2026年中考数学一轮复习课件：主题二 方程（组）与不等式（组）

该初中数学中考复习课件全面覆盖一元一次方程与二元一次方程（组）核心考点，严格对接新课标“理解方程意义、掌握解法及实际应用”要求。通过陕西近5年真题分析，明确解一元一次方程（5年1考）和一次方程（组）应用（5年4考）的考点权重，归纳出打折销售、工程问题等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“真题实战+素养提升”模式，精选2021-2025年陕西中考真题，如2025年草莓采摘应用题，示范用数学思维分析等量关系，用数学语言建立方程模型。通过消元法选择、等量关系确定等技巧指导，培养学生运算能力与模型意识，助力学生掌握解题技巧提高得分率，为教师提供系统复习框架，提升中考冲刺效率。

第四节 一元一次不等式（组） 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 ______结合具体问题,了解不等式的意义,探索不等式的基本性质.知识点1 ______能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集;会用数轴 确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.知识点2,3 ______能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的问题. 知识点4 — 2 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点1 一元一次不 等式（组）的解法 2025年16题5分（解答） 不变号的情况下，求解一元一次 不等式组 2024年4题3分（选择） 不变号的情况下，求解一元一次 不等式 2023年14题5分（解答） 变号的情况下，求解一元一次不 等式 2022年15题5分（解答） 变号的情况下，求解一元一次不 等式组 2021年15题5分（解答） 变号的情况下，求解包含分数形 式的一元一次不等式组 续表 3 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点2 一次方程 （组）的应用 近五年未单独出题考查，但是在全国其他省市的真题中常有考 查 续表 4 不等式的基本性质 不等式的性质1 若，则①___ . 不等式的性质2： 若，，则___或___ . 不等式的性质3： 若，，则___.或___ 5 教材知识链接 不等式的两个基本事实： （1）交换不等式两边，不等号的方向改变：如果，那么 . （2）不等式关系可以传递：如果，，那么 . 6 一元一次不等式 一元一次不等式的概念 只含有①____个未知数，且含有未知数的式子都是②______，未知数的次数是③___次 的不等式，叫作一元一次不等式. 一 整式 1 7 解一元一次不等式的步骤 步骤 举例：解不等式 去分母（不等式性质2,3） 不等式两边同乘分母的最小公倍数④___ 去括号 移项（不等式性质1） ____ 合并同类项 系数化为1（不等式性质2,3） ___ 6 4 8 不等式的解集在数轴上的表示#4 解集 在数轴上的表示 总结 大于号向右， 小于号向左， 有等号用实心圆圈， 没等号用空心圆圈 9 一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤#1 步骤 举例：解不等式组： 解不等式（1） _ _ 解不等式（2） ___ 解集 ③_ _ ___ 6 6 10 不等式组的解集的确定与表示#2 不等式组 解集 在数轴上的表示 口诀 ⑤______ 同大取大 ⑥______ 同小取小 ⑦__________ 小大、大小中间找 ⑧______ 大大、小小找不到 无解 11 中考技能提升 一元一次不等式组的解集及其表示 求解不等式时需要注意以下几点： （1）不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号要改变方向； （2）求整数解时，①“实心”所表示的实数如果是整数，则该点也是一个解 （如： ，则3在解集中），如果不是整数，则要从解集中离该点最近的整数点开 始算起（如： ，则比4.2小的最大整数4在解集中）；②“空心”所表示的实数如 果是整数，则整数解取不到该点（如 ，则2不在解集中），如果不是整数，则要 从解集中离该点最近的整数点开始算起（如 ，则比1.5小的最大整数1在解集 中）;③若求最大整数解，则找数轴上最右边的整数解；若求最小整数解，则找数轴上 最左边的整数解. 12 例1 [2025威海]解不等式组 ，并把它的解集表示在数轴上． 解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 原不等式组的解集为 ， 把解集表示在数轴上，如图所示： 例1题答图 13 例2 [2025重庆]求不等式组： 的所有整数解． 解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 原不等式组的解集为 ， 不等式组的所有整数解为 ，0，1． 14 一元一次不等式的实际应用 不等式应用题的关键词#1 关键词 符号 大于、多于、超过、高于 小于、少于、不足、低于 至少、不低于、不小于 至多、不超过、不高于 列不等式解应用题的基本步骤 （1）审题；（2）设未知数；（3）列不等式；（4）解不等式；（5）检验解集并写出 答案. 15 拓展归纳 解不等式的应用题时，除了关注题目中明确给出的不等关系的关键词外，还应结 合题意与日常生活经验，提炼总结出题中隐藏的不等关系. 16 一元一次不等式（组）的解法（5年5考） 1.[2024陕西4题3分]不等式 的解集是( ) D A. B. C. D. [解析] 去括号得，移项得，合并同类项得 ，系数化为1得 . 17 2.[2025陕西16题5分]解不等式组： ． 解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 原不等式组的解集为 ． 18 3.[2023陕西14题5分]解不等式： ． 解： . 19 4.[2022陕西15题5分]解不等式组： . 解：由，得 ， 由，得 ， 则不等式组的解集为 . 5.[2021陕西15题5分]解不等式组： . 解：由，得 ， 由，得 ， 原不等式组的解集为 . 20 一元一次不等式的实际应用 6.[2012陕西14题3分]小宏准备用50元买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元， 乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买___瓶甲饮料. 3 [解析] 设小宏能买瓶甲种饮料，则可以买 瓶乙种饮料，由题意得 ，解得，为整数， ，2，3，则小宏最多能买3瓶 甲种饮料. 21 $第三节 分式方程 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 ______能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程;理解方程解的 意义,经历估计方程解的过程.知识点1 ______掌握等式的基本性质;能解可化为一元一次方程的分式方程.知识点1 _______能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性.知识点2 新增划 线语句 . . . . . . 2 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点 解分式方程 2024年16题5分（解答） 结合平方差公式，求解 形式的分 式方程 2021年16题5分（解答） 结合平方差公式，求解 形式的分 式方程 续表 3 分式方程及其解法 分式方程： 分母里含有①________的方程叫作分式方程. 未知数 4 解分式方程#2 5 增根：使得原分式方程的分母为③___的根. 易错易混 分式方程的增根与无解并非同一个概念，无解不一定是因为增根，有增根也不一 定无解. 如：已知关于的分式方程无解，求 的值. 解：原方程整理得 ， 当 时，原方程无解； 当时，解得 ，为增根，分式方程无解. 由此可见，无解与增根并不完全对等. 0 6 中考技能提升 解分式方程的易错点 1.去分母时，方程中的常数项也要同乘最简公分母； 2.去分母时，分子若为多项式则需先加括号，化整式方程后再去括号; 3.解完方程后务必记得进行验根. 例1 [2025威海]解分式方程 . 7 解： ， 检验：当时， ， 故原分式方程的解为 ． 8 例2 [2025凉山州改编]若关于的分式方程无解，求 的值． 解： ， 原方程无解， 是原方程的增根， 由， ， ， ． 9 分式方程的应用 解题步骤 常见类型及其关系式 （1）工程问题：工作效率 （2）销售问题：售价 标价×折扣 （3）行程问题：时间 10 温馨提示 双检验：列分式方程解应用题必须检验根，既要检验根是否为分式方程的增根 （增根要舍去），又要检验根是否符合实际且有意义. 11 解分式方程（5年2考） 1.[2024陕西16题5分]解方程： . 解： ， 检验：当时， ， 所以分式方程的解是 . 12 2.[2021陕西16题5分]解方程： . 解： , 经检验， 是原分式方程的解. 13 3.[2020陕西16题5分]解分式方程： . 解： , 经检验, 是原分式方程的解. 14 4.[2017陕西16题5分]解方程： . 解： , 经检验， 是原方程的解. 15 $第一节 一元一次方程与二元一次方程 （组） 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 ______能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解 的意义，经历估计方程解的过程.知识点4 ______掌握等式的基本性质；能解一元一次方程.知识点1，2 ______掌握消元法，能解二元一次方程组.知识点3 _______能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.知识点4 新增划 线语句 . . . . . . 2 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点1 解一元 一次方程 2021年11题3分（填空） 以幻方为背景考查一元一次方程的求 解 考点2 一次方 程（组）的应 用 2025年11题3分（填空） 以采摘草莓的劳动实践为背景的一次 方程应用题 2024年20题5分（解答） 以帮助父母完成家务为背景的一次方 程应用题 2023年20题5分（解答） 以购买文具为背景的一次方程应用题 2023年19题5分（解答） 以打折销售服装为背景的一次方程应 用题 续表 3 等式的基本性质 等式的基本性质一 如果，那么 ______. 等式的基本性质二 （1）如果，那么②____ ； （2）如果，且，那么③__ . 4 一元一次方程及其解法 一元二次方程的概念： 一般地，如果方程中只含有①____个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数 的次数都是②___次，这样的方程叫作一元一次方程. 一元一次方程的标准形式： ，是常数，且 一 1 5 解一元一次方程的步骤 步骤 以解方程“ ”为例 去分母 等式两边同乘分母的最小公倍数 ____ 去括号 将括号外的系数连同它的符号一块乘以括号内的每一项，若括号前 的系数为负，则需注意变号 _________ 12 6 移项 含有未知数的项移到等号一边，常数项移到等号另一边 _____ 合并同类项 系数相加减，字母及其指数不变 ⑥ 系数化为1 等式两边同时除以未知数的系数 ____ 续表 7 二元一次方程（组）及其解法 二元一次方程与二元一次方程组#1 二元一次方程 二元一次方程组 未知数 方程含有①____个未知数 式子 含有未知数的式子都是②______ 次数 含有未知数的项的次数都是③___次 方程数量 一个方程 两个方程 两 整式 1 8 解二元一次方程组（核心：消元法）#1.1.1 代入消元法 加减消元法 解 法 把二元一次方程组中一个方程的一 个未知数用含另一个未知数的式子 表示出来，再代入另一个方程，实 现消元，进而求得方程组的解 当二元一次方程组的两个方程中同一个未知 数的系数互为相反数或相等时，把两个方程 的两边分别相加或相减，消去一个未知数， 得到一个一元一次方程，进而求得方程组的 解 9 典例讲解#1.1.1.1.1 例 解方程组 . Ⅰ.代入消元法求解： 将①改写成 ______， 再将②中的 替换成⑤______， 得到方程⑥_________________， 解得 ___， 代入①中，解得 ___， 7 5 10 方程组的解为 ___ ___. Ⅱ.加减消元法求解： 将，得 ⑪___， 把 ⑫___代入①， 得 ⑬___， 方程组的解为. ___ ___. 5 7 7 7 5 5 7 11 知识拓展 消元法的选择 1.当方程组中的某一个未知数的系数为1或 时，可优先选择代入消元法. 2.当方程组中两个方程的同一未知数的系数相等或互为相反数，以及互为倍数关系时， 可优先选择加减消元法. 3.在面对一般的方程组时，可优先试用加减消元法，这样可以在计算过程中尽可能避 免出现复杂的分数，简化计算过程.#1.1.1.1.3.3 12 一次方程（组）实际应用的常见题型 类型 基本关系式 打折销售 问题 利润售价 ______； 利润率_ _____ ； 售价______ 折扣； 销售额__________ __________ 配套问题 若件甲产品与件乙产品配成一套，则甲产品数 ∶乙产品数 工程问题 工作量工作效率 __________ 进价 标价 单个售价 销售总量 工作时间 13 类型 基本关系式 行程问题 路程______ 时间； 相遇问题：全程甲走的路程 乙走的路程； 同地不同时出发：被追者走的路程=追者走的路程 同时不同地出发：被追者走的路程+⑧______________ =追者走的路程； 顺流速度⑨______+水速 逆流速度⑩______-水速 速度 两地间的距离 船速 船速 续表 追及 问题 船水中航行问题 14 图解助记 1.相遇问题（同时出发）： 甲的路程乙的路程 间距离 2.追及问题（同时出发）： 甲的路程乙的路程 间距离 15 中考技能提升 一次方程（组）实际应用中等量关系的确定 1.熟记常用公式，例如：利润问题，行程问题，图形的面积和周长问题等，还可配合 画图帮助自己理解题意，找出等量关系； 2.紧抓题中的关键字，如："一共是……""比……多（少） ""是……的几倍"" 比……的几倍多（少） "等，以此建立等量关系； 3.找准单位"1"，根据数量和比率的关系确定等量关系. 16 例1 [2025烟台]某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10 元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为( ) A A.350元 B.320元 C.270元 D.220元 [解析] 设这款风扇每台的标价为元，根据题意得 ，解得 ， 这款风扇每台的标价为350元． 17 例2 [2025湖北节选]某商店销售A，B两种水果．A种水果的标价为14元/千克，B种水 果的标价为18元/千克．小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合 计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ 解：设A种水果买了千克，B种水果买了 千克， 由题意得，解得 ， 答：A种水果买了2千克，B种水果买了1千克. 18 解一元一次方程（5年1考） 1.[2021陕西11题3分]幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各 行、各列及各条对角线上的三个数之和均相等，则图中 的值为____. 第1题图 [解析] 依题意可列方程，解得 . 19 一次方程（组）的应用（5年4考） 2.[2025陕西11题3分]草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草 莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多 ．已知 小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘 ，小康采摘的时长是____小时． 1.2 [解析] 设两小组采摘了小时，依题意，解得 ，因此，两小组采 摘了1.2小时． 20 3.[2024陕西20题5分]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这 次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需 .当天，小峰先 单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务， 小峰和爸爸这次一共打扫了 ，求这次小峰打扫了多长时间. 解：设这次小峰打扫了，则爸爸打扫了 ， 根据题意得 ， 解得 . 答：这次小峰打扫了 . 21 4.[2023陕西20题5分]小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共 花了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店 中这种大笔记本的单价． 解：设该文具店中这种大笔记本的单价是元，则小笔记本的单价是 元， 由题意得 ， 解得 ； 答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元. 22 5.[2021陕西19题5分]一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每 件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件标价降低30元销售11件的销售额 相等.求这种服装每件的标价. 解：设这种服装每件的标价是 元， 根据题意得 . 解得 . 答：这种服装每件的标价是110元. 23 $第二节 一元二次方程 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 ______能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程;理 解方程解的意义,经历估计方程解的过程.知识点1 ______理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一 元二次方程.知识点1 ______会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根 是否相等.知识点2 ______了解一元二次方程的根与系数的关系.知识点2 _______能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性.知识点3 1将原“了解一元二 次方程根与系数的 关系”的选学内容 改为必学内容 2.新增划线语句 . . . . . . . . 2 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点 一元一次方 程的解法 近五年未单独出题考查，但是在全国其他省市的真题中常有考查 续表 3 一元二次方程及其解法 一元二次方程的概念 方程只含有①____个未知数，并且未知数的最高次数是②___次的整式方程. 一元二次方程的解法 一 2 类型 步骤 适用情况 直接开 平方法 （1）移项； （2）二次项系数化为1； （3）两边同时开方 （1）缺少一次项，即形式为 的方程； （2）形如 的方程 4 类型 步骤 适用情况 配方法 （1）二次项系数化为1； （2）将常数项移到方程等号的另一边； （3）等号两边同时加上③__________ _____________，配出完全平方公式； （4）运用直接开平方法解方程 所有一元二次方程，特别适合二次项系数化为1后，一次项系数为较小偶数的一元二次方程，如： 公式法 （1）将方程化为一般式； （2）将，， 连同符号代入根的判 别式④_________中，若⑤___ ，方 程有解，若⑥___ ，方程无解； （3）若方程有解，则利用求根公式求解 所有一元二次方程，求根公式为 _ __________ 一次项系 数一半的平方 续表 5 类型 步骤 适用情况 因式分 解法 （1）完全平方公式： （ ⑧_______） ； （2）平方差公式： （⑨______） （ ⑩______） （1）当常数项为0，即方程 ; （2）一元二次方程等号的一边为0， 且另一边是易于分解成两个一次因式 乘积的式子 续表 6 图解助记 十字相乘法： 7 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 根的判别式 （1）概念：一元二次方程的根的判别式为 ,通常用希 腊字母“ ”来表示. （2）对于一元二次方程 ， 当 时，方程有①____________的实数根； 当 时，方程有②__________的实数根； 当 时，方程③______实数根．#1.2.3 两个不相等 两个相等 没有 8 根与系数的关系 若一元二次方程的两个实数根分别为， ， 则_ ___， __. 9 一元二次方程的实际应用类型 平均增长（降低）率问题 初始量为，变化后的量为，设平均变化率为， 为变化的次（轮）数.则等量关系式 为（增长时用“”，降低时用“ ”）. 单、双循环问题 类型 等量关系式 单循环 （握手次数、淘汰 赛） 握手总次数、淘汰赛的比赛总场次为 为握手总人数、淘 汰赛参赛队伍总数 双循环 （互赠礼物、积分 赛） 互赠礼物总次数、积分赛的比赛总场次为 为互赠礼 物总人数、积分赛参赛队伍总数 10 图形面积问题 （1）围栏（栅栏） .图1中围栏（栅栏）总长为，宽为，门宽均为.围栏（栅栏）的长 为 ，则面积为 ； 图1 图2 .图2中长为，宽为的矩形的四个角都剪去一个边长为 的正方形后做成一个 无盖的盒子，则该盒子的底面积为 . 11 图3 （2）图形阴影（草坪面积） .图3中矩形的长为，宽为，空白部分的宽为 ，则阴影部 分的面积为 ； 图4 .图4中矩形的长为，宽为，空白部分的宽为 ，则阴影部 分的面积为 . 12 销售问题 （1）基本公式： 利润 售价-成本； 总利润 单件利润×总数量； 利润率 . （2）单价每涨（降）价元，则少（多）卖件商品，若最终涨（降）价 元，则少 （多）卖 件商品. 13 中考技能提升 一元二次方程应用题的解法与步骤 1.一元二次方程的解法 2.一元二次方程应用的解法思路 14 例1 [2025威海]如图，某校有一块长、宽 的矩形种 植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度 相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为 的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 解：设小路的宽度为 ，则9块矩形地块可合成长为 ，宽为 的矩形， 根据题意得 ， 整理得 ， 解得， （不符合题意，舍去）． 答：小路的宽度为 ． 例1题图 15 例2 [2025某滨河中学一模]某商店购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本 是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售 单价每提高1元，日销售量将减少2件．要使每天销售这种纪念品盈利1 600元，同时又 要最大程度让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应为每件多少元？ 16 解：设该纪念品的售价单价应定为每件 元， 则销售量为 件，由题意得， ， 整理得 ， 解得， ， 经检验，方程的解符合题意． 要最大程度让利顾客，而 ， 故 不合题意舍去， 答：该纪念品的售价单价应定为每件50元． 17 一元二次方程的解法 1.[2014陕西8题3分]若是关于的一元二次方程 的一个根，则 的值为( ) B A.1或4 B.或 C.或4 D.1或 [解析] 是关于的一元二次方程 的一个根， ，，解得， . 2.[2013陕西12题3分]一元二次方程 的根是_______________. ， [解析] ，，， . 18 $