数图象在同一坐标系中的大致位置，可以分k>0和k<0两种情况，由k的符号确定图象位置；也可由一个函数的图象在坐标系中的位置，确定字母系数的取值范围，再判断另一个函数的图象画得是否正确，或由这两个函数图象的位置，推导出字母系数的取值范围是否一致 2.求反比例函数和一次函数交点主要是联立反比例函数和一次函数的解析式，得到方程组，解这个方程组得到交点的横坐标，进而得到交点坐标 考点05反比例函数的实际应用 1.用反比例函数解决实际问题的步骤 （1）审：审清题意，找出问题中的常量、变量（有时以图象的形式始出），并厘清常量与变量之间的美系 （2）设：根摇常量与变量之间的美系，设出函数解析式，待定系数用字母表示， （3）列：由题目中的已知条件列出方程(组)，求出待定系数， （4）写：写出函数解析式，并注意自变量的取值范国. （5）解：运用函数的解析式和相美性质解决实际问题 2.反比例函数实际应用常考题型解题方法 （1）与实际情境结合的分段函数问题 ①通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 ②写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 （2）跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 考点06反比例函数与几何综合问题 数形结合类综合题，常与面积、等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形等相结合. 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型01反比例函数的有关定义 【典例1】（2025·云南大理·一模）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：2． 【变式练习】1．（2025·安徽亳州·一模）若点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．10 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．点在函数图象上，则坐标满足函数解析式，代入求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数y = 的图象上， ∴， 则， ∴， 故选：B． 2．（2025·云南·模拟预测）若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图象上点的特征，先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 把代入得：， 故答案为：． 题型02反比例函数的性质 【典例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列几个命题中，是假命题的有（  ） 若，则时， 随的增大而减小； 若反比例函数的图像不经过点(，是常数)，则； 若直线和()与反比例函数的图像交于，，，四点，则以，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了真假命题，一次函数的性质，平行四边形的判定，根据，，则 随的增大而减小，从而判断；根据点(，是常数)，在第一象限，从而可判断；根据一次函数与反比例函数交点，平行四边形的判定即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小，原命题正确，不符合题意； ∵，， ∴点(，是常数)，在第一象限， ∵反比例函数的图像不经过点(，是常数)， ∴，原命题正确，不符合题意； 如图， ∵直线和()与反比例函数的图像交于，，，四点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，原命题正确，不符合题意； 综上可知：假命题的个数为， 故选：． 【变式练习】 3．（2025·山西临汾·二模）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（   ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 分别根据反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象所在象限、自变量取值范围内函数值的范围以及函数的增减性来判断各选项． 【详解】解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法正确，不符合题意； B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法正确，不符合题意； C、当时，，选项说法正确，不符合题意； D、在每个象限内，函数值随的增大而增大，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知反比例函数 的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据反比例函数的图象的性质进行计算即可． 【详解】解：由题意知，当 时，图象位于第一、第三象限， 解得 ． 故选：A． 5．（2025·浙江·模拟预测）三张完全相同的卡片上分别写有函数，，，从中随机抽取一张，则所得卡片上的函数图像在第一象限内随的增大而减小的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图像性质及概率，掌握函数图像性质是解题关键．根据函数图像性质，依次分析题中一次函数、反比例函数、二次函数在第一象限的特征，再通过计算求解概率即可． 【详解】解：由题意，一次函数的函数图像在第一象限内随的增大而增大，反比例函数的函数图像在第一象限内随的增大而减小，二次函数的函数图像在第一象限内随的增大而增大， 这三个函数的函数图像在第一象限内y随x的增大而减小的有个， 从中随机抽取一张，所得卡片上的函数图像在第一象限内y随x的增大而减小的概率． 故答案为：． 题型03比较反比例函数或自变量的大小 【典例3】（2025·安徽·模拟预测）反比例函数（a为常数）的图象过点，，已知，下列结论一定正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出反比例函数的图象在第一、三象限，结合，判断出、所在象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵点，在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴点位于第三象限，点位于第一象限， ∴， 故选：A． 【变式练习】 6．（2025·江苏苏州·二模）已知点，都在反比例函数的图象上．若，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的增减性，对应反比例函数，时，在同一个象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 由反比例函数的性质可知，在同一个象限内，y随x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴在同一个象限内，y随x的增大而增大， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴点，在第四象限， ∴． 故选：A． 7．（2025·浙江·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出，，的值，再计算和，，并比较大小． 【详解】解：∵ 点，， 在反比例函数图象上， ∴ ，，． ∴ ，． 当时， 若，则； 若，则． 当时， 若，则； 若，则． 无法比较和的大小 ，， ． ． 故选：D． 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 若点在同一支图象上，且， ∴， 解得， 若点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 综上分析，a的取值范围是：． 故答案为：． 题型04反比例函数的函数值取值范围 【典例4】（2025·广东东莞·模拟预测）已知函数的图象，当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题的关键．求得当时，，再根据题意画出草图，结合图象即可得出y的取值范围． 【详解】在反比例函数中，当时，， 双曲线经过二四象限，画出图形如下： ∴根据图像可知：的取值范围为或． 【变式练习】 9．（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数（m为常数）的图象上，，若，则的值为（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例函数可知反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵ ∴或， 假设且，则， ∴，， ∴， 同理：当且时，， ∴的值为负数． 故选：B． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的，函数经过第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，再根据，得出，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴函数经过第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为： 11．（2025·陕西榆林·三模）已知反比例函数，当时，该反比例函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，把的最小值代入反比例函数的解析式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，反比例函数的函数值随着增大而增大， ∴当取最小值时，函数值最小， ∵当时，， ∴反比例函数的最小值为， 故答案为：． 题型05反比例函数的图象 【典例5】（2025·山西长治·模拟预测）如果三角形的面积为15平方厘米，那么它的一边y厘米与这边上的高x厘米之间的函数关系用图像表示大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用和反比例函数的图像，得出、的函数解析式是解题的关键． 根据三角形面积公式得到、之间的关系式为， 由可知函数图像在第一象限，从而得到答案． 【详解】解：三角形的面积公式得：， ， ，， 图像在第一象限， 故选：C． 【变式练习】 12．（2024·河北·模拟预测）物理课上我们已经学习了密度ρ、质量m、体积V之间满足公式：．在解决具体问题中，由于给定的量不同，我们常常需要对这个公式进行变形，因此也会相应产生不同的函数图像，下列图像中不可能产生的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象，反比例函数图象，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三个量，其中一个量一定，剩下两个量的函数关系来确定函数图象． 【详解】解：当m一定时，公式为，这是反比例函数，故A符合； 当ρ一定时，公式可变形为，这是正比例函数，故C符合； 当V一定时，或，这是正比例函数，故B不符合，D符合； 故选：B． 13．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 14．（2025·江苏盐城·三模）小军借助几何画板软件研究函数的图像和性质，他设定了一组m，n的值，得到如图所示函数图像，借助之前学习函数的经验，推断小军输入的m，n的值满足（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道，结合图象可以知道函数的取不到的值为负数，所以． 【详解】解：由图象可知，当时，， ； ，结合图象可以知道函数的取不到的值为负数， ． 故选：A 15．（2025·河北邯郸·一模）定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义，得，根据函数图象的画法，确定解答即可． 本题考查了新定义问题，根据新定义确定函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据新定义，得， 画图如下： ， 故选：C． 题型06反比例函数的k几何意义 【典例6】（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 【变式练习】 16．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了反比例函数中k的几何意义，由于A、B、C是反比例函数的图象上的三点，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知图象上的点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积的关系即，是个定值，即可得出结果． 【详解】解：依题意，过双曲线上任意一点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 即， ∴． 故选：A． 17．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点，，连接，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，由题意得，，又，则，故有，因为的面积为，所以，整理得，从而求得，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数图象交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，整理得， ∴，， ∴， 故选：． 18．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接，，，与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型07反比例函数与一次函数的交点问题 【典例7】（2022·四川内江·中考真题）如图，已知一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象在第一象限交于点，若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式． 如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点，先确定点与点坐标，由于一次函数的值随值的增大而增大，则一次函数图像必过第一、三象限，所以点只能在点与点之间，于是可确定的取值范围．理解反比例函数图像与一次函数的交点确定方法及一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点， ∵，反比例函数， ∴， ∵一次函数y的值随x值的增大而增大， ∴点在A，B之间， ∴， 故答案为． 【变式练习】 21．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 22．（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可． 【详解】解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ∴； ∴；故①正确； 联立，解得：或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； 故选C． 23．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 题型08反比例函数与一次函数综合问题 【典例8】（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得，， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 【变式练习】 24．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点E，F在函数 的图像上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且． (1)当点E的横坐标为时，求点F的坐标 (2)当点E在 图像上移动时，△OEF的面积是否变化？说明理由． 【答案】(1) (2)不变化，理由见解析 【分析】本题主要考查反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式．解题关键在于利用反比例函数上点的坐标特征，结合相似三角形对应边成比例的性质求点坐标，通过合理设点坐标并运用面积公式判断三角形面积是否变化． （1）由点横坐标，可代入反比例函数求出纵坐标．又根据，通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质来求点坐标． （2）先设出点坐标，再通过作辅助线，利用三角形面积公式，结合反比例函数性质，计算出面积表达式，看其是否与点坐标变化有关即可． 【详解】（1）解：∵点在函数的图像上，且横坐标， ∴将代入，可得， ∴ ． 作轴于，轴于． ∵， ∴． ∴ ． ∵， ∴ ． ∵点在上， ∴把代入，得， ∴ ． （2）解：设点坐标为（）， 作轴于，轴于． ∴， ∴ ， ∵， ∴ ． 把代入，得， ∴ ． ∴ ． ∵ ； ； ． ∴， ∴当点在图像上移动时，的面积不变化． 25．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3)16 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． （2）解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． （3）解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 26．（2025·安徽亳州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若． ①求线段的长；②求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)①的长为；② 的面积为． 【分析】（1）首先，根据交点代入反比例函数的表达式，求出，进而得出反比例函数的表达式，然后，将点代入反比例函数的表达式求出，再将点、坐标分别代入一次函数的表达式中即可求得一次函数表达式； （2）①利用已知条件巧妙构造辅助线，进而得出，，根据，可求得，进而求得，，最后，在中，由勾股定理即可求得的长； ②由，可求出的长，进而求出的长，最后，运用“整体减部分”思想可得出，根据三角形的面积公式代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得 ，解得． ∴点． 把点，分别代入，得 ，解得． ∴一次函数的表达式为； （2）①如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ∴． ∴． ∴． ∵，点， ∴，，． ∴，解得． ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，． ∴点． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴的长为； ②∵点，， ∴，． 由①知， ∴，即，解得． ∴． ∴ ． ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；充分理解“逢点必代”思想在函数中的重要性，能利用“整体减部分”思想求解特殊三角形的面积． 题型09反比例函数的应用 【典例9】（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用． （1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式； （2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【变式练习】 27．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案； （2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的时间，即可得答案． 【详解】（1）解：材料锻造时，设， 由题意得，解得， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ， 所以第一次锻造操作的时长是； （2），所以煅烧时温度每分钟上升， ，所以第二次煅烧需要， ，所以第二次开始锻造的时间是第． 28．（2021·山东青岛·一模）目前中学生视力下降严重，某公司开发了一款护眼贴，自上市以来，非常畅销．公司研究发现，每副护眼贴的成本（元）和销售的数量（副）是一次函数、二次函数和反比例函数中的一种函数关系，如下表格所示．当销售的护眼贴达到或超过副时，每副护眼贴的成本不再变化．预测下一个月销售量将达到或超过副，并且发现每副按元出售时，能销售副，单价每提高元，销售量就会下降副． 销售件数（副） 每件成本（元） (1)请你求出与的函数关系式； (2)设下个月销售获得总利润是元，设下个月销售单价是每副元，请你写出与间的函数关系式；求出下个月的最大值． 【答案】(1)与的函数关系式为； (2)，当时，有最大值元． 【分析】本题考查了反比例函数和二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出与的函数关系式即可； （）由题意可知下个月销售为（副），然后得出，最后由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据表格可知，与是反比例函数关系， 设与的函数关系式为， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为， ∵当销售的护眼贴达到或超过副时，每副护眼贴的成本不再变化， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意可知，下个月销售为（副）， ∴， ∵， ∴当时，有最大值元． 29．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【答案】(1)； (2)6月出售这种矿泉水每瓶获利最大 (3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题； （1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，根据二次函数的性质，即可求解； （3）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解． 【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱 ∴，， 根据信息③可得与售价的乘积相等，设， 代入得，， ∴，， （2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下， 依题意，， ∴ ∴当时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利最大； （3）解：依题意， 当该矿泉水需求量与供给量相等时， 解得：（舍去） 当时，， ，解得：， 总利润为（元） 答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 题型10反比例函数与跨学科问题 【典例10】（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式． （1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值； （2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可； （3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解． 【详解】（1）解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式， 设， 将，代入解析式，得：， 解得， ， 当时，， 此时， 即总电阻的值为； （2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知时，， ， 关于总电阻的函数表达式为； （3）解：， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，最小值为：， 此时取最小值，最小值为：， ， 随x的增大而减小， 取最小值2时，x取最大值， 令，解得， 即该电子秤所称物品质量的最大值为． 【变式练习】 30．（2025·河南开封·一模）物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 【答案】(1) (2)；图象见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据解答即可； （2）求出与的关系式，可得L关于x的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （2）解：设与的关系式为， 由图②得图象经过， ， ∴与的关系式为， ， ， ∴， 根据题意得：，， ∴自变量x的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 画出图象如图所示： 31．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数． （1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 32．（2025·宁夏银川·模拟预测）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)在（2）的坐标系中画出的图象，结合函数图象，直接写出当时，的解集为 ． 【答案】(1)4，3， (2)①见解析；②不断减小； (3)或 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解， （2）①用描点法，画出图象，②根据反比例函数的图象性质，即可求解， （3）作函数的图象，根据图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：4，3， （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图 ②由图象可知随着自变量的不断增大，函数值的不断减小， 故答案为：不断减小； （3）作函数的图象，如图2， 由函数图象可知， 当或时，， 即当时，的解集为：或， 故答案为：或． 题型11有关反比例函数的探究性问题 【典例11】（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表 ．．． 0 2 3 4 ．．． ．．． 1 ．．． 2．描点 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当时，随着的增大而减小，所以当时，有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求的最大值→求的最大值． 通过推理可得：当时，的最大值为6，所以当时，有最小值． 任务： (1)填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）； (2)请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值； (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可） (2)当时，的最大值为0，所以当时，有最大值为3 (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，描点法画函数图象等知识点，正确用已学知识解决新的问题的是解题的关键． （1）结合解题过程即可得到涉及的解题思想； （2）仿照题干的分析方法求解即可； （3）先将原函数化为，再由小明的推理方式求解． 【详解】（1）解：小红的解题过程中体现的数学思想有：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可）； 故答案为：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可） （2）解：小红的方法， 列表： …… 0 2 3 4 …… …… 3 1 …… 描点、连线得： 观察图象可得：时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值为3； 小明的方法： 通过推理可得：当，的最大值为， ∴当时，取得最大值为3； （3）解：， 令， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴由反比例函数的性质可得取得最小值为， ∴取得最小值为． 【变式练习】 33．（2025·宁夏固原·三模）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）． (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：； ②、③如图： （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0． （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或． 34．（2025·河南南阳·二模）某班数学兴趣小组对函数（）的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是，与的几组对应值如表： … … … 1 … 其中，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)进一步探究函数图象发现： ①函数可以看成是由函数向_____平移_____个单位长度，再向____，平移_____个单位长度得到的； ②函数：的图象关于_____成中心对称； ③写出这个函数的一条性质_______； ④结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)①右，，上，；②；③当时，随的增大而减小；（答案不唯一，合理即可）④或 【分析】（）把代入函数解析式计算即可； （）根据表格对应值描点连线即可； （）①根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”即可求解；②根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”即可求解；③根据函数图象写出一条性质即可；④求出函数与的交点坐标，再结合图象解答即可； 本题考查了画反比例函数的图象，反比例函数图象的平移，反比例函数与不等式等，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：画图如下： （3）解：①函数可以看成是由函数向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的， 故答案为：右，，上，； ②∵函数可以看成是由函数向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的， ∴反比例函数图象的对称中心为，即， 故答案为：； ③由图象可知，当时，随的增大而减小；（答案不唯一，合理即可） ④在图中作出函数的图象如下： 设与的图象相交于点， 由，解得或， ∴，， 由图象可知，当或时，， 即不等式的解集为或． 题型12反比例函数与动点综合问题 【典例12】（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，在中，，，，为边上的中点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着——的路线运动，到达点停止．同时动点以相同的速度从点出发，沿运动，到达点停止，连接，过点作交于点运动的时间为秒．点，的距离为，的面积与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)作图见解析；的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（不唯一）； (3) 【分析】本题综合考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式、一次函数和反比例函数的图象与性质．解题关键是分情况讨论动点位置，利用相似关系建立函数． （1）需要根据动点P的位置分情况，利用相似三角形的性质求出关于x的函数解析式；根据三角形面积公式求出关于x的函数解析式． （2）根据（1）中所求函数解析式，通过确定关键点坐标来画出函数图象，再观察图象得出的性质． （3）通过观察画出的与的函数图象，找出图象在图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ∵是中点，， ∴ 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得 在中，根据勾股定理 当时， ∵，为边上的中点， ∴， ∴， 过作于， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即， 解得， ∴ 综上，， ， 设，则， ∴； （2）解：画函数图象如下： 的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（不唯一）； （3）解：当时，找到图象在图象上方时对应的取值范围，可得 ． 【变式练习】 35．（2025·重庆九龙坡·二模）如图，在四边形中，，，对角线，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，作于点M，同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点N是射线上一点，连接，满足，当点P到达C点时，P、Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，线段的长度为，线段的长度为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，勾股定理，画函数图象得到，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用勾股定理可得，则可得到，由平行线的性质可得，再解求出和的长，进而确定点P在和上的运动时长，再分点P在和上两种情况分别求出，即可得到，根据题意可得的长，再利用三角形面积公式可得的长，据此可得； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再结合函数图象写出对应的函数图象的性质即可；（3）求出的交点横坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵动点P以每秒5个单位长度的速度从点B出发，沿着运动，， ∴当时，点P在线段上运动，当时，点P在线段上运动， 如图1所示，当时， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 如图2所示，当时，则此时有， ∴， ∴； ∵动点Q从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：如图所示函数图象即为所求；由函数图象可得，当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； （3）解：联立得：，解得（已检验）或（舍去）， 联立得，解得（已检验）或（舍去）， ∴由函数图象可知当时x的取值范围为． 36．（2025·重庆开州·模拟预测）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止运动，连接，．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点停止．两点同时出发，设运动时间为秒（），过点作于点．的面积为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理可得，再分两种情况，由勾股定理和相似三角形的判定与性质求解即可； （2）根据函数关系式画出函数图象即可； （3）由函数图象即可得解结论． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 当时，由题意可得，，， ∴； 当时，如图，作于， ， ∴， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 综上所述，； ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴，， ∴的周长为； ∵的周长为， ∴； （2）解：画出函数图象如图所示： ， 由图象可得，当时，随着的增大而增大； （3）解：由图象可得，当时，的取值范围为． 题型13反比例函数与几何综合问题 【典例13】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 【变式练习】 37．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】（1）将点代入一次函数求得，结合点在反比例函数的图象上代入求得k； （2）①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，则，有，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得和，以及，即可求得点E； ②根据一次函数求得点，即可知点，过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，则为等腰直角三角形，且，则，进一步判定点M与点K重合，由待定系数法求得直线的解析式，设点，结合平行四边形的性质求得点，代入反比例函数即可求得m，即可知点D． 【详解】（1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则 ，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则，； （2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ②一次函数的图象与y轴交于点C， 令，则， ∴， ∵， ∴， 过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∵点， ∴， ∵， ∴点M与点K重合，， ∴点， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴， 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴，解得，或， ∵D的横坐标大于1， ∴， ∴， 故点． 【点睛】本题主要考查函数和三角形的结合，涉及一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和解一元二次方程，题目综合性较强，难度偏高，解题的关键是熟悉函数性质和平行四边形的性质． 38．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上． (1)求，，的值． (2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值． (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或， (3) 【分析】（1）把代入得到，即．将代入得到．令，则，得到的坐标为，即． （2）设点C的坐标为．根据平行四边形对角线互相平分即两条对角线的中点是同一个点列方程求解即可，注意分情况讨论； （3）过点D作于点H，过点H作x轴的垂线交x轴于点N，交过点A且与x轴平行的直线于点M．则．设，，则，．再证明，得到，代入后解得，即．再把直线表达式为解得，即可求出直线的表达式为，最后根据有且只有一点，使得，得到直线与只有一个交点，联立以后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴，即． 将代入得， ∴． ∴直线即为． 令，则， ∴． 的坐标为． ∴． 综上所述，． （2）解：设点C的坐标为． 若和为对角线， 根据平行四边形对角线互相平分可得：， 解得 ∴， 把代入得：． 若和为对角线，同理可得，． 若和为对角线，此时点C在第一象限，不符合题意． 故点C的坐标为或，． （3）解：如答图，过点D作于点H，过点H作x轴的垂线交x轴于点N，交过点A且与x轴平行的直线于点M． ∴． ∴． 设，，则，． ∴，，，， ∵，， ∴， ∴． ∴． 解得， ． ∵点E与点D关于y轴对称， ∴． ∵， ∴直线表达式为． 将代入得， 整理，得． 解得（不合题意，舍去）． ∴，． 直线的表达式为． ∵有且只有一点，使得， ∴直线与只有一个交点， 联立方程组 消去，整理得． ． 解得． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正切，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 39．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值． (2)点为射线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接．当时，求点的坐标． (3)将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转交轴于点．若点为反比例函数的图象上一动点，直线交轴的正半轴于点，求面积的最小值． 【答案】(1)的值为，的值为 (2) (3) 【分析】（1）把代入，求出，即，代入求出即可； （2）过点作于点，延长交轴于点，设轴于点，根据三角形外角的性质得到，即，根据平行线的判定和性质得到，即，根据三角形内角和得到，进而得到，根据等角对等边得到，根据三线合一得到点D为的中点，根据得到，设，则，根据点为的中点，得到，求解即可； （3）连接，根据勾股定理得到，根据等边对等角及三角形内角和得到，即点P为点C绕原点逆时针旋转后的点，则，根据可知最小时，的面积最小，设所在直线为，则，即，当直线与反比例函数有且只有一个交点时，最小，从而的面积最小，此时的判别式，求出，则，可知面积的最小值为． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 把代入，得， 的值为，的值为； （2）解：如答图1，过点作于点，延长交轴于点，设轴于点， ，， ∵，轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ， 点D为的中点． 又∵． ∴． 设，则． ∵点为的中点， ∴，即． 解得， ∴或（不合题意，舍去）． ∴点的坐标为； （3）解：如答图2，连接． ∵， ∴且． 即点P为点C绕原点逆时针旋转后的点， ∴． ∵， ∴最小时，的面积最小． 设所在直线为， ∴． 从而． 当直线与反比例函数有且只有一个交点时，最小，从而的面积最小． 由，得． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴面积的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形外角的性质，三角形内角和，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 易错点01利用反比例的性质比较函数值的大小 【错因】利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上 【避错关键】反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 【典例】 1．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数，又，对应的函数值分别是，，若，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的增减性得出每个象限内y随x的增大而增大进而得出答案即可． 【详解】解：函数， 每个象限内随的增大而增大， ，， ， 故选：C． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象经过的象限以及增减性是解题的关键． 根据反比例函数的解析式得到反比例函数图象的两支位于第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数中，， 图象的两支位于第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小， 当时，点在第一象限、在第三象限，，故A选项错误，不符合题意； 当时，则，点、均在第三象限，，故B选项错误，不符合题意； 当时，则，点、均在第三象限，，故C选项正确，符合题意； 当时，则，点在第三象限、在第一象限，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 3．（2025·宁夏银川·二模）一元二次方程有两个相等的实数根，点，点在反比例函数的图象上，若，则，，0的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根可得，从而求出m的值，再根据反比例函数的性质即可求出大小． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和根的判别式，掌握以上性质是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 将代入得反比例函数为， 根据反比例函数的性质，可得点A和点B在第三象限， 当时，， 故选：B． 4．（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且． (1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求该函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先因为，所以，，，再代入，得出，再比较与的大小关系，即可作答． （2）先表示，再结合，，解方程组，即，得出，再代入，即可作答． 【详解】（1）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上，且 ∴，， 则 则， ∵ ∴ （2）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上 ∴ ∵，， ∴ 整理得， ∴ 解得，（舍去） 经检验：是原分式方程的解， ∴． ∴ 5．（2023·浙江杭州·二模）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2)①；② 【分析】（1）根据反比例函数图象与性质，利用待定系数法列方程求解即可得到答案； （2）①利用反比例函数图象与性质，结合题意求出，利用待定系数法列方程求解即可得到答案；②利用反比例函数图象与性质，利用待定系数法求出，列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数，点都在该反比例函数图象上， ，解得， ； （2）解：点都在该反比例函数图象上，且点和点关于原点中心对称， ， ，则，解得， ， 将代入得，解得， ； ②，则， ， ， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，涉及待定系数法确定、点的对称性质、解不等式等知识，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 易错点02反比例函数的实际应用问题 【错因】利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义 【避错关键】应用反比例函数解决生活实际问题的关键是先将实际问题转化为数学问题，再根据所给变之间的关系求出反比例函数的解析式，最后解决问题.注意实际问題中的反比例函数的自变量的取值往往受一定的限制，这时其图象通常是双曲线的一支或一段 【典例】 1．（2025·福建福州·三模）光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入反比例函数表达式求出参数； （2）通过将给定的照度值代入已求出的函数表达式，求出对应的透明度，从而确定透明度的范围． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 把代入得，． 与之间的函数表达式为； （2）解：智能玻璃的透明度应控制在范围内， 理由如下： 把和别代入得， 且在第一象限随的增大而减小， 智能玻璃的透明度应控制在范围内． 【点睛】 2．（2025·河南驻马店·三模）“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点的距离保持不变时，弹簧秤的示数是关于（弹簧秤与中点的距离）的反比例函数．已知当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； (3)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的增减性和不等式的解法是解题的关键． （1）由题意直接利用待定系数法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性和的取值范围计算即可； （3）根据题意列不等式并求的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意设关于的函数表达式为， 将，代入，得， ∴， ∴关于的函数表达式为． （2）由（1）可知，关于的函数表达式为． ∵，， ∴随的增大而减小． ∵当弹簧秤位于木杆最右端时，的值最大，最大值为50， ∴当时，的值最小，最小值为， ∴弹簧秤的示数的最小值为12． （3）将代入，得． 根据反比例函数的图象与性质可得． 由题意可知，故的取值范围是． 3．（2025·四川达州·二模）知识背景 当且时，因为，所以，从而（当时取等号）． 设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例 已知函数与函数，则当时，有最小值为． 解决问题 (1)已知函数与函数，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 【答案】(1)当时，有最小值，最小值为6； (2)当时，w有最低成本，最低成本为元．． 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，，当时，有最小值，即可求解； （2）设设备平均每天的租赁使用成本为元，依题意得，根据，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴当时，有最小值， ∴时，有最小值，最小值为； （2）解：设设备平均每天的租赁使用成本为元，依题意得： ， ∵ ， ∴， ∴当时，w有最小值， ∴或（舍去）时，w有最低成本，最低成本为元． 4．（2025·广东广州·二模）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．． ①表格中的___________； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)①1；②见解析 (2)增大 (3)该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解； ②依据题意，根据表格数据描点即可得解； （2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解； （3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，将代入中， ∴， ． 故答案为：1． ②图象如下图所示，即为所求． ； （2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大． （3）解：不能，理由如下： 由题意，设（，b为常数） 将，代入，得， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当时，． ∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 技巧01：反比例函数的比例系数与面积问题 《方法技巧》 1.反比例函数y=的比例系数与面积关系：双K模型 (1)如图，四边形ABCD是矩形，B是双曲线y=上一点，A是双曲线y=上一点，AB∥x轴，BA的延长线交y轴于点E,则矩形ABCD的面积= (2)如图，△AOB的顶点A在双曲线y=上，顶点B在双曲线y=上，AB∥y轴，AB的延长线交x轴于点C, 则△AOB的面积= 2.反比例函数图象与三角形中点模型 如图，若点A,B是双曲线y=上的两点，且AD⊥x轴，垂足是D,BE⊥x 轴，垂足是E,且点B是AC的中点，则 (1OD=DE=EC; (2)= 3.反比例函数图象与矩形中点模型 如图①，若双曲线y=过矩形相邻两边的“中点”，则四边形OEBF的面积=,△BEF的面积= 【典例】 1．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 2．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 4．（2025·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为3，则的值为 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的边上的高相等， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故答案为：8． 5.（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，的延长线交轴于点，连接交双曲线于点，连接，若，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，综合运用以上知识点是解题的关键；连接，作 轴于点，轴于点，轴于点，设 ，证明，可得，，进而求得，证明可得，则，即可得解． 【详解】如图，连接，作 轴于点，轴于点，轴于点， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 把代入得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， 又， ． 故答案为：． 技巧02：反比例函数与一次函数综合问题 《方法技巧》 1.题型特征：已知反比例函数与一次函数的解析式（或交点坐标），求两函数图象与坐标轴围成的图形面积。 2.解题关键：先求两函数的交点坐标、一次函数与坐标轴的交点坐标，再通过“大图形面积 - 小图形面积”计算目标面积 3.方程思想：方程思想是根据条件构造方程（组），并通过解方程（组）来解决问题.本章中反比例函数的解析式的确定及关于反比例函数的实际问题中无不渗透着方程思想，它集中体现在待定系数法的运用上 【典例】 1（2025·江苏连云港·二模）如图，已知点在直线上，双曲线经过点A． (1)求双曲线的函数表达式； (2)点分别在直线和双曲线上，当时，直接写出b的取值范围； (3)点B在线段上（不与A点重合），将点A绕着点B顺时针旋转得到点C，当点C恰好落在双曲线上时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象确定函数值的取值范围，全等三角形的判定和性质，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）把代入可得，即；把代入求得k的值即可解答； （2）先求出两函数图象交点的纵坐标，然后根据函数图象即可解答； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，，可得，则设点，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出值，继而得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 把代入得， 双曲线的函数表达式为； （2）直线与双曲线交于点， ∴ 另一个交点为， ∵ 点分别在直线和双曲线上， 观察图象， 当时，或； （3）解：如图 ，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， ∵ 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， ∴ 点， ∵ 点在反比例函数图象上， ， 解得（舍去）， ， ∴ 点． 2．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与、轴分别交于点、．的顶点在第一象限内，且在的图象上，顶点在轴上．若点的坐标为，且．    (1)求一次函数解析式和反比例函数的解析式： (2)将向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为______； 【答案】(1)， (2)3 【详解】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出一次函数的解析式，求出点坐标，进而求出的长，求出的长，平行四边形的性质，求出的长，进而求出点坐标，待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）设平移距离为，根据平移规则，求出平移后的点的坐标，代入反比例函数解析式进行求解即可． （1）解：把代入，得：， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵均在轴上， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设平移距离为，则：平移后的坐标为：， 当平移后点在反比例函数图象上时，则：， ∴， ∴平移的距离为3． 3（2024·湖北·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)填空： ______， ______， ______ (2)直接写出不等式的解集为________； (3)连接，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，根据三角形面积计算公式可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴交于点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵， ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入反比例函数中，解得，运用待定系数法解得一次函数的解析式为：； （2）设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E，先整理得，，再结合三角形面积公式列式，因为，得，解得或，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， 得； ∴反比例函数的解析式为：， 将点分别代入一次函数的解析式， 得， ， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：如图，设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E， 设， 由（1）得反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：． ， ， 令，， ， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点C的坐标为或． 5．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移个单位长度与的图象交于点，连接、． ①求的面积． ②若直线的解析式为，请直接写出成立时的取值范围． 【答案】(1)； (2)①6；②或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）①先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点B坐标，根据三角形的面积公式列式，代入数据计算即可．②根据与反比例函数的交点坐标结合函数图象进行判断即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ， 解得， ， 在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）解：①把直线向上平移个单位得到解析式为， 当时，， ∴直线与轴交点坐标为， ． 连接， 联立方程组， 解得，舍去， ， ， ． ②，， 由图像可知或时，． 6（2025·贵州·模拟预测）如图：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，其中点坐标为． (1)求反比例函数和正比例函数的表达式，并直接写出点坐标； (2)将正比例函数的图象逆时针旋转后向上平移（）个单位长度，得到的一次函数的图象刚好与反比例函数的图像只有一个交点，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了正比例函数与反比例数，一次函数的平移，旋转的性质，一次函数与反比例函数交点问题； （1）将点分别代入反比例函数与正比例函数，待定系数法求解析式，根据正比例函数与反比例函数都是中心对称图形，即可得出点的坐标； （2）先求得旋转后的正比例函数解析式，根据平移的性质得出一次函数解析式为，结合题意，根据有两个相等的实数根，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数表达式为：， 将点代入得， ， 解得： ∴正比例函数的表达式为：， ∵正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形， ∴关于原点对称， ∴ （2）解：∵将绕原点逆时针旋转得到， 代入正比例函数，得，， 解得：， ∴正比例函数逆时针旋转后得到， 向上平移（）个单位长度，得到的一次函数： ∵与反比例函数的图象只有一个交点， ∴，即有两个相等的实数根， ∴ 解得：或（舍去） 技巧03：利用反比例函数解决分段类应用问题 《方法技巧》 若题目中的函数是分段函数，当x取不同的值时，函数解析式也不同.解决此类分段函数问题时，要注意函数、自变量的取值范围以及所给的自变量或函数值应代入哪个函数解析式中，再运用相应函数的性质解题 【典例】 1．（2025·宁夏银川·模拟预测）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式： (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 【答案】(1) (2)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于．理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）求解反比例函数的解析式为：，进一步可得的坐标；当时，设的解析式为，代入两点的坐标即可求解； （2）分别求解当时，；当时，；即可判断； 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为：， 由得， ∴反比例函数为：， 当时，， ∴， ∴， 当时，设的解析式为， ∴， ∴． ∴． （2）解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，，解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． ∴当时，注意力指标数都不低于． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 2．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）项目式学习 项目主题：利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度． 项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内通常白天温度需保持在，夜间温度不低于． 数据搜集：某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间x（时）变化的图象．如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点D表示时，温度降到． 问题解决：结合图象信息及项目所给信息，解决下列问题： (1)在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．求智能控制系统设定的恒温温度； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时间有多少小时？ 【答案】(1) (2)小时 【分析】本题考查根据图象解答问题、已知自变量值求函数值、待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）观察图象，利用待定系数法求出升温时段的一次函数解析式，继而将代入即可求出答案； （2）先利用待定系数法求段反比例函数解析式，进而利用段和段的函数解析式，求出在4时，大棚温度升至，在时，大棚温度降至，用，即可求出答案． 【详解】（1）解：根据图象，设升温阶段的函数解析式为：， 将，代入中得： ，解得， ， 将代入中得：， 即点坐标为， 智能控制系统设定的恒温温度是； （2）把代入段函数解析式中得：， 解得， 在4时，大棚温度升至， 设段函数解析式为：， 将代入中得： 解得， ， 把代入函数中得：， 在时，大棚温度降至， ， 大棚在时内，温度不低于的时间有小时． 3．（2025·宁夏银川·二模）饮水机中原有水的温度是，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图）．根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测他散步87分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少？ 【答案】(1)40 (2) 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时，函数解析式求出即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步87分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 技巧04：反比例函数与几何压轴问题 《方法技巧》 1.解题思路（1）设坐标，标已知：设反比例函数上未知点的坐标或几何图形中关键点的坐标（如矩形顶点、三角形顶点），并用字母表示；同时标记题目中已知的坐标、边长、角度等条件 （2）用几何性质，建等式：根据几何图形的性质（如三角形全等/相似、平行四边形对边相等、矩形对角线相等、菱形四边相等），将“几何关系”转化为“坐标关系”。 （3）列方程，求未知：将坐标关系转化为方程（含k或设的字母），解方程求出k值、点坐标，最终解决问题（如求面积、解析式）。 2.常用辅助线：“作垂线”构造直角三角形或矩形压轴题中几何图形常非特殊位置，需通过辅助线转化为“与坐标轴关联的直角图形”， 【典例】 1（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． (1)求，，的值； (2)若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，根据平行四边形的性质，分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可； （3）设点，则，，利用相似三角形的性质得，进而解方程得，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，联立方程组得，根据题意，方程有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得，则， 将代入中，得，则， ∴， 将代入中，得，则； （2）解：设，由（1）知， 若，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况： 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，则，解得， ∴，则； 当为对角线时，依题意，这种情况不存在， 综上所述，满足条件的点的坐标为或，； （3）解：如图，设点，则，， 若，则，即， ∴，即， 解得， ∵，∴，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，得， ∵有且只有一点， ∴方程有且只有一个实数根， ∴，解得； 由题意，不存在， 故满足条件的k值为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 3.（2025·广东中山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，． (1)如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和B点坐标； (2)如图2，当，连接，时，求m的值； (3)当时，若，求b的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意得到，两点坐标，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，根据点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，得到一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，则，如图所示，过点作轴于点，根据，得坐标，可求出直线的解析式，则坐标可表示，根据三角形面积的计算即可求解； （3）根据题意得到，则，，则点，，，设一次函数与轴交点，，直线的解析式为，即可知，根据两点之间距离的计算得到，，，，由，得到，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：当时，一次函数解析式为， ， 点是的中点，且， ， 解得， ， 把点代入反比例函数解析式得，， 解得，， 反比例函数解析式为， 把点代入一次函数解析式得，， 解得，， 一次函数解析式为， 联立反比例函数、一次函数解析式得，， 解得，，， ； （2）解：当时，同理，， 点是的中点，且， 点的横坐标为，纵坐标为，即， 点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上， ，， 解得，，， 一次函数解析式为：，反比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得，，， ， 如图所示，过点作轴于点， ，， ，，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，，即， ， ， 整理得，， ， 解得，或， 或， 解得，或； （3）解：当时，一次函数解析式为， 把点代入得，， ，则， ，则点，， ， 把点代入得，， ， 反比例函数解析式为， ， 解得，，， ， 当时，，即设一次函数与轴交点， ， 同理，， ， ，则， 设直线的解析式为， ， 解得，， 直线的解析式为， 当时，，即， 由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， ， 整理得，， ， 当时，， ，，如图所示， 当时，， ，，如图所示， 若，的值为或． 【点睛】本题主要考查一次函数性质，反比例函数与几何图形的综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． 4.（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点P． (1)如图1，若点P的坐标为． ①求正比例函数及反比例函数的表达式； ②在反比例函数图象上是否存在点C，使得？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如图2，以点P为圆心，以为半径作弧，交反比例函数图象于点Q（点Q在的右侧），分别过点P和Q作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M，连接，点B在x轴的正半轴上，得到．求证：． 【答案】(1) ①正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为 ②存在，或 (2)见解析 【分析】本题是反比例函数综合题，考查的是反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、等腰三角形的性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出正比例函数及反比例函数的表达式即可； ②设点的坐标为，将的面积转化为梯形面积，根据梯形的面积公式即可得到结论； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，设点的坐标为，点的坐标为，根据矩形的性质用、表示出点、的坐标，求出直线的解析式，判断得到，，三点共线，根据矩形的性质得到，得到，证明，进而得到． 【详解】（1）解：①把点的坐标代入得， ， 正比例函数的表达式为， 把点的坐标代入得， ， 反比例函数的表达式为． ②设点的坐标为， 过作轴于，过作轴于， ∴， 解得或（负值舍去）， 当时，； 当时，； 在反比例函数图象上存在点，使，或； （2）证明：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点，连接，设交于点， 设点的坐标为，点的坐标为， 由题意得：四边形为矩形， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点在直线上，即，，三点共线； 轴， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点． (1)求点的坐标并直接写出、的值； (2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标； (3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点或； (3)存在，或或． 【分析】（1）过点作轴于点，作轴于点，结合正方形的性质用“角角边”证明、，再由全等三角形的性质即可求出点、的坐标，求出坐标后分别代入反比例函数即可得出、的值； （2）延长交轴于点，由点、的坐标求出直线的解析式及线段的长，可得点坐标，过点作交轴于点，作交延长线为，结合题中所给的求出，再结合解直角三角形的应用、勾股定理求出，可得点坐标，从而求出直线解析式，由点是直线与反比例函数的交点，联立反比例函数解析式和直线解析式即可求出点横坐标，继而得解； （3）先求出点坐标、的长，设点、，分三种情况讨论：当为对角线时；当为对角线时，当为对角线时． 【详解】（1）解：过点作轴于点，作轴于点， ， 正方形中，，， 平面直角坐标系中， ，， ， 在和中， ， ， 又，， 则，， 则点， 同理可得，， ，， 则点， 将点、的坐标分别代入两个函数表达式得：，； （2）解：延长交轴于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，， 令，则，则点， 过点作交轴于点，作交延长线为， 则， ， 由直线的表达式知，， ，， ， 直线的表达式为：，由（1）知反比例函数的表达式为：， 点是直线与反比例函数的交点， ， 解得：或， 即点或； （3）解：存在，理由： 当时，，即点， 设点、， 由点、的坐标得， 当为对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：（无解）或， 解得：， 即点或， 综上，或或． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、求反比例函数解析式、求一次函数解析式、解直角三角形的应用、勾股定理、一次函数与反比例函数综合、反比例函数与几何综合、一元二次方程的实际应用，解题关键是分类讨论． 反比例函数检测 一、单选题 1．（2025·天津西青·二模）在反比例函数的图形上的一个点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是直接代入验证．把各选项点的横纵坐标相乘，看是不是等于，若等于，则说明在函数图象上，否则不在函数图象上． 【详解】解：， ， A、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； B、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； C、因为，所以在函数图形上，此选项正确； D、因为，所以不在函数图形上，此选项错误； 故选C． 2．（2025·云南·模拟预测）某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强p与受力面积S之间的函数关系式，该函数图象位于   （   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的应用．根据，可得结论． 【详解】解：物体对地面的压强与受力面积S之间的函数解析式， ∴该函数图象位于第一象限． 故选：A． 3．（2025·云南·模拟预测）若点在函数的图像上，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握图像上点的坐标特征是关键．根据解析式确定函数图像分布，再确定点的位置，比较函数值大小即可． 【详解】解：反比例函数的图像分布在第二、四象限，且， 点在第二象限，点在第四象限， ． 故选：A． 4．（2025·湖南·模拟预测）在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量（单位：克）固定时，溶液质量（单位：克）与溶质质量分数之间成反比例关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数关系的应用以及溶质质量分数公式的理解，解题的关键是明确溶质质量分数的定义，结合反比例关系建立函数表达式． 根据溶质质量分数公式，结合题意即可求解． 【详解】解：当溶质质量（单位：克）固定时，溶液质量（单位：克）与溶质质量分数之间成反比例关系， 设， 当克时，溶质质量分数为时，即， 得， ，即， 故选：A． 5．（2025·江苏连云港·二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质． 画出图象，根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：如图， ，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A选项正确，符合题意；B选项错误，不符合题意； 由图可知图象经过第二、三、四象限， 故C选项错误，不符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：A． 6．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力． 先根据正比例函数和反比例函数图象的性质得反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为，然后观察函数图象得到当或时，反比例函数图象都在正比例函数图象下方，即． 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的交点关于原点中心对称， ∴反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为， ∴当或时，． 故选：． 7．（2025·河北·一模）有甲、乙、丙、丁四块长方形的小麦试验田，图中的四个点分别表示这四块试验田的长y（单位：）与宽x（单位：）的情况，其中表示甲、丁试验田长、宽情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则面积最大的试验田是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函数图象上坐标的特征是解题的关键．设四个点的坐标分别为甲，，乙，，丙，，丁，，对应四块试验田的面积分别为、、、．过点丙作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，设，，对应的面积为．通过比较坐标的大小，利用矩形的面积公式及反比例函数图象上坐标的特征比较、、、的大小即可． 【详解】解：设四个点的坐标分别为甲，，乙，，丙，，丁，，对应四块试验田的面积分别为、、、．过点丙作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，设，，对应的面积为． 表示甲、丁试验田长、宽情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ， ， ，， ， ， 点与点甲、丁在同一反比例函数的图象上， ， ， ，， ， ， ， 面积最大的试验田是丙． 故选：C． 8．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A 是直线上的一动点，点 B在双曲线 上，点B 的纵坐标为，点 P 是x轴正半轴上的一动点，连接．当四边形是矩形时，k的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．如图，过作于点，过作于点，根据点B 的纵坐标为，结合矩形的性质，得到，将代入，求出，得到，利用勾股定理求出，证明，求出，由矩形的性质得到，再利用勾股定理求出，得到，代入即可解答． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， ∵点B 的纵坐标为，四边形是矩形， ∴，， 将代入，则，解得， ∴， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，则． 故选：B． 9．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知点，均在函数的图象上，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象及性质，将所给的函数与所学的反比例函数图象结合解题是关键．将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到函数的图象，通过观察函数图象，结合反比例函数的图象及性质进行分析即可． 【详解】解：将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到函数的图象，如图， ①当时， ， , , , , 当时，， 故①不符合题意； ②当时， ， , , 故②符合题意； ③， ， 当时y随x值的增大而减小， ， ， 故③不符合题意； ④， ， 当时y随x值的增大而减小， ， ， 故④符合题意； 故选：B 10．（2025·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点，交于点F．则下列说法正确的是（    ） A．k越小，的长越小 B．当时，为定值 C．若矩形面积为16，时， D．当为边长1的正方形时，最小为 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，涉及了勾股定理，求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质等．设点B的坐标为，则，点，从而得到，再由勾股定理可得，可判定A；当时， ，可判定B；过点F作于点G，则，根据，可得，，从而得到点，进而得到，可判断C；若为边长1的正方形，可得，可判断D． 【详解】解：如图， 设点B的坐标为，则， ∵四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点， ∴点， ∴， ∴， ∴， 当，即时，k越小，的长越大，故A选项错误； 当时， ，， ∴ ， 即的大小与有关，不是定值，故B选项错误； ∵矩形面积为16， ∴， 如图，过点F作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，， ∴点， 把点代入，得： ，故C选项正确； ∵为边长1的正方形， ∴， ∴， 此时当时，取得最小值，为0，故D选项错误． 故选：C 二、填空题 11．（2025·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，图象位于第一、三象限，据此得到，再解不等式即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， 则比例系数， 解得， 故答案为：． 12．（2025·陕西汉中·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点、，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题．由点A在反比例函数图象上可求出m的值，得到点A坐标，再代入正比例函数求出k，然后联立两个函数解析式解方程组，求出另一个交点B的坐标，即可作答． 【详解】解：∵在， ∴， ∴点A坐标为 ∵点在正比例函数的图象上， ∴，解得， ∴正比例函数解析式为． 联立方程组， 代入得， 两边乘以得， 解得， ∴或， ∵ 当时，， ∴点B坐标为． 故答案为： 13．（2025·安徽淮南·二模）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得，则设，得到方程，解得，再根据反比例函数k的几何意义得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 设， ∵若，， ∴， 解得， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：10． 14．（2024·湖南·模拟预测）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①函数解析式为；②容器内气体的质量是；③当时，；④当时，． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．利用待定系数法求出函数解析式为，再逐项求解即可． 【详解】解：密度与体积是反比例函数关系， 设， 由图象可知，反比例函数图象可知，当时，， ， ， 函数解析式为，故①正确； 质量密度体积， 容器内气体的质量，故②错误； 当时，， ∵, ∴由图象可得，在第一象限内，随着的增大而减小， ∴，故③正确； 当时，， 解得：，故④错误， 故答案为：①． 15．（2024·湖北·模拟预测）如图，一次函数是常数）的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴，y 轴分别交于点A，B，将沿y轴向上平移得到，且点在反比例函数的图象上，则点的坐标为 【答案】/ 【分析】将点分别代入一次函数和反比例函数中，求出m和k的值，得出一次函数和反比例函数解析式，再求出点的坐标，即可得到平移的距离，再求出点的坐标，从而可得点的坐标． 【详解】解：将点分别代入一次函数和反比例函数中， 得：，， 解得：，， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 把代入得 解得， ∴， 把代入得：， ∴， ∴整体向上平移了个单位， 将代入得：， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，图象的平移，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质，以及平移的性质，是解题的关键． 16．（2025·安徽淮南·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点C，点C的纵坐标为4，直线与x轴交于点，与y轴交于点M，B为直线上一点，横坐标为，过点B作轴于点D，交反比例函数的图象于点H，G为反比例函数图象上一动点，过点G作于点E，作交y轴于点F． （1） ； （2）若点G在点C，H之间（不与点C，H重合）运动，当面积取得最大值时，的长为 ． 【答案】 【分析】（1）先求出直线的解析式为，然后求出点C的坐标为，再求出即可； （2）设点，且，求出，设直线的函数表达式为，求出，得出点，延长交y轴于点N，易知轴，求出，求出，再根据二次函数的最值，求出结果即可． 【详解】解：（1）将点代入，得， 解得， ， 当时，得， 点， 将点代入，得， 解得． 故答案为：． （2）轴，， 轴， 由题可知点H，E的横坐标为，反比例函数， 设点，且， ， ， 设直线的函数表达式为，将点代入得：， 当时，， 点， 延长交y轴于点N，易知轴， ， ， ， 当时，取得最大值，此时． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，二次函数的综合应用，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数性质，求出． 三、解答题 17．（2026·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．将点 A 向右平移2个单位长度，得到点B，将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，此时点C的纵坐标为1． (1)点B的坐标为 ，点C 的坐标为 ；(用含a的代数式表示) (2)求 k的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，直角坐标系中坐标的平移，熟练掌握坐标的平移特征和反比例函数解析式的特征是解决本题的关键． （1）先利用向右平移2个单位长度，即横坐标加2，得出点B的坐标，再根据将点B向下平移，对应点为点C，得点C的横坐标和点B的横坐标相同，即可求解； （2）根据点A与点C均在反比例函数图象上，代入列式可求解，可得a的值，进而可知点A的坐标，代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵向右平移2个单位长度，得到点B， ∴点B的坐标为， ∵将点B向下平移，使其对应点C落在反比例函数的图象上，点C的纵坐标为1， ∴点C的横坐标和点B的横坐标相同， ∴点C的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴． 18．（2023·辽宁·一模）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为200欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为6欧姆时，电流I为24安培． (1)求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数解析式； (2)若，求电流I的变化范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设函数解析式为，把时，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案． 【详解】（1）设函数解析式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴电流（安培）与电阻（欧姆）之间的表达式为． （2）∵中，，， ∴图像在第一象限，随的增大而减小， ∵， ∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，， 把电阻最大值代入，得到电流的最小值，， ∴电流的变化范围是． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键． 19．（2024·山东淄博·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于． (1)求、的值及反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据函数图象上点的坐标特征，将点，代入一次函数，求出、的值，再将点代入反比例函数，求出，即可得到反比例函数的表达式； （2）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，点，在一次函数的图象上， ，， ，， ，， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：直线向下平移个单位， 平移后的函数解析式为， 联立， 整理得：， 直线与反比例函数的图象有唯一交点， ， 解得：或， ， 不符合题意，舍去， ． 20．（2025·浙江杭州·二模）小王家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)若小王在通电开机后即外出散步，分钟后回家，要使得回家时饮水机内温度不低于，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）利用待定系数法求出下降过程中水温与开机时间（分）的函数关系式并将坐标代入，求出t即可； （3）分别求出加热和放热过程中温度为时对应的时间，即水温从加热到需要的时间，继续加热到再降到需要的时间，从而计算当时，加热过程中水温为时对应的时间和放热过程中水温为时对应的时间，再根据图象直接写出这个时间段内饮水机内温度不低于时t的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 此函数解析式为：； （2）解：当，设水温与开机时间（分）的函数关系式为：， 依据题意，得：， 即， 故， 当时，， 解得：； （3）解：当时： 当时，解得， 当时，解得， ∴水温从加热到需要分钟，继续加热到再降到需要20分钟， ∴当时，加热过程中水温为时对应的时间为（分），放热过程中水温为时对应的时间为（分）， 根据图象，要使得回家时饮水机内温度不低于，t的取值范围为． 21．（2025·广东广州·二模）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)满足条件的点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． （1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可； （2）将代入得，求出，得到函数的解析式为； （3）设，连接，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， （2）解：将代入得， ， 函数的解析式为； （3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点， 设， 如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验是原方程的根， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 22．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． 【答案】(1) (2)点或 (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及等腰直角三角形的性质等，处理数据和利用绝对值是解题的关键． （1）把点代入，得到，于是得到结论； （2）设点，则点，根据，得到，解方程即可得到结论； （3）设点，点，根据，得到方程，化简整理得到，因为上式恒成立，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：点在的函数图象上， ， 函数的关系式为； （2）解：设点，则点， ， 则， 解得：或或（舍去）， 即点或； （3）解：设点，点， ， 则， 即， 因为上式恒成立， 则， 解得：． 23．（2025·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线：交反比例函数的图象于点P，交x轴于点Q，交y轴于点M，已知，点P到y轴的距离为2． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)如图1，点N在反比例函数第三象限的图象上，若，直接写出N的横坐标t的取值范围； (3)如图2，将直线：沿y轴向下平移，平移后的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，交y轴于点B，且，求直线到直线的平移距离． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形判定与性质等，解题的关键是掌握一次函数，反比例函数的相关性质． （1）由，得，代入中得，故直线的函数解析式为，由点到轴的距离为2，可得，代入得反比例函数的解析式为； （2）求出，设,，可得，故； （3）过作轴于，过作轴于，证明，得，而，知，可得，用待定系数法得直线解析式为，从而，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 把代入中得：， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点到轴的距离为2， ， ， 把代入得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：， ， 设，其中， ， ， 解得； （3）解：过作轴于，过作轴于，如图： ∵直线直线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，令得， ， 设直线解析式为， 把代入得：， ， ∴直线解析式为， 令得， ， 由知， ∴直线向下平移6个单位可得直线，即平移距离为6． 24．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C． (1)求k的值； (2)连接，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？  若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，四边形为菱形时，或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，两点之间距离公式，菱形的性质等知识点，难度较大． （1）先根据正比例函数解析式求出点A的坐标为，再将其代入，即可求解； （2）先求出直线，则，联立反比例函数解析式得到，过点分别作轴的垂线，垂足为，，则，再代入数据求解即可； （3）设，则，，，由于四边形为菱形，则为等腰三角形，再分三种情况讨论，列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得将代入，则， 解得， ∴点A的坐标为， 再将代入，则； （2）解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形，， ∴ 设直线， 则， ∴， ∴直线， 则当时， ∴， ∴， 联立 整理得：， ， 解得：， ∴， 过点分别作轴的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， ∴； （3）解：设，则，，， ∵四边形为菱形， ∴为等腰三角形， ∴当时，则 解得：（舍）； 当时， 解得：或 ∴或； 当时，， 该方程无解， 综上：存在，四边形为菱形时，或． 5 / 160 学科网（北京）股份有限公司 $