5.4.3正切函数的性质与图像 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正切函数的图像与性质，通过复习正弦、余弦函数的单调性、最值及对称性，搭建前后知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于以类比探究（如周期性、奇偶性推导）和单位圆作图培养数学眼光与思维，通过题型实例（如定义域求解、单调性比较）帮助学生用数学语言表达问题，既提升学生逻辑推理与探究能力，也为教师提供系统教学资源，助力高效课堂实施。

第五章　三角函数 5.4　三角函数的图像与性质 第四课时 正切函数的性质与图像 复习回顾 1.单调性 正弦函数 在每一个闭区间 上单调递增,值由-1增大到1。 在每一个闭区间 上单调递减,值由1减小到-1。 余弦函数 在每一个闭区间 上单调递增,值由-1增大到1。 在每一个闭区间 上单调递减,值由1减小到-1。 第五章　三角函数 数学必修一 复习回顾 2.最值与对称 正弦函数 当且仅当 时取得最大值1。 当且仅当 时取得最小值-1。 对称轴： 对称中心： 第五章　三角函数 数学必修一 复习回顾 2.最值与对称 余弦函数 当且仅当 时取得最大值1。 当且仅当 时取得最小值-1。 对称轴： 对称中心： 第五章　三角函数 数学必修一 | 新 知 学 习 | 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：正切函数的图像 探究1 类比研究正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，试求出正切函数的周期是多少？它的奇偶性是怎样的？ 由诱导公式，可知 周期性 正切函数是周期函数，周期是 由诱导公式，可知 奇偶性 正切函数是奇函数 定义域关于原点对称 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：正切函数的图像 探究2 正切函数的周期性和奇偶性对研究其图象及其他性质会有什么帮助？ 根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期， 再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期， 比如区间内的图象与性质即可． 比如区间内的图象与性质即可． 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：正切函数的图像 探究3 如图，设，在坐标系中画出角的终边与单位圆的交点.过点B作x轴的垂线，垂足为；               x 过点作轴的垂线与角的终边交于点， 则 当，线段AT的长度就是相应角的正切值。 A T 0 X Y 追问 那么如何在坐标系中描出点? 例如： 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：正切函数的图像 渐近线 渐近线 O X Y 观察图象可知：当时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大， 当x趋向于时，AT的长度趋向于无穷大．且向右上方无限逼近直线，但不会与该直线相交． 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：正切函数的图像 因为正切函数是奇函数，只要画函数图象关于原点的对称图形，就可得到的图象； 根据正切函数的周期性，只要把函数的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数的图象，我们把它叫做正切曲线.       第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：正切函数的性质 探究4 正切函数的图象有怎样的特征？ ③正切曲线是被与y轴平行的一系列直线所隔开的无数个形状相同的曲线组成的. ①图象关于原点对称 ②图象在x轴上方的部分下凹； 在x轴下方的部分上凸. 第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：正切函数的性质 探究4 正切函数的图象有怎样的特征？ 单调性 观察图像，正切函数在区间上单调递增, 由正切函数的周期性可知，正切函数在每一区间上都单调递增. 值域 观察正切曲线可知，当，时在 内可以取到任意实数值,但没有最大值、最小值.因此正切函数的值域是实数集R. 第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：正切函数的性质 探究5 正切函数的图像有对称轴吗？除了原点是对称中心，还有其它对称中心吗？ 对称性 观察正切曲线可知，正切函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形， 关于点对称. 第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：正切函数的性质 y x 1 -1 /2 -/2  3/2 -3/2 - 0 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 R T=  奇函数 函数 y=tanx 增区间 t t+ t- 总结 第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：正切函数的性质 例6 求函数的定义域、周期及单调区间． 解： 第五章　三角函数 数学必修一 | 题 型 讲 解 | 第五章　三角函数 数学必修一 1.求下列函数的定义域和值域： (1)(2) . 题型一 正切函数的定义域、值域问题 解：(1)依题意得所以. 所以函数的定义域是 由正切函数的值域可知该函数的值域是 第五章　三角函数 数学必修一 1.求下列函数的定义域和值域： (1)(2) . 题型一 正切函数的定义域、值域问题 解：(2)依题意得所以. 结合的图象可知，在区间上， 满足的角应满足 所以函数的定义域为其值域为 第五章　三角函数 数学必修一 变式1.函数在上的最大值与最小值的差为( ). A. B. C. D. 题型一 正切函数的定义域、值域问题 解：∵，∴ 又在上为单调递增函数 ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值，. ∴最大值与最小值的差为： A 第五章　三角函数 数学必修一 2.(1)若的周期为1，则的值为( ). A. B. C. D. 题型二 与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题 答案：D. 解：∵的周期为 ∴即 则 第五章　三角函数 数学必修一 2.(2)判断下列函数的奇偶性： ①；② . 题型二 与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题 解：①∵ 其定义域为关于原点对称， 有 ∴是偶函数. ②∵ 其定义域为关于原点对称， 有 ∴是奇函数. 第五章　三角函数 数学必修一 2.(3)，若，则的值为( ). A.0 B.3 C.1 D.2 题型二 与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题 答案：A. 解：∵， ∴当时，有， ∴ 则 第五章　三角函数 数学必修一 3.求函数的单调递减区间. 题型三 正切函数的单调性及应用 解：∵ ∴的单调递减区间是的单调递增区间. 由得： ， 所以函数的单调递减区间是 第五章　三角函数 数学必修一 变式3.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小. (1)与；(2)与. 题型三 正切函数的单调性及应用 解：(1)∵ ， 且在上是增函数， ∴即. (2)， ∵在上单调递增， ∴即. 第五章　三角函数 数学必修一 | 课 堂 总 结 | 第五章　三角函数 数学必修一 复习回顾 1.正切函数的图像 性质 正切函数 正弦函数、余弦函数 定义域 R 值域 R [－1,1] 最值 无 最大值为1 最小值为－1 单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在 奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 周期性 T＝π T＝2π 对称性 有无数个对称中心， 不存在对称轴 对称中心和对称轴 均有无数个 第五章　三角函数 数学必修一 复习回顾 2.正切函数的性质 由诱导公式，可知 周期性 正切函数是周期函数，周期是 由诱导公式，可知 奇偶性 正切函数是奇函数 定义域关于原点对称 单调性 由正切函数的周期性可知，正切函数在每一区间上都单调递增. 第五章　三角函数 数学必修一 复习回顾 2.正切函数的性质 当，时在内可以取到任意实数值,但没有最大值、最小值. 因此正切函数的值域是实数集R. 值域 观察正切曲线可知，正切函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形， 关于点对称. 对称性 第五章　三角函数 数学必修一 $