第11讲 平行线的判定（3知识点+8大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第11讲 平行线的判定 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：同位角、内错角、同旁内角的概念 填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB，CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）.具有这种位置关系的一对角是同位角. (2)如图，∠3和∠5，在直线AB，CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角. (3)如图，∠3和∠6，在直线AB，CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角. 【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角. (2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角. (3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角. 知识点2：平行公理及推论 (1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【注意】平行公理 (1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性. (2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线. 知识点3：平行线的判定方法 平行线的判定方法1： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角 相等，两直线平行. (2)几何语言： ∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)， ∴AB∥CD. 平行线的判定方法2： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角 相等，两直线平行. (2)几何语言： ∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)， ∴AB∥CD. 平行线的判定方法3： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内 角互补，两直线平行. (2)几何语言： ∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)， ∴AB∥CD. 平行线的其他判定方法： (1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行. (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【总结】判定两直线平行的方法 方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线. 方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 方法三：同位角相等，两直线平行. 方法四：内错角相等，两直线平行. 方法五：同旁内角互补，两直线平行. 方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【题型1 同位角、内错角、同旁内角的辨别】 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：A、是内错角，正确； B、不是内错角，错误； C、不是内错角，错误； D、不是内错角，错误； 故选：A． 例2．（25-26七年级下·全国·单元测试）几何直观 下列图形中，与是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同位角的定义和运用．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此解答． 【详解】解：A、与不是同位角，故该选项不符合题意； B、与不是同位角，故该选项不符合题意； C、与不是同位角，故该选项不符合题意； D、根据同位角的定义可知D选项中与在直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角． 故选：D 变式1．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与互补 【答案】C 【分析】此题主要考查了对顶角、同位角、内错角，根据对顶角、同位角、内错角对选项进行判断． 【详解】解：A、与是内错角，说法错误； B、与不是内错角，说法错误； C、与是同位角，说法正确； D、与是对顶角不一定互补，说法错误； 故选：C． 变式2．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【详解】解：与是同位角，此选项正确； 与是内错角，并不是同旁内角,此选项错误； 与是内错角，此选项正确； 与是内错角，此选项正确； 与是同位角，此选项正确； 故正确的有个． 故选：． 【题型2 平行公理及推论应用】 例3．（24-25七年级上·全国·课后作业）平行线的基本事实：过 与这条直线平行． 【答案】直线外一点有且只有一条直线 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的基本事实，根据平行线的基本事实解答即可，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：直线外一点有且只有一条直线． 例4．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【答案】1 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； ③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确； ④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误； 综上所述，正确的为③，共个， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 【题型3 同位角相等，两直线平行】 例5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 例6．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，，平分，请说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据邻补角求出，再由角平分线的定义可得，结合已知可得，根据同位角相等两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 变式1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点C，，平分．试说明：． 请你在横线上补充其推理过程或理由． 解：平分， 所以 （ ）， （理由 ）， 所以 （等式性质）， ， 所以 （等量代换）， 所以（ ）． 【答案】 角平分线的定义 对顶角相等 同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角相等．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明，再证明，然后根据同位角相等，两直线平行推出． 【详解】解：平分， 所以（角平分线的定义）， （对顶角相等）， 所以（等式性质）， ， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等两直线平行）． 故答案为：，角平分线的定义，对顶角相等，，，同位角相等两直线平行． 变式2．（24-25七年级下·天津宝坻·月考）已知：如图，，AF平分，CE平分，求证： 证明：平分，CE平分， ______，______ 又， ______． ， ______， ______ 【答案】；角平分线的定义；； ；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．由角平分线的定义推出得到，即可证明． 【详解】证明：平分，CE平分， ，角平分线的定义 又， ， ， 同位角相等，两直线平行 故答案为：；角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行． 【题型4 内错角相等，两直线平行】 例7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 例8．（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分和， ∴，（角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 变式1．（24-25七年级下·广东清远·期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线，，，的位置如上图所示，，，求证：． 证明：如图， ∵（_____），_____ ∴_____（_____） 又∵（_____）， ∴（_____）， ∴（_____）． 【答案】已知，邻补角定义；，同角的补角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，邻补角定义，由同角的补角相等得，又，则有，然后通过平行线的判定即可求证，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：如图， ∵（已知），（邻补角定义） ∴（同角的补角相等） 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：已知，邻补角定义；，同角的补角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行． 变式2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）请将解题过程补充完整： 如图，，垂足为D，F是上的一点，，垂足为E，且，试说明． 解：， （______） ______， （______） （等量代换） ．（______） 【答案】垂直的定义；2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】解：，， （垂直的定义）， ，， （同角的余角相等）， ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 【题型5 同旁内角互补，两直线平行】 例9．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【答案】；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：因为与直线相交于点E，， 所以． 因为， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；；；；同旁内角互补，两直线平行． 例10．（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 变式1．（24-25七年级下·福建龙岩·月考）如图，如果，求证：；． 观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（ 已 知 ）， （______________）， ∴（_______________）， 又∵（已知）， ∴_________（____________）， ∴（_______________）， 又∵（_____________）， ∴（___________________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（________________）． 【答案】对顶角相等；等量代换；；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行；邻补角的定义；等式的性质；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握与运用．由题意可求得，则有，即可判定，由邻补角的定义可得，可得，即可判定． 【详解】证明：∵（ 已 知 ）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）， 又∵（已知）， ∴ （等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（邻补角的定义）， ∴（等式的性质）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行；邻补角的定义；等式的性质；内错角相等，两直线平行． 变式2．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据 已知：如图，，若， 求证： 证明： ___________（垂直的定义） 又 ______________________ ___________（___________） ___________ ___________ ______________________ （___________） 【答案】；；；；同角的余角相等；；C；B；C；同旁内角互补，两条直线平行 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由垂直的定义得，，整理得，因为，所以，故，运用同旁内角互补，两条直线平行得，即可作答． 【详解】证明：， （垂直的定义）， 又， ， （同角的余角相等）， ， ， ， ， （同旁内角互补，两条直线平行）． 【题型6 添加一条件使两直线平行】 例11．（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 要使，需找到与被第三条直线截得的同位角相等的情况，观察图形，是截线，与是同位角，据此确定相等的角． 【详解】解：观察图形，与被所截，与是同位角， 根据同位角相等，两直线平行，当时，能得到． 故答案为：． 例12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行及平行的传递性是解题的关键． 本题先根据已知推出一组直线平行，再添加条件使这组直线与平行，利用平行的传递性得到． 【详解】解：添加条件（答案不唯一）． ∵， ∴． ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 变式1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，添加一个条件： ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加的条件是：．理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案是：（答案不唯一）． 变式2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理添加条件，即可求解． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为：或或或．（答案不唯一） 【题型7 垂直于同一条直线的两条直线平行】 例13．（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，已知，，试探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先根据同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行得到，再根据平行于同一直线的两直线平行可得． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 例14．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论； （2）根据可得，则，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：，， （等式的性质）， 即 ， （同位角相等，两直线平行）． 变式1．（24-25七年级下·河南商丘·月考）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 【答案】90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定解答即可，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴与的位置关系是平行 （平行于同一条直线的两直线平行） 故答案：90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 【题型8 平行线的判定去判断两线的位置关系】 例15．如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【知识点】垂线的定义理解、内错角相等两直线平行、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理推论，角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义得到，，根据平角的定义得到，根据垂直的定义求解即可； （2）根据平行线的判定及平行公理推论即可求解； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）得，∠3＝∠4． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 例16．如图，点O在直线上，F是上一点，连接，平分，平分交于点D． (1)试说明； (2)若与互余，试说明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识点． （1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】（1）解：因为平分，平分 所以，. 因为， 所以， 所以； （2）解：由（1）知， 所以 因为与互余， 所以， 所以， 所以． 变式1．如图，在四边形中，点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接相交于点O，，平分，． (1)试说明； (2)与的位置关系如何？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义： （1）根据平角的定义和已知条件证明，即可证明； （2）由角平分线的定义和已知条件证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式2．如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”得到； （2）由垂直定义及直角三角形的性质求出，根据“等角的余角相等”求出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解． 【详解】（1）证明：，， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，下列结论正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了相交线及其所成的角等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键：同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同位角，该结论错误，故选项不符合题意； B、与不是内错角，该结论错误，故选项不符合题意； C、与不是同旁内角，该结论错误，故选项不符合题意； D、与是同旁内角，该结论正确，故选项符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，木条a、b、c通过如图方式钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，由同位角相等，两直线平行，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ∵，， ∴木条a需要按箭头所示的方向旋转的度数至少是． 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（   ） A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能 【答案】D 【分析】本题考查平行公理，根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，分四种情况“当点P在边上且不与点O重合时；当点P在边上且不与点O重合时；当点P不在边或边上时；当点P与点O重合时”分别讨论可得答案． 【详解】解：当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P不在边或边上时，过点可以画一条直线与边平行，一条直线与边平行，共两条； 当点P与点O重合时，不存在过点P的直线与的边平行； 故选：D． 4．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，逐个即可判断． 【详解】解：A、两个角不是同位角，也不是内错角，不能判定，故A不符合题意； B、由同位角相等，两直线平行判定，不能判定，故B不符合题意； C、由内错角相等，两直线平行判定，故C符合题意； D、由同旁内角互补，两直线平行判定，不能判定，故D不符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级下·河北唐山·期中）嘉嘉将一副直角三角板按如图所示摆放，，，测量，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，三角板的相关计算， 根据三角板的特征可知，即可得出，再结合可得，可说明B，C，然后根据平行线的性质可说明A，D． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 则B，C正确； ∵，， ∴． 则D正确； ∵， ∴不平行． 则A不正确． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，图中有 对同位角；有 对同旁内角；有 对内错角． 【答案】 8 4 5 【分析】本题考查了同位角，内错角和同旁内角，熟练掌握同位角，内错角和同旁内角的定义是解题的关键． 根据同位角，内错角和同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：同位角一共8对，分别是和，和，和，和，和，和，和，和； 同旁内角一共4对，分别是和，和，和，和； 内错角一共5对，分别是和，和，和，和，和． 故答案为：8；4；5． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是一款教室的日光灯管，用两根线，吊在天花板上，为了保护眼睛，使空间内光线更匀称，不易反光，需使灯管与天花板平行，已知，请你添加一个条件： ，使灯管与天花板平行． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】解：添加：， ，， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）某学员在练车场练习开小轿车，第一次向左拐弯行驶一段后，第二次向右拐弯，如图．经过两次拐弯后行驶的方向与原来行驶的方向 （填“平行”或“不平行”）． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的性质是解题的关键，根据图形可知两次拐弯得到的角为同位角； 两次拐弯得到的角都是，再根据同位角相同，两直线平行，即可解题． 【详解】解：根据图意，由同位角相同，两直线平行可知，经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向平行． 故答案为：平行． 9．（24-25七年级下·四川成都·月考）如图，在小方格边长为1的方格图中，，，，四点均位于格点上，则与的位置关系是 ，面积是 ． 【答案】 平行 8 【分析】本题考查平行线的判定、网格中求三角形的面积，熟知网格的特点，熟练掌握平行线的判定是解答的关键．根据网格特点得到，进而利用平行线的判定可得结论；利用割补法求解三角形的面积即可． 【详解】解：根据网格特点，， ∴， ∴； 由图知，面积是． 故答案为：平行；8． 10．（20-21七年级下·江苏盐城·期中）一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线以及三角尺等知识点，掌握平行线的判定定理以及三角尺各角的度数是解题的关键． 本题三角尺绕点旋转过程中，的情况会出现两种，依据平行线的判定定理，结合三角尺的角度特征，即可计算的度数． 【详解】解：有两种情况： 情况一：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，； 情况二：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，， 此时，． 故答案为：或 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）根据图形填空： (1)若直线，被直线所截，则和 是同位角． (2)若直线，被直线所截，则和 是内错角． (3)和是直线， 被直线所截构成的 角． 【答案】(1) (2) (3)；同旁内 【分析】本题考查同位角，内错角，同旁内角判断，根据同位角，内错角，同旁内角定义逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：若直线，被直线所截，则和是同位角； 故答案为：； （2）解：若直线，被直线所截，则和是内错角； 故答案为：； （3）解：和是直线，被直线所截构成的同旁内角． 故答案为：；同旁内． 12．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知：如图，平分．求证： 证明： 平分（___________）， ______________________（___________）． ； ___________（___________）． （___________）． 【答案】已知；；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据角平分线的定义可得，根据已知，等量代换可得，进而根据内错角相等两直线平行，即可得证． 【详解】证明：∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） ∵（已知）； ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 13．（24-25七年级下·江西赣州·期末）请把下面的推理过程补充完整，并在括号里注明理由． 如图，已知平分，平分，，求证：． 证明：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （    ）， （平角等于）， ___________， （已知）， （    ）， ， ___________（    ）， （    ） 【答案】角平分线的定义，，等角的余角相等，，等量代换，内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定和角平分线的定义等知识，证明是关键．根据角平分线的定义，再根据已知得到，即可证明． 【详解】证明：平分（已知） （角平分线的定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （平角等于）， ， （已知）， （等角的余角相等）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义，，等角的余角相等，，等量代换，内错角相等，两直线平行 14．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，射线交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)若，判断直线和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据垂直找角之间的关系，再利用角之间的关系找边之间的关系． （1）根据垂直的定义可得：，根据平角是可得：，从而可求； （2）根据直角三角形的两个锐角互余可知，根据同角的余角相等可得：，根据同位角相等，两直线平行，可证结论成立． 【详解】（1）解：， ， ，， ． （2）解：， 理由如下， ， ， ， 又， ， ． 15．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，已知点在直线上，射线平分，过E点作，G为射线上一点，连接，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了垂直的定义，平行线的判定，角度的和差． （1）根据垂直的定义可得，从而得到，再由，即可解答； （2）根据角平分线的定义以及，可得，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． （2）解：，理由如下： 因为平分， 所以． 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以． 16．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图①，直线，相交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)如图②，点F在上，直线经过点F，平分，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线定义、角的互余关系等知识，解题的关键是∶ （1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据对顶角相等解答． （2）由已知条件和对顶角相等得出，根据邻补角定义求出，根据角平分线定义求出，则可证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． （2）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， 又， ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第11讲平行线的判定 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：同位角、内错角、同旁内角的概念 60 8 填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB,CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）具有这种位 置关系的一对角是同位角： (2)如图，∠3和∠5，在直线AB,CD之间，在直线EF的两侧具有这种位置关系的一对角叫做内错角. (3)如图，∠3和∠6，在直线AB,CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角. 【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角。 (2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角. (3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角. ☑知识点2：平行公理及推论 (1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a,c∥α，那么b∥c 【注意】平行公理 (1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性。 (2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线 ☑知识点3：平行线的判定方法 平行线的判定方法1： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 相等，两直线平行. (2)几何语言： 63 ,∠1=∠5（或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7）， .AB∥CD. 平行线的判定方法2： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相篷，那么这两条直线平行.简单说成：内错角 相等，两直线平行 (2)几何语言： ,∠2=∠8（或者∠3=∠5）， ∴AB//CD 平行线的判定方法3： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内 角互补，两直线平行： (2)几何语言： :∠2+∠5=180°（或者∠3+∠8=180°）， ∴.AB∥CD 平行线的其他判定方法： (1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【总结】判定两直线平行的方法 方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线 方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 方法三：同位角相等，两直线平行. 方法四：内错角相等，两直线平行. 方法五：同旁内角互补，两直线平行. 方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 02练题型强知识 【题型1同位角、内错角、同旁内角的辨别】 例1.(25-26七年级下.全国·课后作业)下列图形中，∠1与∠2是内错角的是() 2/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 nain 例2.(25-26七年级下·全国·单元测试)几何直观下列图形中，∠1与∠2是同位角的是() 变式1.(24-25七年级下山西阳泉·期末)如图，直线a,b被直线c所截，则下列说法正确的是() b A.∠1与∠2是同旁内角 B.∠3与∠4是内错角 C.∠1与∠5是同位角 D.∠2与∠5互补 变式2.(24-25七年级下·四川泸州月考)如图所示，下列说法：①∠1与∠3是同位角；②∠1与∠2是同旁 内角：③∠3与∠2是内错角：④∠1与∠2是内错角；⑤∠4与∠2是同位角，其中正确的有() 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型2平行公理及推论应用】 例3.(24-25七年级上·全国课后作业)平行线的基本事实：过 与这条直线平行. 例4.(24-25七年级上·全国课后作业)有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一 条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不 相交的两条射线必平行.其中，正确的有一个。 变式1.(24-25七年级上全国课后作业)下列说法：①在同一平面内，若直线a∥b,b∥c,则a∥c; ②在同一平面内，若直线a∥b,直线a与c相交，则直线b与c相交；③若直线a与直线b相交，直线b与 直线c相交，则直线Q与直线c相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的 是 (填序号) 3/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型3同位角相等，两直线平行】 例5.(24-25七年级下·全国·课后作业)如下图，己知AC平分∠EAG,BD平分∠FBG,∠1=35°， ∠2=35°，试说明：AC∥BD,AE∥BF, E 12 G A B 例6.(24-25七年级下广东湛江月考)如图，∠B=70°，∠ACB=40°，CD平分∠ACE,请说明：AB∥CD D B 变式1，(25-26七年级上全国课后作业)如图，AF与BD相交于点C,∠B=∠ACB,CD平分∠ECF.试 说明：AB∥CE. 请你在横线上补充其推理过程或理由， 解：CD平分∠ECF, 所以∠ECD= ( LACB=LDCF(理由 ), 所以∠ECD= (等式性质)， ∠B=∠ACB, 所以∠B= (等量代换)， 所以AB‖CE(_ 变式2.(24-25七年级下·天津宝坻月考)已知：如图，LDAB=LDCB,AF平分∠DAB,CE平分∠DCB ,LFCE=LCEB.求证：AF∥CE 证明：：AF平分∠DAB,CE平分∠DCB, 2 又：∠DAB=∠DCB, 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠FAE= :∠FCE=∠CEB, .∠FAE= .AF∥CE() 0 【题型4内错角相等，两直线平行】 例7.(25-26七年级下·全国课后作业)如图，已知直线AB,CD被直线EF所截，∠1=60°，∠2=120°.请说 明AB∥CD的理由. A B D F 例8.(24-25七年级下·广东江门月考)完成下面的证明. 如图，AB⊥BC,DC⊥BC,BE,CF分别平分∠ABC和∠BCD,求证BE∥CF. A B E C 证明： AB⊥BC,DC⊥BC, ∠ABC=∠BCD=90°( :BE,CF分别平分∠ABC和∠BCD, ·∠EBC=∠ABC,∠BCF= 又：∠ABC=∠BCD, ∠EBC= :BEI CF ) 变式1.(2425七年级下·广东清远期中)在横线上填上适当的内容，完成下面的证明. 己知，直线a,b,c,d的位置如上图所示，∠1+∠2=180°，∠3=∠4，求证：c∥d. 5/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C d a 证明：如图， :∠1+∠2=180°()，∠2+L3=180° .=∠3() 又：∠3=∠4()， .∠1=∠4()， .c∥d(). 变式2.(24-25七年级下·陕西西安·月考)请将解题过程补充完整： 如图，CD⊥AB,垂足为D,F是BC上的一点，FE⊥AB,垂足为E,且∠I=∠2，试说明DG∥BC, 解：：FE⊥AB,CD⊥AB LBEF=LBDC=90°() ∠B+∠ =90°，∠B+∠BCD=90° :22=ZBCD ( .∠1=∠2 :∠I=∠BCD(等量代换) DG∥BC.( D 【题型5同旁内角互补，两直线平行】 例9.(25-26七年级上全国课后作业)已知：如图，直线AB,CD被直线GH所截，∠AEG=112°， ∠EFD=68°，说明：AB∥CD. 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G E H D 解：因为AB与直线GH相交于点E,∠AEG=112°， 所以∠AEG= =112°. 因为∠EFD=68°， 所以LFEB+LEFD= 所以 )(填推理的依据). 例10.(24-25七年级下·广东江门月考)完成下面的证明： 如图，BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠a+∠B=90°，求证AB∥CD. C D 证明：：BE平分∠ABD(已知)， ∠ABD=2∠a(), :DE平分∠BDC(已知)， ·∠BDC= (), :ZABD+ZBDC =2Za+22B=2Za+2B)() ∠a+∠B=90°（已知）， .∠ABD+∠BDC= (), .AB∥CD(). 变式1.(24-25七年级下·福建龙岩月考)如图，如果∠1=47°，∠2=133，∠D=47°，求证：AB∥CD; BC∥DE. 观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论. B D4 E 证明：∠1=47°（已知）， LABC=∠1( .∠ABC=47° 7/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：∠2=133°（已知）， .ZABC+22= AB∥CD( ) 又：∠2+∠BCD=180°( ) .∠BCD=47°( :∠D=47°（已知）， .∠BCD=∠D=47°， .BC∥DE( 变式2.(24-25七年级下·内蒙古赤峰期末)在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据 己知：如图，AB⊥BC,AE⊥ED,若∠1+∠2=90°， 求证：AB∥CD D ◇y 证明：：AB⊥BC .∠1+ =90°（垂直的定义） 又：AE⊥DE .∠ +∠ =90° ∴.∠1=∠ :∠1+∠2=90° .∠2+∠ =90° .∠ =90° .∠ +∠ =1809 ,AB∥CD 【题型6添加一条件使两直线平行】 例11.(24-25七年级下.全国·周测)如图，当∠A= (写出一个角)时，能得到AB∥EF, 例12.(24-25七年级下·全国课后作业)如图，已知∠1=∠2，要使AB∥EF,还需再添加一个条 件： 8/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -B D E G 变式1.(24-25七年级下·广东湛江月考)如图，添加一个条件： 使得AD∥BC. F 4 D 2 变式2.(2425七年级下·全国期中)如图，E是线段AD的延长线上一点，添加一个条件，使BC∥AD, 则可添加的条件为 (写出一种情况即可). B E 【题型7垂直于同一条直线的两条直线平行】 例13.(23-24七年级下广东河源期中)如图，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°，试探究AB与EF的位置关系， 并说明理由 1 B C42 39o E 4入一F 例14.(23-24八年级上广东梅州期末)如图，AB1MN，,CD⊥MN,垂足分别是B,D, ∠FDC=∠EBA. F D (I)判断CD与AB的位置关系；（不需要证明） (2)求证：DF∥BE. 变式1.(24-25七年级下·河南商丘·月考)下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整.如图， 己知AB⊥BD于B,CD⊥BD于D,∠I+∠2=180°，探究CD与EF的位置关系 9/15 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E F p 解：：AB⊥BD,CD⊥BD(已知) ∠B= °，∠D= 。(垂直的定义) AB∥ 两直线平行) :∠1+∠2=180°( ∴.AB∥ ( 两直线平行) :.CD与EF的位置关系是 【题型8平行线的判定去判断两线的位置关系】 例I5.如图，己知点E在BD上，EA平分∠BEF,EC平分∠DEF. \3 以4 B E D (1)试说明：AE⊥EC: (2)若I=∠A,L4=∠C,则AB与CD平行吗？为什么？ 例16.如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF,OC平分LAOF,OD平分LBOF交DE于 点D. E D OB (1)试说明OC⊥OD: (2)若∠D与∠1互余，试说明ED∥AB. 变式I.如图，在四边形ABCD中，点E在CD的延长线上，点F在DC的延长线上，连接AF、BE相交于 点O,LADE+LBCF=180°，BE平分∠ABC,∠ABC=2∠E. 10/15