2026年中考数学一轮复习课件：主题六 圆

该初中数学中考复习课件系统覆盖圆的基本性质核心考点，包括圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形等，严格对接2022版新课标要求。通过陕西近5年真题分析，明确圆周角定理5年3考、垂径定理5年2考的权重，归纳角度计算、线段长度、证明等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“真题解析+技巧突破”模式，如2023年垂径定理求半径题，示范作弦心距构造直角三角形的方法，培养几何直观与推理能力。针对圆周角分类讨论等易错点，结合例题详解思路，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此高效规划复习，提升中考得分率。

主题六 圆 专题特训6 与切线有关的证明和计算 1 与角有关 的证明 利用圆中切线的性质判定两角相等时，可在两个直角三角形中通过定理 “同角或等角的余角相等”来证明，同时也常将圆中的相等条件，转化至等 腰三角形中，利用等边对等角来证明 2 与 线 段 有 关 的 证 明 位 置 关 系 （1）利用圆中切线的性质判定两直线平行时，通过构造垂直或直角三角形， 进行等量代换，寻找相等或互补的角，依据平行线判定定理证明两直线平 行； （2）利用圆中切线的性质判定两直线垂直时，通过构造垂直或直角三角形， 进行等量代换，寻找相等或互补的角，证明直角的存在，此外也可先证明两 直线平行，再根据推论“若一条直线垂直于平行线的其中一条，那么也垂直于 另一条直线”证明两直线垂直 续表 3 与 线 段 有 关 的 证 明 数 量 关 系 （1）利用圆中切线的性质判定两线段相等时，①若两线段相连且共线，则可 用等腰三角形“三线合一”或直角三角形“斜边上的中线等于斜边的一半”来求 证；②若两线段相连不共线，则可将两条线段放在一个三角形中，利用等腰 或等边三角形“等角对等边”来求证；③若两线段不共线但有公共边在两个三角 形中，则可用三角形全等来求证；④若两线段平行，则可用平行四边形“对边 相等”来求证； （2）利用圆中切线的性质判定两线段成比例时，则需要寻找相似三角形，列 比例求证 续表 4 切 线 的 判 定 （1）当题中有条件已知 的角时，可用等量代换，寻找互余的角，判定目标直 线与半径互相垂直；也可通过证明目标直线与某线段互相垂直，再证明半径与这 条线段互相平行，即可推出目标直线与半径也互相垂直；最后还可以构造包含目 标线段的三角形，再证明它与其他已知的直角三角形全等或相似，最终判定目标 线段为切线； （2）当题中条件没有 的角时，可构造等腰三角形，利用其“三线合一”的性 质，证明目标线段与半径垂直 求 线 段 的 长 在面对圆的综合问题中求线段的长时，若题中条件包含的特殊角，如： ， ， 或，， ，则考虑使用 特殊角的三角函数值，解直角三角形；若题中条件给出了边长，则考虑使用三角 形的相似，列比例求解，若题中包含直角三角形时，则用勾股定理设未知数列方 程求解，当题中条件含有相等的边时，也常用三角形全等的性质进行求解 续表 5 例1 [2025广东]如图，是斜边边上的一点，以为半径的与边 相 切于点．求证：平分 . 例1题图 6 例1题答图 证明：如答图，连接 ， 以为半径的与边相切于点 ， ， ， , ， ， ， ， ， 平分 ． 7 例2题图 例2 [2025成都节选]如图，点在以为直径的半圆 上，连接 ，，过点作半圆的切线，交的延长线于点，在 上 取点，使，连接，交于点．求证： . 例2题答图 证明：如答图，连接，则 ， ， 过点作半圆的切线，交的延长线于点 ， ， ， 为直径， 8 ， ， ， ， ， ， ， ， ． 例2题答图 例3 [2025浙江节选]如图，在中，，点在边上，以点为圆心， 长为半径的半圆，交于点，与相切于点，连接，．求证： . 例3题图 10 证明： ， ， 又 ， ， ， ， 以点为圆心，长为半径的半圆与相切于点 ， ， ． 例3题图 11 例4题图 例4 [2025湖北节选]如图，是 的外接圆， ．过点作，垂足为，交于点，交 于点．过点作的切线，交的延长线于点 ．求证： ． 证明：，且是的切线，即 ， ， ， ，即 是等腰直角三角形， ． 12 例5 如图，已知为的直径，直线与相切于点，直线与 相切于点 ，连接交于点.求证： . 例5题图 13 例5题答图 证明：如答图，连接 , 是 的切线， 又 直线与 相切， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， . 14 例6 [2025齐齐哈尔节选]如图，内接于，为的直径，点在 的延长 线上，连接，，过点作，交于点．求证：是 的切线. 例6题图 15 例6题答图 证明：如答图，连接 ， 是 的直径， ． ． ， ， ， ， 即 ， ， 为 的半径， 是 的切线． 16 例7 [2025兰州]如图，是的外接圆，是的直径，过点的切线交 的延长线于点，连接并延长，交于点，连接， . 例7题图 （1）求证： ； 17 证明：为 的切线， ， ， 是 的直径， ， ， ， ， ， ． 例7题图 18 （2）若，，求 的长. 解： ， ， 在 中， ， 设， ， ， 即 ，解得 ， ， 例7题图 在中，， ， ． 19 例8 [2025德阳]如图，在中，直径与弦交于点，，连接 ，过 点作的切线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点 ． 例8题图 20 （1）若 ，求 的度数； 解：是直径，是 的切线， ， ， ， ， ， ， ． 例8题图 21 （2）连接，，再连接并延长交于点 ， ①证明： ； 证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ， ， ． 例8题图 22 ②若，求 的直径． 例8题答图 解：如答图，连接 ， 是 直径， ， ， 又 ， ， ， ， 由①知， ， ， ， ， . 23 $第二节 与圆有关的位置关系 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 ______了解直线与圆的位置关系,掌握切线的概念.知识点1,2 ______*探索并证明切线长定理:过圆外一点的两条切线长相等.知识点2 _______了解三角形的内心与外心.知识点3 — 2 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点 与切线性质 有关的证明 与计算 2025年24题8分 （解答） 结合三角函数，利用切线的性质，证明边形等 （第一问）；求线段的长（第二问）（有图） 2024年24题8分 （解答） 结合相似三角形，利用切线的性质，证明角相等 （第一问）；求线段的长（第二问）（有图） 2022年24题8分 （解答） 结合相似三角形，利用切线的性质，证明角相等 （第一问）；求线段的长（第二问）（有图） 2021年24题8分 （解答） 结合相似三角形，利用切线的性质，证明角相等 （第一问）；求线段的长（第二问）（有图） 续表 3 图形与圆的位置关系 点与圆的位置关系 如图，设的半径为，平面内任意一点到圆心的距离为 . （1）点在圆内___ . （2）点在圆上___ . （3）点在圆外___ . 4 线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 性质与判定 交点数量 相离 _________________________ 直线和相离 ______； ⑤_____ 0个 5 直线与圆的位置关系 性质与判定 交点数量 相切 _________________________ 直线和相切 ______； ⑦_____ 相交 __________________________________ 直线和相交 ______； ⑨_____ 1个 2个 续表 6 圆的切线的性质与判定 切线 定义 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫作 圆的①______，这个点叫作②______ 性质 圆的切线③______于过切点的半径 判定 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线 切点 垂直 7 切线长定理 （1）定义：经过圆外一点作圆的切线，这一点与切点之间线段的长度叫作这点到圆的 切线长；#1.3.1 （2）定理：如图，从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切 线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，即当 ，为的切线时，则有， ， . 8 三角形与圆 外接圆 内切圆 定义 经过三角形三个顶点的圆 与三角形各边都相切的圆 图示 圆心 外心：三角形外接圆圆心或三角形 三条边的①____________的交点 （尺规作图常用） 内心：三角形的内切圆圆心或三角 形三个内角的②________的交点 （尺规作图常用） 垂直平分线 平分线 9 外接圆 内切圆 性质 三角形的外心到三角形的三个顶点 的距离③______ 三角形的内心到三角形的三条边的 距离④______ 角度关系 相等 相等 续表 10 与切线性质有关的证明与计算（5年4考） 类型一 与相似三角形结合 第1题图 1.[2024陕西24题8分]如图，直线与相切于点，是 的直 径，点，在上，且位于点两侧，连接，，分别与 交 于点，，连接，AE， . 11 （1）求证： ； 证明： 直线与相切于点，是 的直径， ， ， 是 的直径， ， ， ， . 第1题图 12 （2）若的半径，，，求 的长. 解：在 中， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， 第1题图 13 ，即 ， 解得 ， ， ， ， ， ， ，即 ， 解得 ， 即的长为 . 第1题图 2.[2022陕西24题8分]如图，是的直径，是的切线，，是 的弦， 且，垂足为，连接并延长，交于点 . 第2题图 （1）求证： ； 证明：是的切线， . ，， . ， . 15 （2）若的半径，，求线段 的长. 第2题图 解：如答图，连接 ， 是直径， . ， ， ， . ， . ， ， . ， ， ， ， . 第2题答图 16 第3题图 3.[2021陕西24题8分]如图，是的直径，点，在 上，且，连接，，过点作 的切线，分别 与，的延长线交于点， . （1）求证： ； 证明：取的中点，连接， ， ，， . ， . 17 （2）若，，求线段 的长. 第3题答图 解：连接 ，如答图， 为的切线，， . ， ， ，即，解得 . 在中， ， 是的直径， . ， ， ，即，解得 . 18 类型二 与锐角三角函数结合 4.[2025陕西24题8分]如图，点在的边上，以为半径的与 相切于点 ，与相交于点，为的直径，与相交于点， ． 第4题图 （1）求证： ； 19 第4题答图 证明：如答图，连接 ， ， ， 与相切于点 ， 于点 ， ， ， ， ， ． （2）若，，求 的长． 解： ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 第4题答图 ， ， ， ， 的长是 ． 21 类型三 与特殊图形结合 5.[2018陕西23题8分]如图，在中， ，以斜边上的中线 为直 径作，分别与，交于点， ． 第5题图 22 （1）过点作的切线与相交于点，求证： ； 证明：连接 ，如答图， 为斜边上的中线， ， . ，，， . 为切线，， . 第5题答图 23 （2）连接，求证： ． 第5题答图 解：连接 ，如答图， 为直径， ， 而 ， 四边形为矩形， . ，， ， . 24 $第三节 弧、扇形、圆柱和圆锥的相关 计算 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 _______会计算圆的弧长、扇形的面积.知识点1 — 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点 扇形弧长与面积的计算 近五年未单独出题考查，但是在全国其他省市的真题中常 有考查 2 弧长和扇形面积的计算 弧长公式： 圆的周长： 扇形弧长： _______ 半径 圆心角度数 弧长 扇形面积公式： 圆的面积：扇形面积：________ 3 圆柱与圆锥的相关计算 圆柱： （1） ______; （2） _____________; （3） ______. 4 圆锥： 底面圆半径 圆锥高 母线长 （1）圆锥的侧面展开图是扇形，底面圆的周长④_____等于其侧面展开图（扇形）的 弧长，母线长 等于其侧面展开图（扇形）的半径； （2）圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线长，底面圆半径和圆锥的高 这三个 量之间的数量关系为 ； （3）;（4）;（5） ____. 5 扇形弧长与面积的计算 1.[2012陕西13A题3分]在平面内，将长度为4的线段绕它的中点 ，按逆时针方向旋 转 ，则线段 扫过的面积为___. 第2题图 2.[拓展·2025遂宁]如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点 处，沿圆柱的侧面爬到点处，现将圆柱侧面沿 剪开，在侧面展开图上 画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是( ) B A. B. C. D. 6 第3题图 3.[拓展·2025山西]如图，在中， ， ，分 别以点，为圆心、的长为半径画弧，与， 的延长线分别交 于点，．若 ，则图中阴影部分的面积为( ) D A. B. C. D. [解析] ，， ， ， ， . 7 第4题图 4.[拓展·2025凉山州]如图，内接于， ， ， 若，则 的长为___． 第4题答图 [解析] 如答图，连接，， ， ， ，由圆周角定理得 ，， 的长为 . 8 $第一节 圆的基本性质 1 新课标内容要求及新变化 内容要求（2022年版） 新变化 ______理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的 概念；探索并掌握点与圆的位置关系.知识点1 ______探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两 条弧.知识点3 ______探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧） 所对的圆周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于 它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角， 的 圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.知识点2,4 _______了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.知识点4 1.将原“探索并证 明垂径定理”的选 学内容改为必学 内容 2.新增划线语句 . . . . . . . . 2 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点1 与圆周角及其推 论有关的计算 2024年6题3 分（填空） 结合等腰三角形，在圆内求量角度数之和（有图） 2023年3题8 分（解答） 结合含有 角的三角形，利用圆周角定理及其推 论，证明边相等（第一问）以及求线段的长 （第二问） 2022年7题3 分（选择） 结合圆的内接三角形，求圆内角的度数（有图） 续表 3 陕西近年真题考情及趋势分析 题型及分值 考查知识点 考点2 与垂径定理结合 的计算 2023年7题3分 （解答） 以“陕西吃面用的老碗”为背景，利用圆中的垂径定 理，求圆的半径（有图） 考点3 与圆有关的最值 计算 2021年13题3 分（填空） 结合正方形，求正方形顶点 到圆心距离的最大值 （有图） 续表 4 圆的有关概念及性质 定义 圆 平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆.其中定点 称为 ①______，定长 称为②______ 弦 定义 连接圆上任意两点间的③______，如， 直径 经过圆心的弦叫作④______，直径等于半径的2倍，如 圆心 半径 线段 直径 5 弧 定义 圆上任意两点之间的部分叫作圆弧，简称弧. 弧按长度分为：劣弧，半圆，优弧 弧 优弧 大于半圆的弧叫⑤______，常用三个字母表示，如 劣弧 小于半圆的弧叫⑥______，常用两个字母表示，如， 圆心角 顶点在⑦________的角叫作圆心角，如 圆周角 顶点在⑧______，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角，如 优弧 劣弧 圆心上 圆上 续表 6 弧、弦、圆心角的关系 定 理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑨______，所对的弦也⑩______,即在 中，，， 推 论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也 相等,即在中，，， 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也 相等，即在中，，， 相等 相等 7 圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线 都是它的对称轴，圆心是它的对称中心.#3 易错易混 弧、弦、圆心角关系定理中一定要有“同圆或等圆”的条件，否则定理不成 立.如下图所示，,但， . 8 圆周角定理及其推论 定理 一条弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的①______，即 推论 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角②______，即 ， ， . （2）半圆（或直径）所对的圆周角是③______， 的圆周角所对的弦是 ④______，即为的直径， 一半 相等 直角 直径 9 易错易混 同弧所对的圆周角相等，但同弦所对的圆周角不一定相等.如下图所示，弦 所对的圆周角包括优弧上的和劣弧上的，而 . 10 中考技能提升 圆周角定理的分类讨论 在圆中，一条弦所对的圆心角是唯一的，但是圆周角却有无数个，包括优弧所对 的圆周角与劣弧所对的圆周角，若题中无示意图，需要注意进行分类讨论. 11 例1 圆中一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为( ) C A. B. C. 或 D. 或 例1题答图 [解析] 如答图，，为的直径，连接，， ， ， ， ， ， 即这条弦所对的圆周角的度数为 或 ． 12 例2 在半径为2的圆中，长度为 的弦所对的圆周角的度数为___________. 或 解法提示：此题在求解时，需要考虑到弦所对的圆周角分为优弧所对的圆周角与劣弧 所对的圆周角，因此需要分类讨论. 例2题答图 [解析] 如答图，作半径为2的，设弦为，过点作 ， 则为的中点，在中，， ， ， ， , .在四边形中， ， ，综上所述，弦所对的圆周角的度数为 或 . 13 垂径定理及其推论 定 理 垂直于弦的直径①______弦，并且②______弦所对的两条弧.（由垂直，得平 分） 即，，， 推 论 平分弦（不是直径）的直径③______于弦，并且④______弦所对的两条弧. （由平分，得垂直） 即，，， 平分 平分 垂直 平分 14 温馨提示 如图，在中，是直径；； ； ； .以上结论中，知道其中任意两个，就能推得 另外三个结论. 15 中考技能提升 圆中辅助线的一般做法 1.连接半径或直径——构造特殊的三角形，特殊的圆周角或圆心角； 2.作圆心到弦的垂线段（弦心距）——求弦长或半径时，通过作弦心距构造直角三角 形，应用勾股定理或三角函数求解; 3.找相等的圆周角——将图中的圆周角转换至同弧所对的特殊圆周角，通过特殊角求解. 16 例1题图 例1 [2025武汉]如图，四边形内接于， ．若 ，，则 的半径是( ) A A. B. C. D.5 例1题答图 [解析] 如答图，过点作，垂足为，交于点 ，连接 ，，则，， ， ，，在中， ， ，，设半径为，在 中， ，，，由勾股定理得， ， 即，解得 ． 17 例2题图 例2 [2025广安]如图，四边形是 的内接四边形， ，的半径为6，则 的长为_____． 例2题答图 [解析] 如答图，作直径，连接，则由圆周角定理得 ， ， 四边形内接于， ， ， ， ， 的半径为6， ， ． 18 圆与多边形 圆内接多边形 定义 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的①______ _______，这个圆叫作这个多边形的②________ 性质 （1）圆内接四边形的对角③______，即 （2）圆内接四边形的任意一个外角等于和它相邻的内角的对角，即 内接 多边形 外接圆 互补 19 正多边形和圆 内角 正边形的每个内角_________ 外角 正 边形的每个外角为⑤_ ____ 中心角 正边形的每个中心角 为⑥_ ____ 20 边心距 正边形的边心距 周长 正边形的周长 面积 正边形的面积 续表 21 圆周角定理及其推论（5年3考） 第1题图 1.[2022陕西7题3分]如图，内接于， ，连接 ，则 ( ) A A. B. C. D. 第1题答图 [解析] 如答图所示，连接， ， ， ， . 22 2.[2024陕西11题3分]如图，是的弦，连接，，是 所对的圆周角，则 与 的和的度数是____. 第2题图 [解析] 是所对的圆周角，， .又 ， ， ， 即 . 23 第3题图 3.[2023陕西24题8分]如图，内接于， ，过点 作 的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作 ，垂 足为，交于点 . （1）求证： ； 第3题答图 证明：如答图所示，连接 ， 则 ， ， ， . . 24 （2）若的半径，，求线段 的长. 第3题答图 解： ， 为 的直径， . ， ， ， ， ， ， ， ， 如答图所示，连接 ， 则 ， ， ， . 25 垂径定理及其推论（5年2考） 4.[2023陕西7题3分]陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图2是 从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图.是的一部分，是 的中点， 连接，与弦交于点，连接，.已知，碗深，则 的半径 为( ) A 第4题图1 第4题图2 A. B. C. D. 27 [解析] 是的一部分，是的中点，， ， .设的半径为，则 .在 中， ，， ， ，即的半径为 . 28 第5题图 5.[2020陕西9题3分]如图，内接于，是边 的中 点，连接并延长，交于点，连接，则 的大小为( ) B A. B. C. D. 第5题答图 [解析] 如答图所示，连接， ， ，是边的中点， ， ， . 29 第6题图 6.[2025陕西12题3分]如图，为的直径， ， ，则 的度数为____． 第6题答图 [解析] 如答图，连接，， ， 为的直径， ， ． 30 圆中的动点及最值问题（5年1考） 7.[2021陕西13题3分]如图，正方形的边长为4，的半径为1.若 在正方形 内平移可以与该正方形的边相切，则点到 上的点的距离的最大值为 _________. 第7题图 31 [解析] 当与、相切时，点到上的点的距离最大，如答图所示，过 点作于，于，，平分， 四边形 为正方形， 点在上，， ， ，即点到 上的点的距离的最大值为 . 第7题答图 32 $