1.5 平行线的性质（2）讲义 2025--2026学年浙教版七年级数学下册
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摘要：
该初中数学讲义以“平行线性质”为核心，通过知识重点梳理“两直线平行，内错角相等、同旁内角互补”，结合经典例题构建“性质理解-推理应用-综合拓展”的知识框架，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。
讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固性质直接应用，培优题融入光折射、折纸等现实情境培养数学眼光与推理意识，如“光的反射中角度计算”题引导用数学思维分析问题。不同层次题目满足差异化需求，助力教师精准教学与学生自主复习提升。
内容正文：
数学七年级下册第1章相交线与平行线
1.5 平行线的性质（2）
【知识重点】
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单地说，两直线平行，内错角相等.
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单地说，两直线平行，同旁内角互补.
【经典例题】
例题1、已知：如图，，，则．完成下面的说理过程（填空）
解：∵，（已知）
∴______（____________）．
∵（____________），
∴______＝______（等量代换）．
∴（____________）．
【答案】；两直线平行，内错角相等；已知；；；同位角相等，两直线平行
【解析】∵，（已知），
∴．（两直线平行，内错角相等），
∵，（已知），
∴．（等量代换），
∴．（同位角相等，两直线平行），
故答案为：；两直线平行，内错角相等；已知；；；同位角相等，两直线平行．
例题2、如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．求∠AGD的度数．
【答案】解：∵EF∥AD(已知)
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)；
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠3(等量代换)；
∴DG∥AB(内错角相等，两直线平行).
∴(两直线平行，同旁内角互补) ，
∵
∴
例题3、补全下列证明过程：
已知：如图，求证：．
证明：如图，作射线，使，
（_______________）
又 （________________）
（_________________）
即
∴（_________________）
又
（__________________）
【答案】证明：如图，作射线，使，
（两直线平行内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
即，
∴（内错角相等，两直线平行），
又，
（平行于同一直线的两直线平行）．
例题4、如图所示， 已知 ， 求 的度数．
【答案】解： (已知)，
(两直线平行， 内错角相等)，
(两直线平行，同旁内角互补)，
．
【基础训练】
1．如图，，直线分别交、于点、，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
2． 在数学活动课上，小丽同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得∠1＝26°，则∠2的度数是（ ）
A．46° B．64° C．52° D．56°
【答案】D
【解析】如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H，
∵AB//CD，
∴∠2=∠FHG.
又∵∠1+∠E=∠FHG，
∴∠2=∠1+∠E=26°+30°=56°
故答案为：D.
3． 如图，直线 AB， CD 与直线 l 分别交于点 E， F， 的平分线 EG 交 CD 于点 G， 于点 H. 若 ， 则( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵∴
∵EG平分∠BEF∴
∴
∴FE=FG，是等腰三角形
又∵
∴
A、C、D均没有条件可证明，错误。
故答案为： B.
4．将一个含角的直角三角板如图所示放置，使得直角的顶点落在直线上，另一顶点落在直线上，若，则的度数是 度．
【答案】20
【解析】如图，
∵三角板是含45°角的直角三角板，∴，
，∴，
∵，
，
故答案为：．
5． 如图， ，若 ，则 =
【答案】28°
【解析】∵AB∥CD，
∴∠A=∠ADC，
∵∠A+∠ADF=208°，
∴∠ADC+∠ADF=208°，
∴∠CDF=360°-208°=152°，
∵CD∥EF，
∴∠CDF+∠F=180°，
∴∠F=180°-152°=28°，
故答案为：28°.
6．如图，已知AB∥CD，∠2：∠3=1：2，则∠1= °．
【答案】60
【解析】∵ ∠2：∠3=1：2 ，
∴∠3=2∠2，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=60°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2=60°（两直线平行，同位角相等）.
故答案为：60.
7． 如图， 已知直线 ， 直线 与 分别相交于点 ， 把一块含 角的直角三角尺按右上图位置摆放， 若 ， 则 的度数为
【答案】
【解析】如图，
∠2＝∠1＝130°，
∵l1l2，
∴∠2+∠CBA＝180°，
∴∠CBA＝180°－∠2＝50°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠CBA－∠DBC ＝50°﹣30°＝20°，
故选：B．
8．如图， 是 的角平分线， ， 交 于点 ． 判断 与 是否相等，并说明理由．
【答案】解：相等，理由如下：
∵ 是 的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD
∵
∴∠EDB=∠CBD
∴∠EDB=∠EBD
9．如图，在中，平分，过点作交于点，过点作交于点，则可推得平分，其推导过程和推理依据如下：
解：，（已知）
▲ （ ▲ ）
，（已知）
∴ ▲ ＝，（ ▲ ）
▲ ．（ ▲ ）
．（等量代换）
又∵平分，（已知）
．（ ▲ ）
▲ ．（等量代换）
∴平分．（角平分线定义）
请完善以上推导过程和推理依据，并按照顺序将相应内容填写在答题卡指定区域内．
【答案】解：，（已知）
（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
∴＝，（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等；）
．（等量代换）
又∵平分，（已知）
．（角平分线定义）
∠BEF．（等量代换）
∴平分．（角平分线定义）
10．如图， 已知点 E、F 在直线 $AB$ 上， 点 G 在线段 CD 上， ED 与 FG交于点 H， ， .
（1） 求证： ；
（2） 若 ， ， 求 的度数.
【答案】（1）证明：∵∠2=∠3
∴
∴∠C=∠DGF
∵∠C=∠1
∴∠DGF=∠1
∴
（2）解：∵与是对顶角
∴
在中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵与是对顶角
∴
11． 如图，，点E，F分别在AB，CD上，且， 和互余.
（1）比较和的大小关系，并说明理由；
（2）若，求的度数.
【答案】（1）解：∠AEF=∠2.理由如下：
已知AB∥CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠CFE+∠AEF=180°，
已知EF⊥GF，根据垂直的意义，得∠GFE=90°，
因为∠CFE=∠1+∠GFE，所以∠1+∠GFE+∠AEF=180°，
所以∠1+∠AEF=180°-90°=90°，
根据互余的意义，得∠1和∠AEF互余.
又已知∠1和∠2互余，
根据“同角的余角相等”，得∠AEF=∠2
（2）解：已知∠1和∠2互余，根据互余的意义，得∠1+∠2=90°，
因为∠1=28°，所以∠2=90°-∠1=62°，
由(1)得，∠AEF=∠2=62°，
根据平角的意义，得∠AEF+∠2+∠BEP=180°，
所以∠BEP=180°-∠AEF-∠2=56°
12．已知：如图点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠OCB，CE⊥CD．
（1）若∠O＝40°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA．
【答案】（1）解：∵AB∥ON，∠O＝40°，
∴∠OCB＝180°﹣∠O＝140°，
∵CD平分∠OCB，
∴∠BCD∠OCB＝70°；
（2）解：证明：∵CE⊥CD，
∴∠OCE+∠DCO＝90°，
∵∠ACB＝180°，
∴∠ECA+∠DCB＝90°，
∵CD平分∠OCB，
∴∠DCB＝∠DCO，
∴∠ACE＝∠ECO，
∴CE平分∠OCA．
【培优训练】
13． 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知AB∥OF.
故答案为： D.
14．光线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的光线，如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若∠1+∠2=150°则∠3-∠4的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．120°
【答案】B
【解析】∵CD∥EF，∴∠2+∠5 =180°，∴∠5 =180°-∠2，
∵CE∥DF，∴∠3=∠5=180°-∠2，
∵AB∥CD，∴∠4=∠6，
∵AC∥BD，∴∠6=∠1，∴∠4=∠1，
∴∠3-∠4 =180°-∠2-∠1 =180°-(∠1+∠2)= 180°-150°= 30°.
故答案为：B.
15．如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】D
【解析】延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S.
∵AB∥CD，
∴∠KSM＝∠CNP＝30°.
∵∠EFA＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，
∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°，
∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF
＝25°+90°
＝115°.
∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，
∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30°
＝60°.
故答案为：D.
16．如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵
∴
∵平分，
∴
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴，
∴，故A不符合题意；
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴，故C不符合题意；D选项符合题意．
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故B选项不符合题意；
故选：D．
17． 如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，，交于点，，，平分，若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】如图，
过点A作AM∥DE，
∵FG∥DE，
∴AM∥FG∥DE，
∵AM∥DE，∴∠MAD+∠ADE = 180°，
∵∠ADE = 100°，∴∠MAD =180°-∠ADE =80°，
∵AM∥FG，∴∠GAM=∠G，
∵∠FAG=40°，∴∠BAC=∠FAG=40°，
∵AC平分∠BAD，∴∠BAD=2∠BAC=80°，∴∠GAD=180°-∠BAD=180°-80°=100°，
∵∠GAD=∠GAM+∠MAD，
∴∠GAM=∠G=∠GAD-∠MAD=20°.
故答案为： 20°.
18．如图1，将支架平面镜AB放置在水平桌面MN上，激光笔PD与水平天花板EF的夹角（∠EPG）为30°，激光笔发出的入射光线DG射到AB上后，反射光线GH与EF形成∠PHG，由光的反射定律可知，DG，GH与AB的垂线GK所形成的夹角始终相等，即∠1=∠2.
（1）∠GHF的度数为 .
（2）如图2，点B固定不动，调节支架平面镜AB，调节角为∠ABM，若反射光线GH恰好与EF平行，则∠ABM的度数为 .
【答案】（1）30°
（2）75°
【解析】(1)∵EF//MN，∠EPG=30°，∴∠PGN=∠EPG=30°，
∵KG⊥MN，∴∠1+∠PGN=90°，∴∠1=90°- 30°= 60°，
∵∠1=∠2，∴∠PGH=2∠1=120°，
∴∠NGH=120°+30°= 150°
∵EF//MN，∴∠GHF=180°-∠NGH=30°，
故答案为：30°.
(2)如图，若反射光线GH恰好与EF平行，
则∠PGH=∠EPG =30°，
∴，
∵KG⊥AB，
∴∠HGK+∠HGB = 90°，
∴∠HGB=90°-15°=75°，
∵EF//MN，
∴GH//MN//EF，
∴∠ABM=∠HGB=75°
故答案为：75°.
19． 如图，，点P是的角平分线上一点，且点P在之间，连结，设．当，时，求的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵∠ACP =m∠DCP， m=3，
∴∠ACP=3∠DCP，
∴∠ACD=4∠DCP，
∵∠ACP=∠CAP，
∴∠BAP=∠CAP=3∠DCP，
∴∠BAC=6∠DCP，
∴∠BAC+∠ACD = 10∠DCP=180°，
∴∠PCD=18°
20．如图1，直线MN与直线PQ互相平行，A、B分别是MN和PQ上的两个点，连接AB，在直线AB的右侧取一点，满足．
（1）如图1，若，则 ▲ ；
（2）如图2，在直线MN上方平面内取一点，直线AF交PQ于，满足，求．
（3）如图3，作的平分线AU、AV交PQ于S、T，作射线SW和TW交于，且使得，当四边形ASWT的一边与BC平行时，求的度数．
【答案】（1）80
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
（3）解：设，
当时，，
，
，
，，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，解得，
，
，
；
当时，，
，
，
，
，
平分，
，即，解得，
，
综上所述，或.
【解析】(1)设，则，
，
，
，
，
，解得，
.
故答案为：80.
21． 已知直线 ，点M、N分别是直线AB和CD上的两点，点G为直线AB和CD之间的一点，连接MG、NG.
（1）如图1，若 ， ，试说明 ；
（2）如图2，在(1)的结论下，点P是直线CD下方一点，满足MG平分 ，ND平分 .若 ，求 的度数；
（3）如图3，点P是直线AB上方一点，连结PM、PN，若点G为线段NQ上一点，GM的延长线为 的三等分线，NP平分 ， ，则 .
【答案】（1）证明：如图，过点G作，
∵，，
∴.
∴，.
∴.
（2）解：设GN与MP的交点为O.
∵，同时，.
∴.
根据（1），.
∴
∵平分，
∴.
∴
∴
（3）60°或48°
【解析】（3）设GM延长线交PN与点H.
①若，则.
∵平分 ，∴.
∵，且，∴.
∴
∵.
在内，，而.
∴
∴，整理可得
，解得；
①若，与①同理，有
，整理可得，解得.
故答案为：60°或48°.
22．如图，，直线分别交，于点，点，的平分线与的平分线交于点．
（1）求证：；
（2）在图的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图，求的度数；
（3）如图，，直线分别交，于点，点点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，请直接写出与之间满足的数量关系，不需证明．
【答案】（1）证明：，
，
平分，平分，
，，
，
，
；
（2）解：过点M作直线l平行于AB，如图，
∵ AB∥CD，
∴ AB∥CD∥l，
∴ BEM=∠1，∠MFD=∠2，
∴ ∠EMF=∠BEM+∠MFD，
平分，平分，，
，
；
（3）解：
【解析】（3）
理由：，，
平分，平分，
，，
．
【期末常考】
23． 将一条两边互相平行的纸带（）按如图方式折叠，折痕分别为，，且满足．若增大，则（ ）
A．增大 B．增大 C．减小 D．减小
【答案】D
【解析】如图，
由折叠的性质，可得∠3 =∠4，
∴∠2+∠3+∠4 =∠2+2∠3 = 180°，
∵AD∥BC，AF∥BE，∴∠4=∠1+∠3=20°，
∵CD∥BE，AC∥BD，
∴∠1=∠5=∠EBC，
又∵CD∥BE，
∴∠1=∠5=∠EBC=∠3，
∴∠2+2∠1=180°，
∴∠2=180°-2∠1，
若∠1增大10°， 则∠2=180°-2(∠1+10°) =180°-2∠1-20°，
∴若∠1增大10°， 则∠2减小20°.
故答案为：D.
24． 如图，、分别表示两个互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的光线为．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵MN∥EF，∠1=∠2=50°，
∴∠BCE=∠2=50°，
由反射角等于入射角得，∠BCE=∠DCF=50°，
∴∠BCD=180°-50°-50°=80°，
故选：A．
25．如图，已知AB//DE，∠B=75°，∠D=140°，则∠C= .
【答案】35°
【解析】延长ED交BC于点F，
∵AB||DE
∴∠BFD=∠B=75°
∵∠CFD=180°-∠BFD
∴∠CFD=180°-75°=105°
∵∠CDE=∠CFD+∠C
∴∠C=∠CDE-∠CFD=140°-105°=35°
∴∠C=35°
故答案为：35°.
26．如图，已知直线，分别与直线，相交，且．
（1）与平行吗？请说明理由．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
如图
∴，
∴
（2）解：∵，
∵，
∴，
【课后作业】
1．如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿折痕为折叠成图3，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
、
、
图2中：
图3中：
故答案为：B.
2．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若∠1=110°，则 ∠2 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示：
∵太阳光线是平行光，
∴折射光线也平行，即AB//CD，
∴∠DCE=∠1=110°.
∵水平方程的水槽中水平面和水槽底平行，即EF//BD，
∴∠DCE+∠2=180°，
∴∠2=70°.
故答案为：A.
3．如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．③ D．②
【答案】B
【解析】如图所示，过点F、E分别作FM∥AB，EN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥CD，
∴∠GFM=∠BGF，∠HFM=∠DHF，
∴∠DFH=∠GFM-∠HFM=∠BGF-∠DHF，
又∵， ，GF、HF分别平分∠PGB和∠PHD，
∴∠BGF=∠PGF=，∠PHF=∠DHF=，
∴∠DFH=∠BGF-∠DHF=，故A错误，不符合题意；
又∵∠AGP=180°-∠BGP=180°-α，∠CHP=180°-∠DHP=180°-β，
又∵GE平分∠AGP，
∴∠AGE=∠PGA=，
又∵∠EHC=∠DHF=，
同理可得，∠GEH=∠AGE+∠CHE=+，
∴2∠GEH=180°-α+β，
∴2∠GEH+α=180°+β，故②正确，符合题意；
由②可知，若，即(180°-β)-(180°-α)=+，
整理得，
∴∠GEH=+=，故③正确，符合题意；
综上所述，正确结论的序号为：②③
故选：B.
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图．若，，则 ．
【答案】
【解析】 ∵在水中平行的光线，在空气中也是平行的，
∴，
，，
，
，
故答案为：．
5．如图，直线AB∥CD∥EF，如果∠A+∠ADF＝208°，那么∠F＝ ．
【答案】28°
【解析】延长CD到H．如图
∵AB∥CH，
∴∠A+∠ADH＝180°，
∠ADF=∠ADH+∠HDF
∵∠A+∠ADF＝208°，即∠A+∠ADH+∠HDF＝208°
∴∠HDF＝208°﹣180°＝28°，
∵EF∥CH，
∴∠F＝∠HDF＝28°．
故答案为：28°
6． 如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为 ．
【答案】12
【解析】
故答案为：12.
7．如图，直线，点E，F在AB上，点M，N在CD上，已知EM平分平分，，记的度数分别为，则的值为 。
【答案】
【解析】∵AB//CD
∴∠NEF=∠CNE=β，∠DME+∠MEF=180°，
∵EM平分∠NEF，
∴
∴
∵MF平分∠DME，
∴，
∵NE⊥NF，
∴∠ENF=90°，
∵∠NOE=∠MOF，
∴∠ENF+∠NEM=∠EMF+∠MFN
∴，
∴
∴
故答案为：.
8．如图，点D，E分别在AABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3=∠B，EFllAB.
（1）求证：DE//BC；
（2）若DE平分∠ADC，∠2=4∠B，求∠1.
【答案】（1）证明：(1) ∵ (已知)，
∴ (两直线平行，内错角相等)，
∵ (已知)，
∴ (等量代换)，
∴ (同位角相等，两直线平行)：
（2）解：∵ DE 平分 ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
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数学七年级下册第1章相交线与平行线
1.5 平行线的性质（2）
【知识重点】
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单地说，两直线平行，内错角相等.
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单地说，两直线平行，同旁内角互补.
【经典例题】
例题1、已知：如图，，，则．完成下面的说理过程（填空）
解：∵，（已知）
∴______（____________）．
∵（____________），
∴______＝______（等量代换）．
∴（____________）．
例题2、如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．求∠AGD的度数．
例题3、补全下列证明过程：
已知：如图，求证：．
证明：如图，作射线，使，
（_______________）
又 （________________）
（_________________）
即
∴（_________________）
又
（__________________）
例题4、如图所示， 已知 ， 求 的度数．
【基础训练】
1．如图，，直线分别交、于点、，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2． 在数学活动课上，小丽同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得∠1＝26°，则∠2的度数是（ ）
A．46° B．64° C．52° D．56°
3． 如图，直线 AB， CD 与直线 l 分别交于点 E， F， 的平分线 EG 交 CD 于点 G， 于点 H. 若 ， 则( )
A． B．
C． D．
4．将一个含角的直角三角板如图所示放置，使得直角的顶点落在直线上，另一顶点落在直线上，若，则的度数是 度．
5． 如图， ，若 ，则 =
6．如图，已知AB∥CD，∠2：∠3=1：2，则∠1= °．
7． 如图， 已知直线 ， 直线 与 分别相交于点 ， 把一块含 角的直角三角尺按右上图位置摆放， 若 ， 则 的度数为
8．如图， 是 的角平分线， ， 交 于点 ． 判断 与 是否相等，并说明理由．
9．如图，在中，平分，过点作交于点，过点作交于点，则可推得平分，其推导过程和推理依据如下：
解：，（已知）
（ ）
，（已知）
∴ ＝，（ ）
．（ ）
．（等量代换）
又∵平分，（已知）
．（ ）
．（等量代换）
∴平分．（角平分线定义）
请完善以上推导过程和推理依据，并按照顺序将相应内容填写在答题卡指定区域内．
10．如图， 已知点 E、F 在直线 $AB$ 上， 点 G 在线段 CD 上， ED 与 FG交于点 H， ， .
（1） 求证： ；
（2） 若 ， ， 求 的度数.
11． 如图，，点E，F分别在AB，CD上，且， 和互余.
（1）比较和的大小关系，并说明理由；
（2）若，求的度数.
12．已知：如图点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠OCB，CE⊥CD．
（1）若∠O＝40°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA．
【培优训练】
13． 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与另一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数表示为（ ）
A． B．
C． D．
14．光线经过不同介质时，会发生折射，平行的光线经折射后仍是平行的光线，如图，有两束平行光线在油和水中先后发生折射，若∠1+∠2=150°则∠3-∠4的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．120°
15．如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
16．如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
17． 如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，，交于点，，，平分，若，则的度数为 ．
18．如图1，将支架平面镜AB放置在水平桌面MN上，激光笔PD与水平天花板EF的夹角（∠EPG）为30°，激光笔发出的入射光线DG射到AB上后，反射光线GH与EF形成∠PHG，由光的反射定律可知，DG，GH与AB的垂线GK所形成的夹角始终相等，即∠1=∠2.
（1）∠GHF的度数为 .
（2）如图2，点B固定不动，调节支架平面镜AB，调节角为∠ABM，若反射光线GH恰好与EF平行，则∠ABM的度数为 .
19． 如图，，点P是的角平分线上一点，且点P在之间，连结，设．当，时，求的度数．
20．如图1，直线MN与直线PQ互相平行，A、B分别是MN和PQ上的两个点，连接AB，在直线AB的右侧取一点，满足．
（1）如图1，若，则 ▲ ；
（2）如图2，在直线MN上方平面内取一点，直线AF交PQ于，满足，求．
（3）如图3，作的平分线AU、AV交PQ于S、T，作射线SW和TW交于，且使得，当四边形ASWT的一边与BC平行时，求的度数．
21． 已知直线 ，点M、N分别是直线AB和CD上的两点，点G为直线AB和CD之间的一点，连接MG、NG.
（1）如图1，若 ， ，试说明 ；
（2）如图2，在(1)的结论下，点P是直线CD下方一点，满足MG平分 ，ND平分 .若 ，求 的度数；
（3）如图3，点P是直线AB上方一点，连结PM、PN，若点G为线段NQ上一点，GM的延长线为 的三等分线，NP平分 ， ，则 .
22．如图，，直线分别交，于点，点，的平分线与的平分线交于点．
（1）求证：；
（2）在图的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图，求的度数；
（3）如图，，直线分别交，于点，点点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，请直接写出与之间满足的数量关系，不需证明．
【期末常考】
23． 将一条两边互相平行的纸带（）按如图方式折叠，折痕分别为，，且满足．若增大，则（ ）
A．增大 B．增大 C．减小 D．减小
24． 如图，、分别表示两个互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，光线经镜面反射后的光线为．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，已知AB//DE，∠B=75°，∠D=140°，则∠C= .
26．如图，已知直线，分别与直线，相交，且．
（1）与平行吗？请说明理由．
（2）若，求的度数．
【课后作业】
1．如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿折痕为折叠成图3，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若∠1=110°，则 ∠2 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．③ D．②
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图．若，，则 ．
5．如图，直线AB∥CD∥EF，如果∠A+∠ADF＝208°，那么∠F＝ ．
6． 如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为 ．
7．如图，直线，点E，F在AB上，点M，N在CD上，已知EM平分平分，，记的度数分别为，则的值为 。
8．如图，点D，E分别在AABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3=∠B，EFllAB.
（1）求证：DE//BC；
（2）若DE平分∠ADC，∠2=4∠B，求∠1.
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