精品解析：江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年高二上学期数学周练19

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学周练19 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（　　） A. 264 B. 520 C. 521 D. 265 3. 已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为．若，则双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 4. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 5. 已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知椭圆的左顶点为，动点与点的距离是它与坐标原点距离的倍，则与椭圆上点的距离最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆的方程为：，若直线上存在一点，使得在圆上总存在不同的两点，使得，则圆的半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知，关于数列，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 恒成立 D. 数列是递增数列 10. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 当，，三点不共线时，则 C. 在上存在点，使得 D. 若，则的最小值为 11. 拋物线的焦点为，过的直线交拋物线于两点，点在拋物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 当时， C. 若，则的取值范围为 D. 在直线上存在点，使得 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知为数列的前n项和，，，则______． 13. 已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为__________. 14. 从椭圆上一点引出以短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为，，直线与轴、轴分别相交于点，，则______． 15. 设数列的前项和为. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式，并求数列的最大项. 16. 过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． （1）求直线的方程； （2）设为圆上一点，求的最小值． 17. 已知双曲线（，）的左焦点到渐近线的距离为，焦距为4，右顶点为，为上一点，且直线的斜率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线相切于点，求证：平分． 18. 已知数列的前项和为，，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，求证：． 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学周练19 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设函数，结合题意根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】设函数， 由二次函数性质可知，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若数列仅第7项最小，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 2. 已知数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（　　） A. 264 B. 520 C. 521 D. 265 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出等差数列和等比数列的通项公式，再表示出数列的通项，最后通过分组求和计算前9项和. 【详解】因为数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以， 数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 所以， 所以. 故选：B 3. 已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为．若，则双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用离心率和双曲线渐近线的公式求解即可. 【详解】由题意得，， 因为，所以，解得，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 4. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D． 考点：双曲线的标准方程． 5. 已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆心到点的距离与圆半径的关系确定点与圆的位置关系，再分别确定过点的最短弦长和最长弦长，最后由等差中项的性质计算即可． 【详解】 的标准方程为，圆心为，半径， 又点到圆心的距离， 点在圆内， 过点的最短弦长是与过点的直径垂直的弦长，则， 过点的最长弦长为直径，， 又过点的条弦长组成一个等差数列， ，解得，故C正确． 故选：C． 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何关系建立方程式，分别解出、的值，即可求解的值. 【详解】因为，所以由，可知. 不妨设，则，故. 又由双曲线定义，得， 所以. 故选:C. 7. 已知椭圆的左顶点为，动点与点的距离是它与坐标原点距离的倍，则与椭圆上点的距离最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据列等式得到动点的轨迹方程，然后结合几何知识得到当在延长线于圆的交点时距离最大，然后计算的最大值即可. 【详解】 由题意得，设， ，即，所以， 整理得， 所以动点在圆心，半径的圆上， 由题意可知，与椭圆上点距离最大时，椭圆上的点要在圆外，设这个点为， 此时最大值 ，所以当最大时最大， 设，则，， 所以当时最大，为， 所以. 故选：D. 8. 已知圆的方程为：，若直线上存在一点，使得在圆上总存在不同的两点，使得，则圆的半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的坐标，可得的坐标，代入圆的方程，可得以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，由此求得的半径的取值范围． 【详解】直线的方程为， 设，． ， 又 可得，即 又，都在半径为的圆上， 即： 该关于，的方程组有解， 即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆相交或相切， 可得： 即： ① 由点在 ② 将②代入①整理可得： 故： 要保证直线上存在一点，使得在圆上总存在不同的两点，使得 需 ，解得： 故圆的半径的取值范围为． 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握的向量线性坐标表示和两圆相交几何特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知，关于数列，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 恒成立 D. 数列是递增数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由通项公式通过赋值，作差逐个判断即可； 【详解】，可得：， ， 所以数列是递增数列， 又，， 所以恒成立， 所以ACD正确，B错误， 故选：ACD 10. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 当，，三点不共线时，则 C. 在上存在点，使得 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断； 对于B，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可； 对于C，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可； 对于D，将转化为进行判断即可. 【详解】设，（不与，重合） ∵，，∴，， ∴，得，化简得， ∴点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆， 对于A，曲线的方程为，故选项A正确； 对于B，由已知，，，∴， ∴当，，三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，是内角的角平分线， ∴，故选项B正确； 对于C，若，则，由题意，点轨迹是圆， 设，由得，化简得点轨迹方程为， 即点的轨迹是圆心为，半径的圆， 圆与圆的圆心距， ∴圆与圆的位置关系为内含，圆与圆无公共点， ∴上不存在点，使得，故选项C错误； 对于D，∵，∴， ∴， 当且仅当在线段上时，等号成立，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 拋物线的焦点为，过的直线交拋物线于两点，点在拋物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 当时， C. 若，则的取值范围为 D. 在直线上存在点，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，根据抛物线的定义转化求解最小值即可；对B，根据抛物线的定义，结合三角函数关系可得直线倾斜角，再根据抛物线焦点弦长公式求解即可；对C，根据抛物线的定义可得，再分析临界条件求解即可；对D， 【详解】对A，如图，由抛物线的定义，的长度为到准线的距离，故的最小值为与到准线距离之和，故的最小值为到准线距离 ，故A错误； 对B，不妨设在第一象限，分别过作准线的垂线，垂足，作.则根据抛物线的定义可得，故 . 故，所以.故B正确； 对C，过作垂直于准线，垂足为，则，由图易得，故随的增大而增大，当时在点处，此时取最小值1；当与抛物线相切时最大，此时设方程，联立有，，此时解得，不妨设则方程，此时倾斜角为，. 故的取值范围为，故C正确； 对D， 设，中点，故到准线的距离，又，故，故以为直径的圆与准线相切，又满足的所有点在以为直径的圆上，易得此圆与无交点，故D错误； 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知为数列的前n项和，，，则______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】通过变形条件利用累乘法求解出的通项公式，然后利用裂项相消法求解出结果. 【详解】由，可得， 两式相减可得，所以，， 当时，， 当时，符合上式， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，连接，求出、，求的最小值可转化为求到两点和距离和的最小值，连接可得答案. 【详解】 设，，连接，所以，且， 所以， ， 所以求的最小值可转化为求到两点和距离和的最小值，如图，连接即可，所以， 故答案为：. 14. 从椭圆上一点引出以短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为，，直线与轴、轴分别相交于点，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据题意得到切线的方程，进而分析得直线的方程，从而求得点的坐标，再结合椭圆方程即可得解. 【详解】由椭圆方程可知：，圆的方程为， 设， 在切线上任取一点，则，， 因为，可得， 即，且，可得， 所以切线的方程为， 同理可得：切线的方程为， 因为点在切线上，则，， 所以直线的方程为， 则，可得， 因为点在椭圆上，可得， 所以. 故答案为：. 15. 设数列的前项和为. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式，并求数列的最大项. 【答案】（1） ①，②， ②-①，， 故， 而在①中令，又， ，， 是首项为1，公比为的等比数列. （2），最大项为 【解析】 【分析】（1）由可得，配凑后可证为等比数列； （2）根据数列的单调性可求数列的最大项； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列. 所以，解得 由， 解得，单调递增；当，单调递减； 所以， 所以数列的最大项为 16. 过定点的直线与圆交于，两点，，点为抛物线上一动点． （1）求直线的方程； （2）设为圆上一点，求的最小值． 【答案】（1）或 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据弦长公式可求得圆心到直线的距离为，讨论直线的斜率是否存在即可列出等式求解； （2）根据抛物线的定义进行转化，利用几何意义即可求解最小值. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 已知弦长，根据弦长公式（为圆心到直线的距离），得： ， ①当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； ②当直线的斜率存在时，设直线方程为，即 圆心到直线的距离为：，解得， 所以直线方程为，化简得， 综上，直线的方程为或 【小问2详解】 因为为圆上的动点，所以的最小值为， 故， 抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线定义，，因此：， 问题转化为求的最小值，即点到准线的距离与到点的距离之和的最小值， 过作准线的垂线，方程为，与抛物线交于， 此时最小值为到准线的距离：， 因此，的最小值为. 17. 已知双曲线（，）的左焦点到渐近线的距离为，焦距为4，右顶点为，为上一点，且直线的斜率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线相切于点，求证：平分． 【答案】（1） （2） 由（1）有：，设点， 由，所以，即， 设直线的方程为：，即， 由，即， 所以， 即，又，解得， 所以直线的方程为：， 所以，解得，所以， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以，即平分. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求得，又由，进而求解； （2）由直线的斜率为求点的坐标，设直线的方程为：，与双曲线联立，由求出，进而求出点，利用向量的夹角公式即可得证. 【小问1详解】 由题意有：，双曲线的渐近线方程为：，即， 由点到直线的距离为：，即， 又焦距，即， 所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为：； 【小问2详解】 略 18. 已知数列的前项和为，，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） 由， ，得， 因为， 所以数列是等比数列； （2）； （3） ， . 【解析】 【分析】（1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可. （2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可； （3）运用裂项相消法进行运算证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 因为， 所以， ， ，得， ； 【小问3详解】 略 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $