2026年中考数学一轮复习课件：主题三 函数课件

该初中数学中考复习课件系统覆盖“平面直角坐标系与函数”核心考点，严格依据2022版新课标要求，分析陕西近五年真题发现平面直角坐标系相关考点在选择、填空、解答题中占10-15分，重点归纳点的坐标特征、对称平移规律及函数自变量取值范围等常考题型。 课件亮点在于“真题精讲+易错突破”备考模式，如通过2025广安真题“非负性求点坐标”，示范“方程思想+象限特征判断法”，培养学生数学思维与推理能力。针对坐标轴上点的象限归属等易错点专项解析，配合“坐标平移口诀”等技巧，帮助学生掌握得分关键，教师可直接用于专题复习，提升冲刺效率。

第三节 一次函数的实际应用 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 _______能用一次函数解决简单实际问题. — 2 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点 一 次函数 的实际 应用 2025年22题7 分（解答） 以“压强不变的条件下，气体体积与气体温度之间的关系”为 背景，通过给定三组数据，考查一次函数表达式的确定 （第一问）；以及带点求值（第二问） 2024年22题7 分（解答） 以“新能源汽车的行驶里程与剩余电量之间的关系”为背景， 结合函数图象考查一次函数的表达式的确定（第一问）； 以及带点求值（第二问） 续表 3 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点 一 次函数 的实际 应用 2023年22题7 分（解答） 以“树的生长过程中胸径和树高之间的关系”为背景，考查一 次函数的表达式的确定（第一问）；以及带点求值 （第二问） 2021年23题7 分（解答） 以“机器猫抓机器鼠过程中距离与时间的关系”为背景，结合 函数图象考查猫抓鼠时的速度差（第一问）；一次函数的 表达式的确定（第二问）；以及带点求值（第三问） 续表 4 一次函数的实际应用 步骤 （1）设出实际问题中的变量； （2）建立一次函数的关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）作答. 易错易混 在题中未明确函数类型时，不可直接设函数表达式为 . 5 常考类型 （1）求函数表达式 .文字型和表格型应用题，一般根据题干中数量的等量关系来列函数表达式； .图象型应用题，一般在图象上找两个已知点的坐标，用待定系数法求函数表达式. （注:若为分段函数,需分段求解,并写出各段自变量的取值范围）#3.1.3 6 （2）方案设计问题 通常涉及两个相关量，根据所满足的关系式，列不等式，求解出某一个变量的取值范 围，再根据另一个变量所满足的条件，即可确定方案数量. （3）最值问题（最优方案） .利用不等式确定自变量的取值范围； .自变量的端点处可能为最值； .根据一次函数的增减性确定最值. 7 一次函数的实际应用（5年4考） 1.[2025陕西22题7分]研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积 与气体温度 成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的 某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … 8 （1）求与 的函数关系式； 解：根据表格，气体温度升高，气体体积增大 ，则 ， 与的函数关系式为 ． （2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到 时停止加热．求停 止加热时的气体温度． 解：当时，得 ， 解得 ． 答：停止加热时的气体温度为 ． 9 第2题图 2.[2024陕西22题7分]我国新能源汽车快速健康发展，续航 里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市. 他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 ，行驶了 后，从B市一高速公路出口驶出. 已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量 与行驶路程 之间的关系如图所示. （1）求与 之间的关系式； 解：设与之间的关系式为，代入， ， 得，解得， ， . 10 （2）已知这辆车的“满电量”为 ，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶 出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少. 解：令，则 ， . 答：该车的剩余电量占“满电量”的 . 11 3.[2023陕西22题7分]经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上 处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高 是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为 ；这种树 的胸径为 时，树高为 ． （1）求与 之间的函数表达式； 解：设 ， 根据题意，得，解之，得 ， . （2）当这种树的胸径为 时，其树高是多少？ 解：当时， . 答：当这种树的胸径为时，其树高为 . 12 4.[2021陕西23题7分]在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发， 后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，沿原路返回.“鼠” “猫”距起点的距离与时间 之间的关系如图所示. 第4题图 （1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是___ ； 1 13 （2）求 的函数表达式； 解：设的函数表达式为 ， 图象经过和 ， 把点和点坐标代入 ,得 ，解得 ， 的函数表达式为 . （3）求“猫”从起点出发到返回起点所用的时间. 解：令，则， ， “猫”比“鼠”迟 出发， “猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为 . 答：“猫”从起点出发到返回起点所用的时间为 . 14 $主题三 函数 专题特训1 一次函数实际应用的常见题型 1 一次函数在中考中常设置两问.其中需要注意的设问方式有： 1.第一问——确定函数表达式. （1）文字型/表格型.①若题中条件确定为一次函数关系时，可直接设出函数表达 式，再通过待定系数法，最终确定表达式；②若题中没有确定函数类型时，就需要我 们总结题目中的条件，表格型的需要分析表格中的信息来确定等量关系，列出函数表 达式; （2）图象型.根据图象，判定函数类型（例如：直线为一次函数，双曲线为反比 例函数，抛物线为二次函数），再通过待定系数法确定函数表达式；某些题目中只给 出一个函数经过的点的坐标时，则需要考虑一次项系数“”和常数项“ ”的实际意义， 例如： 可表示速度、单价、工作效率等，通过题中条件可直接确定，最终只需要代入 一个点的坐标，确定常数项 即可. 2 2.第二问——最值问题（最优方案）. 此问题通常会结合不等式，我们首先需要根据题中条件确定自变量 的取值范围， 再结合一次函数的增减性，确定在自变量的取值范围内，因变量 的最值. 其他类型的设问在解答时需要注意题目单位和条件说明的特殊情况（如2019年陕 西省中考真题第21题）.#1.3 例1 [2025山东]某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低 峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时 水位高度每小时上升6米． （1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度（米）与注水时间 （小时）之间的 关系式； 解：蓄水池的水位高度（米）与注水时间（小时）之间的关系式为 ． 4 （2）已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水 多长时间可供发电4.2万千瓦时？ 解：根据题意，得 ， 解得 ． 答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时． 5 例2 [2025烟台]为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在 社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220 元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． （1）求甲、乙两种路灯的单价； 解：设甲种路灯的单价是元，乙种路灯的单价是 元， 根据题意，得，解得 ． 答：甲种路灯的单价是60元，乙种路灯的单价是80元． 6 （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量 的 ，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 解：设购买盏甲种路灯，该社区购买甲、乙两种路灯共花费元，则购买 盏 乙种路灯， 根据题意，得 ， ， 随 的增大而减小， 又 ， ， 当时，取得最小值，此时 （盏）． 答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费用最少． 7 例3 A，B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家的喜爱.某 超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） A型号 35 B型号 42 若顾客在该超市购买8个A种型号的吉祥物和7个B种型号的吉祥物，则一共需要670元； 购买4个A种型号的吉祥物和5个B种型号的吉祥物，则一共需要410元. （1）求， 的值； 解：根据题意，得，解得 ， 的值是40， 的值是50. 8 （2）若某公司计划从该超市购买A，B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥 物的数量（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的 ，且又不超过B种型号吉祥物数 量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求 的最大值. 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与成本的差. 9 解：由题可知,购买B种型号吉祥物的数量为 个. 根据题意，得，解得 ； ， ， 随 的减小而增大， 且 为整数， 当时，的值最大， （元）， 的最大值是564. 10 例4题图 例4 [2025黑龙江节选]一条公路上依次有A，B，C三地，一辆 轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地； 一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地 （卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚 到达 终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自 （1）图中的值是_____， 的值是___； 300 2 [解析] 由图象可知，，两地之间的距离为，， 两地之间的距离为 ，，;轿车的速度为 ， ，根据图象，得，解得 ． 出发地的距离（单位：）与轿车的行驶时间（单位： ）之间的函数图象，结合 图象回答下列问题： 11 （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离（单位： ）与行驶 时间（单位： ）之间的函数表达式. 解： ， ， ， ， 货车的速度为 ， ， 在货车从B地返回C地的过程中，货车距出发地的距离（单位：）与行驶时间 （单位：）之间的函数表达式为 ． 12 $主题三 函数 专题特训2 二次函数实际应用的常见题型 1 类型一 抛物线形问题 现实生活中的拱形桥洞、隧道、喷泉等都可转换为二次函数的图象问题进行考察， 解答此类题目时需要注意以下三点： （1）若题中没有给出平面直角坐标系时，可根据题意建立适当的平面直角坐标系， 使试题难度降低； （2）会将题中条件正确的转化为函数图象上点的坐标，重点关注几个特殊点 （如顶点或图象与轴， 轴的交点等）的坐标； （3）注意题中的限制条件，正确舍弃不符合题意的值. 2 类型二 图形面积问题 1.对于规则图形面积的问题，通常可使用含有自变量 的代数式表示出所求图形的 边长或高，然后再根据几何图形的面积公式，列出对应的函数表达式； 2.若有不规则图形时，可用割补法将图形转换为规则图形，再列出函数表达式； 3.最后结合题中条件或图形自身的限制，确定自变量的取值范围，进而确定函数 的最值. 3 类型三 销售利润问题 1.销售问题常见的等量关系：（1）利润售价-进价；（2）销售额 单价×销量； （3）总利润 单个利润×销售总量. 2.某商品原售价为元时，每日可卖件，当售价增加（或减少） 元后，每日会少 卖（或多卖）件商品，已知每件商品的进价为元，则每日的总利润 与售价增长 （或降低）元的函数关系式为 .再根据题中条件与函数的增 减性，确定利润的最值. 4 例1题图 例1 [2025福建改编]为加强劳动教育，增加学生的实践机会，某校拟 用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块 矩形菜地作为实践基地，如图所示． （1）设矩形的一边长为米，矩形菜地的面积为，请列出关于 的 函数表达式； 解：由题意得 . （2）当矩形菜地的面积为6平方米时，求矩形一边 的长度. 解：当时，则有 ， 解得， ， 答：当矩形菜地的面积为6平方米时，矩形一边的长度可为2米或3米． 5 例2 [2025贵州]小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度 与水平距离之间的关系如图所示．石块第一次与水面接触于点 ，运动路径近似为抛 物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 ，运 动路径近似为抛物线，且 （小星所在地面、水面在同一 平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） 例2题图 6 （1）当，时，若点的坐标为，求抛物线 的表达式； 解： 当，时，设抛物线的表达式为 ， 点坐标为 ， ， ， 抛物线的表达式为 ． 7 （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高 的矩 形障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线 运动时是否能越过障 碍物？请说明理由． 8 解：不能，理由如下： ，点坐标为 ， ， 将，分别代入 , 得,解得 , 抛物线的表达式为 . ,, , 9 . 将代入 ， , 此时石块沿抛物线 运动时不能越过障碍物． 例3 [2025达州]为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多 款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售 出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价 元，则每天售出的数量是___________件； 11 （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元； 解：设该款巴小虎吉祥物降价 元， 根据题意可得 ， 整理可得 ， 解得， ， 要让利于游客， 舍去， 该款巴小虎吉祥物降价3元时,文旅公司每天的利润是630元. 12 （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 元，当售价为多少元时，每天的 利润最大？最大利润是多少？ 解：设该款巴小虎吉祥物降价 元， 则 ， ， 当时， 取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 13 $第七节 二次函数的综合应用 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 ______通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.知识点2 ______知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求 一元二次方程的近似解.知识点1 新增划线 语句 . . 2 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点 一次函数 的实际应 用 2025年25题8分 （解答） 结合“呈抛物线形的景区大门上水平横梁长度的实际问 题”已知点坐标，求二次函数表达式（第一问）；并结合 第二条抛物线，求横梁的长度 2024年25题8分 （解答） 结合“包含对称关系的悬索桥缆索之间的实际问题”，已 知点坐标，求二次函数表达式（第一问）；并带点求值 （第二问） 续表 3 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点 一次函数 的实际应 用 2023年25题8分 （解答） 结合“学校图书馆拱形门的设计方案的实际问题”，已知 点坐标，求二次函数表达式（第一问）；并带点求值并 比较大小（第二问） 2022年25题8分 （解答） 结合“截面为抛物线形的隧道修建的实际问题”，已知点 坐标，求二次函数表达式（第一问）；并带点求值 （第二问） 续表 4 二次函数与一元二次方程的关系 通过一元二次方程求二次函数与 轴的交点坐标 一元二次方程的解是二次函数的图象与 轴交点的横 坐标. 通过根的判别式判断二次函数图象与 轴交点情况 （1）抛物线与轴有两个交点 方程有①____________的实数根 ； （2）抛物线与轴有一个交点 方程有 ②__________的实数根 ； （3）抛物线与轴没有交点 方程③______实数根 . 两个不相等 两个相等 没有 5 二次函数的应用 解题步骤 （1）根据题意列二次函数的表达式； （2）根据已知条件确定变量的取值范围； （3）带点求值，利用二次函数的性质和自变量的取值范围求出最大 （小）值 常考题型 （1）抛物线型问题；（2）图形面积问题；（3）销售利润问题 6 二次函数实际应用（5年3考） 第1题图 1.[2025陕西25题8分]某景区大门上半部分的截面示意 图如图所示，顶部，左、右门洞， 均呈抛物 线型，水平横梁，的最高点到 的距 离，，关于所在直线对称． ， ，为框架，点，在上，点， 分别在 ，上，，，．以 为 原点，以所在直线为轴，以所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．求抛物线 的函数表达式． 7 （1）求抛物线 的函数表达式； 解： ， 抛物线的顶点坐标为 ， 设抛物线的函数表达式为 ， ， 结合二次函数的对称性得， ， 将代入 ， 得 ， 则 ， ． 8 （2）已知抛物线的函数表达式为，，求 的长． 解：由（1）得抛物线的函数表达式 ， ，， ， 且抛物线的函数表达式为 ， ， 整理得 ， ， ， 解得 ， ． 9 第2题图 2.[2024陕西25题8分]一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥. 桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔 均 垂直于桥面，如图所示，以为原点，以直线为 轴，以 桥塔所在直线为 轴，建立平面直角坐标系. 已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔与桥塔 之间的 距离，，缆索的最低点到的距离 . （桥塔的粗细忽略不计） 10 （1）求缆索 所在抛物线的函数表达式； 解：由题意， ， . 又，缆索的最低点到的距离 ， 抛物线的顶点为 . 故可设缆索所在抛物线的函数表达式为 . 将 代入抛物线的函数表达式可得， . 解得 . 缆索所在抛物线的函数表达式为 . 11 （2）点在缆索上，，且，，求 的长. 解：由题意， 缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于 轴对称， 又 缆索所在抛物线为 ， 缆索所在抛物线的函数表达式为 . 将代入 中， 得 . 解得或 . 又 ， . 答：的长为 . 12 第3题图 3.[2023陕西25题8分]某校想将新建图书楼 的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求 所设计的拱门的跨度与拱高之积为 ， 还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素， 设计部门按要求给出了两个设计方案．现 把这两个方案中的拱门图形放入平面直角 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在 轴上， ， ． 坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在 轴上， ， ． 13 要在拱门中设置高为 的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案 一中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在 上；方案二中， 矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在 上．现知，小华 已正确求出方案二中，当时， ，请你根据以上提供的相关信 息，解答下列问题： 14 （1）求方案一中抛物线的函数表达式； 解：由题意知，方案一中抛物线的顶点 ， 设抛物线的函数表达式为 ， 把代入得 ， 解得 ， ， 方案一中抛物线的函数表达式为 . 15 （2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积，并比较， 的大小． 解：在中，令得 ， 解得或 ， ， . ， . 16 $第六节 二次函数表达式的确定 （含抛物线的几何变换） 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 ______会分析实际问题的情境确定二次函数的 表达式.知识点1，2 删除“*知道给定不共线三点的坐标可以 确定一个二次函数” 2 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点1 二次函数图象 的几何变换 近五年未单独出题考查，但是在全国其他省市的真题中常有考查 续表 3 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点2 二次函数表达 式的确定 2025年25题（1） 问3分（解答） 结合“呈抛物线形的景区大门上水平横梁长度的实 际问题”已知点坐标，求二次函数表达式 2024年25题（1） 问3分（解答） 结合“包含对称关系的悬索桥缆索之间的实际问 题”，已知点坐标，求二次函数表达式 2023年25题（1） 问3分（解答） 结合“学校图书馆拱形门的设计方案的实际问题”， 已知点坐标，求二次函数表达式 2022年25题（1） 问3分（解答） 结合“截面为抛物线形的隧道修建的实际问题”，已 知点坐标，求二次函数表达式 续表 4 二次函数的三种表达式 名称 表达式 适用范围 一般式 ，， 为常数， 且 已知图象上三点坐标或三对， 的 值，求表达式时，通常选用一般式 交点式 0，, 是 二次函数图象与轴交点的横坐标 已知图象与 轴的两交点坐标和图象 上另一点坐标，求二次函数表达式 时，通常选用交点式 顶点式 已知图象最值点的坐标和图象上另一 点坐标，通常选用顶点式 5 确定二次函数表达式 ●用待定系数法求二次函数的表达式 （1）设表达式 ； （2）代入图象上任意三点的坐标； （3）列三元一次方程，求解，， ，确定函数表达式. 6 提分小练 1.确定二次函数的表达式 （1）已知抛物线经过，， 三点，求抛物线的表达式； _______________ （2）已知抛物线的顶点为，且经过点 ，求抛物线的表达式； _________________ （3）已知抛物线与轴交于点，，且图象经过点 ，求抛物线的表 达式. ___________________ 7 二次函数图象的几何变换 将二次函数图象平移后表达式的变化 【总结】二次函数图象平移后，表达式的变化规律可总结为：左加右减，上加下减.并 且此规律对于二次函数的一般式也同样适用.#1.2 8 将二次函数图象对称后表达式的变化#2 关于顶点中心对称 开口方向改变， 变为相反数，顶点 不变，和 不变 _________________________________ 9 关于原点中心对称 开口方向改变， 变为相反数，顶点 不变，和 不变 __________________________________ 开口方向改变， 变为相反数，顶点 关于原点对称，， 变为相反数 ___________________________________ 续表 10 关于 轴对称 开口方向改变， 变为相反数，顶点 关于轴对称，不变， 变为相反数 ________________________________________ 关于 轴对称 开口方向不变，不变，顶点关于 轴 对称，变为相反数， 不变 _____________________________________________ 续表 11 中考技能提升 二次函数图象的性质与几何变换综合 二次函数的图象变换类试题，除可直接套用P43知识点3的公式外，面对一些较复 杂的题型，可以从图象变换的本质寻找解题思路，根据特殊点的对称规律，先确定点 坐标，进而确定函数表达式.例如将二次函数关于直线 进行对称， 我们可以从特殊点（如顶点）出发，寻找对称后的顶点坐标，确定函数表达式；此外 已知两函数图象关于直线对称，及当时，两个函数的 值相等，最终可列式 确定函数表达式. 12 例1 [2025某湖滨中学二模]在平面直角坐标系中，将抛物线 为常数向右平移2个单位长度得到抛物线，若点, 都在抛 物线上，且位于抛物线的对称轴两侧，，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. [解析] 抛物线为， 将抛物线 向右平移2个 单位长度得到抛物线的表达式为， 其对称轴为直线 都在抛物线上，且位于抛物线的对称轴两侧，， ，点 ，位于抛物线的对称轴两侧， ． ，又，， ．综上所述 ． 13 例2 [2025某师大附中五模]已知抛物线的顶点为 ，抛 物线与抛物线关于点成中心对称．若抛物线经过点，则 的值为 ( ) D A. B. C. D. [解析] ， 顶点， 抛物线 与抛物线关于点成中心对称． 抛物线与抛物线 的开口大小相同，方向 相反，顶点为， 抛物线的表达式是， 抛物 线经过点，，解得 ． 14 二次函数图象的几何变换（5年1考） 1.[2020陕西10题3分]在平面直角坐标系中，将抛物线 沿 轴向下平移3个单位，则平移后得到的抛物线的顶点一定在( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 15 [解析] ， 该抛物线顶点坐标是 ， 将其沿 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是 ，，， ， ， 点 在第四象限. 16 二次函数表达式的确定（5年5考） 第2题图 2.[2025陕西25题节选3分]某景区大门上半部分的截面 示意图如图所示，顶部，左、右门洞， 均呈 抛物线型，水平横梁，的最高点到 的距离，，关于 所在直线对称． ，，为框架，点，在上，点， 分 别在，上，，， ．以 为原点，以所在直线为轴，以所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．求抛物 线 的函数表达式． 17 解： ， 抛物线的顶点坐标为 ， 设抛物线的函数表达式为 ， ， 结合二次函数的对称性得， ， 将代入 ， 得 ， 则 ， ． 18 3.[2024陕西25题节选3分]一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索 与缆索 均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以 为原点，以直线 为轴，以桥塔所在直线为轴，建立平面直角坐标系.已知：缆索 所在抛物线 与缆索所在抛物线关于轴对称，桥塔与桥塔之间的距离 ， ，缆索的最低点到的距离 .（桥塔的粗细忽略不计） 求缆索 所在抛物线的函数表达式. 第3题图 19 解：由题意， ， . 又，缆索的最低点到的距离 ， 抛物线的顶点为 . 故可设缆索所在抛物线的函数表达式为 ， 将 代入抛物线可得， . 解得 . 缆索所在抛物线的函数表达式为 . 20 第4题图 4.[2023陕西25题节选3分]某校想将新建图书楼 的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设 计的拱门的跨度与拱高之积为 ，还要兼 顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门 按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在 轴上， ， ． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在 轴上， ， ． 求方案一中抛物线的函数表达式. 中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 21 解：由题意知，方案一中抛物线的顶点 ， 设抛物线的函数表达式为 ， 把代入得 ， 解得 ， ； 方案一中抛物线的函数表达式为 . 22 第5题图 5.[2022陕西25题节选3分]现要修建一条隧道，其截面为抛物线型， 如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以 所 在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为 轴，建立平面直角 坐标系.根据设计要求，，该抛物线的顶点到 的距 离为 .求满足设计要求的抛物线的函数表达式. 解：由题意知，抛物线的顶点 ， 设抛物线的表达式为 . 把代入，可得 ， 抛物线的表达式为 . 23 $第一节 平面直角坐标系与函数 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 ______理解平面直角坐标系的有关概念,能画出平面直角坐标系;在给定的平 面直角坐标系中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置写出坐标.知识点1 ______在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置.知识点1 ______对给定的正方形,会选择合适的平面直角坐标系,写出它的顶点坐标,体 会可以用坐标表达简单图形.知识点1 _______在平面上,运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.知识点1 1.删除“结合 实例进一步 会用有序数 对表示物体 的位置” 2.新增划线 语句 2 内容要求（2022年版） 新变化 ______探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义;了解 函数的概念和表示法,能举出函数的实例.知识点2 ______能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.知识点2 ______能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,会求函数值.知识点2 ______能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函 数值的意义.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨 论.知识点2 1.删除“结合 实例进一步 会用有序数 对表示物体 的位置” 2.新增划线 语句 续表 . . . . 3 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点1 平面 直角坐标系 中点的坐标 及其特征 2025年6题3分（选择） 判断一次函数图象平移后经过的点的坐标 2025年8题3分（选择） 结合二次函数图象与 轴交点特征，判断 函数图象和性质 2025年13题3分（填空） 几何正比例函数与反比例函数图象交点坐 标的特征，计算系数 的值 2025年25题8分（解答） 结合对称与二次函数的性质解决实际问题 2024年8题3分（选择） 通过坐标推断二次函数的图象和性质 2024年12题3分（填空） 结合坐标与反比例函数的性质进行简单推 断 2024年25题8分（解答） 结合对称与二次函数的性质解决实际问题 续表 4 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点1 平面 直角坐标系 中点的坐标 及其特征 2023年12题3分（填空） 结合矩形与反比例函数图象上点的坐标进 行简单推断 2023年25题8分（解答） 结合对称与二次函数的性质解决实际问题 2022年12题3分（填空） 结合坐标的对称与反比例函数的性质进行 简单推断 2022年25题8分（解答） 结合对称与二次函数的性质解决实际问题 2021年8题3分（选择） 通过坐标推断二次函数的图象和性质 2021年12题3分（填空） 结合坐标与反比例函数的性质进行简单推 断 2021年25题8分（解答） 结合对称与三角形相似在二次函数的图象 求满足条件的点 续表 5 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点2 函数 的变量及其 取值范围 近五年未单独出题考查，但是在全国其他省市的真题中常有考查 续表 6 平面直角坐标系中点的坐标及其特征 各象限内的点的坐标符号的特征#1 7 坐标轴上的点的坐标特征 （1） 轴上点的④____坐标为0； （2） 轴上点的⑤____坐标为0； （3）原点的坐标为⑥______.#2.4 易错易混#2.5 坐标轴上的点不属于任意一个象限.#2.5.1 纵 横 8 各象限角平分线上的点的坐标特征 （1）第一、三象限角平分线上的点的⑦________坐标相等； （2）第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标⑧____________. 横、纵 互为相反数 9 与坐标轴平行的直线上点的坐标特征 （1）平行于 轴的直线上点的⑨____坐标相同； （2）平行于 轴的直线上点的⑩____坐标相同. 纵 横 10 坐标系中对称点的坐标特征 ,⑪____ ⑫____, （⑬____,____） 【总结】坐标对称变化规律：关于轴对称，横坐标不变；关于 轴对称，纵坐标不变； 关于原点对称，横、纵坐标都变相反数. 11 拓展延伸 点关于直线对称的点的坐标为，关于直线 对称的点的坐标 为 . 12 点平移的坐标特征 左移 右移 上移 下移 记忆口诀 坐标平移规律：左减右加，上加下减. 13 点到坐标轴之间的距离 （1）点到 轴的距离是⑭____； （2）点到 轴的距离是⑮____； （3）点 到原点的距离是⑯__________. 14 点到点之间的距离 （1）当点，所在的直线平行于轴时，点， 的纵坐标 ⑰______，即，则 ； （2）当点，所在的直线平行于轴时，点， 的横坐标 ⑱______，即，则 . （3）坐标系内任意两点， ,则两点间的距离 为 . 相等 相等 15 函数及其相关概念 函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于 在它允许的取值范围 内的每一个值，都有唯一确定的值与它对应，那么就说是自变量，是 的函数. 函数值 如果当时，,那么叫作当自变量的值为 时的函数值. 函数的三种表示法 （1）表达式法；（2）列表法；（3）图象法. 16 函数自变量的取值范围#4 常见类型 示例 自变量取值范围 整式型 任意实数 分式型 使分母不为0的实数 二次根式型 使被开方数大于等于0的实数 分式 根式型 或 使被开方数大于等于0且分母不为0的实数 17 平面直角坐标系中点的坐标及其特征 1.[拓展·2025成都]在平面直角坐标系中，点 所在的象限是( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] ，， 点 所在的象限是第二象限． 18 2.如果单项式与单项式 的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中, 点 在( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 单项式与单项式的和仍是一个单项式， ， ，解得，， 点 所在的象限为第四象限. 19 第3题图 3.如图为一平面直角坐标系，若从点 出发，向下移动 再向右移动，则可能移动到下列哪一点( ) A A. B. C. D. [解析] 若从平面上的点 出发，向下移动再向右移动， 则移动后的纵坐标比原来小，横坐标比原来大，只有选项A 正确． 20 4.[拓展·2025广安]在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且， 满足 ，则点 在第____象限． 四 [解析] ， ，，，，， 点 的坐标为， 点 在第四象限． 5.[拓展·2025泸州]若点在第一象限，则 的取值范围是______． [解析] 点在第一象限，，则 ． 21 函数的变量及其取值范围 6.[拓展·2025云南]函数的自变量 的取值范围为( ) D A. B. C. D. [解析] 已知函数，则，即 ． 7.[拓展·2025内江]在函数中，自变量 的取值范围是( ) A A. B. C. D. [解析] 已知函数，则，解得 ． 22 第8题图 8.[拓展·2025成都]小明从家跑步到体育馆， 在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书， 然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次 在同一直线上），如图表示的是小明离家的 距离与时间的关系．下列说法正确的是 ( ) C A.小明家到体育馆的距离为 B.小明在体育馆锻炼的时间为 C.小明家到书店的距离为 D.小明从书店到家步行的时间为 [解析] 由图象可知，小明家到体育馆的距离为 ，选项A错误；小明在体育馆锻 炼的时间为，选项B错误；小明家到书店的距离为 ，选项C正 确；小明从书店到家步行的时间为 ，选项D错误． 23 $第四节 反比例函数 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 ______结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数 的表达式.知识点3 ______能绘制反比例函数的图象，根据图象和表达式 探索并理解 和 时图象的变化情况.知识点1，2 _______能用反比例函数解决简单实际问题.知识点4 — 2 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点1 反比例函数的 图象与性质 2024年12题3分（填空） 结合坐标与反比例函数的性质求两点纵坐 标之和 2021年12题3分（填空） 结合坐标与反比例函数的性质判断图象上 两点的纵坐标大小 考点2 反比例函数表 达式的确定 2025年13题3分（填空） 结合正比例函数与反比例函数图象的性质 求反比例函数的表达式 2023年12题3分（填空） 结合矩形、正方形与反比例函数的性质求 反比例函数表达式 2022年12题3分（填空） 结合坐标的对称与反比例函数的性质求反 比例函数的表达式 续表 3 反比例函数的图象与性质 表达式 为常数， ___0 ___0 图象 图象无限接近坐标轴，但永不相交 所在象限 第一、三象限（， 同号） 第二、四象限（， 异号） 4 增减性 在每一象限，随 的增大而③______；在两支双曲线上，第一象限 的值④______第三象限 的值 在每一象限，随 的增大而⑤______；在两支双曲线上，第二象限 的值⑥______第四象限 的值 对称性 关于原点成中心对称，如双曲线一支上的点 ，关于原点的对称点 _________在双曲线另一支上 关于直线或 成轴对称 减小 大于 增大 大于 温馨提示 1.反比例函数的增减性只能在每个象限内讨论； 2.反比例函数图象的位置和增减性都与 的符号有关； 3.由反比例函数的位置或函数的增减性也可以判断 的符号.#1.1.3 续表 5 中考技能提升 反比例函数中坐标大小的比较 1.对于反比例函数图象上的几个点，如果已知其中一种坐标，需要比较另一种坐标之 间的大小关系时，可先求出函数表达式，再带点求值，进行比较； 2.若无法直接求出函数表达式，则先判断这几个点是否在同一象限内，再根据函数的 增减性，逐个象限进行判断函数值之间的大小关系. 6 例1 [2025天津]若点，，都在反比例函数 的图象上， 则，， 的大小关系是( ) D A. B. C. D. [解析] 反比例函数的， 反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象 限内随的增大而增大， 点在第二象限，，又 ， ， ． 7 例2 [2024天津]若点，，都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. [解析] ， 反比例函数 的图象分布在第一、三象限，在每个象限 内，随的增大而减小， 点，，都在反比例函数 的图 象上， 点分布在第三象限，，分布在第一象限，且 ， ，， ． 8 反比例函数中系数 的几何意义 系数 的几何意义 过双曲线上任意一点，分别作轴、轴的垂线，，垂足为， ， 如图所示，则， . 9 常见图形的面积： _ __ ____ 10 _____ _____ （点与点关于 原点对称） 11 _ _______ （轴，点在 轴上运动） _ _______ （轴，点在 轴上运动） 12 中考技能提升 反比例函数与几何图形综合 1.一般图形：解决反比例函数与图形面积的相关问题时，通常需要以坐标轴上的边或 与坐标轴平行的边将一般图形转化为特殊图形，最终利用面积公式解决问题；当图形 的各条边都不在坐标轴上，且不平行于坐标轴时，一般可采用割补法将其转化为一边 位于坐标轴上（或平行于坐标轴）的特殊图形面积的和或差来解决问题； 2.特殊图形：面对特殊三角形或特殊平行四边形与反比例函数综合的问题时，应从反 比例函数自身性质出发，设特殊点的坐标（如已知点经过反比例函数 的图象， 若设点的横坐标为，则它的纵坐标可表示为 ），再结合特殊图形的性质以及相似 或全等关系，在后续的计算中消除未知数 ，最终求解. 13 例1 [2025威海]如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数 的图 象上，连接，，．若，则 _ __． 例1题图 14 [解析] 如答图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 点 在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ， ， ，， ， ， . 例1题答图 15 例2题图 例2 [2025烟台]如图，菱形的顶点在轴正半轴上， ， 反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则 的 值为_____. 例2题答图 [解析] 菱形的顶点在轴正半轴上， ， ，，，设 ， ，，，解得，如答图，过点 作 于点，，， ， ． 16 反比例函数表达式的确定 ●用待定系数法求反比例函数的表达式 （1）设反比例函数的表达式为 ； （2）找出图象上一点 ； （3）将点代入表达式，得 ； （4）确定函数表达式. 17 反比例函数的实际应用 ●反比例函数的实际应用的常见等量关系 （1）行程问题：速度 ； （2）工程问题：工作效率 ； （3）面积问题：矩形的宽 ； （4）（跨学科）电学问题：电阻 ； （5）（跨学科）压强问题：压强 . 18 反比例函数的图象与性质（5年2考） 1.[2024陕西12题3分]已知点和点均在反比例函数 的图象上.若 ，则___0.（选填“ ”“”或“ ”） [解析] 点和点均在反比例函数的图象上， ， ，，， . 19 2.[2021陕西12题4分]若，是反比例函数 图象上的两点， 则，的大小关系是___.（选填“ ”“”或“ ”） [解析] ，， 图象位于二、四象限，在每一个象限内，随 的 增大而增大，又， . 20 反比例函数表达式的确定（5年3考） 第3题图 3.[2025陕西13题3分]如图，过原点的直线与反比例函数 的图象 交于，两点，则 的值为___． 9 [解析] 过原点的直线与反比例函数 的图象交于 ，两点，， 两点关于 原点对称，即的横坐标与的横坐标互为相反数，的纵坐标与 的纵坐标互为相反数，，，，， ，把 点代入，得，解得 ． 21 第4题图 4.[2023陕西12题3分]如图，在矩形和正方形中，点在 轴正 半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上， ， ．若点， 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数 的表达式是_ ______． [解析] 四边形是矩形，， 四边形 是正方 形，，， 设，， ， ，设反比例函数的表达式为，，解得 或 （不合题意舍去），，， 这个反比例函数的表达式是 . 22 5.[2022陕西12题3分]已知点在一个反比例函数的图象上，点与点关于 轴 对称.若点在正比例函数 的图象上，则这个反比例函数的表达式为________. [解析] 点与点关于轴对称，点， 点， 点 在正比例函数 的图象上，，， 点 在一个反比例函数的图 象上， 反比例函数的表达式为 . 23 $第二节 正比例函数与一次函数 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 ______结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表 达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式.知识点2 ______能画一次函数的图象、根据图象和表达式 探索并理 解和 时图象的变化情况；理解正比例函数.知识点1,3,5 _______体会一次函数与二元一次方程的关系.知识点4 — 2 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点1 正比例函数的 图象与性质 2024年6题3 分（选择） 结合对称，用待定系数法确定正比例函数表达式 考点2 一次函数的图 象与性质 2022年22题7 分（解答） 以“函数求值机”为背景的一次函数试题，通过待定系 数法确定表达式，并带入坐标求值. 考点3 两条一次函数 图象交点问题 2023年5题3 分（选择） 已知系数的取值范围，推断包含字母 的正比函数与 一次函数的图象 2022年6题3 分（选择） 结合一次函数与二元一次方程之间的联系，已知两条 直线的交点坐标，求关于， 的方程组的解 续表 3 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点4 一次函数图象 的几何变换 2021年7题3 分（选择） 将一次函数图象向左平移后得到新的正比例函数图 象，从而判断函数的待定系数 考点5 一次函数表达 式的确定 近五年未单独出题考查，但是在全国其他省市的真题中常有考查 续表 4 正比例函数与一次函数的图象及性质 正比例函数 一次函数 表达 式 为常数，且 ,为常数，且 大致 图象 图1 图2 图3 图4 图5 图6 5 正比例函数 一次函数 性质 时，图象经过第①_____ ___象限，如图1； 时，图象经过第②_____ ___象限，如图2； 函数图象经过原点. 正比例函数是特殊的一次函数 _____, _____时，图象经过第一、二、三 象限，如图3; _____, _____时，图象经过第一、三、四 象限，如图4； _____, _____时，图象经过第一、二、四 象限，如图5； _____, _____时，图象经过第二、三、四 象限，如图6； 图象平行于直线 ，可由它平移得到 一、三 二、四 续表 6 正比例函数 一次函数 函数增 减性 当时，随 的增大而增大； 当时，随 的增大而减小 作图 作正比例函数 的图象 时，除原点外，还需找一 点，一般找 点 作一次函数的图象时，一般找 和 两点 续表 7 拓展延伸 表示函数图象的倾斜程度（简称斜率），如图1，若两个一次函数的图象平行时， 一次项系数相等，即 ；如图2，若两个一次函数的图象互相垂直时，一次项系 数互为负倒数，即；如图3,若 ,则两条直线和坐标轴围成等腰 三角形.#1.1.1 图1 图2 图3 8 一次函数表达式的确定 用待定系数法确定一次函数的表达式步骤 （1）设出一次函数的表达式 ; （2）找出满足一次函数表达式的两个点，并将点的坐标代入所设的函数表达式，得到 一个关于和 的二元一次方程组; （3）解二元一次方程组，得到, 的值； （4）将所得的, 的值代入所设的一次函数表达式，得到所求的函数表达式. 9 一次函数图象的几何变换 将一次函数图象平移后函数表达式的变化情况 【总结】将一次函数的图象平移后，函数表达式的变化规律可以总结为：左加右减 （给 加减并带括号），上加下减（给等号右边整体加减）. 10 将一次函数图象对称后函数表达式的变化 11 原函数 与轴交于点，与轴交于点 关于 轴对称 ，都变为相反数 与轴交于点，与轴交于点 关于 轴对称 相反，不变 与轴交于点，与轴交于点 关于原点对称 不变，相反 与轴交于点，与轴交于点 12 中考技能提升 一次函数的图象的性质与几何变换综合 面对题目中一次函数图象的平移、旋转或对称问题，首先尝试运用图象变换的基 本规律（详见核心知识精讲知识点3）；若题目较复杂，可以先从点的平移、旋转或对 称入手,确定对应点，最后再通过点确定一次函数表达式. 13 例1 [2025天津]将直线向上平移 个单位长度，若平移后的直线经过第三、 第二、第一象限，则 的值可以是___（写出一个即可）． 2 [解析] 由题知，将直线向上平移 个单位长度后，所得直线的函数表达式 为，则平移后的直线与轴的交点坐标为 ．又因为平移后的 直线经过第一、二、三象限，所以，解得，所以 的值可以是2． 14 例2 直线与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转 ，得到直线 ， 求直线 对应的函数表达式 解法提示：可根据已知的函数表达式，画出函数图象，发现函数图象与坐标轴形成一 个等腰直角三角形，再结合题中条件“绕点逆时针旋转 ”，可得出新的函数图象与 坐标轴形成一个含有 特殊角的直角三角形，进而可以求解. 15 例2题答图 解：将代入，得， 点坐标为． 将代入，得， 点的坐标为 ，画出函 数图象，如答图所示， ， ． 由旋转可知 ， ．在中， ， ，则点的坐标为．设直线 的函数表达式为 ，则，解得， 直线 的函数表 达式为 ． 16 一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式（组）的关系 一次函数与一次方程（组）的关系#1 与一元一次方程的 关系 一次函数的图象与轴的交点的①________ 方程 的解 与二元一次方程组 的关系 两个一次函数图象的②______坐标就是相应的二元一次方程组 的解 横坐标 交点 17 一次函数与一元一次不等式（组）的关系#2 形 在轴上方部分的自变量的取值范围是不等式 的解集 在轴下方部分的自变量的取值范围是不等式 的解集 数 的解集中，时 的取值范围 的解集中，时 的取值范围 18 一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积 图形 面积 一条直线与坐标轴 两条直线与 轴 两条直线与 轴 19 正比例函数的图象与性质（5年1考） 1.[2024陕西6题3分]一个正比例函数的图象经过点和点.若点与点 关 于原点对称，则这个正比例函数的表达式为( ) A A. B. C. D. [解析] 点和点关于原点对称，， 点的坐标为 .设正 比例函数的表达式为， 点在正比例函数 的图象上， ，解得， 正比例函数的表达式为 . 20 一次函数的图象与性质（5年1考） 2.[2022陕西22题7分]下面是一个“函数求值机”的示意图，其中是关于 的函数. 第2题图 21 下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与 的对应值. 输入 … 0 2 … 输出 … 2 6 16 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的值为1时，输出的 值为___； [解析] 当输入的值为1时,输出的值为 . （2）求， 的值； 解：将代入 ， 得，解得 . 22 （3）当输出的值为0时，求输入的 值. 解：令 ， 由得 ， （舍去）， 由，得 ， ， 输出的值为0时，输入的值为 . 23 一次函数图象的交点问题（5年2考） 3.[2023陕西5题3分]在同一平面直角坐标系中，函数和 为常数， 的图象可能是( ) D A. B. C. D. [解析] ， 函数 的图象是一条经过原点的直线，且经过第二、四象限， 则函数 的图象是一条经过第一、三、四象限的直线． 24 4.[2022陕西6题3分]在同一平面直角坐标系中，直线与 相交于点 ，则关于，的方程组 的解 为( ) C A. B. C. D. [解析] 将点代入，得，， 关于， 的方 程组的解为 . 25 一次函数图象的几何变换（5年2考） 5.[2025陕西6题3分]在平面直角坐标系中，过点， 的直线向上平移3个单位长 度，平移后的直线经过的点的坐标可以是( ) B A. B. C. D. [解析] 令过点，的直线表达式为，则，解得 ， 所以直线的表达式为 ，则向上平移3个单位长度后，所得直线的表达式为 ，只有选项B符合题意． 26 6.[2021陕西6题3分]在平面直角坐标系中，若将一次函数 的图象向左平 移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则 的值为( ) A A. B.5 C. D.6 [解析] 将一次函数 的图象向左平移3个单位后，得到 ，把代入，则有，解得 . 27 一次函数表达式的确定 7.[2013陕西8题3分]根据表中一次函数的自变量与函数的对应值，可得 的值为 ( ) 0 1 3 0 A A.1 B. C.3 D. [解析] 一次函数的表达式为，时；时 ， ，解得， 一次函数的表达式为， 当 时， ，即 . 28 $第五节 二次函数的图象与性质 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 ______能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数 的系数与图象形状和对称轴的关系.知识点1，2 ______会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决 相应的实际问题.知识点2 — 2 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点1 二次函数的图象 与性质 2025年8题3分（选择） 通过含有待定系数的函数表达式和函数 图象与 轴的交点坐标数量，推断函数 图象和性质 2024年8题3分（选择） 通过坐标推断二次函数的图象和性质 2023年8题3分（选择） 结合一元二次方程，通过函数坐标轴以 及与 轴交点，求函数的最值问题 2022年8题3分（选择） 已知函数表达式，给定三个坐标中自变 量的取值范围，求因变量之间的大小关 系 2021年8题3分（选择） 通过坐标推断二次函数的图象和性质 续表 3 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点2 二次函数的图象 与，， 的关系 近五年未单独出题考查，但是在全国其他省市的真题中常有考查 续表 4 二次函数的表达式 形如，，为常数，的函数，其中为二次项系数， 为 一次项系数， 为常数项. 5 二次函数的图象与性质 与函数图象对称轴相关的性质 6 对 称 轴 （1）对称轴公式 _ ____； （2）配方法转换为顶点式 ，则对称轴为直线②______； （3）利用对称轴两边纵坐标相等的两个点的横坐标，则对称轴为直线 _ _____ 增 减 性 对称轴左侧，即，随 的增大而④______； 对称轴右侧，即，随 的增大而⑤______ 对称轴左侧，即，随 的增大而⑥______； 对称轴右侧，即，随 的增大而⑦______ 减小 增大 增大 减小 7 与函数图象顶点相关的性质#2 8 顶点 坐标 （1）顶点坐标公式⑧_ ____________； （2）配方法转换为顶点式，则顶点坐标为 ； （3）将对称轴代入函数表达式，求得对应的 最值 当_____时，有最小值， 当时，有最大值， _______ 9 二次函数图象的开口方向及大小 二次项系数 决定函数图象的开口方向和开口大小#3.1 决定开口大小和方向 开口⑪______ 开口⑫______ 越大 开口⑬______ 越小 开口⑭______ 向上 向下 越小 越大 10 二次函数图象的对称轴的位置 一次项系数与二次项系数 决定函数图象对称轴的位置 与 同号 对称轴在 轴的⑮____侧 对称轴与 轴⑯______ 与 异号 对称轴在 轴的⑰____侧 左 重合 右 记忆口诀 二次函数图象对称轴位置：左同右异.即当与同号时，，对称轴在 轴左 侧；当与异号时，，对称轴在 轴右侧.#5.1 11 二次函数图象与 轴的交点位置 常数项决定函数图象与 轴交点的位置 函数图象交 轴的⑱____半轴 函数图象过⑲______ 函数图象交 轴的⑳____半轴 正 原点 负 12 二次函数图象与 轴的交点数量 的值决定函数图象与 轴的交点数量 函数图象与 轴有㉑______交点 函数图象与 轴有㉒______交点 函数图象与 轴㉓______交点 两个 一个 没有 13 中考技能提升 利用二次函数图象与性质解决复杂问题的思路 1.对于二次函数图象上的点，已知横坐标，比较纵坐标的大小时，需要判断坐标与函 数图象对称轴的位置关系，若坐标分布在对称轴的同一侧，则根据函数的增减性，即 可确定对应点纵坐标的大小关系；若坐标分布在对称轴的异侧时，可参考下表： 14 点越靠近 对称轴 点越远离 对称轴 图示 点越靠近 对称轴 点越远离 对称轴 图示 对应的 值越小 对应的 值越大 对应的 值越大 对应的 值越小 15 2.在判断关于二次函数，，是常数，的系数，， 的等 式或不等式时，除利用二次函数的性质外，还常常结合一元二次方程根的判别式 ，以及根与系数的关系， .对于一些特殊的式子， 如：或可以视为或时，对应 的值，再结合函数图象， 判断取值范围. 16 例1 [2025福建]已知点，在抛物线上，若 ， 则下列判断正确的是( ) A A. B. C. D. [解析] ， 当时，， 抛物线过点， 抛物线的 开口向上，对称轴为， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ，，，， 点 到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于 到对称轴的距 离， ． 17 例2 [2025威海]已知点，，都在二次函数 的图象 上，则，， 的大小关系是( ) C A. B. C. D. [解析] 抛物线， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 三 点为，，， 与对称轴的距离分别为 ， ，，， ． 18 例3题图 例3 [2025广安]如图，二次函数，， 为常数， 的图象交轴于，两点，点的坐标是，点 的坐标 是，有下列结论：；；③关于 的方 程的解是，； ．其中 正确的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 19 [解析] 根据图象可得，抛物线的开口向下，交轴于正半轴，，，又 抛 物线的对称轴在轴右侧，，， ，故结论①正确；由函 数的图象可得：当时，，即，即 ，故结论② 错误； 二次函数的图象交轴于，两点，点 ，点 ， 关于的方程的解是， ，故结 论③④正确；综上，结论正确的有3个． 20 例4题图 例4 [2025凉山州]二次函数 的部分图象如图所示， 其对称轴为直线，且图象经过点 ，则下列结论错误的是 ( ) D A. B. C.若且，则 D.若，两点都在抛物线 的图象上， 则 21 [解析] 由图象可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，，， 对称 轴为直线，，， ，故选项A，B正确， 不符合题意；且， ， 和关于对称轴直线对称， ，故选项C正确；不符合题 意； 抛物线的开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，若 ， 两点都在抛物线的图象上，， ， 故选项D错误，符合题意． 22 二次函数的图象与性质（5年5考） 1.[2025陕西8题3分]在平面直角坐标系中，二次函数 的图 象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确 的是( ) D A.图象的开口向下 B.当时，的值随 值的增大而增大 C.函数的最小值小于 D.当时， 23 [解析] 由题意可得， 方程的两根异号， ，解 得， 二次项系数 ，开口向上，选项A错误； 的对称轴为直线， 当时，随 增大而增大，选项B错误； 当时，， 最小值为 ，选项C错误；当 时，，， 此时 ，选项D正确． 24 2.[2024陕西8题3分]已知一个二次函数的自变量与函数 的几组对应 值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( ) D A.图象的开口向上 B.当时，的值随 值的增大而减小 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线 25 [解析] 由题知，，解得， 二次函数的表达式为 ， 抛物线的开口向下.则选项A错误； ， 当时，随 的增大而减小.则选项B错误； 令得，，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为 和.又 抛物线的顶点坐标为， 抛物线经过第一、三、四象限.则选项C错 误. 二次函数表达式为， 抛物线的对称轴为直线 .则选项D 正确. 26 3.[2023陕西8题3分]在平面直角坐标系中，二次函数为常数 的图象经过点，其对称轴在 轴左侧，则该二次函数有( ) D A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 [解析] 由题意可得，解得，， 二次函数 ，对称轴在轴左侧，，， ， 二次函数有最小值为 . 27 4.[2022陕西8题3分]已知二次函数的自变量，， 对应的函数值分 别为，，.当，，时，，， 三者之间的大小 关系是( ) B A. B. C. D. [解析] 抛物线的对称轴为直线， ，距离对称轴大于1个单 位长度，，距离对称轴小于1个单位长度， ，距离对称轴大于2个单位 长度，且抛物线开口向上， . 28 5.[2021陕西8题3分]下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数 的几组对应值： … 0 1 3 … … 6 … 下列各选项中，正确的是( ) C A.这个函数的图象开口向下 B.这个函数的图象与 轴无交点 C.这个函数的最小值小于 D.当时，的值随 值的增大而增大 29 [解析] 设二次函数的表达式为 ，由题知 ，解得， 二次函数的表达式为 ，函数图象开口向上，故A错误；与 轴的交点为和，故B错误；当时，函数有最小值为 ，故C正确；函 数对称轴为直线，根据图象可知当时，的值随 值的增大而增大，故D错误. 30 6.[2019陕西10题3分]在同一平面直角坐标系中，若抛物线 与关于 轴对称，则符合条件的 ， 的值为( ) D A.， B.， C.， D.， [解析] 抛物线与关于 轴对 称，，解得， 则符合条件的，的值为 ， . 31 7.[2018陕西10题3分]对于抛物线，当时， ，则 这条抛物线的顶点一定在( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 把，代入表达式可得，解得， 可得 ，， 这条抛物线的顶点一定在 第三象限. 32 二次函数的图象与，， 的关系 第8题图 8.[2014陕西10题3分]二次函数 的图象如图所示， 则下列结论中正确的是( ) D A. B. C. D. [解析] 抛物线与轴的交点在点的下方. ；故A错 误； 抛物线开口向上，， 抛物线的对称轴在 轴的右侧， ，；故B错误； 抛物线对称轴为直线， 若 ，即 ；故C错误； 当时，，，即 .选 项D正确. 33 $