5.4.2 第三课时正弦函数余弦函数的单调性与最值 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的单调性、最值及对称性，课堂导入通过复习周期函数、奇偶性等旧知，结合图像观察特定区间（如y=sinx在[-π/2,3π/2]）的变化规律，从特殊到一般引导学生构建知识脉络，搭建学习支架。 其亮点在于以图像观察（数学眼光）为核心，通过探究-总结-例题模式，如比较大小用诱导公式转化到同一单调区间，求单调区间用换元法，培养数学思维与表达能力。帮助学生提升直观想象和逻辑推理，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

第五章　三角函数 5.4　三角函数的图像与性质 第三课时 正弦函数、余弦函数的单调性和最值 复习回顾 1.周期函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x+T∈D 且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期. 仿照上述分析过程可得函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的最小正周期为：T ． 第五章　三角函数 数学必修一 正弦函数图像 余弦函数图像 是奇函数 是偶函数 定义域关于原点对称 复习回顾 3.三角函数的奇偶性 第五章　三角函数 数学必修一 | 新 知 学 习 | 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：单调性 探究1 观察y=sinx，x∈的图像，函数值在该区间上有怎样的变化规律？ 当由增大到时,曲线逐渐上升,的值由-1增大到1; 当由增大到时,曲线逐渐下降,的值由1减小到-1; x 0 sinx 正弦函数在区间上单调递增,在区间上单调递减。 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：单调性 探究2 如果把y=sinx在上的单调性推广到整个定义域呢？ 正弦函数 在每一个闭区间 上单调递增,值由-1增大到1。 在每一个闭区间 上单调递减,值由1减小到-1。 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：单调性 探究3 观察y=cos x，x∈的图像，函数值在该区间上有怎样的变化规律？ 当由增大到0时,曲线逐渐上升,的值由-1增大到1; 当由增大到时,曲线逐渐下降,的值由1减小到-1; x sinx 余弦函数在区间上单调递增,在区间上单调递减。 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：单调性 探究4 如果把y=cos x在上的单调性推广到整个定义域呢？ 余弦函数 在每一个闭区间 上单调递增,值由-1增大到1。 在每一个闭区间 上单调递减,值由1减小到-1。 第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：最值 探究5 继续观察图像，当正弦函数、余弦函数取最值时，x的取值有何规律？ 正弦函数 当且仅当 时取得最大值1。 当且仅当 时取得最小值-1。 第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：最值 探究5 继续观察图像，当正弦函数、余弦函数取最值时，x的取值有何规律？ 余弦函数 当且仅当 时取得最大值1。 当且仅当 时取得最小值-1。 第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：最值 例1 下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么. 解 ：（1）当时，有最大值1， 此时有最大值1+1=2， 当时，有最小值-1， 此时有最小值1-1=0， 所以，当有最大值2， 当有最小值0. 第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：最值 例1 下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么. 解 ：（2）令,使函数取得最大值的x的集合， 就是使取得最小值的的集合 所以取得最大值的的集合是 同理，使函数y＝－3sin 2x取得最小值的x的集合是 函数的最大值是3，最小值是－3． 由, 得, 第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：最值 例2 不通过求值，比较下列各数的大小： 解 ：（1）因为 分析: 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小． 正弦函数在区间上单调递增， 所以 第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：最值 例2 不通过求值，比较下列各数的大小： 解 ：（2） 且函数在区间上单调递减， 所以 因为 第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：最值 比较三角函数值的大小 总结 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时， 应先将异名化同名， 把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间， 再利用单调性来比较大小． 第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：最值 例3 求函数的单调递增区间 解 ：令 且由得上单调递减， 所以的单调递增区间为 因为的单调递增区间是 第五章　三角函数 数学必修一 知识点三：对称轴和对称中心 探究6 继续观察正弦、余弦函数的图像，它们的图像有何对称性？ 正弦函数的图像 对称轴： 对称中心： 第五章　三角函数 数学必修一 知识点三：对称轴和对称中心 探究6 继续观察正弦、余弦函数的图像，它们的图像有何对称性？ 余弦函数的图像 对称轴： 对称中心： 第五章　三角函数 数学必修一 | 题 型 讲 解 | 第五章　三角函数 数学必修一 1.求函数的单调区间. 题型一 正弦函数、余弦函数的单调性 解：令 则 即 所以函数的单调递增区间是 令 则 即 所以函数的单调递减区间是 第五章　三角函数 数学必修一 变式1.求函数的单调区间. 题型一 正弦函数、余弦函数的单调性 解：据题意，函数的单调区间和函数的相反. 令 则 即 所以函数的单调递减区间是 令 则 即 所以函数的单调递增区间是 第五章　三角函数 数学必修一 2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. (1)与；(2)与； 题型二 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解：(1)∵正弦函数在区间上单调递增， ∴>. (2)∵ ， 又正弦函数在区间上单调递增，∴，从而 即. 第五章　三角函数 数学必修一 2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. (3)与. 题型二 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解：(3) ∵且函数在区间上单调递减， ∴即. 第五章　三角函数 数学必修一 变式2.比较下列各组数的大小. (1)与；(2)与. 题型二 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解：(1) ∵函数在区间上单调递减，且 ∴即 (2)(3) ∵且函数在区间上单调递增， ∴即. 第五章　三角函数 数学必修一 3.求下列函数的值域. (1)；(2)； (3). 题型三 正弦函数、余弦函数的最值问题 解：(1)∵∴ 令又在上单调递增，在上单调递减， ∴ ∴函数的值域为[,2]. 第五章　三角函数 数学必修一 3.求下列函数的值域. (2)；(3). 题型三 正弦函数、余弦函数的最值问题 解：(2)∵ 又时，0∴函数的值域为 (3)令 ∴在上单调递减， ∴当时，当时， ∴函数的值域为 第五章　三角函数 数学必修一 | 课 堂 总 结 | 第五章　三角函数 数学必修一 复习回顾 1.单调性 正弦函数 在每一个闭区间 上单调递增,值由-1增大到1。 在每一个闭区间 上单调递减,值由1减小到-1。 余弦函数 在每一个闭区间 上单调递增,值由-1增大到1。 在每一个闭区间 上单调递减,值由1减小到-1。 第五章　三角函数 数学必修一 复习回顾 2.最值与对称 正弦函数 当且仅当 时取得最大值1。 当且仅当 时取得最小值-1。 对称轴： 对称中心： 第五章　三角函数 数学必修一 复习回顾 2.最值与对称 余弦函数 当且仅当 时取得最大值1。 当且仅当 时取得最小值-1。 对称轴： 对称中心： 第五章　三角函数 数学必修一 $