20.2 勾股定理的逆定理及其应用 专项练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 A组·基础达标 知识点1勾股定理的逆定理 1下列每一组数据中的三个数值为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是( ) A.3,4,5 B.1,2,5 C.3,2,5 D.1,1,2 2已知△ABC的三条边分别为a,b,c,下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( ) A.a2=b2-c2 B.a=6,b=8,c=10 C.∠A=∠B+∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 3在△ABC中，AB=15,BC=12,AC=9,则△ABC的面积为() A.180 B.90 C.54 D.108 4若三角形的三边长分别为a,b,c,且满足(a-3)口+b-4V+c-5=0,则这个三角形 的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 5如图，分别以△ABC的三边为直径作三个半圆，面积分别为S,S2,S,若S+S,=S, 则∠ACB=( S B S 6如图.正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上 (1)求△ABC的周长； (2)判断△ABC的形状，并说明理由. 知识点2勾股数 7下列各组数据中，是勾股数的是() A.3,4,V5 B.6,7,8 C.1,2,3 D.9,12,15 8清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的"罗士琳法则" 法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的 贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3,4,5：②5,12,13：③7,24,25： ④9,40,41.根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 B组·能力提升 9如图，在△ABC中，己知AB=AC,D是AC边上的一点，CD=9,BC=15,BD=12. (1)求证：△BCD是直角三角形： (2)求△ABC的面积. 10(教材P38习题T5变式)如图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD边上的点， 且BE=2EC,FC=号DC,连接AE,AF,EF,求证：△AEF是直角三角形. C组·核心素养拓展 11【创新意识】阅读下列一段文字，并结合图中信息理解平面内两点间的距离公式 的推导过程： ly-xil 在平面直角坐标系中，已知两点的坐标是M(x1,y),N(x2,y2),那么M,N两点之间的 距离可以用公式MN=(x2-x,)口+(y2-y)口计算.试根据公式解决下列问题： (1)若点M(2,4),N(-3,-8),则M1,N两点间的距离为； (2)若点M2(5,m)与N2(2,0)的距离为6，求m的值； (3)若点M3(1,2),N3(4,-2),点O是坐标原点，试判断△M3ON3的形状，并说明理 由 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 A组·基础达标 知识点1勾股定理的逆定理 1.C 2.D 3.C 4.B 5.90 6.(1)解：由勾股定理得，AB=22+4=25,AC=32+42=5,BC=22+12=5, ∴.△ABC的周长为AB+AC+BC=2V5+5+V5=3V5+5. (2)△ABC是直角三角形.理由如下： :AB2+BC2=(25)口2+5)□2=20+5=25=AC2, ∴.△ABC是直角三角形. 知识点2勾股数 7.D 8.11,60,61 B组·能力提升 9.(1)证明：，CD=9,BD=12,BC=15, .CD+BD2=81+144=225,BC2=225. ..CD2+BD2=BC, .△BCD是直角三角形 (2)解：设AD=x,则AC=x+9. .AB=AC,∴.AB=x+9 .∠BDC=90°，∴.∠ADB=90°. ∴.AB=AD+BD2, 即+9口'=+12，解得x= AD=7 AC=A0+CD=+9=2, 2 六5c4c-B0=x25×12=75 22 10.证明：设FC=2a,则DC=9a,DF=7a. ∴.AB=BC=AD=CD=9a, .BE=2CE,.'BE=6a,EC=3a. 在Rt△ECF中，EF2-EC2+FC2=(3a)☐2+(2a)☐2=13a2. 在Rt△ADF中，AF2=AD2+DF2=(9a)☐+(7a)☐2=130a2. 在Rt△ABE中，AE2=AB+BE2=(9a)☐+(6a)▣=117a2. .13a2+117a2=130a2, .'EF2+AE2=AF2, ∴.△AEF是直角三角形 C组核心素养拓展 11.(1)13 (2)解：'点M2(5,m)与N2(2,0)的距离为6， ∴.(2-5)回2+(0-m)▣2=6， 解得m=±33， 即m的值是±33. (3)△M3ON3是直角三角形.理由如下： :点M3(1,2),N(4,-2),点0是坐标原点， ∴.M3N3=(4-1)☐2+(-2-2)☐=5， 0M3=(1-0)☐+(2-0)口=5， 0N3=(4-0)☐2+(-2-0)▣=25， .0M+0N=(5)☐+(25)☐2=52=M3N3, .△M3ON3是直角三角形.第2课时勾股定理的逆定理的实际应用 A组·基础达标 知识点1勾股定理的逆定理的实际应用 1如图是一块地的平面图，AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m, ∠ADC=90°，则这块地的面积为m2 A B 2如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，远航号、海天”号轮船同时从港口P 出发，远航”号以24 amile/h的速度沿北偏东35°方向航行，海天”号以7mile/h的 速度沿北偏西55°方向航行，1h后，“远航”号、“海天号分别位于Q,R处，则此时 c远航号与海天”号的距离为mile 北 R P 东 3图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图，现测得AB=CD=6dm, BC=3dm,AD=9dm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即 ∠ABD=90)，根据安全标准需满足BC⊥CD,通过计算说明该车是否符合安全标 准 ② 知识点2勾股定理及其逆定理的综合运用 4如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4,D为△ABC外一点，CD=2, BD=6,则LACD=—一· 5如图，在△ABC中，CD1AB,垂足为D,己知AD=1,BD=4,CD=2,求证： ∠ACB=90°. B组能力提升 6如图①，某小区的两个喷泉A,B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB的 长为25Om.如图②，现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上，供 水点M到AB的距离MN的长为120m,BM的长为150m (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试说明∠BMA=90°. C组核心素养拓展 7【应用意识】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航己常态化. 如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固 定方向对钓鱼岛巡航，己知甲船每小时航行12 nmile,乙船每小时航行16 nmile, 1北 ② (1)若甲、乙两船离开港口1.5h后分别位于Q,R处（如图①)，且相距30mile, 如果知道甲船沿北偏东70°方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由 (2)若甲船沿北偏东60°方向航行（如图②），从港口P离开经过2h后位于点C处， 此时船上有名乘客需要以最快的速度回到PA海岸线上，若他从C处出发，乘坐的快 艇的速度是90 mile/h,他能在14min内回到海岸线吗？请说明理由.（参考数据： 5≈1.73) 第2课时勾股定理的逆定理的实际应用 A组·基础达标 知识点1勾股定理的逆定理的实际应用 1.24 2.25 3.解：在Rt△ABD中，BD=AD-AB2=92-62=45, 在△BCD中，BC2+CD2=32+62=45, :.BC2+CD2=BD2, ·△BCD是直角三角形，∠BCD=90, BC⊥CD, “该车符合安全标准 知识点2勾股定理及其逆定理的综合运用 4.45° [解析]：∠A=90,AC=AB=4, ·∠ACB=∠ABC=45° 在Rt△ABC中，BC=VAC2+AB=4W2 在△CBD中，CD2+BC2=2+(4W22=36,BD2=62=36: :.CD2+BC2=BD2, .∠BCD=90°， ·∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°-45°=45°. 5.证明：CD⊥AB, ·∠ADC=∠BDC=90°. 由勾股定理，得AC2=AD2+CD2=12+2=5,BC2=CD+BD=22+42=20 'AD=1,BD=4, AB=AD+BD=1+4=5, AB2=25, ·AC2+BC2=5+20=25=AB2, ·△ABC是直角三角形， ∠ACB=90°. B组能力提升 6.(1)解：由题意可知MN1AB. 在Rt△MNB中，BN=VBM-MW=1502-1202=90m, ·AN=AB-BN=250-90=160m). 在Rt△AMN中，AM=VAW2+MN2=V1602+1202=200m), :.供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为200m, (2):AB=250m,AM=200m,BM=150m, ·AB2=BM2+AM2, △ABM是直角三角形， ∴∠BMA=90°. C组·核心素养拓展 7.(1)解：由题意可得：∠APQ=70°，PQ=12×1.5=18 nmile), PR=16x 1.5=24(nmile),QR =30nmile. 在△PQR中， PQ+PR2=182+242=900,QR2=30=900, PQ2+PR2=QR2, ·△PQR是直角三角形，且∠QPR=90°， ∴∠BPR=180-∠APQ-∠QRP=180°-70°-90°=20°， “乙船沿南偏东20°方向航行， (2)他能在14min内回到海岸线.理由如下： 如答图，过点C作CD⊥AB于点D, 北 DA. 第7题答图 由题意知∠CPD=60°，则∠C=30°，PC=2×12=24(mile), .PD=号PC=号×24=12mile) ∴cD=VPc2-PD=V24-1z=12W3≈20.8mile) :90×誥=21 nmile),21>20.8, 他能在14min内回到海岸线，