20.1勾股定理及其应用（第2课时）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦勾股定理的实际应用，通过回顾直角三角形边长关系公式及基础计算导入，以门框通过、梯子滑动等生活情境为载体，搭建从理论到实践的学习支架，帮助学生衔接勾股定理概念与实际问题解决。 其亮点在于遵循“实际问题—抽象直角三角形模型—运用定理求解—验证合理性”流程，结合旗杆测量、蚂蚁最短路径等实例，培养学生数学眼光（抽象能力、几何直观）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。学生能提升建模与转化能力，教师可依托结构化内容高效开展教学。

第2课时 勾股定理的实际应用 20.1 勾股定理及其应用 第二十章 勾股定理 第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 20. 2 勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理的应用 章节导读 勾股定理 勾股定理的实际应用 利用勾股定理作图或计算 学 习 目 标 1 2 3 能从实际情境中识别或构造直角三角形，建立已知边与未知边的数量关系； 熟练运用勾股定理进行计算，解决门框通过、梯子高度、两点距离等基础实际问题； 经历 “实际问题 — 抽象直角三角形模型 — 运用定理求解 — 验证结果合理性” 的完整过程，体会建模思想与转化思想，提升数学抽象能力与逻辑推理能力. 导入新课 在上一节课中，我们已经学习了勾股定理，你还记得什么是勾股定理吗？ 若直角三角形的两直角边分别为 、，斜边为 ，则 勾股定理 1.若直角三角形两直角边分别为 3 和 4，则斜边长度为________； 2.若直角三角形斜边为 10，一条直角边为 6，则另一条直角边为________。 勾股定理在生活中有哪些应用？ 我们将从以下生活情境来体会如何用勾股定理解决生活问题. 新知探究 探究 一个门框的尺寸如图所示（长 2m，宽 1m），一块长 3m、宽 2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过？ ①木板横着通过时，最大宽度为 1m，木板宽 2.2m，不能通过； 1 1 ②木板竖着通过时，最大高度为 2m，木板宽 2.2m，不能通过； 新知探究 试想：斜着通过时，木板能否从门框内通过？ 1 连接门框的对角线，形成 ，其中直角边 ，，斜边 为对角线长度。 根据勾股定理， 则 因为 大于 木板的宽 2.2m，所以木板能通过. 基础训练 1.有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺．将芦苇拽至池边中点处，它的末端刚好与水面相齐，那么水有多深？芦苇有多长？ 【分析】设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理可得，进而求解即可． 解：设水深为尺，则芦苇长为尺，由题意得： 解得： ∴芦苇的长度为（尺） 答：水池深12尺，芦苇长13尺． 此时刚好形成直角三角形 新知探究 探究 一架长 2.5m 的梯子斜靠在竖直墙上，底端 到墙面的距离 。若将梯子底端沿地面向外移动 ，顶端会下滑 吗？ D 梯子长度 （梯子长度不变） 移动后，底端从 到 ①求移动前顶端 到地面的高度 在 中，根据勾股定理， 则 新知探究 D ②求移动后顶端 到地面的高度 在 中，根据勾股定理 则 ③求顶端下滑的距离 故梯子顶端下滑的距离是 ，不是 结论：勾股定理中，直角边的变化量与斜边（梯子长度）无关 基础训练 2.如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，此时云梯底端离墙是7 米，若云梯顶端下滑4米（即米），则云梯的底部 在水平方向上滑行的距离是多少米？ 【分析】本题是滑梯模型，根据梯子长度不会变这个等量关系，在结合勾股定理即可求解. 解：由题意知米，米，米 在中 米 已知米，则（米） 在中，为直角边 米 （米） 新知探究 探究 除了以上实际问题，勾股定理还可用于解决一些生活常见的问题，如旗杆问题、大树折断问题、最短路径问题. 某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． 情境一：旗杆模型 求风筝的垂直高度. 新知探究 【分析】，利用勾股定理先求CD （1）解：由题意可得：，米，，，米，米， 米 米 即风筝的垂直高度为米. 新知探究 情境二：大树折断模型 如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 【分析】图中已有,利用勾股定理求未知边即可. 解：由题意得， ∴ ∴ 答：的距离为． 新知探究 情境三：最短路径 如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程多少？ 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答 解：如图，将台阶展开为平面图 则长为，宽为 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长 即． 新知总结 勾股定理解决实际应用的一般步骤 实际问题 数学模型 抽象 直角三角形 构造 运用定理 勾股定理 解决 利用勾股定理解决实际问题时，关键是分析实际情境，找出直角三角形（或构造直角三角形）. 巩固练习 1.如图，一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端刚好落在地上，求此处离树底部多远？ 【分析】先确定折断后形成的直角三角形的直角边和斜边再用勾股定理求出另一条直角边. 解：由题意，树高，离地面处折断 则折断部分长度为 设树顶端到树底部的距离为 树残留部分与地面垂直 由勾股定理得： 即 （舍去负根） 答：此处离树底部远． 巩固练习 2.如图，一圆柱体底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求出爬行的最短路程等于多少？ 【分析】沿将圆柱侧面展开，根据两点之间线段最短可知，线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程. 解：如图所示，沿将圆柱侧面展开 由题意得， 线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程 在中，由勾股定理得 ∴蚂蚁爬行的最短路程是 展开后的平面图形为矩形 巩固练习 3.如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． 【分析】设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解. (1)求旗杆的高度； （1）解：设旗杆的高度为，则 在中，，由勾股定理得： ∴ 解得 答：旗杆的高度为 巩固练习 (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的3米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【分析】过E作，垂足为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得即可. 解：过作，垂足为 则 ∴四边形为矩形 ∴， 巩固练习 ， 在中， 由勾股定理得： 答：小明需后退． 课堂总结 勾股定理的实际应用 实际应用 确定直角三角形的已知边和未知边 分析实际情境，找出直角三角形 运用勾股定理列式求解 结合实际情境判断结果的合理性 感谢聆听! $