专题06 数列（12大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

专题06 数列 【苏教版】 【知识清单1 数列的概念】 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以 用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. . 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【知识清单2 数列的性质】 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【知识清单3 等差数列的概念】 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*,m≠n)，则 an-am =(n-m)d 4．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为 λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【知识清单4 等差数列的前n项和公式】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 (公式一)，(公式二). 2．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【知识清单5 等比数列的概念】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 4．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 5．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【知识清单6 等比数列的前n项和公式】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记，则是一个指数式与一 个常数的和.当q>0且q≠1时，y=qn是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【知识清单7 数列求和的几种常用方法】 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： . 2．分组（并项）求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 【常用结论】 1．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【知识清单8 数学归纳法】 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 【题型1 求数列的通项或项】 【例1】（25-26高二上·河北石家庄·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数列所给项，找到数列中项与项数的规律即可得解. 【解答过程】因为数列，可以写成， 所以可得到该数列的一个通项公式. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由累加法求通项即可得出答案. 【解答过程】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 【变式1.2】（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【解答过程】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以 . 故选：A. 【变式1.3】（24-25高二下·广东深圳·月考）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【解答过程】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 【题型2 数列的单调性问题】 【例2】（25-26高三上·北京海淀·月考）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据递增数列的定义结合特例即可求解. 【解答过程】若有数列为递增数列，则， 当时，如：，满足， 但数列不是递增数列， 所以是数列为递增数列的必要不充分条件， 故选：B. 【变式2.1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【解题思路】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得. 【解答过程】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在 上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B. 【变式2.2】（25-26高三上·福建泉州·期中）设等比数列前项和为，，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】分别求出和为递增数列的充要条件，判断它们之间的关系，即得答案. 【解答过程】是等比数列，. 由，得，即， 所以，所以，所以或， 所以的充要条件为或. 又，所以数列为递增数列的充要条件为， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“为递增数列的必要不充分条件”. 故选：B. 【变式2.3】（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由递推公式结合等比数列定义可得数列的通项公式，则可计算出，再结合数列单调性计算即可得. 【解答过程】，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以， 所以， 若数列是递增数列，则恒成立， 所以 恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【题型3 等差数列的判定与证明】 【例3】（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用赋值思想，结合等差数列的定义及通项公式来表达并加以判断即可. 【解答过程】令，则，因为， 所以，即为等差数列，故充分性成立. 反之，若为等差数列，设公差为， 则， 当时，，故必要性不成立. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高二下·广东茂名·月考）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的定义逐一判断即可. 【解答过程】依题意，对消去，得，等价于， 所以， 所以是等差数列，故D正确，C错误；若是等差数列，则是等差数列，则是等差数列， 与是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为，故A错误． 故选：D． 【变式3.2】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. 【解答过程】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，故； （3）， ， 两式相减，得 ， ， 故. 【变式3.3】（25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列满足：，. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求； (3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由. 【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析. (2) (3)是数列中的项，是第5项，理由见解析. 【解题思路】（1）将原等式进行变形，根据等差数列的定义判断即可. （2）根据（1）中的数列是等差数列先求出其通项公式，进而可求得结果. （3）若是数列中的项，则是数列中的项，然后代入数列的通项公式中求出即可. 【解答过程】（1）数列是等差数列，理由： 因为数列满足：，，所以. 所以，所以数列是等差数列. （2）由（1）知数列是等差数列，首项为，公差为3， 所以，所以. 所以. （3）若是数列中的项，则是数列中的项， 令，则，解得. 所以是数列中的第5项. 【题型4 等差数列的通项公式】 【例4】（25-26高二上·河北·月考）在等差数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据求出公差，再求出，再利用等差数列通项公式即可得到答案. 【解答过程】设等差数列的公差为． 因为，所以，解得． 所以， 所以． 故选：D. 【变式4-1】（25-26高二上·江苏·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据是等差数列，根据条件及公式，求出，代入公式，即可得答案. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 则. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及裂项相消法求，即可证. 【解答过程】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2） ∴. 又，所以. 【变式4-3】（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）根据与的关系运用作差法和等差数列的定义即可判定等差数列，求得其通项公式； （2）根据数列的通项公式，对分奇偶两类分别求和，利用裂项相消法和公式法计算即得. 【解答过程】（1）因为，所以（）. 相减得，即. 所以. 因为是正项数列，所以， 所以，即. 故是等差数列. 令，得，解得， 所以. （2）（2）因为，则， 即. 所以， 所以. 【题型5 等差数列的前n项和及其最值】 【例5】（25-26高二上·河南·月考）在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 【答案】A 【解题思路】根据等差数列的下标和性质得出，再利用等差数列的前项和公式求出. 【解答过程】因为，所以， 由等差数列的性质得， 所以 ． 故选：A． 【变式5-1】（25-26高三上·河北唐山·期中）已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 【答案】B 【解题思路】根据等差数列前n项和的公式列方程求解和d，进而得到的表达式即可求得最值． 【解答过程】已知等差数列的前n项和为，公差为d，所以， 所以，． 又，即 亦即解得 所以， 根据二次函数的性质知当或6时，取得最大值30， 故选：B． 【变式5-2】（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式列方程求出和，即可得通项和前项和； （2）利用绝对值的性质，分和两类情况求和即得. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 则，解得； ， 则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 【变式5-3】（25-26高二上·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)， (3) 【解题思路】（1）由等差数列通项公式基本量计算即可求解； （2）根据等差数列求和公式可得，结合二次函数性质即可求解； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 【题型6 等比数列的判定与证明】 【例6】（24-25高二下·湖南·月考）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解题思路】令可得，可证得是以公比为的等比数列，由此甲能推出乙，举反列可说明乙不能推出甲，再由充分条件和必要条件可得出答案. 【解答过程】令，可得，即， 所以是以公比为的等比数列，所以甲能推出乙， 若是等比数列，则取，， 所以，所以乙不能推出甲， 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用等比数列的定义判断即可. 【解答过程】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确；         ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高二下·湖北·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用与的关系式，及构造法即可证明； （2）利用错位相减法即可求解. 【解答过程】（1）证明：①当时，， ②当时 ，， 则， 整理得： ∴，又， ∴是以2为首项，4为公比的等比数列； （2）由（1）得：， ∴， ∴，① ，② 由②①得： ， ∴. 【变式6-3】（24-25高二下·河南周口·月考）已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）由已知构造数列后由等比数列的性质可得； （2）由错位相减法求和可得. 【解答过程】（1）因数列满足， 所以， 因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，所以. （2）由（1）知， 所以， 则， 以上两式相减，得 ， 所以. 【题型7 等比数列的通项公式】 【例7】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】当时，可得，两式相减，求得，得到数列为等比数列，进而求得其通项公式. 【解答过程】由，当时，可得， 两式作差，可得，即， 所以， 当时，可得，即，解得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用与的关系以及的值证明得到数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列，得 【解答过程】已知， 则当时，， 两式相减得到，即 ； 所以数列是从第 2 项起是公比为 3 的等比数列， 当时，； 所以数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列， 所以； 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·上海浦东新·月考）设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题设条件算出公比，进而得到通项公式； （2）利用等比数列的求和公式计算. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为， 由题知，解得， 则等比数列的通项公式； （2）结合（1）可知，是首项为，公比为的等比数列， 共项， 由等比数列的求和公式，. 【变式7-3】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知等比数列中，，，为数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设等比数列的公比为，由计算，再求出，即可得解； （2）首先求出，即可得到，再由错位相减法计算可得. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，则， 故，解得，所以. （2）由（1）知，， 所以， 所以①， ②， ①②得 ， 所以. 【题型8 等比数列的前n项和】 【例8】（25-26高二上·重庆·月考）已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题意先求出基本量，再把目标式转化为等比数列求和，进而利用公式法求解即可. 【解答过程】由题意得为等比数列，则设首项为，公比为， 因为，，所以， 联立方程组，解得， 结合题意可得是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和， 由求和公式得前50项和为，故D正确. 故选：D. 【变式8.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【解题思路】由对数运算性质及等比数列的定义得是首项、公比都为2的等比数列，应用等比数列前n项和公式及求的最大值. 【解答过程】由题设，又，即是首项、公比都为2的等比数列， 所以，则， 由，则，即. 所以满足的的最大值为9. 故选：A. 【变式8.2】（25-26高二上·江苏泰州·月考）某人从2026年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2036年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元）参考数据：，， A．2.438 B．19.9 C．24.3 D．22.3 【答案】D 【解题思路】根据题意，结合等比数列的求和公式，进行计算，即可求解. 【解答过程】设每年1月1日到银行存入万元（一年定期），年利率保持不变，且，， 由题意得， 2036年1月1日将所有存款及利息全部取回为： 万元. 故选：D. 【变式8.3】（25-26高二上·河北·月考）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)，，； (2). 【解题思路】（1）根据等差数列前项和公式即可求出，求出公比，再利用等比数列通项公式和求和公式即可得到； （2）写出，再利用错位相减法即可得到答案. 【解答过程】（1）因为数列的通项公式为，故， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 所以． 因为数列为公比大于0的等比数列，且， 设公比为，则，解得或（舍去）， 所以． 所以． （2）由（1）可得， 所以①． ②． ①②得， 所以． 【题型9 数列求和】 【例9】（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用已知条件构造是等比数列，即可求出通项公式，再由错位相减法进行求和即可. 【解答过程】，可得，又， 是首项为，公比为的等比数列，，， ，① 则，② ①②可得， . 故选：D. 【变式9-1】（25-26高二上·福建漳州·月考）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【解答过程】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A. 【变式9-2】（25-26高二上·河南·月考）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行计算证明即可. 【解答过程】（1）由题意，得且， 解得 所以. （2）证明：由（1）得，因为， 所以. 则 因为，所以，所以. 【变式9-3】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知数列满足，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据递推公式可得，结合等比数列定义分析证明； （2）根据（1）可得，结合等比数列求和公式运算求解； （3）由（2）可得，利用分组求和结合错位相减法运算求解. 【解答过程】（1）因为，则， 且，所以是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可得：，即， 所以． （3）由（2）可知：， 设，， 则，， 两式相减得：， 故， 所以． 【题型10 数列与不等式综合】 【例10】（25-26高二上·浙江宁波·月考）设等比数列的首项为65，公比为，记为数列的前项积，若对于任意，都有成立，则正整数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】根据题意先求出等比数列的通项公式，从而得到的表达式，将问题转化为求取最大值时对应的的问题即可. 【解答过程】因为等比数列的首项为65，公比为， 所以， 因为对于任意，都有成立， 所以的最大值为. 当取最大值时，，且. 令，即，而， 所以满足的最大整数为6，即， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在时取得最大值，即， 故选：C. 【变式10-1】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出，进而求出，再由裂项相消法求出即可求出最小值. 【解答过程】数列中，，当时，， 当时，，两式相减得， 则，而不满足此式，因此， 当时，，当时，满足上式； 因此，由对任意恒成立，得， 所以的最小值为． 故选：B. 【变式10-2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，； (2)（i）；（ii）. 【解题思路】（1）对左右同除后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式； （2）（i）借助错位相减法计算即可得；（ii）由题意可得，构造数列，借助作商法可得数列单调性，即可求出数列的最大值，即可得解. 【解答过程】（1）由，则， 即有，又， 故数列为以为首项，为公差的等差数列， 则，故； （2）（i）， 则， ， 则 ， 则； （ii），即， 整理得，令， 令，解得，又，故， 则数列在时，单调递增，在时，单调递减， 又， 故的最大值为，故. 【变式10-3】（25-26高二上·浙江金华·月考）已知等比数列的前项和为，满足，且，，成等差数列，数列的前项和为，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和，求证：； (3)若对，恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由题设可得，进而得到，即可求得等比数列的公比为2，进而求得，结合的关系根据题设可得，，进而利用累乘法求解即可； （2）先求得，利用裂项相消法求得，进而根据其单调性求证即可； （3）由题设可得，记，进而结合数列的单调性求解即可. 【解答过程】（1）由，，成等差数列，则， 即，则， 设等比数列的公比为，则，又，所以. 又，则时，， 两式相减得，，即，， 又，则，， 显然满足上式，则. （2）由， 则， 由于在上单调递增，则，即. （3）由（1）得，，， 由，则，记， 则， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 故，则. 【题型11 数学归纳法】 【例11】（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出和的结论，对照即可求解. 【解答过程】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于，左边； 时，左边， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是． 故选：C. 【变式11-1】（24-25高二下·四川绵阳·月考）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由数学归纳法的定义可得结论. 【解答过程】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 【变式11-2】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：能被64整除． 【答案】证明见解析 【解题思路】按照数学归纳法的步骤证明即可. 【解答过程】（i）当时，，能被64整除，故时命题成立； （ii）假设当时命题成立，即能被64整除， 则当时，能被64整除， 故当时命题成立． 由（i）（ii）可知对，都能被64整除． 【变式11-3】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：． 【答案】证明见解析 【解题思路】（i）当时，不等式成立；（ii）假设当时不等式成立，验证当时不等式也成立，此处采用“取差法”证明不等关系成立． 【解答过程】（i）当时，左边，右边 ，显然，左边右边，原不等式成立； （ii）假设当时不等式成立， 即， 那么当时， ． 又 ， 所以 ， 即时，不等式也成立． 由（i）（ii）可知，对任意，不等式都成立． 【题型12 数列新定义问题】 【例12】（2025·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【解题思路】根据行列式定义及等比数列的通项公式求出公比，再由求和公式得解. 【解答过程】根据题意可得：， 因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 【变式12-1】（24-25高一下·上海金山·期末）已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（   ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②③ 【答案】C 【解题思路】根据给定定义，举例说明判断命题①④；按公比分类判断命题②；结合单调性推理判断命题③. 【解答过程】对于①，设等差数列的首项为，公差为，当时，， 对于任意的正整数，令，即， 因为是正整数，所以对于每一个，都存在唯一的正整数使得， 因此存在等差数列为数列，①正确； 对于②，设等比数列的首项为，公比为， 若，则，由，得，当时，此方程无解； 若，令，即， 当变化时，很难保证对于任意的正整数，都存在唯一的正整数使得等式成立， 例如，当时，，方程无正整数解， 因此不存在等比数列为数列，②错误； 对于③，，对任意，知存在， 使得， 则，即，且数列为严格增数列，， 因此其“和数列”为严格增数列，③正确； 对于④，例如，显然是所有正整数的排列， 且数列的“和数列”为严格增数列，但不是递增数列，④错误. 故选：C. 【变式12-2】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 【答案】(1)存在；11，10，9，8，7. (2)单调递减，证明见解析 (3)46 【解题思路】（1）求出、、、、后，根据“默契数列”的定义判定即可； （2）由“默契数列”的定义，结合数列单调性讨论的符号即可得解； （3）根据数列及其“默契数列”中项的特征，结合单调性分析出，即可得解. 【解答过程】（1）数列1，5，9，13，17存在“默契数列” 因为， ，， ，， 所以数列1，5，9，13，17存在“默契数列”为：11，10，9，8，7. （2）数列为单调递减数列． 因为，，， 又因为，所以有， 所以， 即成立 所以数列为单调递减数列． （3），都有， 因为，． 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 又 ， 则，即，，所以． 所以的最大值是46． 【变式12-3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【解题思路】（1）根据可直接得到结果； （2）根据“”数列定义可推导得到，由等比数列通项公式可求得，根据与关系可求得； （3）令，可推导得到，分别讨论和的情况，构造关于的表达式后结合双勾函数即可求得结果. 【解答过程】（1）等差数列是“”数列，， ，存在，. （2）正项数列是“”数列，， ，，即， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，， 当时，， 当时，不满足， . （3）由“”数列定义知：，又，， 令，则，故，且，且， ，； 若，则恒成立，则， 若，则 ， 因为存在三个不同的数列为“”数列， 故有解，故有解且解不为1， 由双勾函数的单调性可得， ，即实数的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据前5项的规律，分析总结，即可得答案. 【解答过程】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以 故选：B. 2．（25-26高二上·天津河北·月考）等差数列中,若，则公差的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的通项公式计算即可. 【解答过程】由，解得. 故选：D. 3．（25-26高二上·江苏·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【解答过程】因为数列为等差数列， 因为 所以 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 4．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解答过程】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】设数列的最大项为,由求解. 【解答过程】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B. 6．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【解题思路】根据题干确定各等比数列，结合等比数列求和公式，列不等式，解不等式即可. 【解答过程】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半， 所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和， 又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍， 所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和，令， 解得或， 因为，所以， 故选：A. 7．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，则下列结论中不正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 【答案】B 【解题思路】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【解答过程】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确、B错误； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：B. 8．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用数列的递推关系求得，进而得，再利用裂项相消法求得，通过函数的单调性和有界性得到，即可求得的最小值. 【解答过程】因为 ，① 当时，，∵，∴； 当时，，② ①②两式相减得，整理，得 ∴ ，又， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，∴． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】根据规律写出数列的通项公式判断AB，结合选项求，推出矛盾判断CD. 【解答过程】对于选项A，B，根据题意，数列， 即， 故一个通项公式为或，选项A，B正确， 对于选项C，若，则，矛盾，C错误， 对于选项D，若，则，矛盾，D错误， 故选：AB. 10．（25-26高二上·浙江宁波·月考）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ） A． B． C．取得最小值时，或5 D．时，的最小值为10 【答案】BCD 【解题思路】对于：因为等差数列是递增数列，即可判断公差的正负； 对于：利用等差数列的通项公式，可化简为，即可判断的正负； 对于：利用的公式，结合可得：，再结合数列的性质，即可得取得最小值时，的取值； 对于：令，解得的取值范围，结合，即可得出时，的最小值； 【解答过程】对于：因为等差数列是递增数列，所以公差，故选项错误； 对于：，因为，所以，故选项正确； 对于：，将代入得：， 因为，根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值， 又因为，所以当或者时，取得最小值，故选项正确； 对于：因为，令得或， 又因为，所以时，的最小值为10，故正确. 故选：. 11．（24-25高二下·全国·月考）已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．是单调递减数列 C．若对任意，都有，则 D．若为数列的前项和，则 【答案】ACD 【解题思路】根据累乘法可得，即可判断A；根据即可求解B；根据单调性，分奇偶即可判断C；利用错位相减法求得可判断D. 【解答过程】由，可得， 故， 也符合， 故，A正确； 由于，故， 因此是单调递增数列，B错误； 由可定， 当为偶数时，则恒成立， 由于单调递增，故， 当为奇数时，则恒成立，由于单调递增， 故，故对任意，都有， 则，故C正确； 由，可得， ， ， 两式相减得： ， ，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知在数列中，，，则 ． 【答案】 【解题思路】首先确定数列的周期，再求值. 【解答过程】，， ，，， 所以数列的周期为3，. 故答案为：. 13．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 【答案】4 【解题思路】根据等比数列的求和公式，即可利用比例求解. 【解答过程】由可知公比， 若,则公比,此时,这与条件矛盾，因此不等于0，因此，因此， 进而，解得或（舍去）， 又，故， 故答案为：4. 14．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】3 【解题思路】由与关系可得，然后可得及，最后由可得答案. 【解答过程】因，则， 两式相减可得：. 又，则，从而. 当时，； 当时， . 综上可得：，若.对任意恒成立，则. 故实数的最小值为3. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据前四项数列形式，总结规律即可得到其通项. 【解答过程】（1）从数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式是． （2）从数列的前4项，，，中发现规律，其每一项的符号按照的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的通项公式为． （3）从该数列的前4项，，，中发现规律， 由，，，，， 可以联想常见数列，，，，， 它的通项公式为， 因此该数列的通项公式为 ． （4）从该数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式为 ． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）观察下列各式： 总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论. 【答案】，证明见解析； 【解题思路】根据规律得到，再应用数学归纳法求证即可. 【解答过程】观察各式，可得一般规律， 用数学归纳法证明如下： 当时，左边，右边，等式成立； 假设 时，等式成立，即， 那么当时， 故时，等式也成立. 综上，等式对于一切正整数n都成立. 17．（24-25高二上·安徽·期末）已知的前项和为，且. (1)当为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）分别代入计算得，再根据等比中项求出，最后再即可； （2）利用错位相减法即可. 【解答过程】（1）（1）因为的前项和， 所以， 所以， 若是等比数列，则，求得， 当时，， 又当时，， 则当时，也适合此通项公式.即， 由于对都成立，所以此时数列为等比数列， 所以当时，数列为等比数列，此时数列的通项公式为. （2）（2）当时，， 则， ， 所以， 故. 18．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，可得，求解即可得数列的通项公式，运用累加法可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，运用错位相减法可求得，根据的单调性可得结论. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 因为，，所以， 即，解得，， 所以数列的通项公式； 因为，所以，所以， 又，适合上式，所以的通项公式为：； （2）由（1）知和，得：； 两式相减得， 所以，因，则， 当时，， 单调递增，又，所以. 19．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若数列的前项和为，对于给定正整数，若，，，成等差数列，则称数列具有性质. (1)数列具有性质，且，，求的值； (2)若等比数列具有性质，求数列的公比； (3)若数列具有性质，，是否存在无穷子列，，，…成等差数列？若存在，求一个符合要求的子列；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在，如子列，理由见解析 【解题思路】（1）根据题意，设数列构成等差数列，且公差为，根据等差数列的求和公式，列出方程，求得，进而求得的值； （2）设等比数列的首项，公比为，由性质，得到成等差数列，结合等比数列的求和公式，求得数列需为等差数列，结合等差数列的定义，列出方程，即可求解. （3）根据题意，求得和，由3和4互质，得到可以表示为二次函数，得出，求得，结合等差数列的定义，即可得证. 【解答过程】（1）解：由数列具有性质，所以构成等差数列， 设该等差数列为，且公差为，其中，首项， 因为，， 所以数列的前的和， 解得，所以，所以. （2）解：设等比数列的首项，公比为， 由性质知：数列成等差数列， 因为，， 所以数列需为等差数列， 因为等差数列相邻两项的差相等，即， 若，则，可得，此时所有项均为，构成等差数列； 若，因为，由， 则，解得或， 但时，，与前提矛盾，故舍去，所以， 此时数列为常数列，构成等差数列， 综上可得，数列的公比或. （3）解：由数列具有性质和，即连续3项和与连续4项和分别成等差数列， 设连续3项和为，则，其中为的公差， 同理可得： 连续4项和为，则，其中为的公差， 因为3和4互质，可以表示为两种二次函数的形式， 所以必为关于的二次函数， 此时通项，满足（其中为常数） 所以数列为等差数列，即等差数列的任意无穷子列仍为等差数列， 所以存在无穷子列成等差数列. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 【苏教版】 【知识清单1 数列的概念】 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以 用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. . 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【知识清单2 数列的性质】 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【知识清单3 等差数列的概念】 1．等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*,m≠n)，则 an-am =(n-m)d 4．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为 λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 【知识清单4 等差数列的前n项和公式】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 (公式一)，(公式二). 2．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 3．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 【知识清单5 等比数列的概念】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 3．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 4．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶 数项异号). 5．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【知识清单6 等比数列的前n项和公式】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记，则是一个指数式与一 个常数的和.当q>0且q≠1时，y=qn是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【知识清单7 数列求和的几种常用方法】 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. ①等差数列的前n项和公式： . ②等比数列的前n项和公式： . 2．分组（并项）求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 5．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 【常用结论】 1．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【知识清单8 数学归纳法】 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 【题型1 求数列的通项或项】 【例1】（25-26高二上·河北石家庄·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二下·广东深圳·月考）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【题型2 数列的单调性问题】 【例2】（25-26高三上·北京海淀·月考）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.1】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【变式2.2】（25-26高三上·福建泉州·期中）设等比数列前项和为，，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.3】（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 等差数列的判定与证明】 【例3】（25-26高二上·湖南·月考）已知数列满足，设甲：，乙：为等差数列.则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3.1】（24-25高二下·广东茂名·月考）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 【变式3.3】（25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列满足：，. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求； (3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由. 【题型4 等差数列的通项公式】 【例4】（25-26高二上·河北·月考）在等差数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·江苏·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【变式4-3】（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【题型5 等差数列的前n项和及其最值】 【例5】（25-26高二上·河南·月考）在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 【变式5-1】（25-26高三上·河北唐山·期中）已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 【变式5-2】（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【变式5-3】（25-26高二上·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【题型6 等比数列的判定与证明】 【例6】（24-25高二下·湖南·月考）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式6-1】（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（24-25高二下·湖北·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【变式6-3】（24-25高二下·河南周口·月考）已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 【题型7 等比数列的通项公式】 【例7】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·上海浦东新·月考）设是等比数列， (1)求的通项公式； (2)求． 【变式7-3】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知等比数列中，，，为数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【题型8 等比数列的前n项和】 【例8】（25-26高二上·重庆·月考）已知为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知正项数列的前项和为，且，则满足的的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式8.2】（25-26高二上·江苏泰州·月考）某人从2026年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2036年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（   ）（单位：万元）参考数据：，， A．2.438 B．19.9 C．24.3 D．22.3 【变式8.3】（25-26高二上·河北·月考）已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，. (1)求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和； (2)令，求数列的前n项和. 【题型9 数列求和】 【例9】（24-25高二上·江苏淮安·期末）数列满足，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·福建漳州·月考）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·河南·月考）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【变式9-3】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知数列满足，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【题型10 数列与不等式综合】 【例10】（25-26高二上·浙江宁波·月考）设等比数列的首项为65，公比为，记为数列的前项积，若对于任意，都有成立，则正整数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式10-1】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式10-2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 【变式10-3】（25-26高二上·浙江金华·月考）已知等比数列的前项和为，满足，且，，成等差数列，数列的前项和为，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和，求证：； (3)若对，恒有成立，求实数的取值范围. 【题型11 数学归纳法】 【例11】（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二下·四川绵阳·月考）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明：能被64整除． 【变式11-3】（2025高三·全国·专题练习）用数学归纳法证明不等式：． 【题型12 数列新定义问题】 【例12】（2025·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【变式12-1】（24-25高一下·上海金山·期末）已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（   ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②③ 【变式12-2】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 【变式12-3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津河北·月考）等差数列中,若，则公差的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二上·江苏·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西咸阳·月考）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 6．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 7．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，，数列的前n项和为，则下列结论中不正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 8．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·浙江宁波·月考）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ） A． B． C．取得最小值时，或5 D．时，的最小值为10 11．（24-25高二下·全国·月考）已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．是单调递减数列 C．若对任意，都有，则 D．若为数列的前项和，则 三、填空题 12．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知在数列中，，，则 ． 13．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 14．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为 . 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）观察下列各式： 总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论. 17．（24-25高二上·安徽·期末）已知的前项和为，且. (1)当为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前项和. 18．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 19．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若数列的前项和为，对于给定正整数，若，，，成等差数列，则称数列具有性质. (1)数列具有性质，且，，求的值； (2)若等比数列具有性质，求数列的公比； (3)若数列具有性质，，是否存在无穷子列，，，…成等差数列？若存在，求一个符合要求的子列；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $