第07讲 立方根（2知识点+8大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

第07讲 立方根 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征： 知识点2：立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【题型1 立方根概念理解】 例1．下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 例2．下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．9的立方根是3 C．是的算术平方根 D．16的平方根是4 【答案】A 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根的定义，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A．，故是的立方根，选项A正确； B．，因此的立方根不是，故选项B错误，不符合题意； C．，其算术平方根为，而非，故选项C错误，不符合题意； D．的平方根为，而选项仅提到，遗漏负根，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 变式1．下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号 C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、一个数的立方根只有1个，故原说法不正确，不符合题意； B、一个非零数的立方根与这个数同号，正确，符合题意； C、负数没有平方根但是有立方根，故原说法不正确，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不是正数，故原说法不正确，不符合题意； 故选：B． 变式2．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 利用立方根的定义及求法逐项判断即可． 【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、有立方根，为，原选项说法错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是，和，原选项说法错误，不符合题意； 、，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 【题型2 求一个数的立方根】 例3．64的立方根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是立方根的含义，根据立方根的含义求解即可． 【详解】解：64的立方根是， 故答案为：． 例4．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 根据立方根的性质求解即可． 【详解】． 故答案为：． 变式1．的平方根是 ．的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算，解题的关键是掌握平方根和立方根的求解过程． 根据平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：， ； ， ； 故答案为：，． 变式2．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)9 【分析】本题主要考查了求立方根： （1）利用立方根的定义开立方即可． （2）利用立方根的定义开立方即可． （3）利用立方根的定义开立方即可． （4）利用立方根的定义开立方即可． 【详解】（1）解：的立方根为； （2）解：的立方根为； （3）解：的立方根为； （4）解：的立方根为． 【题型3 已知一个数的立方根，求这个数】 例5．已知一个数的立方根为，则这个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握立方根的概念是关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：∵一个数的立方根为， ∴这个数是． 故答案为：． 例6．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 变式1．已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义，算术平方根与平方式的非负性，以及立方根，掌握非负性，利用非负性进行求解是本题的关键．根据题意可以列出式子，利用二次根式与平方式的非负性可求出与的值，即可求出与的积的立方根． 【详解】解：与互为相反数 即 ， ，； ， ， 与的积的立方根为：． 故答案为：． 变式2．已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根据和是正数M的平方根可得与相等或与互为相反数，据此求出a的值， 再由立方根的定义求出b的值，则可求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：当时，则， 当与不相等时， ∵和是正数M的平方根， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴或， ∴的算术平方根是或， 故答案为；或． 【题型4 利用开立方解方程】 例7．解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根，立方根定义求解方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）先整理为，再利用平方根定义解方程即可； （2）先整理为 ，再利用立方根定义解方程即可； 【详解】（1）解：由 得 所以 所以 或 解得 或 （2）解：由 得 所以 所以 解得 例8．求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】此题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的计算方法是关键． （1）根据平方根的意义得到，即可得到的值； （2）变形为，根据立方根的意义得到，即可得到的值． 【详解】（1）解： ∴    ∴或 （2）解： ∴ 变式1．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（）把移到右边，再根据平方根的定义解答即可； （）把移到右边，再根据立方根的定义解答即可； 本题考查了利用平方根和立方根解答方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式2．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查由平方根运算、立方根运算解方程，熟练掌握平方根及立方根运算是解决问题的关键． （1）由平方根运算，直接开平方求解即可得到答案； （2）由立方根运算，直接开立方求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得或； （2）解：， ， 即， 解得． 【题型5 立方根的性质】 例9．已知，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根的计算，掌握立方根的性质是关键． 根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，列式求解即可． 【详解】解：，即一个数的立方根等于它本身， ∴当时， 解得，； 当时， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 例10．已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴判断式子正负，立方根和算术平方根． 先由数轴得到，再计算即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 变式1．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、整式的加减运算 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 变式2．根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 【题型6 平方根与立方根的综合】 例11．已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 例12．已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 变式1．某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5． (1)求m，n的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，的值分别为5，6 (2) 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，求一个数的立方根. （1）分别根据平方根和算术平方根的定义计算即可； （2）将，的值分别代入得到，再求立方根即可. 【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5， ∴，， 解得，； （2）解：， ∴． 变式2．已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算： （1）根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出的值，再利用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【题型7 立方根的应用】 例13．如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据立方根的性质解答即可求解． 【详解】解：∵它的体积为， ∴它的棱长是． 例14．如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 变式1．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键．先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴棱长应变为原来的2倍． 故选：A． 变式2．在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 【题型8 与立方根有关的规律探究问题】 例15．观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【答案】(1)右；一； (2)； (3)； 【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． （1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右；一； （2）解：∵，结合立方根小数点的规律， ∴，， 故答案为：；； （3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵， ∴，． 故答案为：；． 例16．观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 变式1．观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 变式2．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·周测）下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义和性质，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，任何实数都有立方根，依次判断即可. 【详解】解：A、的立方根是，不是，所以 A错误； B、 任何实数都有立方根，的立方根是，所以 B错误； C、 的立方根是，不是，所以 C错误； D、 =， = ，∴ = ，故D正确. 【点睛】本题主要考查的是立方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根； B．是4的算术平方根； C．立方根是它本身的数只有0； D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意； C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意； D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若实数a，b满足，则的立方根为（    ） A．2 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质和立方根的计算，注意正数的立方根是正数． 根据非负数的性质，平方根和平方项均非负，和为零则每个部分为零，从而求出 a 和 b 的值，再计算 并求其立方根． 【详解】解：∵， ，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵8的立方根为2， ∴的立方根为2． 故选：A． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长． 【详解】解：根据题意得几何体的边长为， 每个小正方体的棱长为， 故选：B． 5．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，读懂程序框图的走向是解题关键．依据转换器流程，先求出的算术平方根是，是有理数；取立方根为，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出的值． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数； 取立方根为，是有理数， 取算术平方根为，是无理数，即可输出， 输出的值是； 故选B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）实数的立方根是 ，49 的算术平方根是 ，144 的平方根是 ． 【答案】 7 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐个计算即可． 【详解】解：的立方根是，49的算术平方根是7，144的平方根是， 故答案为：，，． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如果，，那么 ． 【答案】                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  【分析】本题主要考查立方根的性质，通过观察0.0237与23.7的关系，利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：由已知条件，，且，根据立方根的性质得： 故答案为：0.2872． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知和是一个正数的两个平方根，的立方根是3，则的算术平方根是 【答案】3 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，求一个数的算术平方根． 利用平方根互为相反数的性质求a，利用立方根的定义求b，再计算，求其算术平方根即可． 【详解】解：和是一个正数的两个平方根， ， 解得， 又的立方根是3， ， 解得， ， 的算术平方根， 故答案为： 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知m，n为实数，若，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的性质． 利用立方根的性质，将方程转化为一元一次方程，求解的值，再求其算术平方根． 【详解】解：由， 得， 两边立方，得， 整理得， 即， 所以． 故的算术平方根为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·四川眉山·期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，符号确定，绝对值的化简，有理数的大小比较，立方根，熟练掌握绝对值的化简，有理数的大小比较是解题的关键．根据数轴上有理数的位置，有理数的运算法则，有理数的大小比较法则，立方根，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且， ∴，， ∴， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025八年级上·北京·专题练习）求下列各数的立方根： (1) (2) (3)0.125 【答案】(1) (2) (3)0.5 【分析】本题考查立方根的定义，理解立方根的定义是解答的关键． （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可； （3）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：因为，所以的立方根是，即； （2）解：因为，所以的立方根是，即； （3）解：因为，所以的立方根是，即． 12．（2025八年级上·北京·专题练习）求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一个数的立方根，掌握立方根的性质是解题的关键． 根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 13．（25-26八年级上·江苏常州·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， 解得； （2）解：， ， 则， 解得． 14．（25-26八年级上·江西吉安·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）先计算乘方、算术平方根、立方根，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根、绝对值、立方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： 15．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知某数的平方根是与，且的算术平方根是3． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求算术平方根，求立方根， 对于（1），根据一个正数有两个平方根，且互为相反数求出a，再根据算术平方根求出b； 对于（2），根据a，b的值求出代数式的值，再求出立方根即可． 【详解】（1）解：因为某数的平方根是与， 所以， 解得； 因为的算术平方根是3， 所以， 解得； （2）解：因为，， 所以， 所以8的立方根是2． 16．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第07讲立方根 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：立方根 l.定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a,那么 x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数a的立方根，用)a表示，其中a是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算 2:立方根的特征 立方根的特征： ☑知识点2：立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个 互为相反数的数的立方根也互为相反数， a =-ia a =a (a'=a 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题 练题型强知识 【题型1立方根概念理解】 例1.下列语句正确的是( A.负数没有立方根 B.64的立方根是±2 C.立方根等于本身的数只有±1 D.8=-8 例2.下列说法正确的是() A.-2是-8的立方根 B.9的立方根是3 1/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.-3是(-3)2的算术平方根 D.16的平方根是4 变式1.下列说法中，正确的是() A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数B.一个非零数的立方根与这个数同号 C.负数没有平方根也没有立方根 D.算术平方根一定是正数 变式2.下列说法正确的是() A.64的立方根是±4 B.-27没有立方根 C.立方根等于本身的数是0和1 D.-27=-3 【题型2求一个数的立方根】 例3.64的立方根是 例4.计算：-27= 变式1.64的平方根是.√⑧1的立方根是 变式2.求下列各数的立方根： 1 ②64 (3)-0.729: (4)3. 【题型3已知一个数的立方根，求这个数】 例5.1 已知一个数的立方根为，则这个数为 例6.一个正数的平方根分别是2a-5和2a+1,b-30的立方根是-3，则√a+b的算术平方根为 变式1.已知√x+4与(y-16)2互为相反数，则x与y的积的立方根为 变式2.己知：2a-7和a+4是正数M的平方根，b-7的立方根为-2，则3a+2b的算术平方根 【题型4利用开立方解方程】 例7.解下列方程： (1)16x+12=49: (2)8(1-x)3=125. 例8.求下列各式中x的值： (1)(x+1)=81 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②2x-3+32=0 变式1.解下列方程： (1)(x-1)2-9=0: a2-P+0 变式2.求下列各式中x的值： (1)3(5.x+1)2-48=0: 2)2(x-12=-125 4 【题型5立方根的性质】 例9.已知a-3=a-3,则a的值为一· 例10.已知实数ab在数轴上的位置如图所示：则(a-b)2-a-2a= 变式1.数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简V(a+b)2-√(c-b)2+b的结果为， b a 0 变式2.根据立方根的意义填空： 2= 3 观察上述结果，猜想对于实数a,a3等于什么？对于式子a”(n≥2，n是整数)的化简，你有怎样的认识？ 【题型6平方根与立方根的综合】 例11.已知3m-2的平方根是±2，m+2n+4的立方根是2. (I)求m,n的值； (2)求2mn+5的算术平方根， 例12.已知实数3a+10的算术平方根是2，a+b的立方根是2. (I)求a,b的值： (2)求5a+2b的平方根. 变式1.某正数的两个平方根是m+!与m-7,且4机+1的算术平方根是5. 3 (1)求m,n的值： 2求3m+2”的立方根. 1000 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式2.已知3a-5的立方根是-2，b+1的算术平方根是3. (1)求a,b的值； (2)若c<V15<c+1,且c是整数，求b-2a+2c的平方根. 【题型7立方根的应用】 例13.如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为216cm3,它的棱长是多少？ 例14.如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块. (1)求该正方体铁块的棱长： (②)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方 体铁块，若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长 变式1.如图，某港口有一个体积为27m的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体 积为216m的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的() A.2倍 B.3倍 C.6倍 D.9倍 变式2.在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱 体)，并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为216cm3,小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了 0.5cm ()铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取3）？ 【题型8与立方根有关的规律探究问题】 例15.观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 4/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中， 被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的 小数点就向 移动 位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知13≈2.35，则0.013≈ 13000≈ (3)类比上述立方根运算：已知√3.66≈1.913，则√366≈ 36600≈ 例16.观察下表，并解决问题 Q 0.0004 0.04 4 400 40000 a 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或 向左)移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动位. (2)已知√0.2≈0.4472,2≈1.414，则√20≈ (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知0.3≈0.6694,3≈1.442,30≈3.107，则300≈ 变式1.观察下列规律回答问题： -0.001=-0.1,-1=-1,-1000=-10,0.001=0.1,近=1,1000=10，… (1)0.000001=_,106=: (2)已知=1.587，若=-0.1587，用含x的代数式表示y,则y=: (3)根据规律写出a与a的大小情况. 变式2.(1)填表： 0.000008 0.008 8 8000 a (2)观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根ā的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述 这个规律： (3)根据你发现的规律解答： ①已知0.214≈0.5981,2.14≈1.289,21.4≈2.776，则2140介于哪两个整数之间？ ②己知0.001843≈0.1226，则1843≈； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01 平方米) 0.000008 0.008 8000 5/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0.02 0.2 2 20 03 串知识识框架 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根 或三次方根求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 知识点1：立方根 立方根 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， 0的立方根是0. 知识点2：立方根的性质 04过关测稳提升 一、单选题 1.(24-25七年级下·全国·周测)下列结论正确的是() A.64的立方根是±4 B.号设有立方根 C.一1的立方根为±1 D.-27=-27 2.(25-26八年级上·上海奉贤·期中)下列说法正确的是() A.负数没有立方根； B.-2是4的算术平方根： C.立方根是它本身的数只有0： D.互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 3.(25-26八年级上河北石家庄·期中)若实数a,b满足√a-2+(b-3)2=0,则a+2b的立方根为() A.2 B.±2 C.-2 D.8 4.(25-26八年级上·河北石家庄·期中)如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体.如果这个几何体的体 积为216cm3,那么每个小正方体的棱长为() A.Icm B.2cm C.3cm D.6cm 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级上广东茂名期中)如图，这是一个数值转换器，当输入x的值为64时，则输出y的值是 () 是无理数 输出y长 是 输入x 取算术平方根 是有理数 取立方根 理 数 是有理数 A.2 B.2 C.±√2 D.3 二、填空题 6.(25-26八年级上·陕西汉中期中)实数-27的立方根是，49的算术平方根是，144的平方根 是· 7.(25-26七年级上浙江杭州期中)如果2.37=1.333,23.7=2.872，那么0.0237= 8.(25-26八年级上陕西西安期中)己知a-3和9+2a是一个正数的两个平方根，3b+6的立方根是3，则 b-a的算术平方根是」 9.(25-26八年级上陕西西安·期中)已知m,n为实数，若n-1+2m+n-3=0,则m+n的算术平方根 为 10.(25-26八年级上·四川眉山期中)实数α，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么 V仍-a)2+a+b-b3化简的结果 bo a 三、解答题 11.(2025八年级上北京·专题练习)求下列各数的立方根： (1)-8 e器 (3)0.125 12.（2025八年级上·北京·专题练习)求下列各式的值： (1)-27 af 137 6-64 13.(25-26八年级上江苏常州期中)求下列各式中x的值： (1)4x2-25=0: (2(2x-1°+27=0. 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26八年级上江西吉安·期中)计算： (1)(-3)+16-3-64 (②)V-22+1-V5-8 15.(25-26八年级上·江苏无锡月考)已知某数的平方根是a+3与2a-15,且2b-1的算术平方根是3. (1)求a,b的值； (2)求a+b-1的立方根. 16.(25-26八年级上河北石家庄期中)观察下表，并用所得的规律解决问题： a 0.001 1 1000 1000000 a 0.1 1 10 100 (①)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动 位，其立方根的小数点向右（或左）移动 位； (2)应用：①已知0.000456≈0.07697，则456≈ ②已知3000≈14.42，则3≈ (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根.已知：√6≈2.44960≈7.746，计算√0.54的值， 8/8